大学线性代数复习题(48课时)

一⑴.选择题

1.设A,B为n阶矩阵，那么必有()

A.(A+B)2=A2+2AB-B~B.(A+5)(A-B)=A2-B2

C.(4—E)(A+E)=(A+E)(A—£)D.(AB)2=A2B2

2.对于〃元齐次线性方程组Ar=O,以下命题中，正确的选项是()

(A)假设A的列向量组线性无关，那么Ar=0有非零解；

(B)假设A的行向量组线性无关，那么Ar=0有非零解；

(C)假设A的行向量组线性相关，那么Ar=0有非零解

(D)假设A的列向量组线性相关，那么Ar=0有非零解；

2x}-x2+x3=0

3.假设齐次线性方程组,+攵毛-七=0有非零解，那么女必须满足()。

kX1十+X3=0

(A)k=4(B)k=-T(C)攵工-1且Zw4(D)%=-1或攵=4

4.假设存在可逆矩阵C,使8=。一弘。，那么人与夙)

(A)相等(B)相似(C)合同(D)可交换

5.向量组四,线性相关且秩为s,那么()

(A)r=5(B)r<5(C)s<r(D)s<r

6.矩阵A与8相似的充分条件是()。

(A)\^=\B\(B)r(A)=r(B)(C)A与8有相同的特征多项式

(D)〃阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。

一(2).选择题

1.设A,B为n阶矩阵，那么必有()

A.(A+B)2=T+2AB-B2B(A+B)(A-^)=A2-B2

C.(A-E\A+E)=(A+E)(A-E)D.(AB)2=A2B2

2、设有〃维向量组(I)：…,巴和(II)：囚,。2,…，4(可>r)，那么

().

(A)向量组(I)线性无关时，向量组(II)线性无关；

(B)向量组(I)线性相关时，向量组(II)线性相关；

(C)向量组(II)线性相关时，向量组(I)线性相关；

(D)向量组(II)线性无关时，向量组(I)线性相关.

3.设A是〃阶矩阵，。是〃阶零矩阵，且屁・反0,那么必有()

A.A=EB.A=-EC.D.|A|=1

4.向量组囚=(12-1,1)。2=(2,0/0),%=(0,—4,5,-2)的秩为2,那么，=()。

(A)3⑻-3(C)2(D)-2

5.矩阵A与B相似的充分条件是()。

(A)网=|w(B)r(A)=r(B)(C)A与5有相同的特征多项式

(D)九阶矩阵A与8有相同的特征值且n个特征值互不相同。

6..设〃?x〃矩阵4的秩等于〃，那么必有()。

(A)m=n(B)in<n(C)m>n(D)m>n

一⑶、选择题：

LB为可逆矩阵，那么｛[(夕了「丁=

(A)B(B)BT(C)Bx(D)(B-1)7

+x2+x3=0

2.假设齐次线性方程纽F+技2+当=0有非零解，那么入=()

$+Jr2+-0

A.1或一2B,一1或一2C.1或2。.一1或2.

3.A8均为〃阶方阵，且A(8-E)=0,那么()

(A)A=BA(B)|*二0或|B|二1(C)|A|=0或|B-E|=0

(D)A=0或8=石

4.设4是sx〃矩阵，那么齐次线性方程组/我=()有非零解的充要条件

().

A.A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关

C.A的行向量组线性相关D.A的列向量组线性相关

13-12

6812

5.设。=,那么A2+42+42+A42=()o

3912

6232

(A)1(B)-1(00(D)2

一⑷、选择题：

1.设〃阶矩阵A的行列式等于O,那么(公)•等于(),

2.设向量组A能由向量组B线性表示，那么().

(A)R(B)<R(A)(B)R(B)<R(A)(C)R(B)=R(A)(D)R(B)>R(A)

3.设〃阶矩阵A,B和C,那么以下说法正确的选项是().

