第13讲 轴对称现象与探索轴对称的性质七年级数学下册同步讲义

第13讲轴对称现象与探索轴对称的性质

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趣:知识精讲

知识点（）1生活中的轴对称现象

（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形

关于这条直线对称，也称轴对称；这条宜线叫做对称轴.

（2）轴对称包含两层含义：

①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；

②对重合的方式有限制，只能是把它们沿•条直线对折后能够重合.

【知识拓展】（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击

球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

【即学即练1]（2021•商河县校级模拟）如果一个三角形是轴本称图形，且有一个内角是60°,那么这个

三角形是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.含30°角的直角三角形

【即学即练2】（2020•薛城区模拟）如图，在矩形A4CO中，八8=8,BC=4,一发光电子开始置于/IB边

的点尸处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边

时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°,当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与边的

碰撞次数是.

【即学即练3]（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，C'/九尸是一个长方形的台球面，有小B两球分别

位于图中所在位置，试问怎样撞击球A,才能使A先碰到台边/C反弹后再击中球8?在图中画出A球的运

动线路.

ED

知识点02轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一卜结论:

①如果两个图形的对应点的连线被同•条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称:

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这

两个图形的对称轴.

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【知识拓展1】（2021秋•思明区校级期末）如图，已知AD//BC,NABC=60°,BC=2AB=S,

点C关于4。的对称点为E,连接BE交A。于点立点G为。。的中点，连接£G、8G,则S^EG=（）

A.773B.14^3C.16D.32

【即学即练l】（2021秋•高邮市期末）如图，直线人8、C。相交于点O,P为这两条直线外一点，连接OP.点

P关于直线AB、CO的对称点分别是点P、P2.若OP=4,则点P、P2之间的距离可能是（）

A.0B.7C.9D.10

【即学即练2】（2021秋•普兰店区期末）如图，长方形ABCO中，点尸在边BC上，△%££）与△FEO关于

直线OE对称，若NBFE=50°,则NAED=度.

【即学即练3】(2021秋•望城区期末)如图，△ABC和△A8E关于直线A8对称，△ABC和AAOC关于直

线AC对称，CO与4E交于点F,若N4BC=32°,NAC8=18°,则NCFE的度数为.

【知识拓展2】(2021秋•镇海区期末)【定义】如图1,OM平分/4O8,则称射线。氏Q4关于OM对称.

【理解题意】

(1)如图I,射线08,04关于OM对称且乙408=45°,则NAOM=度；

【应用实际】

(2)如图2,若NAOB=45°,。尸在NAOB内部，OP,OPi关于(用对称，OP,OP2关于。4对称，

求/PiOP2的度数；

(3)如图3,若/AO8=45°,。尸在NAO8外部，且0°VNAOPV45。，OP,OP关于04对称，

OP,OP2关于04对称，求NPOP2的度数；

【拓展提升】

(4)如图4,若N4OB=45°,OP,。尸1关于2403的089对称，ZA0P]=4ZB0P\,求NA0P(直

接写出答案).

P

图1图2图3图4

知识点03轴对称图形

（1）轴对称图形的概念:

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称

轴折叠时，互相重合；釉对称图形的对称釉可以是一条，也可以是多条甚至无数条.

（3）常见的轴对称图形:

等股三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

【知识拓展1]（2021秋•巴彦县期末）下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图

形的是（）

©©期D⑥

【即学即练1]（2021秋•微山县期末）下列图形是轴对称图形的是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.三角形D.四边形

【即学即练2】（2021秋•湖州期末）如图，在3X3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑,

使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【即学即练3】（2021秋•嘉鱼县期末）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，诗再将其中的

一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）.

图1图2图3

知识点04轴对称•最短路线问题

1、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到4、8的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确

作点关于某直线的对称点.

【知识拓展1】（2021秋•澄城县期末）如图，408=30°,NAOB内有一定点P,且QP=15,若在

OA.OB上分别有动点M、N,则△尸MN周长的最小侑是（）

A.5B.15C.20D.3（）

【即学即练1］（2021秋•钢城区期末）如图，高速公路的同一侧有A,8两城镇，它们到高速公路所在直线

MN的距离分别为AC=26〃，BD=4km,CO=8h〃.要在高速公路上C,。之间建一个出口P,使A,B两

城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）

B

A

A.SkmB.\（）kmC.12kmD.l（h/2^

【即学即练2】（2021秋•澄海区期末）如图，若NAO5=44°,P为NAOB内一定点，点M在。4上，点

N在08上，当的周长取最小值时，NMPN的度数为（）

【即学即练3】（2021秋•思明区校级期末）小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物

比它大，所以它搬得很辛苦.但是它不放弁，一直慢慢往回爬.一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住

食物来回转圈，小茗同学急的想帮它.于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐

角三角形，且NAC8=50。，边上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路

是从尸出发走到4C,再从AC走到8c最后回到家.假设M、N分别是AC和8C边上的动点，小茗同学

想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的△?/的周长最小时，NMPN的度_

数为.

