安徽师范大学附属高二年级上册期中数学（文）试题

2019-2020学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学

（文）试题

一、单选题

1.若直线的倾斜角为二，则该直线的斜率为（）

4

A.—B.1C.--D.-1

22

【答案】D

【解析】直接根据公式上=lana计算.

【详解】

解：•••直线的倾斜角力」，

4

「•该直线的斜率为^=tan—=-1.

4

故选：D.

【点睛】

本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于简单题型.

2.若点（1M）到直线4一）叶1=0的距离是半，则实数。为（）

A.-1B.5C.一1或5D.-3或3

【答案】C

【解析】利用点到直线距离公式构造方程即可求得结果.

【详解】

由点到直线的距离公式可得：还,解得：。=一1或5

”V?2L2

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题.

3.若三直线4：av->+l=0,/2：x+）'=°」3：x-）'=l经过同一个点，贝iJ〃二（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】先求出直线〃与13的交点坐标，然后将•交点坐标代入直线人的方程后可求得

a=-3.

【详解】

x+y=0X~o

由《,，解得「

口一尸1尸」

L2

・♦・直线，2与4的交点坐标坐标为（；，—；）・

由题意得点（',-」）在直线4上，

22

・,・!〃+[+1=0,解得a=-3.

22

故选D.

【点睛】

本题考查直线的交点，考查计算能力和数形结合思想方法，解题时根据代数方法求解即

可，注意解析法的运用，属丁基础题.

4.如图，一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4万，则这个圆锥的体积为（）

【答案】C

【解析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体

积

【详解】

圆锥的展开图为扇形，半径R=4,侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积

^=-a/?2=?,解得々二工,所以弧长l=aR=2乃，所以底面周长为24，由此

22

可知底面半径r=l，所以底而面积为S=7t,体高为h=Jl?，故圆锥的体积

V=ls/z=—,故选G

33

【点睛】

本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓

住底面圆的周长为展开图的弧长。

5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

侧（左）视图

C.3D.4

【答案】C

【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定

理判断直角三角形的个数.

详解：由三视图可得四棱锥ABC。，在四楼锥尸-43CO中,

PD=2,AD=2,CD=2,AB=\,

由勾股定理可知：PA=2e,PC=20、PB=3、BC=E则在四棱锥中，直角三角

形有：△尸共三个，故选C.

点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还

原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行校长、表面积、

体积等相关问题的求解.

6.过点4（-1,2）作直线1,使它在两坐标轴上的截距相等，则直线1有（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【解析】由直线的截距式方.程的求法，设①当两截距为。时，②当两截距不为0时，求

解即可.

【详解】

解：①当两截距为0时，直线过原点，所求直线的方程为y=-2X,即2x+y=0,

②当两截距不为0时，可设所求的直线方程为一+上=1，由一+—=1,得4=1,即

aaaa

所求直线的方程为/+），-1=0.

综合①②得所求直线有2条，

故选B.

【点睛】

本题考查了直线的截距式方程，属中档题.

7.已知三棱锥中，PA尸8,PC两两垂直，且尸A=P8=PC=1,则三棱

锥尸-A3C外接球的表面积为（）

A.式B.辰C.24D.3万

【答案】D

【解析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案.

【详解】

三棱锥P—A8C中，两两垂直，则2rnJf+E+f=&

r—,S=4万产=3兀

2

答案为D

【点睛】

木题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键.

8.已知点42,—3）,5（-3,-2）,直线/过点且与线段A3交，则直线/的斜

率*的取值范闱为（）

A.kN?或kWYB.忆之之或女工一，

444

33

C.-4<k<-D.-<A:<4

44

【答案】A

【解析】求出尸AP3的斜率，观察过户且垂直于x轴的直线与线段43有交点，因此

可得结论.