(A)AB=AC那么B=C(8)4B=0,那么同=0或忸|=0

4.向量组％=(1,0,0),%=(0,1,0),%=(0,0,0),%=(1,1,0)的最大无关组为

()

(A)%,%(B)%,%，%©%，%①)

5.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是.

(A)矩阵A有n个特征值(B)矩阵A有n个线性无关的特征

向量

(C)矩阵A的行列式闾。0(D)矩阵A的特征方程没有重根

一(5)、单项选择题

a\\a\2〃133〃]]2^11~a\2"13

1、假设Cl21a,)。23=1,那么3。)[2。)]a„=()

〃31〃32〃333a3124|一。32。33

A、0B、3C、1D、-3

2、设A、B为〃阶方阵，/为〃阶单位阵，那么以下等式正确的选项是()

A、(A+B)2=A2+B2+2ABB,A2-B2=(X+B)(71-B)

C、A(A+8)=(A+8)AD、(4+/1=A?+2A+/

3、设机x〃矩阵A的秩等于〃，那么必有()0

m=nB>m<nC>m>nD、m>n

4、设4、3为〃阶方阵，那么以下说法正确的选项是()

A.假设A8=O,那么|4|=0或忸|=0B.假设AB=O,那么A=O或8=0

C.假设|A8|=0,那么A=O或3=OD.假设|A8|=0,那么A=O且8=0

13-12

、r6812

)o

5、设Z)=,那么A12+A22+A32+A42=(

3912

6232

A、1B、-1C、0D、2

6、向量组%，。2,。〃线性无关的充要条件是(：

A、任意区不为零向量

B、%，。2，,••，%中任两个向量的对应分量不成比例

C、%，。2,…,。〃中有局部向量线性无关

D、%,。2,…，。〃中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示

7、设/为〃阶方阵，且秩(力)=〃一1,句,当是非齐次方程组的两个不同的解向

量，那么/X=0的通解为()

A^ka、ka2C>k(a}-a2)D、k(a、+%)

8、R(a1,%,4)=2,7?(%,%,%)=3,那么()

A、%,%，由线性无关

B、线性相关

C^^能由巴，。3线性表示

D、a4能由线性表示

一⑹、

1+%2+q3+4

1、行列式。=12+〃。3+。）的值为1)

1+%2+%3+%

A、OB、1C、2D、3

2、设A、B、C为n阶方阵，那么以下说法正确的选项是()

A、假设45=0,那么同=0或忸|=0B、(A+B)2=A2+B2+2AB

C、（A+8）T=篦D、假设那么3=C

。20、「20

3、满足矩阵方程1-12X=10的矩阵X=(）

Job、02)

(20、勺23、1-47、

A、2B、-13C、014D、3-3

⑼<11>U-1°,J-5,

4、设矩阵A的秩等于〃，那么必有().

A、m-nm<nC、tn>nD^m>n

5、A8,C均为〃阶可逆矩阵，且A8C=/,那么以下结论必然成立的是().

A、BCA=IB、ACB=IC、BAC=ID、CBA=I

6、设A为〃阶方阵，R(A)=r<n,那么A的行向量中()

A、必有一个行向量线性无关

B、任意厂个行向量构成极大线性无关组

C、任意厂个行向量线性相关

D、任一行都可由其余广个行向量线性表示

7、设A为〃阶方阵，且〃(A)=〃一1,%,%是AX=0的两个不同解，那么a?一

定()

A、线性相关B、线性无关

C、不能相互线性表示D、有一个为零向量

8、设有〃维向量组(I)：•一,％和(II)：ava2^--,am(m>r),那么().

