第4讲 实数复习解析版

第4讲实数复习

模块一实数的分类与表示

知识精讲

1.实数的分类

正整数

自然数

整数零

有理数负整数

实数正分数

分数j可化为有限小数或无限循环小数

负分数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2.数轴的概念与画法.实数与数轴上的点——对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大

小的方法.

★数轴三要素：；

3.相反数\a,b互为相反数"斤0；

4.绝对值：⑷二；

5.倒数：明。互为倒数即：仍=1；

6.近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数，有效数

字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字；

7.科学计数法：N=x.

例题解析

例1.填空：

这些数中：*、一瓜一灰、班面>-0.3313>1.532533253332、9

有限小数有____________________________________________________；

无限小数有；

有理数有；

无理数有；

实数有；

小数有.

【难度】★

【解析】有限小数：3、一加、亚瓦5、9；无限小数：一君,-0.3313、1.532533253332...；

5

有理数：《、-瓦、班瓦5、-0.3313、9；无理数：、1.532533253332...;

实数：g、-百、-巫、Vi^、-O.33l3、1.532533253332、9；

4r-

小数：一、一G、-0.3313、1.532533253332.

5

【总结】小数不一定是分数，但分数一定是小数；V1024=4；有理数包含无限循环小数,

所以注意_0.3313也是有理数.

例2.请你辨别：

如图1是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形

图I

边长是有理数的正方形有个，边长是无理数的正方形有个.

【难度】★【答案】3、6.

【解析】vl2=l,22=4,32=9,.•有理数3个，无理数6个.

【总结】考直有理数与无理数的概念及运用.

例3.下列语句正确的是（）

A.3.78788788878888是无理数

B.无理数分正无理数、零、负无理数

C.无限小数不能化成分数

D.无限不循环小数是无理数

【难度】★【答案】D

【解析】A、3.78788788878888是有限小数，无理数是无限不循环小数，错；B、0是有理

数，错；C、无限循环小数可以化成分数，错；D、正确.

【总结】考查实数的基本概念及分类.

例4.填空：

（1）在实数中绝对值最小的数是，在负整数中绝对值最小的数是;

（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是；

（3）设实数W0,则a与它的倒数、相反数三个数的和等于,

三个数的积等于.

【难度】★【答案】（1）0、/；（2）正数；（3）/.

【解析】考查实数的基本概念及一些特征数，要熟记.

例5.填空：

实数a,〃在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2“0,a+b0,

~|Z/-u|0,化简12H—|u+Z/|—.

----••0---------

a0-b

【难度】★★【答案】<、>、<、-3a—b.

【解析】由图可知：a<0<b,且网>同，

-,-2a<0,a+b>0,-\b一。|=~（b-a）=a-b<0,2a|-|a+,=2a-a-b=3-67.

【总结】考查数轴的认识及含绝对值的化简.

例6.比较下列各式的大小:

(1)6一2与一名；(2)&与1.4.

3

【难度】★【答案】(1)>；(2)>.

【解析】.「Gal.732、&力1.414,

(1)AV3-2«-0.268,-0.471,/.>/3-2>--；(2)AV2«1.414>1.4.

33

【总结】本题主要考杳实数的比较大小，对于常见的无理数的近似值要熟记.

例7.指出下列近似数分别精确到哪T立，并回答有几个有效数字？

(1)98.765；(2)98.765万；(3)12.30亿；(4)1.23OOxlO2.

【难度】★★

【解析】(1)干分位，5个；(2)十位，5个；(3)百万位，4个；(4)百分位，5个.

【总结】本题主要考查有效数字及精确度的综合运用.

例8.当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球

运行，已知第一宇宙速度的公式是।『痫(米/秒)，第二宇宙速度的公式是-2=师(米/

秒)，其中所9.8米/秒，R=6.4xl()6米试求第一、第二宇宙速度(结果保留两个有效数字).

31

【难度】★★【答案】v,=7.9xl0m/s,v2=1.1x10in/s.

【解析】第一宇宙速度：M=V9.8X6.4X106=7.9X103mlS；

第二宇宙速度：匕=J2x9.8x6.4xIO”=1.1x10*in/s.

【总结】考查实数的基本运算在实际问题中的运用，注意对精确度的要求.

例9.。、/人c三个数在数轴上的点如图所示，化简：心-耳-|〃T|-卜+力|.

ac0b

【难度】★★【答案】-2c.

【解析】由图知a<c<0<〃,■'.l§^l=b-a-(c-a)-(c^b)=b-a-c+a-c-b=-2c.

【总结】考查数轴上的点的大小比较及绝对值的化简.