【即学即练4］（2021秋•海沧区期末）如图，海上救援船要从A处到海岸/上的M处携带救援设备，再回

到海上C处对故障船实施救援，使得行驶的总路程AM+CM为最小.已知救援船和故障船到海岸/的最短

路径分别为4B和CQ,8。=20海里，乙4MB=60°,救援船的平均速度是25节（1节=1海里/小时），则

这艘救援船从A处最快到达故障船所在C处的时间为小时.

【知识拓展2】（2021秋•南昌县期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点人、B,在直线/上存在点P,使得小+P8的值最小.解法：如图I,作点八关于

直线/的对称点A,连接A'B,则A'3与直线/的交点即为P,且以+P4的最小值为A'B.

请利用上述模型解决下列问题；

（1）如图2,AABC•中，ZC=90°,X是AB的中点，尸是BC•边上的一动点，作出点产，使得加+PE

的值最小;

（2）如图3,NAO8=30°,仞、N分别为04、上一动点，若OP=5,求△PMN的周长的最小值.

知识点05翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折置问题）实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应

边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为X，

然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定

理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.

【知识拓展1】（2022•渝中区校级开学）如图，有一块直角三角形纸片，NC=90°,AC=8,BC=6,将

斜边人8翻折，使点8落在直角边AC的延长线上的点石处，折痕为人则8。为（）

A.2B.卫C.2D.4

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【即学即练1］（2021秋•宿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF、FG为折痕.若/埒汁

=30°，则.

【知识拓展2】（2021秋•河源期末）如图，在RtAABC中，ZACB=90a,AC=6,8c=8,将△ACS沿

CO折置，使点A恰好落在8C边上的点E处.

（1）求ABDE的周长；

（2）若/8=37°,求/CDE的度数.

【即学即练1】.（2021秋•斗门区期末）如图1,将长方形A3。的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A

落在点A'处，OC为折痕，则OC平分NAO4'.

（1）若N4OC=25°,求NA08的度数；

（2）若点。在线段上，角顶点B沿着折痕0。折叠落在点B'处，且点"在长方形内.

①如果点8,刚好在线段A'。上，如图2所示，求NC。。的度数；

②如果点8'不在线段A'。上，且/A，O8=40°,求NA0C+/8。。的度数.

【即学即练2］（2021秋♦德城区期末）同学们，我们己经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问

题:

（1）如图I,已知N40C,若将/AO。沿着射线OC翻折，射线QA落在。3处，则射线0c一定平分

ZAOB.

理由如下：因为N30C是由NAOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以N8OC=

所以射线是NAO8的平分线；

（2）如图2,将长方形纸片的一角折叠，使顶点4落在A'处，EF为折痕.

①若E4'恰好平分/庄求出//班的度数；

②过点E再将长方形的另一角N8做折叠，使点B落在的内部B'处（）不在射线E4'上），

E"为折痕，”为£77与射线BC的交点.请猜想/A'EF,/B'EH与NA'EB'三者的数量关系，并

一.解答题（共9小题）

1.（2017春•汉阳区期中）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于

这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形---------筝形.

定义：在四边形A8C。中，若A8=A。，BC=CD,我们把这样四边形ABC。称为筝形

性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：

从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是;

从边看：筝形有两组邻边分别相等；

从角看：；

从对角线看：.

判定：按要求用文字语言填写用应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明.

方法1：从边看：运用筝形的定义；

方法2：从对角线看：；

如图，四边形A3。中，.求证：四边形A3CD是筝形

应用：如图，探索筝形A8CQ的面积公式（直接写出结论）.

2.（2021秋•渭滨区期末）如图，在四边形A8CO中，ZBAD=ZB=ZC=90°,AD=BC=20,AB=DC

=16.将四边形A8CD沿直线A£折叠，使点。落在8。边上的点尸处.