A、向量组(I)线性无关时，向量组(II)线性无关

B、向量组(I)线性相关时，向量组(II)线性相关

C、向量组(ID线性相关时，向量组(I)线性相关

D、向量组(II)线性无关时，向量组(I)线性相关

一⑺选择题

1.设A为〃阶方阵，那么正确的结论是()

(A)如果*=O,那么A=O(B)如果*=A,那么如=0或

(C)如果Aw0,那么|A|黄0(D)如果|A|工0,那么AwO

3-210、

2.设-34；=5那么(人必)=()

3yi)1-12；

(A)U,2)(B)(1,1)(C)[2,1)(D)[1,-1)

3.在矩阵4中增加一列而得到矩阵'设A、5的秩分别为心与，那么它们

之间的关系必为：()

(A)4=4(B)4二弓-1(C){WQ(D)rx>r2

4.A,8均为〃阶矩阵，且(A+8)(A—8)=A2-B2,那么必有()

(A)B=E(B)A=E(C)AB=BA(D)A=B

5.向量组A线性相关，那么在这个向量组中()

(A)必有一个零向量.

(B)必有两个向量成比例.

(C)必有一个向量是其余向量的线性组合.

(D)任一个向量是其余向量的线性组合.

6.设A为〃阶方阵，且秩R(4)=〃-1,〃],生是非齐次方程组Ar=人的两个不

同的解向量，那么Ar=0的通解为()

(A)左©+4)(B)k(a[-a2)(C)kax(D)ka2

一.(8)选择题

1.设武.….)表示排列的逆序数，那么7(51324)=()

(A)1(B)5(C)3(D)2

2.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且系数矩阵A

的秩等于3,臼=(1,2,3,4),，%+%=(。'1,2,3)7,(7表示任意常数,那么方程

组Ax=b

的通解()

3.向量组q,K，M,线性相关，那么［)

(A)该向量组的任何局部组必线性相关

(B)该向量组的任何局部组必线性无关

(C)该向量组的秩小于川

(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的

4.设有矩阵a〃x/,或“,C-那么以下运算可行的是()

(A)ABC(B)AVCB(C)ABC1(D)CBYA

5.〃阶矩阵A可对角化，那么()

(A)A的秩为〃(B)A必有几个不同的特征值

(C)4有n个线性无关的特征向量(D)4有n个两两正交的特征向量

(k11V3

6.假设有301k=6，那么攵等于

-"If

、°2■

(A)1(B)2(C)3(D)4

二⑴.填空题

"-211、

1.设矩阵4=0a0有一个特征值2=2,对应的特征向量为x=2，那么

1-413,8

数a=.

2..假设3阶方阵A的三个特征根分别是1,2,3那么方阵A的行列式|A卜

3.设矩阵:",:那么AB「=

,VzJLvzIA\Ji

1+2+%3+%

4.行列式。=14-a22+%3+生的值为

1+%2+%3+4

、

’1101

5.设矩阵A=0012，那么齐次线性方程组Ax=0的根底解系的向

、0000/

量个数为；

6.设向量组e=(1,3,6,2)1。2=(2,1,2,=线性相关,那么

a-

二(2).填空题

-211]T

1.设矩阵4=0a0有一个特征值4=2,对应的特征向量为x2，那么数

-41312

a=

2..假设n阶矩阵A有一个特征根为2。那么\A-2J\=

102、'30-1

3.设矩阵A二，B=，那么ABT

010,10

4.假设n阶矩阵A满足4—2A=4/,那么(/+4尸二

5.在5阶行列式中，项。21〃32“45。14。53的符号为

6.设向量组％=(1,3,6,2)7,%=(2,1,2,-1):%=(1，-1，。，-2)/线性相关，那么

a=

二(3)、填空题：

1.设A为三阶矩阵，4为其伴随矩阵，|4|=-1,那么父=

2.R(A+5)H(A)+R(B).

3.n阶矩阵A满足,称A为正交矩阵

4.假设a=(lk1)7与夕=(1-21),正交，那么攵=

(1一3、

5.矩阵A=的逆矩阵为______.

2)

二(4)、填空题：

1,(123)0=.

2.排列7623451的逆序数是.