例10•点A、B在数轴上所对应的实数分别为|,26,点C也在数轴上，且C4为A8的三

分之一.求：从C之间的距离？

【难度】★★【答案】艺—4或241-8

【解析】因为/W的距离为2百-]=空心所以当。在人^之间时,灰?=袅8=口4a；

3339

当C在点4的左侧时，BC，A"、」''.

39

【总结】考查数轴上点两点间的距离的计算，注意分类讨论.

例11上瞰下列各式的大小：

(I)36和4&；(2)6+0和6+逐；(3)同一回和顾-/.

【难度】★★【答案】3)<；(2)<；(3)<.

【解析】(1)丁(3石『=27<32=卜夜『，「.3石<40；

(2)V(>/6+>/2)2=8+X/48<8+N/6O=(>/3+X/5)2,「・几十0<>/5十石；

(3)•・,(四-折)=(7^5+折如+麻),

3Z.(x/12O+x/77j2=197+2>/120x77,(回+、网2二+2,99x98,

而99x98>12()x77,

.,.V120-x/99-(x/58-V77)=(Vi20+V77)-(x/99+x/98)<0,

,

/.V120-799＜XJ98-X/77.

【总结】考查实数的比较大小，作差法和平方法是常用的方法.

例12已知5+X/FT的小数部分为a,5-V11的小数部分为〃，求：

(1)〃的值；(2)。一方的值.

【难度】★★★【答案】(1)1；(2)2旧-7.

【解析】3＜而＜4,.,«=5+而-8=而-3,〃=5-而-1=4-而

：.a+b=y/T\-3+4-y/n=\；。-。=拒-3-4+而=2而-7.

【总结】考查实数的运算及无理数的整数部分和小数部分的确定.

例13.当a=2&时，求：

1+1+1+1

(a-V2)(«-x/2-1)(a-s/2)(a-y/2+\)①一亚+l)(a-0+2)(a-6+2)(。-五+3)

【难度】★★★【答案】《.

【解析】原式二

-----1-------1-----1-------1-----------1------1-----------1----1------1-----------1----

a—5/2—1a—y/2a—\i2a—\/2+1a—\[2+1a—\/2+2a—y/2+2a—\[2+3

-11_1l-6+i3-及_8夜+4

右—右72+1一亍一^-

【总结】本题综合性较强，涉及到了二次根式的化简，教师选择性的讲解，解题方法见类似

”分数的裂项”思想进行化简.

例14.化简下列各式：

(1)|75-3|+|75+〃[；(2)|3-x|+|x-4|.

【难度】★★★

【答案】(1)3+优；(2)见解析.

【解析】(I)原式=3-&+石+。2=3+/；

(2)当x"时，原式=X-3+工-4=2工-7；当3<x<4时，原式=x-3+4-x=l；

当x<3时,原式=3-x+4-x=7-2_r.

【总结】考查利用"零点分段发"化简含绝对值的代数5c,注意要分类讨论.

模块二：数的平方根、立方根及分数指数累

知识精讲

1.平方根，若Y=a,则数x叫做正数a的平方根记作.V=±6—；

2.立方根:若x3=a，贝I]数x叫做数4的立方根记作x=3\[a；

3.N次方根：实数a的奇数方根有且只有一个，用后表示；

★实数。的偶数方根有两个，为右、-右，其中。>0；

负数的偶次方根不存在；

零的〃次方根等于零，Vo=o；

1上、，士

4.痂=/（色0）—(==an(a>0),其中加、n为正整数,n>1.

例题解析

例1.判断题:

（1）-0.01是0.1的平方根.（）（2）—52的平方根为一5.（）

（3）0和负数没有平方根.（）（4）因为的平方根是土」,所以且=±4.（）

164V164

（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）

【难度】★【答案】（l）x；（2）x;（3）x;（4）x;（5）V.

【解析】（2）-52=-25<0,负数没有平方根,x;

（3）0的平方根是0,x;

出;1表示的是5的算术平方根

【总结】考查平方根的概念及其性质.

例2.判断题：

（I）如果是〃的三次第，那么〃的立方根是4；（）

（2）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数；（）

（3）负数没有立方根；（）

（4）如果。是〃的立方根，那么出空0.（）

【难度】★

【答案】（1）V；（2）x;（3）x;（4）V.

【解析】（1）正确；（2）任何正数都只有一个立方根，错；（3）负数有立方根，错；

(4)一个数的立方根与它具有相同的正负形，对.

【总结】考查立方根的概念及性质.

例3.若片=(-5)2,相=例)3,则a+b的值为()

A.0B.±10C.0或10D.0或一10

【难度】★★【答案】D

【解析】•/«2=(-5)2=25,."=±5,〃=(-5丫,：.b=-5,...a+b=T0或0.

