高考数学培优第18讲统计与统计案例

第十八讲统计与统计案例

A组

一、选择题

1.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生

和3名女生①该抽样一定不是系统抽样：②该抽样可能是随机抽样：③该抽样不可能是分层

抽样：④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（）

A.①（§）③B.②®C.③®I）.（D<3）

【答案】B

【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名

3

男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被拍到的概率为匕二二，女生被

抽到的概率为所以只有②③是正确的，故选B.

2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在•次英语听力测试中的成绩（单位：

分）。已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8：则乂），的值分别为（）

甲组乙组

丁方9

x215y8

7424

A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8

【答案】C

【解析】由中位数的定义可知x=5,因（），+5+8）+30+9+24=5xl6.8,故y=8,应

选Co

3.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名

未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设”这种血清不能起到预防感冒的

作用”，利用2X2列联表计算的结果，认为”。成立的可能性不足1%,那么K?的一个可能

取值为（）

PRN%)0.050.0250.0100.0050.001

3.8415.0246.635787910.83

A.7.897B.6.635C.5.024D.3.841

【答案】A

【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然〃°〉6.635,所以选A.

4.下列说法正确的是（）

A.在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B.线性回归方程时应的直线»=加+。至少经过其样本数据点区,必），（工,力）,（/，为.）

*”，尤）中的一个点

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高

I）.在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果差

【答案】C

【解析】A.回归分析反映两个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情

况。错误；

B.线性回归方程对应的直线»二晟+，1过其样本数据平均皴点（三亍），错误：

9

D.相关指数R?越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好。错误：

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高.正确。

二、填空题

5.甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩乙的成绩丙的成绩

环数78910环数78910环数78910

频数5555频数6446频数4664

工分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则工，2,工的大小关系

为;心,与,%分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标

准差,则S],J，$3的大小关系为.

[答案】X|=X2=;S2>M>Sy

6.某班有55人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知

3号、25号、47号同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号分别为

和O

【答案】14和36

三、解答题

7.某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件产品，

检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg）：

甲：131514149142191011

乙：101491152123192216

（1）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；

（H）计算甲种商品垂量误差的样本方差；

（川）根据茎叶图分析甲、乙两种产品的质量.

【解析】

茎叶图如图.

甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13.5,15.5.

…,13+15+14+14+9+14+21+11+10+9

(II)x=-----------------------------------=13.

10

・•・甲种商品重量误差的样本方差为，(13-13)2+(15-13/+(14-13)2+(14-13)，(9-13『

+(14—13)2+(21-13)2+(11-13)2+(10—13)2+(9—13)、=11.6

(III)由茎叶图知，乙产品的重量误差的中位数高于甲产品的重量误差的中位数，而且由

茎叶图可以大致看出乙产品的重量误差的的标准差要大于甲产品的重量误差的的标准差，

说明甲产品的质量较好，而且较稳定.

8.某工厂36名工人的年龄数据如下表：

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到

工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄

140103619272834

244113120432939

340123821413043

441133922373138

533144323343242

640154524423353

745163925373437

842173826443549

943183627423639

的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;

(2)计算(1)中样本的平均值7和方差?；

(3)求这36名工人中年龄在R—sj+s)内的人数所占的百分比.

【解析】

(1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人.

由题意可知，抽取的样本编号依次为：2,6,10,14,18,22,26,30,34,

对应样本的年龄数据依次为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.

小、.小㈤一444-40+36+43+36+37+44+43+37/八

(2)由(1),得l=-----------------------------------=40,

9

222

,1「(44-40『+(40-40)+(36-40)+(43-40『+(36-40)+(37-40『+]100

s=—=-----

91(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2J9

_102-1

（3）由（2）,得x=40,s=—♦X—5=36—,x+5=43—,由表可知，这36名工人中

333

年龄在R-sG+s）内共有22人，所占的百分比为||xl00%之63.89%.

9.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

X81012

y2356

（1）请在图中画出上表数据的散点图:

（2）请根据上表提供的数据，用最小.二乘法求出y关于x的线性回归方程y=菽+〃：

(3)试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。

(2)2玉»=6X2+8X3+10X5+12X6=158,

r-1

x=9,y=4

=62+82+102+122=344,

I=I

3=0.7,a-bx-y=4—0.7X9=-2.3,

故线性回归方程为y=0.7x-2.3.

（3）由回归直线方程，当x=9时，y=6.3-2.3=1,

所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4.

