北师大版数学必修2学案2232圆与圆的位置关系

2.3.2圆与圆的位置关系

考纲定位重难突破

重点：对两圆内切、外切时位置关系的判断

1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关

和应用.

系.

难点：常与方程、有关圆的平面几何知识结

2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的

合命题

方程.

方法：用坐标法解决与圆有关的平面几何问

3.了解用代数方法处理几何问题的思想.

题.

01课前自主梳理磅-------------------------------------------------------掌握基本知识，注■基础训练

授课提示：对应学生用书第53页

［自主梳理］

圆与圆的位置关系及判定

已知两圆G：(A—A।)7+(y-y\=/i»C2：。一人2)'+()—")'="，则圆心分别为G3,)“),

C2(M，刈)，半径分别为n，n圆心距d=|GC2I=叱乃-刈)2+5-”)2.

则两圆G，C2有以下位置关系

位置关系公共点个数圆心距与半径图形表示

d>r\+n

两圆相离尔与

ad<\r\~r^

两圆内含

\r\~r\<d<ri+r

两圆相交，222

J=|n-r2|

两圆内切

1电

两圆外切J=n+r2,

［双基自测］

1.圆。-2)2+。+2)2=9与圆f+V=i的位置关系是()

A.相离B.外切

C.相交D.内含

解析：两圆的圆心分别是(2,-2),(0,0),半径分别是3和1,所以圆心距为

^/(2-0)2+(-2-0)2=2<2,2<2^2<4,所以两圆相交.

答案：C

2.若两圆f+)2=〃?和『+)2+6x—8y—11=0有公共点，则实数in的取值范围是()

A.(1,121)B.[1,121]

C.(1,11)D.[1J1]

解析：两圆的圆心分别为(0,0),(-3,4),半径分别为赤和6,它们有公共点，所以两圆

相切或相交.

\\[ni—6|^^32+42+6,解得1W/”W121.

答案：B

3.两圆仍一1)2+()，-1)2=2和(x+2)2+(y—4)2=3的公切线的条数是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：两圆的圆心分别是(1,1),(一2,4),半径分别是也和小，圆心距为4(-2—1>+(4—I)?

=3^2,因为3/他+小，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线.

答案：D

4.已知两圆/+产=10和(x-1)2+。-3)2=30相交于A,B两点，则直线48的方程是

解析：把圆(犬一I)2+(.y—3户=30的方程化为『+)?—2丫-6y=20,与圆f=10两边相

减，得2x+6y=-10,即x+3y+5=O为直线AB的方程.

答案：x+3y+5=0

5.已知两圆/+9=1和(X+2)2+。，一。)2=25没有公共点，则实数a的取值范围为

解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0),(—2,〃)，半径分别为1,5,圆心距d=

、(0+2)2+(0—幻?=」序+4.•・•两圆没有公共点,・・・夜+4V5-1或寸标+4>5+1，解得一2小

V〃V26或aV—4后或a>4巾.

答案：(一8,-4v5)U(—2小，2小)口(46，+8]

02课堂合作探究硬-------------------------------------------------------洞悉学习方向,把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第54页

[题型探究]提要点•究所然

探究一圆与圆的位置关系判定

I典例1]已知圆G：/+)2—2/小+4)，+〃尸-5=0与圆Cz：f+)，+2、=0.

(1)当加=1时，圆G与圆。2是什么关系？

(2)当m=4时,圆Ci与圆C2是什么关系?

(3)若两圆有三条公切线，求实数机的值；

(4)是否存在m使得圆G与圆C2内含？

I解析］(1);加=1.，两圆的方程分别可化为G：(X-1)2+(>-4-2)2=9.C2：(x+i)24-.v2=l,

两圆的圆心距d=:(l+l)2+(—2>=2^2,

又・・・八+卷=3+1=4,出一闻=|3—1|=2,

**.In—r-T\<d<r\+n./.G与圆C?相交.

(2)当〃?=4时，两圆的方程分别可化为

222

G：(x-4)+(y+2)=9,C2：(x+l)+/=1.

