第七章《随机变量及其分布》章末复习提升与检测（解析版）

第七章《随机变量及其分布》章末复习提升与检测

知识体系

d条件概率]-P(BIA)=4^

------------SI

-概率的乘法公式一

条件概率与PC4B）=P（A）P（8IA）

全概率公式

-全概率公式—P(B)=iP(A)P(B\A)

El

P（A,）P⑻A）_P（A）P（HIA）

匚"贝叶斯公式一P（A,I8）=,i=l,2,…，〃

P(B)±P(AJP(8IA)

r随机变量

离散型随机-（离散型随机变量］

一变状及其分-

布列-分布列的概念与性质

q两点分布

随

机

变公式：E(X)=X]Pi+X2P2+-••+”“=£/Pi

r均值1=1

录离散型随机性质:E(aX+b)=aE(X)+6

及变量的数字-

222

其特征r公式:O(X)=G]-E(X))PI+(X2-E(X))p2+•--+(x„-E(X))2p产x(x,-E(X))p,

匚方差2

分1性质:D(aX+b)=aD(X)

布

「〃重伯努利试验

「[二项分布卜-X-B(n,p),P(X=k)=C„kp\l-p)n-*,A=0J,2,•••,n

JE(X)=np.D(X)=np(1-p)

一项分布与

超几何分布

「P(X=k)=-："c：",k=m,ni+1,，〃+2,,,,,r.其中〃,N,MEN',MWN、nWN,

-------------------"

超几何分布-w=max{0,n-N+M],r=niin{n,M}

、E(X)=^=〃p

r~正态密度曲线及其特点

匚（正态分布卜~

J正态分布的3。原则）

能力整合

一,条件概率与全概率公式

PC4B)

1.求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间0,先计算P（A）和。（4砂，再利用「仍|A）=蛇）求解;

另一种是缩小样本空间，即以人为样本空间计算A3的概率.

2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.

[例1](1)(2023•甲卷(理))有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓

球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.().8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件4,报乒乓球俱

乐部为事件“，则尸(A)

707

由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60-70-40人,

4

-

八7

-

^iP(A8)5故选A.

7-

(2)某饮料厂生产A8两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60%,且这两种饮料中的

碳酸饮料的比例分别为20%,80%,若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为()

A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32

【答案】C

【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为40%x(l-20%)+60%x(l-80%)=0.44.

故选：C.

【解题技法】计算条件概率要注意以下三点

⑴明白是在谁的条件下，计算谁的概率.

(2)明确P(A),P(8|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化.

⑶理解全概率公式P(A)=£尸(由P(A网)中化整为零的计算思想.

尸1

【跟踪训练】

1.某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占20%,面包类食

品占80%,奶类饮品不合格的概率为0.02,面包类食品不合格的概率为0.01.现从该食品店随机抽检一件

商品，则该商品不合格的概率为()

A.0.03B.0.024C.0.012D.0.015

【答案】C

【解析】设事件A表示“抽到的荏品为奶类饮品〃，事件8表示“抽到的商品为面包类食品〃，

则P(A)=().2,P(8)=0.8,

设事件。表示“抽检的商品不合格〃,

则?(C|4)=O.O2,Q(C⑻=0.01,

所以P(c)=尸(A)P(c|A)+尸(B)P(Cb)=。2X0.02+0.8x0.01=0.012,

故选：C.

2.（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为—;已知第

一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为

【答案】B17

【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为8,第二次抽到A的事件为C,

贝I」尸(3C)=：4x33=1-!-,P(B4)1,

52512215213

P(BC)221-1

P(C|B)=

P(B)J_17

13

二、离散型随机变量的分布列、均值和方差

1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取

的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.

2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养.

角度1二项分布的均值、方差

【例2】某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相

互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为g.

（L）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率

不小于90%?

（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出

现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,

求该厂每月获利的均值.

【解】（1）设“机器出现故障设”为事件A,贝!!P（A）=§.

设出现故障的机器台数为X,则乂~8（4,1,

P(X=0)=C；x令4

Jo1

7

P(X=l)=C；x-x(-/=-

J.5o1

P(X=2)=C；X(1)2X(|)2=^

5JoI

(1根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20的人数;

(2)现从这40名学生中任取2名，设丫为取出的2名学生中健康上网天数超过20的人数，求y的分布列

及均值E(Y).

