第4-5练-化解抽象函数快捷有效的几个途径-教师版

第4练化解抽象函数快捷有效的几个途径

■典例剖析

题型一与抽象函数有关的函数性质问题

例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“儿丫)为［0,1］上的增函数”是“/(X)

为Q4］上的减函数”的()

A.既不充分也不必要的条件

B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件

D.充要条件

破题切入点周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件.

答案D

解析①在R上是偶函数，

・・・/(x)的图象关于y轴对称.

•・・/(x)为［0,1］上的增函数，

・•・/«为【一L0］上的减函数.

又・・・(丫)的周期为2,

・・・/(x)为区间［—1+4,0+4］=［3,4］上的减函数.

②；/(x)为⑶4］上的减函数，且/(x)的周期为2,

・・・/(x)为上的减函数.

又・・/x)在R上是偶函数，

.\/(x)为［0,1］上的增函数.

由①②知"/(x)为［0,1］上的增函数”是'/X)为［3,4］上的减函数”的充要条件.

题型二与抽象函数有关的函数零点问题

例2设函数/(x)在R上满足人2—x)=/(2+x),/(7-x)=/(7+x),且在闭区间［0,刀上，只有/(I)

=/(3)=0,则方程=U在闭区间［-2011,2011］上的杈的个数为()

A.802B.803C.804D.805

破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识.

答案D

解析<7—x)=/(7+x)=/(2+(5+%))=<2—(5+x))=/(~3~x),

即火x+10)=/(x),所以函数的周期为10,

且对称轴为x=2,x=7,在。10］内，

<1)=/(3)=/(11)=/(13),

所以一个周期内只有2个零点，

在[0,2011]内2011=201X104-1有201X2+1=403个，

在[一2011,0]内一2011=201X(-10)-1,

有201个周期且/(一1)工0,此时有201X2=402个零点，合计805,故选D.

题型三与抽象函数有关的新概念问题

例3设I，是全体平面向量构成的集合.若映射/满足：

对任意向量4=3,州日,6=(X2,»)£匕以及任意2WR，均有41。+(1—m)=浜0+(1

一kS)，

则称映射/具有性质P，

现给出如下映射：

K-*R,f](tn)=x—y,in=(x,y)£P；

K-*R,f2(ni)=x2-\-y,m=(x,y)EV\

@fi：P~R,x+y—1,/«—(x,y)eV.

其中，具有性质P的映射的序号为.(写出所有具有性质P的映射的序号)

破题切入点准确把握性质产的含义.

答案①③

解析a=(xi,yi),b=(x2,及),而+(1—Qb=(届+(1—2坨，xyi+(I—A)_y2).

对于①，•・：/](⑼=x-y,

j[Xa+(1—A)b)=[4xi+(1—4)X2[一[Ayi+(1—Ryz]=2(xi—yi)+(1—%)(X2~yi)»

而A/(a)+(l—x)/(Z>)=z(xi-^i)+(1—2)(X2—j^2)»

・7/(布+(1—50=从〃)+(1

，①具有性质P.

对于②，/(〃i)=/+y,设。=(0,0),b=(l,2),建+(1—&b=(l一―2(1一切，曲+(1—2)b)

=(1-A)2+2(l-A)=A2-4；.+3,

而"(0+(1—7次。)

=z(02+0)+(1-A)(P4-2)=3(l-2),

又2是任意实数，

・•・/(筋+(1一力力)""(〃)+(1—刈/(b),

故②不具有性质P.

对于③，/(⑼=x+y+l,

j[/.a+(1—/.)b)=[Axi+(1—4)x2]+[Ayi+(1—l)y2]+1

=X(X1+j^i)4-(1—Z)(X2+^2)+I,

又？/(4)+(I—Nys)="xi+y+1)+(1—2)(X2+”+1)

="xi+pi)+(l—1)(X2+y2)+%+(l—A)

=%(xi+#)+(1-7)(x2+/］+1,

二加+(1一m)=少3)+(1—2)/®.

・•・③具有性质P.

综上，具有性质P的映射的序号为①③.

总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断

并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好昌数的性质.