10.2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人

民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别丁2016年3月5日和3月3日在北

京开幕.为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在15〜75岁之间的100人进行

调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：

[15,25),[25,35),[35,45),[55,65),[65,75].把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分

别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为9：

(1)求图中以人的值：

(2)若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的2x2列联表，根据

此统计结果能否

有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？

关注不关注合计

青少年人15

中老年人

合计5050100

附参考公式：

临界值表:

尸(片2%)0.050.0100.001

3.8416.63510.828

【解析】

(1)依频率分布直方图可知:

45

1OX(/2+O.O3)=—

55

10x(«+0.()10+0.005+0.005)

Too

a=0.035

解之,

方=0.015

(2)依题意可知：“青少年人”共有100x(0.015+0.030)=45人,

“中老年人”共有100-45=55人，完成的2x2列联表如下：

关注不关注合计

青少年人153045

中老年人352055

合计5050100

结合列联表的数据得：

K2=Mad-bc)?=100x(30x35-20x15)2第g］

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x55x45

因为夕(《2>6.635)=0.01,9.091>6.635，

所以有超过99%的把握认为“平老年人”比“青少年人”更加关注两会

B组

一、选择题

1.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)如图所示;

1300345668889

141112223344555667S

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在

区间［139,151］上的运动员人数为()

A、3B、4C、5D、6

【答案】B

【解析】根据茎叶图中的数据得，成绩在区间［139,151］上的运动员人数是20,用系统抽样

2()

方法从35人中抽取7人，成绩在区间［139,151］上的运动员应抽取7x—=4(人)，故选

35

B.

2.从实验小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方

图由图中数据可知身高在［12C,130］内的学生人数为()

A.3B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】由图知,（0.035+a+0.020+0.010+0.005）X10=l,解得a=0.03

，身高在［120,130］内的学生人数在样本的频率为0.03X10=0.3

故身高在］20,130］内的学生人数为0.3X100=30

3.已知x与y之间的一组数据：

X0123

>'m35.57

己求得关于y与工的线性回归方程为y=2.Lr+0.85,则〃?的值为（）

A.1B.0.85C.0.7

D.0.5

【答案】D

［解析］0x=°+i：+3=15-=丝产，故将其代入y=2.卜+0.85,可得nt=0.5.应选

D.

4.在一次独立性检验中，得出2X2列联表如下：

y1y2合计

X!2008001000

X2180m180+m

合计380800+m1180+m

最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是（）

A.200B.72CC.100D.180

【答案】B

【解析】由独立性检验，已知使两个分类变量无关，则可得；—=—^―,/«=720

380800+5

二、填空题

5.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频

率分布直方图（如图），

已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,第2小幺且的频数为12,则报考飞行

员的学生人数是.

【答案】48.

【解析】设图中从左到右的第1小组的频率为X,则第2小组的频率为2工，第3小组的频率

为3x,由频率分布直方图的性质，得：

x+2x+3x+O.O37x5+O.O13x5=l,

解得：x=0.125,

第2小组的频率为2x=0.25,又已知第2小组的频数为12,

报考飞行员的学生人数是：12+0.25=48.

故答案应填：48.

6.某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居

民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和

老年人中抽取的个体数分别为则直线公+外+8=0上的点到原点的最短距离为

【答案】粤

【解析】《=罗、36=406=喘x36=24,因此直线依+/9+8=0上的点到原点的最短

距离为=：=孚

7402+24234

三、解答题

7.今年的N8A西部决赛勇士和雷霆共进行了七场比赛，经历了残酷的“抢七”比赛，两

队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表：

笫场第二场笫三场笫四场笫五场第六场第七场

库里26282422312936

杜兰特26293326402927

（1）绘制两人得分的茎叶图:

（2）分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.

【解析】

（1）如图

库里杜兰特

98642266799

6133

40

(2)库里的平均得分工=,(26+28+24+22+31+29+36)=28分

方差s：=-[(-2)2+02+(-4f+(-6尸+32+l2+82J=—.

77

杜兰特的平均得分兀=；(26+29+33+26+40+29+27)=30分

方差s；=1[(-4)2+(-1)2+3、(-4)2+102+(-1)2+(-3)2]=早.

・•.X<石,5；<s；,则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些.

8.100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示.

(1)估计这100名学生的数学成绩落在［50,60)中的人数：

(2)求频率分布直方图中a£勺值；

(3)估计这次考试的中位数〃(结果保留一位小数).

【解析】

(1)由图可知落在［50,60)的频率为0.01X10=0.1

由频数=总数X频率，从而得到该范围内的人数为100X0.1=10.