【详解】

由题意怎八=三二=一4,勺加=二级=1,又直线工=1与线段AB有交点,

2—1—3—14

所以所求女的范围是kW-4或女21.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与线段相交问题，求出线段端点与定点连线的斜率，观察过定点且斜率不

存在的直线与线段是否相交特别重要，也可通过作图观察得出结论.

9.己知“、方为不重合的直线，〃为平面，下列命题:

(1)若a//b,a//a,则b//a\

(2)若a//a,bua.则a//bx

(3)若a上b,b//«,则“JLa；

(4)若a±«,bLa,则b/7a,

其中正确的有个（）

A.0B.1

【答案】A

【解析】由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案.

【详解】

(1)错，若a//b,a//a,则b//a或bua,

(2)错，若a//a,bc.a,则a与b平行或异面,

(3)错，若aA.b,b//a,则ala或a//a或相交,

(4)错，若〃_La,bLa,则b//a或bua.

故选：A.

【点睛】

属于基础题，考查直线与平面的位置关系，空间想象能力.

10.已知直线〃/+幻叶1=0和直线生工+幻，+1=0都过点4（2』卜则过点爪44）

和点打（生,4）的直线方程是（）

A.2x+y-1=。B.2x+y+l=0C.2x-y+l=0D.x+2y4-l=0

【答案】B

【解析】把A（2,1）坐标代入两条直线qx+4），+1=0和七工+4），+1=0得

2%+4+1=0,2%+4+1=0,求出2（4—%）=4-4，再用两点式方程求过点

《（q,4）,鸟（/也）的直线的方程.

【详解】

解：把A（2,l）坐标代入两条直线〃/+4），+1=0和。2%+4）'+1=°，得

2%+4+1=0,2%+8+1=0,

.,.2（^-a2）=b2-bx,

/.、/.\V-/?.x-a.

过点生,8）的直线的方程是：左7^=^^，

<^2D、a,

「.y一向=_2（x_q）,则2x+y-（2q+自）=0,

2%+"+1=0,/.2%+々=-1,

••・所求直线方程为：2x+y+l=0.

故选：B

【点睛】

本题考查直线方程的求法，解题时要结合题设条件，合理地选任解题方法,注意公式的灵

活运用，是基础题.

11.如图,正方体ABCD-AMR的梭长为1,动点E在线段AG上,广、M分别是AIK

CD的中点，则下列结论中错误的是（）

B.平面CG尸

C.存在点E,使得平面BEF〃平面CCRD

D.三棱锥8—C灯的体积为定值

【答案】C

【解析】根据平行，垂直关系，逐一分析选项，得到答案.

【详解】

解：在A中，因为F、M分别是AD、CD的中点，所以尸M//AC7/AC，故A正确;

在B中,F.M是底面正方形边的中点，由平面几何得•，又CG上底面A8CO，

所以CG_L8M,,所以BML平面CG广，故B正确:

在C中,BF与平面CCQQ有交点，所以不存在点E,使得平面BM//平面CG。。,故

C错误.

在D中,三棱锥8—CE/以面BCF为底，则高为上下底面的距离，所以三棱锥8

的体积为定值，故D正确.

故选C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考杳空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考杳

运算求解能力，是中档题.

12.如图所示，在梭长为1的正方体ABCD-AAGR中，点£/分别是棱8C,CC,

的中点，尸是侧面8CG片内一点，若47〃平面AE/L则线段A/长度的取值范围

【答案】B

【解析】分别取棱BBi、BCi的中点M、N,连接MN,易证平面AiMN〃平面AEF,

由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时AF最长，位于线段MN

中点处时最短，通过解直角三角形即可.