【总结】考查平方根及立方根的基本概念及性质.

例4.下列说法中，正确的是()

A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是7,0,1

【难度】★★【答案】D

【解析】A、负数没有平方根，错；B、0的立方根是0,错；C、负数有立方根，错.

【总结】考查平方根及立方根的性质的运用.

例5.将下列式子化成分数指数鬲的形式：

(1)Viooo；(2)+亨；(3)J-4/3；

(4)；(5)V-128.

【难度】★★

15,,179-

【答案】(1)10002；(2)(-尹；(3)(-o；(4)(左；(5)4

111

【解析】(I)10002=(100x10)2=10x!02；

(3)原式=；(4)-Jt-J&l=-(-即=(即；

IIJI］7

(5)V-128=(-128)3=(-2x64)^=(-2x43p=4x(-2)3=-22x2^=-2^.

【总结】本题主要考查分数指数幕与根式的互化，注意计算过程中的恒等变形.

例6.(1)若屈I有意义，则x范围是________；

(2)如果4Vo,那么4^-，()2=

【难度】★★【答案】(1),r^-1；(2)--F.

［解析］(!)"->42x+1有意义,.'.2x+l>0,x>—；；

2

(2)\a<0f/.y/a^=-a,(4-ci)=-a.

【总结】考查平方根的意义及性质的运用.

例7.用“v”、">”或号填空：

(1)V14___而：(2)V10D___后；

(3)-反___</-0.07；(4)-x/26____77128.

【难度】★★【答案】(1)<；(2)>；(3)<；(4)<.

【解析】(1)-.(>/14)6=2744<3136=(^56)6,/.714<^56；

(2)v(Vioo)6=i(x)(x)>926i=(x/2T)6,/.Vioo>72i；

(3),・,卜妮了=0.008>0.0049=(：-0.07『,底<*-0.07；

(4)•・,卜后丁=17576〉16384=(028『,/.-x/26<V-128.

【总结】考查立方根与平方根的大小比较，注意方法的总结.

例8.解答：

(1)Jx+3y+l+|2i-)，-5|=0,求x和)，的值；

(2)已知&〃+已+忙-10|=0,求a+b的值.

【难度】★★【答案】(I)x=2,)，=-1；(2)屈一5或-痴-5.

【解析】(I)由题意知：x+3y+I=0且2x-y-5=0,.'.x=2,y=-l；

(2)由题意知：2"+/=0且"10=0,=/?=±Vio=±x/io,

.'.a+b=—5±\/id.

【总结】考查非负数的和为零的基本模型的运用.

例9.(1)已知6+2和我分别是某整数的平方根，求这个整数；

(2)已知77+64-27|=0,求3-的立方根.

【难度】★★★【答案】(1)1；(2)-7.

【解析】(1)由题意，得：存后+户0,户-1,••.这个整数是1；

(2)由题意，得：不+64=0,力-27=。,「.a=Y,〃=3,

.••而一”=a-4-3)3=-7.

【总结】考查正数的平方根互为相反数的运用及非负数的和为零的基本模型的计算.

例1。.解答：

(1)已知：710404=102,五=0.102,求x的值；

(2)已知：V18=2.621,</L8=1.216,</0J8=0.565,求％800000()的值.

【难度】★★★【答案】(1)0.010404；(2)262.1.

【解析】(I),.0.102=102x10-3,/.x=10404xl06=0.0l(34()4；

(2)^/l8000000=^18x^/1000000=2.621x100=262.1.

【总结】本题主要考直根据已知条件进行求值，主要是总结根号里面的数的小数点移动位数

与相应的结果的小数点移动位数间的关系.

模块三：混合运算

知识精讲

实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同

一级运算应从左至右，按III页序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行.

例题解析

例1.计算：

(1)我+加+病；(2)x/27-V12+>/75；(3)2x/3+V27-J1

【难度】★

【答案】(1)9夜；(2)6x/3；(3).

【解析】(1)原式=2&+3拒+4夜=9拒；(2)原式=36-26+56=6后；

(3)原式=2百+36-9二£石.

【总结】考查实数的运算.

例2.计算：

⑴卜+$；(2).4屈+42+

(3)2弧1％(［回)；(4)五+l+-娓)+瓜.

V3

【难度】★★【答案】(1)苫；(2)~x/6；(3)10；(4)4.

43

【解析】(I)原式=口黑高；(2)原式二乎-24-42、骼=一犷；

(3)原式=8+1+1=10；(4)原式=&+1+3-3拒+2立=4.

【总结】考查实数的运算，注意法则的准确运用.