【解】(1)由图可知，健康上网天数未超过2()的频率为(0.01+0.02+().03+0.09)X5=0/5X5=0.75,所以

健康上网天数超过20的学生人数是40X(1-0.75)=40X0.25=10.

(2)随机变量丫的所有可能取值为0,1,2,

且y服从超几何分布.

所以「(丫=。)=卷

P（Y—i）_CJo-13,

p（Y-2）-ci-52.

所以y的分布列为

Y012

2953

P

5213五

531

所以y的均值E(Y)=IXW+2X益=不

【解题技法】(1)关于二项分布的应用

把握二项分布的关键是理解随机试验中〃次、独立、重复这些字眼，即试验是多次进行，试验之间是相互

独立的，每次试验的概率是相同的，判定随机变量符合二项分布后结合相应的公式进行计算.

(2)关于超几何分布的应用

不放回取次品是超几何分布的典型试验，可以将取球、选队员等试验归入超几何分布问题，再利用其概率、

均值公式进行计算.

【跟踪训练】

1.2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中3:3战平，经过四轮点球大战阿根

廷队以总分7:5战胜法国队，第三次获得世界杯冠军.其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，

扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将

也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有g的可能性

扑不到球.若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为()

【答案】C

【解析】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为尸=:x：=」.

326

门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,4.

4-k

P(X=k)=Cx(£|5

Xk=0t1,2,3,4.

<6

i2

期望E(X)=4xz=z.

63

故选：C.

2.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能

通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X,则甲通过自主招生初试的概率为

E（X）=一

【答案】巳3

C；C：C：_43_ll

（解析】依题意,知甲能通过自主招生初试的概率为P（X=3）+P（X=4）=.由于X

C；C；71414

的可能取值为2,3,4,P（X=2）=*=S，te£（X）=2x-l+3xZ+4x-±=3.

^>>8■■I/1

三、正态分布及其应用

解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：

（1底意“3/原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.

（2底意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称

性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.

【例4】（1）（2021•新高考U）某物理量的测量结果服从正态分布N（10。?），则下列结论中不正确的是（

）

A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0・5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布N（IO..

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差人越小，则分布越集中，

对于A,。越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项

A正确；

对于8,测量结果大于10的概率为0.5,故选项8正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项。正

确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,10.3)分布在10附近

的区域，

故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项。错误.

故选：

(2)某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X〜N(1000,2500)(单位：个)，估计300天内

小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是()

(若随机变量x〜2(4十2),则尸("-CTWXW〃+b)《U.6827,〃X£〃+2。)土。.9345,

P(X/-3(T<X<〃+3o■卜0.9973)

A.236B.246C.270D.275

【答案】B

【解析】由题可知，〃=1000,a=50,

P(950MX«1100)hP(4—b«XM;/+2b)=P(〃一XV〃+2rr)x^^+^^=o.gig6.

所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是300x0.8186=245.58~246天.故选B.

【解题技法】利用正态曲线解决实际问题时常利用其对称性解题，并注意借助[〃一,〃+用,[4—2%〃

+2(7],|//-3(7,"+3司三个区间内的概率值求解，要注意正态曲线与频率分布直方图的结合.

【跟踪训练】

1.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从X〜N(1O5J52),成绩不低于120分为优秀，

依比估计优秀的学生人数约为()附：若4Ng),则

夕一b<自<〃+。)=0.6827,夕(一-2。<J〃+2。)=0.9545.

A.23B.46C.159D.317

【答案】C

【解析】由X~N(1()5,152),得〃=l()5,b=15,

则P（X2]20）=Q（XN〃+b）=l_P（〃_b：4v〃+b）=l_O；827=0.15865,

估计优秀的学生人数约为1000x0.15865;59.

故选：C

2.（2022•新高考II）已知随机变量X服从正态分布N（2”2）,且P（2<X,,2.5）=0.36,则P（X>2.5）=.

【答案】0.14.

【解析】.随机变量X服从正态分布N（2,4），

/.P（2<X,,2.5）+P（X>2.5）=0.5,

P（X>2.5）=0.5-0.36=0.14,

5^1章末检测■

（时间：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D.取到次品的概率

【答案】C

【解析】对于A,5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，BD也是

一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.