（1）求8。的长.

r

3.（2021秋•济南期末）在数学实验课匕李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作:

cc

操作一：如图1,将RtZ\48C班片沿某条直线折叠，使斜边两个端点4与B重合，折痕为OE.

(1)如果AC=5c〃?，BC=lctn,可得△ACO的周长为；

(2)如果NC4O：NB4O=1：2,可得N8的度数为；

懊作二：如图2,李静拿出另一张RtZXABC纸片，将直角边AC沿直线CO折叠，使点4与点石重合,

若A8=10a〃，BC=Scin,请求出BE的长.

4.(2020秋•饶平县校级期末)如图，点P是/AO8外的一点，点Q是点P关于0A的对称点，点R是点

P关于08的对称点，直线QA分别交NAO8两边。4,03于点M,N,连接PM,PN,如果NPM0=

33°,NPNO=70°,求NQPN的度数.

5.(2020秋•含山县期末)如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A'处，8C为折痕

（1）图①中，若Nl=30°,求NA'8。的度数；

（2）如果又将活页的另一角能折过去，使8。边与84'重合，折痕为8E,如图②所示，ZI=30°,

求N2以及NC8E的度数；

（3）如果在图②中改变N1的大小，则84'的位置也随之改变，那么问题（2）中NC8E的大小是否改

6.（2021春•章贡区期末）如图，C为线段8。上的一个动点，分别过点用/）作ED1BD,连接

AC,EC.已知A8=5,DE=1,BD=8,设CO=x.

（1）用含文的代数式表示AC+C£的长：

（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值.

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式厅（12-x）2+9的最小值・

E

7.（2021秋•义乌市期中）如图，A、8两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离47=10千米,BD=30

千米，且。0=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万

元.

(1)请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最少.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)最低费用为多少?

B

D

8.(202。•济宁模拟)准备一张矩形纸片，按如图操作:

将aABE沿8E翻折，使点4落在对角线上的M点，将ACO尸沿。尸翻折，使点。落在对角线8。

上的N点.

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形;

(2)若四边形是菱形，BE=2,求菱形的面积.

BB

9.(2019春•江阴市期中)直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线。。上运动，点4在射线。何上

运动，如图1,己知AC、8。分别是N8AP和NA8M角的平分线，

(1)点A、8在运动的过程中，N4CB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，

试求出NACB的大小.

(2)如图2,将△ABC沿直线A8折叠，若点C落在直线PQ上，则N48O=；如图3,将△48C

沿直线折叠，若点C落在直线MN上，则乙480=；

(3)如图4,延长曲至G,已知NBA。、/Q4G的角平分线与N8OQ的角平分线及其延长线交于E、

F,则NE4F=；在44炉中，如果有一个角是另一个角的3倍，求NABO的度

rfi分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共14小题）

1.（2021秋•公安县期末）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）

A.B.

C.

2.（2021秋•海曙区期末）下列匹个数学符号中，是轴对称图形的是（）

A.金B.六C.±D.>

若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击

CD.点D

4.（2019秋•桐梓县期末）在汉字“生活中的日常用品”中,成轴对称的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.（2021秋•五常市期末）如图，NMON内有一点P,尸点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对

称点是，，G"分别交OM、ON于A、B点,若NMON=35°,则NGO〃=（）

N

A.60°B.70°C.80°D.90°

6.（2021秋•迁安市期末）如图，将长方形纸片沿MP和NP折叠，使线段PB,和PC重合，则下列结论正确

()

①NBPB'=2"PC

2

②ZBPM+ZB'PM=90°

③NBPM+NNPC=90°

®ZWF/W=90°

⑤N8PM+NNPC=90°

A.①②③B.③@⑤C.②③④D.&@

7.（2021秋•鲤城区校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则NEBD的度

C.100°D.110°

8.（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点尸在线段BC上，EF、G尸为两条折痕，若/

EFG=a,则NB尸C的度数是（）

A.a-45°B.2a-90°C.900-aD.180°-2a

9.（2021秋•滦州市期末）某市计划在公路/旁修建一个飞机场M,现有如下四种方案，则机场M到A,B

两个城市之间的距离之和最短的是（）

10.（2021秋•余杭区期中）下列图形不一定是轴对称图形的是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.线段D.圆

11.（2021春•东坡区校级期末）如图1,uABCQ的对角线交于点O,u/WCO的面积为120,A7）=20.将

△40。、△COB合并（A与C、。与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ=（)