3.假设A为mx〃矩阵，那么齐次线性方程组Ax=O有非零解的充分必要条件

是.

4.向量a=(—2,1,0,2)7的模(范数).

5.设A为3阶方阵，且|A|=2,那么A的伴随矩阵A*的行列式|二一・

二(5)、填空题

(2

1、矩阵满足R4=3+2石，且4=，那么B的行列式二.

1-12；

k20

2、设。=2k0=0当且仅当1＜二

453

3、假设4、3均为3阶矩阵，且固=2,忸|=3,那么13Az-3二

(ab\*

4、A=，且(ad—OcwO),那么A=

d)

5、设向量组%=(1,3,62)1%=(2,12—1)7,%=(1,—1,。,—2)/线性相关，那么a=

2%1-x2+x3=0

6、假设齐次线性方程组(玉+匕2-七=0有非零解，那么攵=

kx1+工2+工3=0

二(6)、填空题

1、在5阶行列式中,项32a45al4。53的符号为

2、/为〃阶单位矩阵，&为整数，那么R(A/)=

3、假设A、5均为〃阶矩阵，且同=2,4+48+2/=0,那么|人+可=

4、如果%，阳,。〃线性无关，且。〃+1不能由线性表示，那么

即。2「，。〃+1的线性

5、设％=(2,5)，,a2=(La),当a二时，%,%线性相关.

12-14

,-1030

6、行列式八—

-1200

1000

二(7).填空

(11、

1.4二，那么加。16=°

(01J

2.设4=2是可逆矩阵A的一个特征值，那么矩阵的一个特征值为。

」23、

3.设A=456,那么齐次线性方程组A户0的根底解系所含向量个数为

、333,

_____________O

4.设48均为4阶方阵，且网=2,忸|=—3那么卜4斤卜。

5.在五阶行列式中，项。12a31。54。43。25的符号应取(填正号或负号)。

6.8为可逆矩阵,那么｛[(尸)丁『二o

二(8)填空

1.设"，那么川二。

u-v

2.矩阵方程组4“x〃X=3有解的充分必要条件是一。

3.设向量组3:々也,L,乙能由向量组A:q,〃2，L线性表示，那么

R(a1M2,…，4)RS也,…也)。(填“二〃或"W〃或”2〃)

4.设A,8均为3阶方阵，且刈=2,恸=3,那么-2ArB-'=

5.设向量组％二(1,1,1),，%=(1,2,3),，%=(1,3"),线性无关，那么to6.

假设〃阶矩阵4有一个特征值是1,那么4+5A-3E有一个特征值

三(1).计算题

-10O-

1.设4=-130，求|(4E—A)，(4E—4),

542

1+A111

2.计算行列式Q=:〜」!

111+y1

111\-y

,010、(\-n

3.解矩阵方程AX+8=X，其中A=-I118=20

、一10-1,、5一3)

2$+x2-x3+x4=1

4.求线性方程组4x,-2X2-2X3+x4=2的解。

2x}+x2-x3-x4=1

।1-11、

5.设A=24-2A与对角形矩阵相似，A的特征值是2,2,y,

、-3-3x)

求x和y的值。

，1、，2、3“1

1345

6.给定向量组/=,%=，%=,%=

01a1

a4§

矩阵A=(%%%aj的秩为KG=2,求

(1)以,。的值；(2)向量组%,%,%，%的•个极大线性无关组;

(3)把其余向量用这个最大线性无关组表示出来.(6分)

三(2).计算题

02

1-102

1.计算A=

-12-10

2110

010、-n

2.解矩阵方程AX+8=X，其中A=-111B=2o

。-I<5

3.求以下矩阵的列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量用此极大无关

组线性表示

2x,+x2-x3+x4=1

4.求线性方程组14修-2%-2/+5=2的解。

2七+x2--x4=1

x2'-400、

5.设A=-2-2,B=°y0，人与B相似，求x和y的值。

61002

、37

2工］一%+3±=0

6.齐次线性方程组，％-3/+4七=0中，当Q为何值时有非零解，并求出

-%)+2X2+ax3=0

其通解。

三⑶、计算题

5、4、

1.x二，求X

3,27

x+〃b

2.求阶n行列式D二x+b

hX+C

10、

3.求矩阵A=-430的特征值和特征向量.