(2)解答抽象图数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致

出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类

函数的关健是把握函数的性质以及赋值的方法.

1.设火x)为偶函数,对于任意的Q0,都有42+%)=一认2—办己知八—1)=4,那么兴一3)

等于()

A.2B.-2

C.8D.-8

答案D

解析；/(x)为偶函数，

・W)=/(T)=4,<-3)=/⑶,

当x=l时，火2+1)=(—2)犬2—1),

•V(3)=(-2)X4=-8,.\/(-3)=-8.

2.对于函数》=4丫)，x£R,叮=火工)|的图象关于y轴对称"是'？=/(x)是奇函数”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若函数y=/(x)是奇函数，则/(—x)=_/(x).此时l/(-x)l=|-/(x)l=l/(x)l，因此y=l/")|

是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y=)/(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y=/(x)

为奇函数，故‘？=火刈|的图象关于y轴对称”是“y=/(x)是奇函数”的必要而不充分条件.

3.函数./)=10gq+G+2)5WN"),定义：使火1)负2)•…%)为整数的数目又，N*)叫做企盼数,

则在区间［L10］内这样的企盼数共()

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案A

解析依题意有/(I)=log23,>/(2)=log341/(3)=Iogz5,…，必)=logA-i(A+2),则有

<1)贝2)/3)•…次l)=log2(A+2).令109(无+2)=%则k5f由左引1,10］得1W2m-2W10,

・・・3W2"W12,・・Z£N*,；.m=2,3,故所求的企盼数共有2个.

4.(2014・攀枝花模拟)定义在R上的偶函数/(x)满足/(2-x)=/(x),且在［-3,—2］上是减函

数，如夕是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是()

A./(sina)>y(cos/0B./(sina)</(cosP)

C./(cosa)<f(cosp)D./cosa)>/(cosp)

答案B

解析因为/(x)为R上的偶函数，所以/(—x)=/U),

又;(2—x)=/W，所以7(x+2)=/(2—a+2))=A—x)=/a),

所以函数«r)以2为周期，

因为<x)在［-3,一2］上是减函数,

所以/(X)在上也是减函数，

故;(x)在［0,1］上是增函数，

因为%夕是钝角三角形的两个锐角，

所以a+夕考，。考一夕，

则0<sina<sin^—=cos1,

故/(sina)</(cosfi),选B.

5.已知函数y=/(x)和y=g(x)的定义域及值域均为［—a,a］(常数a>0),其图象如图所示，则

方程7te(x))=o根的个数为()

A.2B.3C.5D.6

答案D

解析由Hx)的图象可知方程兀0=0有三个根，分别设为Xl,X2,不，因为./(g(x))=o,所以

g(x)=xi,g(x)=X2或虱r)=X3,因为一4<X|<«,g(x)£［—。，Q］，所以由g(x)的图象可知歹=X1

与y=©X)的图象有两个交点，即方程g(x)=x】有两个根，同理g(X)=X2，g(X)=X3各有两个根，

所以方程/(g(x))=0有6个根.

6.如图，偶函数/(X)的图象如字母M,奇函数式0的图象如字母N,若方程7(/(x))=0,J(g(x))

=0的实根个数分别为…，则加+〃=

答案12

解析由图象可知偶函数式4)的1•个零点是0,另外2•个零点分别在区间(一2,—1)与(1,2)中，

值域是［-1口；奇函数g(x)的1个零点是0,另外2个零点分别在区间(一1,0)与(0,1)中，值域

是［-2,2］.①只有当/)=0时，欣0)=0,故实根个数m=3.②存在3个实数x,使g(x)=0,

Xg(x))=0；存在3个实数x,使於)£(一2,一1。｛g(x))=0；存在3个实数x,使蛉)£(1,2),

/(g(x))=0，故实根个数〃=9.从而m4-n=12.

7.设)，=/(x)是定义在R上的偶函数，满足/(x+1)=—/(丫)，且在［-L0］上是增函数，给出下

列关于函数y=/⑴的判断：

①y=/(%)是周期函数；

②y=/(x)的图象关于直线1=1对称；

③y=/(x)在。1］上是增函数；

其中正确判断的序号是.

