北师大版数学拓展模块一年级上册册教案：第16课 余弦定理

第二单元2.4.2《余弦定理》教案

授课题目余弦定理

授课课时2课型讲授

知识与技能：掌握余弦定理，并会用余弦定理公式解题

教学

目

标过程与方法：培养图形结合的思想，准确计算能力以及抽象思维.

情感、态度与价值观：让学生透过严密的思维与准确计算获得成就感.

重点：余弦定理及其应用

教学

重难点难点：根据余弦定理解三角形

第1课时

教学活动学生活动设计思路

一、创设情境

一艘渔船触礁搁浅，发出了求救信号等待

救援，在附近的灯塔有人收到了求救信号，开

始联系附近船只进行救援，测量发现：渔船搁

浅于灯塔0处北偏东60。距离26海里的A处，

在灯塔南偏东45。距离36海里的B处有一艘海

感受生活情以紧急救

警船，现如何根据测得的数据，计算AB间的距景，思考、援为实例，

教学过程讨论解决问吸引学生

离?如果海警船速度为海里/小时，到达救

28题的方法注意力，激

援需要多长时间？起学生的

学习兴趣

上

二、自主探究

如图，在AABC中，作CD_LAB于点D,则

a2=CD2+BD2=b2-AD2+BD2

=b2+(BD+ADXBD-AD)

=b2+c・(80+4。―240)

=〃+c•(c-2AD)

=b2+c2-2c-AD

=b2+c2-2c-AD

=b2+c2-2bccosA

即a2=b24-c2-2bccosA.

根据老师设由教师主

计的提问问导，分析、

题、引导演演示、讲解

同理可得：示过程，理余弦定理

解公式的推推导过程

b2=a2+c2—2accosB；导过程

c2=a2+b2—2abcosC.

可以证明，对丁任意三角形上述结论都成立.

三、概念形成

三角形中任意一边的平方等于其余两边的

平方和减这两边与其夹角余弦乘积的两倍.

a2=b2+c2-2bccosA;

b2=a2+c2-2accosB；

c2=a2+d2-2abcosC.

这个结论称为余弦定理

引导学生观察定理公式的结构特征，辅助

学生记忆公式，并发现公式中共匹个变量，我们

可以知三求一，继而理解可以利用余弦定理解

三角形.

如何利用三角形三条边长直接求解三角形

内角的角度大小？

余弦定理经变形也可以写成

.b2+c2-a2

cosA=--------;

2bc

na2+c2-b2

cosB=-------------；

2ac

222

「a+b-c

cosC=--------.

2ab

总结：利用余弦定理解三角形，主要适用

于以下两种情形.

(1)已知三角形的两条边和它们的夹角，求

第三边和其余两个角；

观察、跟随由教师主

(2)已知三角形的三边，求三个角.老师例题计导，分析、

四、例题分析算演示过演示、讲解

程，了解利利用余弦

例1在AABC中，a=3*=8,。=60°,用余弦定理定理解三

解决问题的角形的具

求c.过程和方法体应用过

解c2=a2+b2—labcosC.程。

=32+82-2x3x8xcos60°

=49

・•・c=7.

例2在AABC中，a=3fb=/5,c=y/2,

(D求最大角的余弦值；

(2)判断三角形的形状.

解(1)由干Q>b>c,可得/A最大.根据

余弦定理变形公式可知，

22_2(/5)2+(V2)2-32710

cosA=-b-+-c---a-=-S---------=-----

2bcZXVSXA/Z10

(2)cosA<0,

A为钝角，

所以AABC为钝角三角形.

第2课时

教学活动学生活动设计思路

五、巩固练习

例3在AABC中，a=l,b=2,c="

(1)证明：三角形为钝角三角形；

(2)求三角形的最大内角.

解(1)由题可得c>b>a,可得NC最大，

根据余弦定理变形公式可知，

a2+b2-c2l2+22-fV7)21

cosC=---------------=---------------------=—

2bc2x1x22

学生分组

*.*cosC=--2<0讨论，根据

例题，模仿

・・为钝角，所以为钝角三角形.

•CAABC解题练习。例题练习，

老师巡视，加深学生

(2)cosC=--2

观察学生印象，巩固

教学过程：.C=120°讨论情况，新知。及时

并对学生了解学生

例4在AABC中，a=3,b=V2..C=45°,求的疑问及知识掌握

时给予提情况。有制

(角度精确到。)

c,A,B.0.1示，启发。对性的讲

解,:c2=a2+b2-2abcosC.同时注意解，答疑解

观察每一惑

=32+(V2)-2x3xV2xcos45°个学生对

知识点的

=5

理解状况.

/.c=

222

匚"iAb+c-aV10

所以cos4=------------=--------

2bc10

222

na+c-d2-/5

2ab5

所以Ax108.4°,Bx26.6°

备注：知道三角比，利用计算器求用.

操作：ISHIFll固||余弦值|目度数

例5在AABC中，求下列各三角形的未知元素(角

度精确到0.1。，数值精确到0.01)

(1)a=3,b=5,C=45°

(2)a=3,b=4,c=6.

答案：(1)c标3.58,4«36.5。,Bx98.5°

(2)A工26.4。,8x36.3。,。*117.3°

提示：根据余弦定理及知三求一的公式应用方法，

逐一求出未知儿素。

例6一艘渔船触礁搁浅，发出了求救信号等待救

解决情境

援，在附近的灯塔有人收到了求救信号，开始联系

实例中的

附近船只进行救援，测量发现：渔船搁浅于灯塔0