102,

(1+/1)%1+工2+工3=0，

4.设线性方程组h+(1+㈤々+七=3,问力取何值时，此方程组(1)有唯一

X1+工2+(1+几)工3=Z

解；(2)无解；(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解.

5.试求向量组

TTT

A:a1=(1,1,2,2),%=(021,5),a3=(2,0,3,-1),a4=(1,1,0,4)T的秩和该向

量组A的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示.

6.求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根底解系，并用

七一x2-x3+x4=0

根底解系表示方程的通解%1-x2+x3-3X4=1

1

2

2141

3-121

三(4)、计算题1.计算4阶行列式O=；。)

1232

5062

U2

13.求矩阵A=(3的特征值和特征向量.

2.求矩阵的逆A=1-1

-【一13」

J1

rrr

4.问a取什么值时向量组ai=(«,l,l),a2=(lA-l),«3=(1,-l,a).

1)线性相关，2)线性无关.

5.求下向量组的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最

大无关组线性表

⑶m⑶，3、

示.%=4,%=1,%=3,%=5.

<2jl0j[1)

a

%+Z=5

6.求方程组2玉+/+鼻+2%=1的全部解，并用齐次线性方程组的根底解

5x}+3X2+2X3+2X4=3

系表示出来.

111101­••1

-231210­••1

三（5）、1、2、Dn_=（主对角线为0,其余为1）

4914•♦••♦♦•

-8271811­••0

(11-P

3、判断矩阵4=21o是否可逆，并求其逆矩阵.

°，

72

4、设矩阵A=31,请讨论矩阵A的秩.

2

5、求向量组A:囚=（1，-1,2）＜。2=（向3,1）、53=（3,。,7）"%=(1-2,2)r,

%=（21,5）『的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.

—

X।x9+5x3—x4=1

马+x2-2x3+3x4=3

6、求非齐次线性方程组《的通解.

3X1-X2+8X3+X4=5

X1+3x2-9x3+7x4=5

三⑹、计算题

1+x111111

1\—x112-31-2

1、2、

1i+y14914

11i1一y8-271-8

12-r

3、判断矩阵4=31o是否可逆，假设可逆请求其逆矩阵.

102)

Q2-2、

4、矩阵A4t3的秩R（A）v3,请求，的值..

、3-11,

5、求向量组A：4=(-2,6207,%=(1,-2,-1,0Y,%=(240,2)

a4=(0,10,2,-2)r,的一个极人无关组，并将其余向量由它线性表示.

X1-X2+543-X4=-1

_X+3X=3的通解

6、求齐次线性方程组XI+X2234

3%一了2+8刍+工4=1

司+3X2-9X3+7X4=7

三(7).计算题

，33、

-rr

1.设4=，B=^AB-2Bo

271，

4124

1202

2.计算四阶行列式。=的值。

10520

0117

<25-6、

3.设X=，求矩阵X。

3/<2

<32、

4.求矩阵A=的特征值和特征向量。

[23；

T

5o求向量组%=(1,-2,3,T,2)Ia2=(3,-l,5,-3,-l),

%二(5,0,7,-5,-4>，%二⑵1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关

组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。

x1-x2+x3-x4=}

6o求非齐次线性方程组芭-w-“3+Z=0的通解，并求其对应的齐次

〔为—X,—2七+2%4=-2"

线性方程组的根底解系。

/

3]\(2,7

三(8)计算题1.设4=，B=,求忸4-例。

22J1-32)

10020

31450

2.计算五阶行列式A=60170

00010