两国的圆心距d=.(4+l)2+(-2)2=4的，

又・・"+/2=3+1,・・・力>为+/2.，圆G与圆。2相离.

(3)圆G的方程为。一处)2+。+2)2=9,・•・圆心G(/%-2),半径八=3,圆C2的方程为

(x+l)2+)2=l,

・•・圆心。2(—1,0),半径r2=1,

当两圆有三条公切线时，它们相外切，因此|GC2|=r：+/2,即叱川+1y+(—2)2=4,解得

ni=—1土2小.

(4)假设存在m使得圆G与圆C2内含，则N(〃?+1>+(—2)之3—1,即(〃?+1)1—2<0,显

然不等式无解.

故不存在加使得圆G与圆。2内含.

I"方法归纳」

1.判断两圆的位直关系，通常采用几何法，而不是.用两圆公共点的个数来判断，因为它

们之间并不是——对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆

没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系.

2.利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：

⑴计算两圆的半径门，「2；

(2)计算两圆的圆心距4•

(3)得出d,八，/2之间的等量(不等量)关系；

(4)判断两圆的位直关系.

学以致用I©

1.当。为何值时，两圆G：r+产-2"+4卜+°2—5=0和。2：x2+y2+2A—lay+—3

=0的位置关系为：(1)外切？(2)相交？(3)外离？

解析：将两圆的一般方程写成标准方程得，

Ci:(X—«)24-(y+2)2=9,Q:(x+l)2+(y—a)2=4,

所以两圆的圆心和半径分别为：

G3,-2),片=3,。2(-1,a),r2=2.

设两圆的圆心距为d,

则鹏=3+1)2+(_2_4)2=2『+6々+5.

(1)当d=5,即2『+6a+5=25时，两圆相切，

此时«=—5或a=2.

(2)当IV4V5,即IV2a2+6〃+5V25时，两圆相交，

此时一5V“V—2或一1<a<2.

(3)当d>5,即2/+6Q+5>25时，两圆外离，此时a>2或。<一5.

探究二圆与圆相切的问题

［典例2］试求与圆。-2)2+()，+1)2=4相切于点(4,-1),且半径等于1的圆的方程.

［解析］设所求圆的圆心为P3,加，

所以1(。—4)2+仍+1)2=1.①

若两圆外切，则有"伍一2)2+3+I)2=|+2=3.②

由①②，解得a=5,b=-\.

所以所求圆的方程为Q—5)2+(y+1产=1.

若两圆内切，

则有，(〃-2)2+(入+1)2=2—1=1.③

由①③，解得〃=3,/>=-1.

所以所求圆的方程为(工一3>+()，+1)2=1.

综上，可知所求圆的方程为(X—5)2+0+1)2=1或(X—3)2+6+1)2=1.

r方法归纳」

求公切线的五个步骤

(1)判断公切线的条数.

(2)设出公切线的方程.

(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值.

(4)险证特殊情况下的直线是否为公切线.

(5)归纳总结.

注意对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数.

学以致用I©

2.求与圆M：。-1)2+)?=1外切，且与直线1+而)，=0相切于点Q(3,一小)的圆N的

方程.

解析：设所求圆N的圆心为N(a,b),半径为r.

因为所求圆N与直线工+小y=0相切于点Q(3,一小)，

所以直线NQ垂直于直线x+小)，=0,

所以&NQ==小，即力=小。一4小，

网N的半径r=|NQ|="(，-3)2+3+V5)2=d(a-3)2+(/”一4小+巾)2=25一3|.

因为圆N与圆M:(x-l)2+y2=i外切，

所以|“川=^(«—1)2+从=1+r=1+2|〃一3|,

即、(。-1)2+35一4>=1+2|«-3|.

对该式讨论如下：

①当。23时，可得a=4,b=0,r=2,

所以圆N的方程为(x—4户+)?=4；

②当aV3时，可得〃=0,》=一4\「，f=6,

所以圆N的方程为r+()，+44)2=36.