答案①②④

解析由/(x+l)=-/(X)可得/(x+2)=/(x),①正确；因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，可

知y=/U)的图象关于直线x=i对称，②正确；显然③错误；由1)=—/(—：)=—/&)

=/(；)得/(；)=0，④正确.

8.已知定义在区间(0,+8)上的函数/(X)满足心)=/(莺)—/(X2),且当x>l时，/(x)〈0.

人2

⑴求》)的值；

(2)判断段)的单调性;

(3)若<3)=—1,解不等式火|x|)v—2.

解(1)令阳=4>0,

代入得火1)=/3)一左2)=0,故./U)=o.

(2)任取XI、%2>(0,+°°).且不>X2,则亲L

•・•当X>1时，/(x)<0.

，/点）<0，即火内）一加2）<0，有外1）勺（X2）,

人2

故函数人外在区间（0,+8）上单调递减.

（3）由/（£）=/（力）一/（右），

人2

9

得/q）=/（9）—/（3）・

而火3）=-1,・・・H9）=_2.

・・・函数九0在区间（0,+8）上单调递减,

，原不等式为）团）饮9）.

・・・因>9,・,・/-9或x>9,

，不等式的解集为{x\x<-9或x>9}.

第5练寻图有道，破解有方——函数的图象问题

■典例剖析

题型一对函数图象的直接考查

例1(2013•四川)函数丁与三，■的图象大致是()

破题切入点从函数定义城入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值.

答案C

解析由3、-lW0得J函数的定义域为{x|xW0},可排除选项A；当x=-1

J1

f—113?64

时，y~~~y>0,可排除选项B；当x=2时，y=l,当x=4时，y=丽，但从选项D的

函数图象可以看出函数在(0,+8)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.

题型二对函数零点的考查

例2已知函数次x)满足当x£［L3］时，./«=1nx.若在区间［；,3］内，函数g(x)

=Ax)-cix与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,士)

「In31In3I

CE?D.［丁,工)

破题切入点求出人外在［；,3］上的解析式，数形结合解决.

答案C

解析由题意可知当x在区间［：,1］内时，)£［1,3］,,Xx)=A7)=ln：=-lnX,则/(x)=

—Inx,xG[1,

函数虱幻=/(x)—ax与x轴有三个不同的交点，即/(x)—at=0有三个

Jnx,x£[l,3],

不同的根，即/(x)=ax有三个不同的根，即函数/(x)的图象与直线y=ax有三个不同的交点，

当x在区间［；,1)上时，函数人工)的图象与直线y=or有一个交点，当x£［l,3］时，函数人刈

的图象与直线y=ov有两人交点.当直线过点(3,In3)时，。的值满足In3=3”，即a

=也3；当直线y=a丫与次乂)相切时，设切点为(xo,Inxo),则点(xo,Inxo)在直线上，故Inxo

=am而a=(lnx)'|=},所以lnxo=l,xo=e,即a=：=：,函数./W的图象与直线y

力AOv

=奴有三个不同的交点，则。的取值范围是［”宇，1).

题型三综合考查函数图象

例3已知函数{x)的图象与函数/7(X)=X+J+2的图象关于点力(0,1)对称.

人

(1)求道式)的解析式；

⑵若g(x)=/(x>x+ax,且g(x)在区间［0,2］上为减函数，求实数a的取值范围.

破题切入点(I)根据对称性求大丫)的解析术，考查函数图象的对称变换.

(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母。的取值范因.

解(1)・</(工)的图象与力⑴的图象关于点4(0,1)对称，设(丫)图象上任意一点坐标为8(.x,y),

(xr+x八

2=0，

其关于4(0,1)的对称点为S'(『，_/),贝K,

y-ry

I2j

.\x'=—x,

=2-y.

•・•夕(/,_/)在/©)上，・•”‘=/+-7-4-2.

X

,.2—y=-x-：+2,

，y=x+5，即Av)=x+=

人人

(2)*/g(x)=x2+ar+l,

又g(x)在［0,2］上为减函数，・•・一?22,即aW—4.