12.（2021秋•应城市期末）如图,/M0N=50°,尸为NMON内一点,0M上有点4,ON上有点、B,当

△以B的周长取最小值时，N4PA的度数为（）

A.60°B.70°C.800D.100

13.（2021秋•博白县期末）如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A'处，"为折痕，若EA'

恰好平分/2£8,则NFE8的度数为（）

A.60°B.12U0C.13。°D.100°

14.（2021秋•平舆县期末）如图，牧童在A处放牛，其家在8处，A、A到河岸CO的距离分别为AC、BD,

且AC=BD,若人至IJ河岸CD的中点的距离为500/n.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家

所走的最短路程为（）

—£_______2—

AB

A.500/z?B.1000/7/C.15OO//7D.2000〃？

二.填空题（共2小题）

15.（2021秋•浦东新区期末）如图，长方形4BC。中，长BC=a,宽AB=b,（b<a<2b）,四边形ABEH

和四边形都是正方形.当。、〃满足的等量关系是时，图形是一个轴对称图形.

A_____________HJ）

F

16.（2021秋•思明区校级期末）如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口8到河的距离BF

为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步

道（如图：C在。左侧），游览路线定为A-C-O-B,问步道入口C应建在距离E米处，才能

使游览路线最短.

三.解答题（共10小题）

17.（2019秋•石景山区期末）如图，在4义4的正方形网格中，有5个黑色小正方形.

（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4X4的正方形网格图形是轴对称图形.如：将8

号小正方形移至14号；你的另一种做法是将号小正方形移至号（填写标号即可）；

（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正

方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）.

18.（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形.

（图1）（图2）（S3）

19.（2015秋•相城区期中）画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格,

正多边形的

对称轴的条

根据上表，猜想正〃边形有条对称轴.

20.（2014秋•兴化市校级月考）请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后设计一个恰当的图

,H228H5d6

21.（2021秋•温岭市期末）如图，。是RtA48C斜边8c上的一点，连接人。，将△ACQ沿AQ翻折得△

AFD.恰有8c.

（1）若NC=35°,ZBAF=：

（2）试判断△A8。的形状，并说明理由.

22.（2021春•龙口市月考）如图，直线。〃心点4,O在直线人上，射线交直线。于点8,CQ_L。于

点C,交射线43于点£48=15"?,BE：AE=\：2,P为射线A3上一动点，。从A点出发沿射线44

方向运动，速度为此“?/$,设点尸运动时间为f,M为直线。上一定点，连接PC,PD.

（1）当时，PC+尸。有最小值，求〃?的值：

（2）当（5为（1）中的取值）时，探究NPCM、NPZM与NCPD的关系，并说明理由；

（3）当Am（机为（1）中的取值）时，直接写出/尸CM、NPDA与NCPD的关系.

b

DA

23.（2022•碑林区校级开学）如图，有一直角三角形纸片，两直角边48=6。??，AC=Scm,现将直角边A8

沿直线8。进行对折，使点A刚好落在斜边8C上，且与4'B重合，求B。的长.

24.（2021秋•江源区期末）如图，把直角三角形放置在4X4方格纸上，三角形的顶点都在格点上.在方格

纸上用三种不同的方法画出与己知三角形成轴对称的三角形.（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，

不涂黑）

25.（2020秋•德惠市期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容.

如图①，RtZiABC的斜边AC比直角边八8长2o〃，另一直角边BC长为6C〃?,求AC的长.

（1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程.

（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边48上取一点。，连接C。，将△48C沿。。翻折，使点8的

对称点E落在边AC上.

①求4E的长.

②。石的长为.

26.（2021秋•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点8的直线折登这个三角形，使点。落在4/3

边的点E处，折痕为8D.

（1）若A8=10cm,BC=8c，n,AC=6cm,求△AEO的周长：

（2）若NC=100°,NA=70°,求/8OE的度数.

题组B能力提升练

一.选择题（共5小题）

1.（2020秋•仪征市期末）如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.等边三角形

2.（2021秋•讷河市期末）如图，NAO8=30°,点P在NAO/7的内部，点、C,。分别是点P关于04、0B

为对称点，连接CD交0A、08分别于点石，F；若△PE/的周长的为10,则线段0P=（）

C

A.8B.9C.10D.11

3.（2021秋•上杭县期末）如图，将一张长方形纸片ABC。沿对角线8力折叠后，点C落在点E处，连接

BE交AD于点F,再将三角形OEF沿。”折叠后，点E落在点G处，若QG刚好平分NAO从那么N

BOC的度数为（）

A.60°B.54°C.40°D.36°

4.（2021秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,4C=8cw,BC=6cm,点、D、E分别在AC、BC

边上.现将△QCE沿翻折，使点C落在点，处.连接AH,则A”长度的最小值为（）

5.（2021秋•西城区校级期中）如图，在5X6的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三

角形称为格点三角形.图中△八是一个格点三角形，在格纸范围内，与△ABC成轴对称的格点三角形

的个数为（）个.