(2)由频率分布直方图知组距为10,频率总和为1,可列如下等式：

(0.01+0.015+0.03++0.01+a)X10=l

解得a=0.035.

(3)前两个小矩形面积为0.DIX10I0.015X10=0.25.

第三个小矩形的面积为0.035X10=0.35

•・•中位数要平分直方图的面积..・.％=70+竺二^=70+7.1=77.1

0.035

9.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学

生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生

的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

甲频数34815

校分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

频数15X32

乙分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

频数1289

分组[110,120)[120,130)[130,110)[140,150]

频数1010y3

甲校乙校总计

优秀

非优秀

总计

(1)计算X,)，的值；

(2)若规定考试成绩在［120,150］内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；

(3)根据以上统计数据完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成

绩有差异.

【解析】

1

(1)甲校抽取110X上竺＜=60人,

2200

乙校抽取U0xM£=50人，

2200

故x=10,y=7,

(2)估计甲校优秀率为"=25%,

60

乙校优秀率为一=40机

50

(3)表格填写如图，

甲校乙校总计

优秀152035

非优秀453075

总计6050110

110（15x30-20x45）2

比2.83>2.706

60x50x35x75

乂因为1—0.10=0.9,故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

10.下表提供了甲产品的产量x(吨)与利润y(万元)的儿组对照数据.

X3456

y2.5344.5

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出)，关了F的线性回归方程»=最+&；

(2)计算相关指数居的值，并判断线性模型拟合的效果.

Z（xf.7）（M-y）Zy_£（凹-1）2

参考公式：♦=『-----=——=-4--------.a=y-bx,W=i—5-----__

i=l1=1，=|

【解析】

（1）x—4.5,y—3.5

nx-y=4x4.5x3.5=63,nx=4x4.5?=81，

=7.5+12+20+27=66.5,=9+16+25+36=86

r=li=l

：,b=上----------=665~63=0.7：,a=~y-bx=3.5-0.7x4.5=0.35

<2-286—81

~nx

j=l

・•・y关于x的线性回归方程§，=0.7x+0.35

(2)力(》—卞尸=(2.5—3.5)2+(3—3.5尸+(4—3.5)2(4.5—3.5尸=2.5

£(凹一白了=(2.5-2.45尸+(3-3.15尸+(4-3.85)2(4.5-4.55)2=0.05

r=I

2(,一犷oo5

・•・R2=1-与---------=1-第=0.98.・・线性模型拟合的效果较好

Z(y5Z5

/=|

C组

一、选择题

1.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防

火防灾问卷调查.先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样

确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001,0D2,…，800,则高三年级抽

取的同学的编号不可能为()

A.001,041,.......761

B.031,071,……791

C.027,067,……787

D.055,095,.......795

【答案】D

【解析】由根据分层抽样可得高三年级抽取出20人，利用系统抽样可分成40组得到的数据

特征应成等差数列,经计算答案中的数据795—055=74()不是40的整数倍，因此这组数据

不合系统抽样得到的，故应选D.

2.已知一组数据的平均数是2，方差是g，那么另一组数据

3M-2,3七一2,3当一2,38-2,3毛-2的平均数，力差是()

12

A.2,-B.2,1C.4,—I).4,3

33

【答案】D

【解析】因为数据对公,刍1，天的平均数是2,方差是1，所以1二2」£（七一2尸二J,

因此数据3%-2,3石-2,3当-2,35-2,3/-2的平均数为：

1515

；Z（3V2）=3X：Z%-2=4,

3/=1,r=l

15.215151

方差为:泛（3%-2-x）=SZ（3%-6）2=9X1Z（X,-2）2=9X3=3.

3.已知关于某设符的使用年限X（单位：年）和所支出的维修费用），（单位：万元）有如

下的统计资料，

X23456

y2.23.85.56.57.0

由上表可得线性回归方程＞=去+0.08,若规定当维修费用）＞12时该设备必须报废，据

此模型预报该设备使用年限的最大值为（）

A.7D.8C.9D.10

【答案】C

【解析】由已知表格得：x=1（2+3+4+5+6）=4,

］二［（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5,

由于线性回归直线恒过样本中心点（工亍），所以有：5=4〃+0.08,解得：〃=1.23,

A

所以线性回归方程），=1.23x-0.08,

由），＞12得：1.23x+0.08＞12解得：x＞9.69,

由于xeN,,

所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.

故选C.