・・・a的取值范围为(-8,-4］.

总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊

值首先考虑坐标轴上的点.

(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数国象本身的含义及其表示的内容，熟

悉图象所能够表达的函数的性质.

(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透迂函数的图象要看到它所反映的函数

的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.

(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象

尽量准确.

i一f一-A|||一・|

1.(2017山东)函数^=犬85工+$111X的图象大致为()

答案D

解析函数尸xcosx+sinx为奇函数，排除B.取排除C；取x=兀，排除A,故选D.

2.（2017•课标全国I）

如图，圆。的半径为I,力是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线04终边为

射线。尸，过点P作直线0A的垂线，垂足为将点M到直线OP的距离表示成X的函数

答案B

解析

如图所示，当x£(0,5)时，则P(cosx,sinx),A/(cosx,0)»作MW_LOP,"为垂足，则

\MM'.心)=sinx,，/(x)=sinxcosx=^sin2r：则当x=今时,火刈皿k+当x£@,

\OM\=s,nx,"cosx

兀)时，有**=sin(7i—x),/(x)=—sinxcosx=—；sin2x,当x=,时，/(x)max=g.只有B选项

的图象符合.

3.(2017•山东)已知函数4x)=R—2|+1,g(x)=kx,若方程./(x)=g(x)有两个不相等的实根,

则实数4的取值范围是()

A.(0,2)B.(；,1)

C.(1,2)D.(2,+8)

答案B

解析

先作出函数<x)=k-2|+1的图象，如图所示，当直线式幻=6与直线48平行时斜率为1,

当直线趴.1)=依过/点时斜率为1故,/U)=g(x)有两个不相等的实根时，4的范围为(1I).

4.(2017•湖北)已知函数,危)是定义在R上的奇函数，当工2()时，y(.v)=|(|.v-«2|+^-M-

3届).若於—1)《心)，则实数。的取值范围为()

A.[一卷3B.[―乎,吟]

C-[-1>1]D.[一坐,坐

答案B

解析因为当G0时，危)=界一居|+年一2a2|-3*,所以当0«2时，九尸如一x+

当屋4<2屋时，/(X)=3(X-标+2。2—X—3。2)=一/；

当x22/时，/x)=|(.r-a2-^-x-2a2-3a2)=x-3a2.

22

综上，函数/(k)=g也一*|+伏-2a\-3a)在K20时的解析式等价于.小)=

一x,0WXWQ2,

"一标，a2<x<2a2,

X—3a2,x^2a2.

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数y(x)在R上的大致图象如下，

观察图象可知，要使-1)W•危)，则需满足2.2一(-4Q2)W1,解得一乎<乎.

5.已知定义在R上的函数/(x)满足：

①函数尸/(工一1)的图象关于点(1,())对称；

②对Vx£R,©-又)=，+工)成立；

③当xS(一1,—j时，/)=log2(—3x+l).

则/(2014)=.

答案一2

解析由①知函数》=(丫)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由

②知函数图象关于直线x=(对称，即/(—x)=/(|+x),由奇函数可得外)=—於+x),据此可

推出；^+x)=-/(3+x),则有一/(x)=/a+3),故函数以3为周期，因此次2014)=川)=一/(-

1)=—log24=—2.

6.已知函数｛x)=d+l的定义域为［c,句(〃<方)，值域为［L5］,则在平面直角坐标系内，点(〃,

与的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是.

答案4

解析

由应丫)=炉+1=1,得x=0；由/(工)=r+1=5,得r=4,即x=±2.如图所示，根据题意,

—2WaW0,

得或所以点伍,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长

b-2

为2的正方形，其面积为4.

7.(2014•江苏)己知府)是定义在R上且周期为3的函数，当问0,3)时，,危尸*—2r+g|.

若函数y=/(x)—a在区间［-3,4］上有10个零点(互不相同),则实数。的取值范围是.

答案(0,1)

解析作出函数y=/(x)在［―3,4］上的图象,/(—3)=A-2)=/(—1)=/(0)=/(1)=/(2)=/(3)=/(4)

=1,观察图象