A.8B.9C.10D.11

二.填空题（共7小题）

6.（2021秋•广陵区期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴.

7.（2020春•兰考县期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°,那么这个三角形是,

它有条对称轴.

8.（2017秋•邹城市期末）如图，N3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时,

必须保证N1的度数为.

9.（2016秋•玄武区期末）如图，一束光线从点。射出，照在经过A（1,0）、8（0,1）的镜面上的点D,

经48反射后，反射光线又照到竖立在），轴位置的镜面.，经），轴再反射的光线恰好通过点A,则点。的

坐标为.

10.（2021秋•西青区期末）如图，在一个三角形纸片A3c中，N4=90°,48=3,点。在边8c上，将

△A3。沿直线A。折叠，点3恰好落在4C边上的点E处.若AO=CQ,则AC的长是.

II.（2022•大渡口区模拟）如图，在△ABC中，点。在BC边上，BD=2CD,且NAOC=45，,将△ABC

沿AD折登，点C落在点。处.连接AC,若“。=10,则2C的长为.

BDC

12.（2021秋•双流区期末）如图：在长方形纸片A8C。的边4D上有一个动点E,连接8巴将AABE沿

8月边对折,使点4落在点尸处,连接4尺。尸.若八8=3,£：。=2,/4/。=90°,则线段8七的长为.

三.解答题（共6小题）

13.（2016春•桐柏县校级月考）如图，直线a_Lb,请你设计两个不同的轴对称图形，使心力都是它的对

称轴.

b

a

14.（2021秋•东阳市期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纭片从8C。对不同折法下的夹角大小进行了

探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点4落在A'处，EF为折痕,如图①所示.

（1）若NAE产=30°,

①求NA'EB的度数；

②又将它的另一个角也折过去，并使点8落在E4'上的"处，折痕为EG,如图②所示，求NFEG的

度数;

（2）若改变NAEb的大小，则E4'的位置也随之改变，则/rEG的大小是否改变？请说明理由.

15.（2021秋♦朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线八，储给出如下定义：将

图形G先沿直线八翻折得到图形G,再将图形3沿直线/2翻折得到图形G2,则称图形G2是图形G的

<11，/2>伴随图形.

例如：点。（2,1）的Vx轴，），轴,伴随图形是点（-2,-1）.

（1）点Q（・3,-2）的＜x轴，y轴〉伴随图形点Q'的坐标为:

（2）已知4（n1）,B（t-3,1）,C（63）,直线机经过点（1,1）.

①当f=-1,且直线机与），轴平行时，点A的Vx轴，〃》伴随图形点A'的坐标为；

②当直线，〃经过原点时，若△人8。的＜工轴，〃伴随图形二只存在两个与x轴的距离为1的点，直接

写出f的取值范围.

16.（2021•河南模拟）贾芳芳同学在研究矩形面积与矩形的边长x,y之间的关系时，得如表数据:

X…i23456•••

…9

y4.53m1.81.5•••

请依据表格解答下列问题：

（1）表格中的数据机=,），与x之间的函数关系式为;

（2）依据表格中的数据描绘出函数图象，并写出一条函数图象的性质；

（3）若函数图象上有一点P，过点P分别向x,），轴作垂线段，垂足分别为M、M若点。的横坐标为小

请问当〃为何值时四边形尸MON周长有最小值？（提示：〃2+户22"）

y4

91111Illi11

11111Illi11

------------1--------1--------L-+-----------1--------1----------4----------------1---------1

8I।I।।।I।iIllilai।।।।

_______1______I_______1______1_______1______I_______1______1______1_1

71111Illi11

1111Illi11

61111Illi11

1111Illi11

--------A-♦-----------1--------I---------+-T-----------1----------1

5I■I1।।I।IIlal।i।।।।1

_______1______1_______1______1_______1______1_1______1_______1_____1

41111Illi11

1111Illi11

31111Illi11

||||||||||

------------1-----------II1II111---------1

21111111111

■.............................................................................................................

11111111111

1111111111

17.（2021秋•富县期中）如图，已知四边形ABC。与四边形EFG”