故选C

2.已知随机变量：服从二项分布J即P偌=2）等于（）

3I一1380

A.—B.------C.D.-----

16243243243

【答案】D

【解析】因为随机变量4服从二项分布4

所以P（J=2）=C：・RT・信丫=黑，故选D

3.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙〃，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨

的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为土

假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（）

【答案】A

【解析】因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为且每天是否下雨互不影响，所以该地区

黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为：2=嘤・（1-方+武僧|24，故选A

51〜[5,25

4.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

p0.10.20.10.30.10.2

则当P（X<〃）=0.7时，实数。的取值范围是（）

A.（-<»,2]B.[1,2]

C.（1,2]D.（1,2）

【答案】C

【解析】由随机变量X的分布列知：

P（X<-l）=0.1,P（X<0）=0.3,P（X<1）=0.4,P（X<2）=0.7,

则当P（X<〃）=0.7时，实数。的取值范围是（1,2],故选C.

5.已知随机变量；服从正态分布N（0"）,若夕归>2）=0.061,则P（-2K"0）等于（）

A.0.484B.0.439C.0.878D.0.939

【答案】B

【解析】因为尸（OWJW2）=尸（4>0）—2（4>2）=0.5-0.061=0.439,

所以2（一2«4式。）=P（0工442）=0.439,故选B.

6.若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=；,则D（X）=（）

A2B1C±D2

,93J93

【答案】A

2

【解析】由题意可知，P（X=1）=§,

22

贝！jE(X)=Oxg+lxg=g,te^(X)=(0-|)xl+(l-|)x|=±,故选A

7.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会〃

精神，举办“学两会，知国事〃知识竞赛.高二学生代表队由A,3,C,Dt£共5名成员组成，现从这5

名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生4被抽到的条件下，学生“也被抽到的概率为().

11_21

A.-B.-C.-D.-

3238

【答案】B

【解析】记事件A：学生A被抽到，事件小学生5被抽到，

所以P⑷系《「(叫(京’

3

-

130=g.故选B

5-

8.体育课的排球发球项目考试的规则是；每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则

一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为〃e(。，1),发球次数为X,若X的数学期望£(X)>1.75,

则P的取值范围是()

A.阉B.(制C.侬)D.(川

【答案】C

【解析】根据题意，学生一次发球成功的概率为P，即〃(x=n=〃，发球次数为2即二次发球成功的概

率为P(X=2)=(>“)〃，发球次数为3的概率为P(X=3)=(l-p)2,则期望

E(X)=p+2p(l-p)+3(1"=p?-3p+3,依题意有E(X)>1.75,

即p2-3p+3>1.75,解得或〃<；，结合P的实际意义，可得。<P<g，故选C.

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符

合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得。分)

9.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4.5.6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从

中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是()

A.X表示取出的最大号码

B.X表示取出的最小号码

C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分

D.X表示取出的黑球个数

【答案】CD

【解析】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错；

CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算

概率，即CD正确；

故选：CD.

10,设离散型随机变量X的分布列为：

X0i234

Pq0.40.10.20.2

若骑散型随机变量y满足y=2x+i,则下列结果正确的有（）

A.q=0.1B./XX）=1.8C.七（丫）=5D.&丫）=3.6

【答案】ABC

【解析】对A：由4+。.4+0.1+02+0.2=1,解得4=0.1,故A正确；

对B：E（X）=lx（）.4+2xO.l+3xO.2+4xO.2=2,

£＞|X）=0.IX（2-0）2+0.4X（1-2）：+0.1X（2-2）2+0.2X（3-2）2+0.2X（4-2）2=1.8,故B正确；

对C：E"）=2E（X）+l=2x2+l=5,故C正确；

对D：D（r）=4D（X）=4xl.8=7.2,故D错误.

故选：ABC.

11.下列关于随机变量X的说法正确的是（）

A.若X服从正态分布N（1.2）,则。（2X+2）=4

B.已知随机变量X服从二项分布3（2,〃），且P（XN1）=[,随机变量丫服从正态分布N（2,『），若

p（y〈o）=K,贝疗（2＜丫＜4）=4

23

4

C.若X服从超几何分布”（4,2,⑼，则期望E（X）=m

1Q

D.若X服从二项分布8（4,§）,则方差O（X）=§

【答案】BCD

【解析】对A,由于XN（l,2）,所以O（X）=后，根据方差的性质，D（2X+2）=22D（X）=4V2,故A

错误；

对B,X服从二项分布以2,〃），.•，（丫＞1）=。”=1）+。（丫=2）=金〃（1一〃）+〃2=2〃一〃2噂

解得〃=1

・•.P(y<0)=!，根据正态分布的对称性可得，p(2<r<4)=l故B正确；

63

z、4x24

对c,X服从超几何分布”(4210),根据超几何分布的期望公式，£(%)=-=-,故C正确；

对D,X服从二项分布根据二项分布方差公式得，O(X)=/?〃(l-〃)=4x|x：=J,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)

12,设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%,各厂的产品的次品率分别为4%、

2%、5%,现从中任取一件，则取到的次品的概率为.