例3.计算：

（1）l--78+|l-x/2|；（2）-32-（--r3-|l-^|+>/27.

42

【难度】★★【答案】（I）岑；（2）2右.

【解析】（1）原式二1-专+应-1=等；（2）原式=-9+8-石+1+36=26.

【总结】考查实数的运算，包含了整数指数幕的运算及其绝对值的化简.

例4.计算：（1）-1.5§.（-扣-J万3（2）一Q吟丁!卓O1.

【难度】★★【答案】3）-3；（2）.

•12

【解析】（1）原式=-§）1-弓）-27；276139下27539

x---=-x------=----

2（24）222

o_122-2-9-2

（2）原式=—［（'）2J4X（-）4=-（-）4x（-r=--.

【总结】本题主要考查有理数指数幕的运算，注意性质的准确运用.

例5.计算：

（，）需斤匹・品-（2）舄一段（北】）.

【难度】★★★【答案】（I）之£而;（2）0.

【解析】（I）原式=2,•.3f），3.；

3xy6y3

原式:,JT_x/x-lxJ/+1+工Vx3-17X3-1

=0.

x2+x+Ix2+1+x厂+X+1X-+X+1

【总结】本题综合性较强，主要考查含有字母的根式的化简，教师可以选择性的讲解.

例6.先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简,只要我们找到两个数/1使a+Z?=〃7,ab=n，使得

(y/a)~+(\fb)2=m,4a-4b=4n,那么便有：

\]m±2\fn=±yfb}2=\[a±4b(a>b)

例如：化简，7+46

解：首先把a+4退化为&+2至,这里〃?=7,〃=12,由于4+3=7,4x3=12

即(")2+(6)2=7,"xJJ=回

:.g+4石々7+2巫=J(4+G)2=2+6

(1)由上述例题的方法化简：V13-2V42；

(2)化简：①)1-46；②J59+24#.

【难度】★★★

【解析】(1)J13—2屈=J("一扃=币-瓜；

(2)①J11・4指="返一石)2=a-6=2五-6

②出9+24#J(布+夜J=a+夜=3指+4点

【总结】本题主要考查学生的阅读理解能力，根据题目中给出的方法，对平方根进行化简，

主要是利用完全平方的思想结合平方根的性质进行化简.

随堂检测

1.判断正误：

（1）有理数包括整数、分数和零；（）

（2）无理数都是开方开不尽的数；（）

（3）不带根号的数都是有理数；（）

（4）带根号的数都是无理数；（）

（5）无理数都是无限小数；（）

（6）无限小数都是无理数.（）

【蟠】★【答案】（1）x；（2）x;（3）x;（4）x;（5）V；（6）x.

【解析】（1）有理数包括整数和分数，零是整数，错；（2）无理数是无限不循环小数，错；

（3）乃没带根号，是无理数，错；（4）"是有理数，错；

（5）无理数是无限不循环小数所以无理数是无限小数，对；

（6）无限循环小数是有理数，错.

【总结】考查实数的相关概念，注意进行正确的辨析.

2.写出下列数字精确到哪T立，有效数字有几个?分别是什么？

1.723x10?R.3IX10-4200CD2.10000

【难度】★

【解析】万位、4个；百万分位、3个；个位、5个；干分位、6个.

【总结】考查对有效数字及精确度的理解.

3.Q、氏C三个数在数轴上的点如图所示，则，9一匕)2—『一(7|—归+。|=

IIII,

ac0h

A.-2cB.2a-2cC.0D.2a-2b

【答案】A

【分析】根据数轴可知aVcVOV/?,⑷>|力|>同，原式可化简为・(a-b)-(c-a)-

Cc+b),去括号后合并同类项即可.

【详解】：根据数轴可.知：a<c<O<bf间>也|>期，，原式-臼-14-c|-|c+臼

=-Ca-b)-(c-a)-(c+b)

=-a+b-c+a-c-b

=-2c.

故选A.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简.数轴，绝对•值，整式的化简的应用，关键是

能把原式得出・(。・/力-(c-a)-(c+b).

4.如果。=病，力是近的整数部分，那么6力=.

【答案】12

【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计

算有理数的乘法即可.

【详解】67=736=6,4<7<9,<曲,即2<方<3

•.•正的整数部分是2,即〃=2

则，心=6x2=12,故答案为：12.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的

值是解题关键.

5.若"I的小数部分为。，整数部分为b,则+力的值为.

【答案】5

【分析】根据3〈加<4,可得〃、〃的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答

案.

【详解】解：V9<14<16*/.3<714<4，6/=714-3，b=3,

：.«-(V14+Z>)=(>