于是所求圆N的方程为(%—4)2+)7=4或1+()，+4小尸=36.

探究三圆与圆相交的问题

［典例引已知圆O：f+炉=25和圆C：f+)，2一标一2)，-20=0相交于4,B两点.

(1)求线段AB的垂直平分线的方程；

(2)求A8所在直线的方程：

(3)求公共弦48的长度.

［解析］(1)由于两圆相交于A,3两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的圆心的连

线.

又圆0:f+)?=25的圆心0(0,0),圆C:(工一2)2+()，-1)2=25的圆心C(2,l),

所以Ac=£,由点斜式得)，=%,即x—2)，=0.故的垂直平分线的方程为x~2y=0.

(2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x+2y-5=0.

|5|小

⑶圆/+)2=25的圆心到直线48的距离d=V20=2，所以公共弦48的长的阴=2,尸一加

「方法归纳」

1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法:

若圆G：r+V+Qix+Eiy+FiuO与圆G：/+)2+。2工+E2y+&=。相交，则两国公共

弦所在直线的方程为(。-D?)x+(EL&)y+FLF?=O,即两圆方程相减即得.

2.公共弦长的求法：

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三

角形，根据勾股定理求解.

学以致用I0

3.已知圆G：/+9+法一6)，+1=0,圆Q：f+)2—4工+2>-11=(),求两圆的公共弦

所在的百线方程及公共弦长.

解析：设两圆的交.点为4(汨，yi),B(X2,)'2),则A,8两点坐标是方程组

*+9+21—6丁+1=0①

的解

W+y2—4x+2y—11=0②

①一②得：3x-4y+6=0.

B两点的坐标都满足此方程，

A3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆G的圆心(-1,3),半径r=3.

又G到直线的距离为

1-1X3-4X34-619

4—不弄一=亍

/.\AB\=2yjr—d2=2^32—(1)2=y.

74

即两圆的公共弦长为可.

［思想方法］就方法•会应用

巧用圆系方程解题

［典例］求圆心在直线x+y=0上，且过两圆f+y2—2t+IOy_24=0和A2+/4-2x+2y

-8=0的交点的圆的方程.

［解析］设所求圆的方程为f+y2—2A。+10y—24+幺(『+)，+1¥+2)，-8)=0,即(1+2)片

4-(l+x)/+(2z-2)x+(22+10)y-82-24=0,

同除以1+2可得，

一,,22—2,22+1082+24

厂+)TTPp+TPr厂TTT=°，

此圆的圆心+品一笥

又因为圆心在直线x+y=0上,

工2-12+5

所以一而一市=0,

得;1=-2.

所以所求圆的方程为F+V+6x—6y+8=0.

［感悟提高I1.一般地，过圆G：/+)7+。］1+£1］)，+尸1=0与圆。2：^2+)，+。2犬+&)，+

222

尸2=0交点的圆的方程可设为：x4-y+D1x4-Eiy+Fi+；(x+j^+D2x+E2>'+F2)=0a^-l),

然后再由其他条件求出2,即可得圆的方程.

2.利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示

要准确.最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程).

03课后巩固提升③检渊学习效果.体验成功快乐

［随堂训练］对应学生用与第55页

1.圆G：/+)2+4工一与+7=0和圆。2：炉+9一41-10)，+13=0的公切线有()

A.I条B.3条

C.4条D.以上均不正确

解析：・・力(一2.2),r,=l,C2(2,5),r2=4,

・・・IGC2|=5=〃+r2,

两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B.

答案：B

2.圆x2+)2—2x—5=0和圆f+y+zr—4y—4=0的交点为A、5,则线段A3的垂直平

分线的方程为()

A.x+厂1=0B.2x-y+l=0

C.x—2y+l=0D.x—y+l=0

解析：圆f+)2—2x—5=0化为标准方程是(X一l)2+)?=6,其圆心是(1,0);圆『+*+2x

一4)，-4=0化为标准方程是(