【答案】3.5%

【解析】由题设，从中任取一件取到的次品的概率为45%x4%+35%x2%+20%x5%=±、=3.5%.

10000

13.已知随机变量X的分布列如表：

X-1012

Pmn

26

若凤X)=0,则。(3X—1)=.

【答案】12

【解析】vE(X)=0,/.E(X)=-1x—+0x—+1xzr?+2x«=―-+tn+2n=0(T),

262

又''+〃+”]=[②，

2o

1

m=—

联立①②得J

n=—

6

^fy.z)(x)=(-i-o)2x-!-+(o-o)2x-!-+(i-o)2x-!-+(2-o)2x-!-=i,

26663

则D(3X-1)=32XD(X)=12.

14.一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,现连续抛掷该正方体〃次，发现

落地后向上数字大于4的平均次数不小于3,则抛掷次数n的最小值为.

【答案】9

21

【解析】依题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为♦=

63

设K表示抛掷〃次，落地向上数字大于4的次数，则X/?(〃,；)，

因此石(x)=［亚3,解得〃之9,

所以抛掷次数〃的最小值为9.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

⑴恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在［040.6］内的概率.

【解析】(1)设A="抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则尸(A)=0.5,

设X表示事件4发生的次数，则X5(10.0.5).

则恰好出现5次正面朝上即X=5,

所以P(X=5)=C：oX()S°=%=色，

101024256

故恰好出现5次正面朝上的概率为袅.

256

(2)由Q)知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为/'(A)-0$,

重复抛掷10次正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内，即4WXW6.

所以尸(4WX46)=C：°x05。+Cox05。+C：。x0.5'°=^=^.

16.(本小题满分15分)作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大

精深的中华文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小

明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋于，其余的是三类棋手.小明与一、二、三类

棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5.

⑴从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；

(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.

【解析】(1)设4="小明与第i(i=l，2,3)类棋手相遇”，

根据题意产(4)=0.5,P(A2)=0.25,P(4)=0.25,

记5="小明获胜”,则有P(3|A)=0.3,P(5|4)=0.4,P(8|4)=0.5,

由全概率公式，

小明在比赛中获胜的概率为P(m=P(A)P(MA)+P(A2)P(〃M2)+P(A)P(A|AJ

=0.5X0.3+0.25X0.4+0.25x0.5=0.375,

所以小明获胜的概率为0.375.

（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为

/(A8)P(A)P(8|A)O.5XO.3

P(AIB)==0.4,

P(B)-P(B)0.375

即小明获胜，对手为一类棋手的概率为04

17.（本小题满分15分）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2

次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次.已知甲同学每次投中的

概率为g且每次是否投中相互独立.

⑴求甲同学通过测试的概率；

（2）若乙同学每次投中的概率为g且每次是否投中相互独立,设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮

训练的投篮次数之和为X,求X的分布列与均值.

【解析】（1）解：记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，

则P（A）=C>

（2）若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中,

所以，甲通过测试的概率为

同理可知，乙通过测试的概率为|21+纪心.（［二］=型

⑶323l3J27

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、20、40,

八3八、12010n/v171201

P(X=0)=-x—=—,P(X=20)=-x—+-x—=-,

'722727172272272

177

P(X=40)=-x—=—

722754

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X02040

1017

P

27254

«[E(X)=0x—+20xl+40x—=

v72725427

18.（本小题满分17分）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵"趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次

性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为

且猜中每道谜语与否互不影响.

（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；

⑵若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求〃的取值范围.

【解析】（1）设小张猜中谜语的道数为X,可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2,3,4.

有改=2）=等嗤4,P（X=3）=警嗡gP（X=4）=等嗤.

故小张猜中谜语道数的分布列为

X