【详解】

如图所示：分别取棱BBi、BiCi的中点M、N,连接MN,连接BCi,

VM.N、E、F为所在棱的中点，，MN〃BG,EF〃BCi,

，MN〃EF,乂MN仁平面AEF,EFu平面AEF,，MN〃平面AEF：

VAAiANE,AAi=NE,二四边形AENAi为平行四边形，

，AiN〃AE,乂AiNC平面AEF,AEu平面AEF,・2的〃平面AEF,

又AiNCMN=N,，平面AiMN〃平面AEF,〈P是侧面BCGBi内一点，且AiP〃平

面AEF,

则P必在线段MN上，在RsAiBiM中，4幽L+4M2=

同理，在RsAiBN中，求得AN=好，♦二△AiMN为等腰三角形，

2

当P在MN中点O时AF1MN,此时AiP最短，P位于M、N处时A】P最长，

7⑷23叵后

40=河2—0疗=党-----=------9A।M-A|N——,

!\/\4/42

所以线段AF长度的取值范围是乎，当.

故选B.

【点睛】

本题考查点、线、面间位置关系的问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本

题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属于中档题.

二、填空题

13.过点A（2,3）且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为

【答案】x-2y+4=0

【解析】试题分析：直线2x+y-5=0的斜率为-2,所以所求直线斜率为-2,直线方程

为)，_3=_2(/_2),整理得x—2y+4=0

【考点】直线方程

14.底面边长6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为.

【答案】瓜

【解析】作出符合题意的图形P-A8C,取底面中心。，利用直角三角形POC容易得

解.

【详解】

如图，正三棱锥P-ABC中，O为底而中心，

•••侧面为等腰直角三角形，AC=6,

，PC=3人，

：・oc=*，

：・OP=d\8-Y2=A,

故答案为、同.

【点睛】

本题考查了正棱锥有关的计算;，考查计算能力，属于基础题.

15.已知动点A△分别在工轴和直线y=x上，C为定点(2.1),则A48C周长的最小

值为_______.

【答案】Vio

t解析】点C关干直线y=x的对称点为C'(1,2),点C关干x轴的对称点为C"(2,

-1).三角形PAB周长的最小值为C'(1,2)与C”(2,-1)两点之间的直线距离.

【详解】

点C关于直线y=x的对称点为C'(1,2),

点C关于x轴的对称点为C"(2,-1).三角形PAB周长的最小值为C'(1,2)与C"

(2,-1)两点之间的直线距离，

\CC（2,-I）|=7（2-l）2+（-l-2）2=Vio.

故答案为：府.

【点睛】

本题考杳点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转

化.

16.已知三棱锥S-A4C的所有顶点都在球。的球面上，MAC是边长为1的正三角

形，SC为球。的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为.

【答案】史

6

【解析】试题分析：根据题意作出图形：

设球心为0,过ABC三点的小圆的圆心为01,则_L平面ABC,

延长CQ交球于点D,则SD_L平而ABC.

・.・cq=|x¥=乎，/一冷2=乎,・••高SO=2OQ=半，

:△ABC是边长为1的正三角形，，，匕AE「二立x2巫=也.

M8C4s-w3436

【考点】棱锥的体积.

三、解答题

17.已知直线1,x+my+6=0,U(m—2)x+3y+2m=0.

1

(1)若1112,求m的值；

⑵若1”12,求m的值.

【答案】(1)m=；；(2)m=-1

【解析】(1)利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得lx(,//-2)+mx3=

0,由此求得利的值.

(2)利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得竽=二父萼，由此求得得加的

1m丁8

值.

【详解】

(1)二,直线八：x+〃iy+6=0,Z2：(nt-2)x+3y+2m=0,

由/山2,可得lx(m-2；+mx3=0,解得m=；.

(2)由题意可知m不等于0,

由h//h可得字=-^-,Wm=-1.

【点睛】

本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题.

18.如图，在四棱锥P-ABCI)中，底面ABCI)是正方形，A4_L底面A8C"且PA=AB.

(1)求证：BD_L平面PAC；

(2)求异面直线BC与PD所成的角.

【答案】(1)见解析;(2)45°.

【解析】【详解】

(1)VPA±平面A3CO.

