大学《高等数学》考试复习练习题及答案 (七)

习题课七

一、选择题

1.若hm必0P=0,则11m竺更为(C)

XTO『XTO

(A)0；(B)6；(C)36；(D)8。

6+/(x)6x+)(f(x)6x-sin6x+.\/(x)+sin6x

解:limlim=lim

233

xf0Xx->0Xx-0x

0

6x-sin6xxf(x)+sin6x6x-sin6x°6-6cos6x

=hm--------+hm-----------=lim---------=Inn---------

Xf0X3.30x3X-。X^->03x2

3(6x)2

=hm-----=36。

x->°3/

2

2.设lim则上止臀处2=2,则(A)

10x2

(A)a=l,b=——；(B)。=0,Z?=—2；(C)〃=(),b=——；(D)a=l,人=-2。

22

°1

解：2二同1(1+无)一(r+苏)2111n*一“一2/'

x—>0Yx―>02x

由此可见lim(―a-2hx)=\-a=0=>。=1；

101+x

1

1102b

—(1—2.bx〃=]-----1—2Z?x0

(1+4-1-2Z?,5

2=lim3-------=lim坦--------=lim——=------=>/?=——

xrO2xx—>02xx—>0222

二、填空题

,arctanx-x1

1'lim"———o

Tf01n(l+21)6

00

i.arctanr-x0arctanx-x01

解:lim---------=lim-------=---l-i-mlim-------

3皿(1+2凸K)2x3x—06』XT06(1+/)6

八「Vl+tanx-vl+sinx1

2.lim---------------------二——

i。xln(l+x)-x22

p

店tanx-sinx1

解:原式二hmr|-------------：

x-0x]n(l+x)-x'2Jl+tana+Jl+sinx

1tanx(l-cosx)1tanx(1-cosx)

=—lim-------------=—lim------------------

2%—>0xln(l+x)—x2x—>0xln(14-x)—x

12o

]01x11

=-lim—J—=-lim—--=——lim(l+x)=—。

2x—oln(l+x)—2x—>o1]2x-o2

l+x-

3.limtann(—+—)=e4o

“-4n—

解：这是数列的极限，不能直接利用洛必达法则。

n2Alntan(—+-)

解：设/(x)=tarr'(—H■—)=e4*，则x£(0,+co)。

4x

xlntan(-+-)lim-vlntan7(C^+2-)

lim/(x)=lime4A'=ex->+xA,

XT+X)XT+00

[/兀2、2

Intan(—+—)7

4x

limx\n+-)=lim=lim

X1X->+oc1.712、2/兀2

——-tan(—+—)cos(—+-

x24x4x

r2

=hm--------------------—V22=4

xf+oc22/兀2

+-)cos-(-+-)

x4X

[,冗2、

xlntan(—+-)

lim/(x)=lime4-vlimtan"

A->+COX—>-HX>?/—>00

4./。)=/2_1在工=0处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为

/(X)=eL(1+2,27在。与x之间)。

22r

解：f(x)=2xex，f\x)=2ex(l+2x2),

/(0)=0，:(0)=0，

/(幻二/(0)+/(0»+弓&2,即/(X)=>2(1+2&2口2,自在0与X之间。

三、求下列极限

1.lim

刀-0

解:(方法1)lim

x->0

/

3cx24e人1

=limlim

xf02

x3_131+x3+—x6+r;(x6)-l-x3—x6+f;(x6)

(方法2)lime=lim------2——-----------=lim2——-——

Xf°sin6%10x6Xf°X6

Q..Jl+x+Jl—x—2

乙.lim--------------

10」

解：:Jl+x=IT—x—工~+0(X2),y/\~X—1—X—/+0*2),

2828

122

X

后+g—2r"4)1

..hm--------------=lim-------------=——

x->ox1iox14

17

3.lim(—―cot2x).

2

10x

1.222

..12、rsinx-xcosx

m-：lun(z--cotx)=hm---------------

xf0xx-0尸sin]

比较X〃的系数，有小二上，故/7。)二上

〃！n-2n-2

五、证明题

1.设lim=1,且/"(x)>(),证明：f{x}>xo

x—>0x

证明：・・・/〃(x)>0,.♦./(©二阶可导，从而/(X)连续，

.r/八、r、rfM八,“八\[./(X)-/(O)..f(X).

.・.f(o)=hmf(x)=lim^-^x=0,f(0)=lim八'=lim=1,

D，DxDx-0Dx

由泰勒公式得

/(x)=/(0)+/(0>+工^/=丹上祟』，[介于o与x之间。

・・・/〃(x)>。，・・・J〃O。，"⑴"。

2.设/(幻在上具有三阶连续导数，且/(-1)=0,/(1)=1,1(0)=0,

证明北8-1,1)，使得〃0)=3。

证明：・・・/(0)=0,・••可选择在x=0点展开。

/(x)=/(0)+/(0»+/^K2+£^12工3"在o与x之间)。①

V/(-1)=0,/(1)=1,

,••在①中令工二一1和1=1,得

O=/(-I)=/(O)^/7O)-^Q^(-i<m<o)②

26

1=〃1)=/(0)+:/"(0)+2口(o<n2<i)③

2o

③-②得1=["y2)+"(W)l，

6

w④

从而/(ni)+r(n2)=6

Vfm（x）在［-1,1］上连续，，fmM在［%,92］上连续，

从而尸3在［、,四2］上必有最大值M和最小值加，

・・.〃匹；［（/飞2）+（尸（中）区例，

再由介值定理，3^lnbr|2］o（-l,1）,使得/也）=，。（月2）+（/