4.在一次实验中，采集到如下一组数据：

X-2.0-1.001.002.003.00

y0.240.5112.023.988.02

则％），的函数关系与下列（）类函数最接近（其中以〃为待定系数）

A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+—

x

【答案】B

【解析】由表格数据逐个验证，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为y=a+b，.

故选B.

二、填空题

5.一个总体中的80个个体编号为0,1,2,…,79,并依次将其分为8个组,组号为0,1,…，

9,要用（错位）系统抽样的方法抽取•个容量为8的样本，即规定先在第1组随机抽取-

个号码，记为i,依次错位地得到后面各组的号码，即第攵组中抽取个位数为i+2（当

i+Z<10）或i+2-10（当2—10）的号码，在i=6时，所抽到的第8组的号码

是.

【答案】73

【解析】第1组抽取号码为6,第8组抽取号码为6+8-10+69=73

6.给出下列命题：

①线性相关系数，•越大，两个变量的线性相关性越强：反之，线性相关性越弱；

②由变量x和y的数据得到其回归直线方程/:y=hx+a,则！一定经过点P（元J）：

③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

这样的抽样是分层抽样；

④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好•：

⑤在回归直线方程5，=O.lx+lO中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量f增加0.1

个单位，其中真命题的序号是.

【答案】②④⑤

【解析】线性相关系数H越大，两个变量的线性相关性越强：反之，线性相关性越弱，故

①错：回归直线方程一定经过样本中心点p（f,5）,所以②正确；③的抽样方式为系统抽样,

故③错：由在含有一个解释变量的线性模型中，V恰好等于相关系数r的平方。显然，R2

取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故④正确：由回归直线方

程可知，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量£增加0.1个单位的解释是正确的，故

⑤正确：所以正确的序号为②④⑤。

三、解答题

7.偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试

成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差

x(单位：分)与物理偏差)，(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得

至他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号12345678

数学偏差K20151332-5-10-18

物理偏差

6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5

y

(1)若x与y之间具有线性相关关系，求)，关于K的线性回归方程：

(2)若该次考试该数学平均分为120分,物理平均分为91.5分.试由(1)的结论预测数

学成绩为128分的同学的物理成绩.

参考数据：

£

x/x=20x6.5+15x3.5+13x3.5+3xl.5+2x0.5+(-5)x(-0.5)+(-10)x(-2.5)+(-18)x(-3.5)=324

/=£1

x：=20:+6+132+32+22+(-5)2+(-10)2+(-18)2=1256

1-)

【解析】

(1)由题意，上20+413+3+2+(-5)+(叫+(叫口

82

__6.5+3.5+1.5+().5+(-0.5)+(-2.5)+(-3.5)_9

y=------------------------------------------------------------=—，

-88

8-Q

〃孙324-8x-x-।

X-------------=-------------2-4=1,

8_2/c\24

£累_以1256-8x—

1=1

-.-9151

所以G=y-bx=-------X—=—,

■8422

故线性回归方程为a=

42

(2)由题意，设该同学的物理成绩为①，则物理偏差为：0-91.5.

而数学偏差为128-120=8,

：,co-9\.5=-xS+-f解得3=94,

42

所以，可以预测这位同学的物理成^为94分

8.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；

(3)若这100名学生数学成绩某些分数段的人数(x)与物理成绩相应分数段的人数(y)

之比如下表所示，求物理成绩在[50,90)之外的人数.

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

X：y1：12：13：44：5

【解析】

(1)由频率分布直方图知：

(2a+0.02+0.03+0.04)X10=l,解得a=0.005

(2)由频率分布直方图知这100名学生数学成绩的平均分为：

55X0.005X10+65X0.04X10+75X0.03X10+85X0.02X10+95X0.005X10=73

(分).

(3)由频率分布直方图知数学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人

数依次为：

0.005X10X10=5,0.C4X10X100=40,

0.03X10X100=30,0.C2X10X100=20.

I4

由题中给出的比例关系知物理成绩在上述各分数段的人数依次为：5,40X-=20,30X一=

23

40,20X-25.

4

故物理成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10

9.2011年3月，日本发生了9.0级地宸，地震引发了海啸及核泄漏.某国际组织用分层抽

样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，

有关数据见表1(单位：人).核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随

机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2X2列联表(表2).

表1

相关人员数抽取人数

心理专家24X

核专家48y

地质专家726

表2

高度辐射轻微辐射合计

身体健康30A50

身体不健康B1060

合计CDE

（1）求研究小组的总人数：

（2）写出表2中A、B、C、I）、E的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的