8Ou平面A8C0,

S.PALBD,

又A8CD为正方形，.•.8Z)_LAC,

而尸AAC是平面PAC内的两条相交直线,

5OJ.平面PAC

(2)•；ABCD为正方形，：.BC〃AD,

.•.NPDA为异面宜线8C与AQ所成的角，

由已知可知，△PDA为直角三角形,乂%=A8,

rPA=AD,:.ZPDA=45°,

••・异面直线8c与AO所成的角为45°.

19.已知直线/：kx~y+\+2k=Q(k^R).

⑴证明：直线/过定点；

⑵若直线不经过第四象限，求A的取值范围；

(3)若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于从AAOB的面积为S(。为坐标原点),

求S的最小值并求此时直线,的方程.

【答案】(1)证明见解析；(2)(0,+8)；(3)4,x—2y+4=0.,

【解析】(1)将直线/的方程整理为斜截式的形式后，可知其过定点；(2)若直线不经过第

四象限，则其斜率与其在)轴上的截距均非负，此时可列出关于攵的不等式组，从而求

得人的取值范围；(3)根据直线的方程可求出点A与8的坐标，进而用含攵的式子表示

出“08的面积，利用均值不等式可求出△AO8的面积最小时k的值，从而得到

△408的面积的最小值与此时直线/的方程.

【详解】

(1)证明：直线/的方程可化为总+2)+(1—月=0,

x+2=0x=-2

令〈八解得〈

y=l

・••无论左取何值，直线总经过定点(-2,1).

(2汕方程知，当导0时直线在x轴上的截距为——，在,轴上的截距为1十2£,

要使宜线不经过第四象限，则必须有《k解得Q0：

1+22

当％=0时，直线为)，=1,符合题意，故女的取值范围是［0,4-00).

(3)由题意可知后0,再由/的方程,

,(1+28八

得A——;—,0,。(0,1I2k).

\k

3<o

依题意得《k解得心>0.

1+2攵＞0

1|1+2A|

-11+2^1

J.”』」］

2k2lk)

>—x(2x2+4)=4,

2

“=”成立的条件是《>0且依=：,

k

即％=',••・Smi”=4,

2

此时直线/的方程为A-2y+4=0.

【点睛】

本题主要考查的是直线方程的求法(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要

能够整理成过定点的直线系，即能够在出“动中有定(2)求解与直线方程有关的最值问

题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值，是中

档题.

20.如图，在直三棱柱ABC-AAG中，分别为棱4cAi用的中点，且A8=3C

(1)求证：平面3MN_L平面ACGA；

(2)求证：MN〃平面BCG4.

【答案】(1)见证明；(2)见证明

【解析】(1)先证明_L平面4CG8即证平面BMNJ_平面ACCiAi.Q)取8c的

中点P,连接&P和例证明MN||P旦，再证明MN〃平面BCGBi.

【详解】

(1)证明：因为M为棱4。的中点，且A3=3C,

所以8W_LAC,

因为ABC-A4G是直三棱柱，

所以AAJ.平面A8C,

因为yWu平面43C,

所以A、,

又因为AC，4Au平面4CC]A，且ACCA4=A,

所以8M_L平面ACGA，

因为5Mu平面BWN,

所以平面BMN±平面ACC】A.

(2)取3C的中点P,连接40和MP,

因为M、P为棱AC、4c的中点,

所以历尸||A8,且MP=(A8,

因为ABC—AAG是棱柱，

所以AS||A8，Aq=A8.

因为N为棱A片的中点，

所以片N||84,且AN=g84,

所以B】NI]PM,且用N=PM,

所以MN4P是平行四边形.

所以,

乂因为MNa平面BCC声,PB]u平面BCC4,

所以MN||平面3CC蜴.

【点睛】

本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水

平和空间想象转化能力.

21.如图，48CO是边长为3的正方形，上平面A8c0,A/_L平面ABC。，