高中数学 离心率问题的7种题型15种方法

离心率问题的7种题型15种方法

求离心率常用公式

a+J3

i+Pa”CC°S

.旧囚――⑶一2sm.cos2，.二-e-2j

.|P用+|P周sha+si“2sinf・cos"2〃COS—

222

点尸是椭圆的焦点，过尸的弦A8与椭圆焦点所在轴的夹角为0,6>€（0,-）,

2

A为直线A4的斜率，且衣一4而2>0）,贝Ue=Jl+

2+1

公式5

当曲线焦点在：,，轴上时，e=

Vk2|/l+l

注：4二竺或者4二空而不是空或必

BFAFABAB

双曲线

C

公式1e--

a

公式2

证明：0二白竹歹=仁

r2v2

已知双曲线方程为一7-=二1(。>0/>0)两焦点分别为耳，F2，设焦点三角

a~b~

形尸片居，NP,F、=a,/PF,片二1则e=1sms+”

|sina-sinp\

证明：NPFF)=a,/PF,F'=依

由正弦定理得：-----也图------"四[二四1

公式3

sin(180°-a-13)sinasinp

由等比定理得：、用=阀日尸夕

sin(a+p)sina-sin/?

nn2c2a.〃Csin(a+。)

即----------=-----------,,,e=—=---------；-----1o

sin(a+/7)sincr-sin^a|sin«-sinft\

22

以双曲线讶一方=Ka>0,〃>0）的两个焦点F,、F2及双曲线上任意一点P

（除实轴上两个端点外）为顶点的AE/E，2PF\F广a,

.P+a

sin-——

ZPF2Fj=t3,则离心率e=——万2—（。。夕）

sin------

2

证明：由正弦定理，有幽=闿=空工年用

公式4sinpsinasin。sin(a+/?)

・・.sini]a,」*-陷1=忻阅.

sin/?-sinasin(a+4)

a_________c_______

即0+a.(5-a.B+a夕+a

cos^--—•sin-----sin-------cos-------

2222

/3+a

nsin-------

a+ft八c2

又。va+/v兀，cos------h0,：.e=—=-----#—

2a.P-a

sin-------

2

点尸是双曲线焦点，过尸弦人B与双曲线焦点所在轴夹角为0,夕6(0,工)，k

2

为直线人8斜率，AF=AFB(A>0),则*Jl+k2M

2+1

公式5

当曲线焦点在y轴上时,

注：义二丝或者见=空而不是"或竺

BFAFABAB

题型一椭圆离心率的求值

1）定义法求离心率

2）运用通径求离心率

3）运用e=+宏4--求离心率

2+1

csin（a+£）

4）运用6二—=一一气求离心率

asin«+sinp

2

5）结论晨•攵J-与求离心率（A,B为椭圆上任意两点，M为直线AB中点）

a

6）运用正弦定理余弦定理求离心率

7）运用相似比求离心率

8）求出点的坐标带入椭圆方程建立等式

9）运用几何关系求窝心率

方法一定义法求离心率

1.己知椭圆。二+匕=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

a~4

【解析】。+5=1，7。2-4=4=。=2企，则e="蠢二号,选C

2.直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其短轴长的！，则该

4

椭圆的离心率为（）

1I-----r\

【解析】由直角三角形的面积关系得儿二一乂？〃，//^/r,解得6=上=一，选8

4a2

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

【解析】设长轴为2a,短轴为2〃，焦距为2c,则2。+2c=2x2A

即a+c=2〃n(a+c)2=4/?2=4(/-c2).

整理得：5c2+lac-3tz2=0,5e2+2e-3=0,选B

Xy

4.椭圆—+*=1(a>A>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是R,F2.若

a-b-

lAF.I，|FE|,|RB|成等比数列，则此椭圆的离心率为

22

【解析】椭圆二+二=1(a>b>0)左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是E,R

a~b~

若|AE|,㈤RI，|「山|成等比数列,所以(…)(a+c)二心即/二53所以修正

5

方法二运用通径求离心率

X2V2

5.设椭圆C、+==1(a>b>0)的左右焦点为R,F”过F2作X轴的垂线与C柞交于

crb~

4,B两点,与)，轴相交于点。，若则椭圆C的离心率等于

【解析】不妨假设椭圆中的。=1,则£(-c,0),B(c,0),

X2v2b2

当x=c时，由f+J=1得产一=b~,即A(c,广),B(c,-b2),设。(0,m),

a-b~a

E卜2b2b2

•・•£,D,3三点共线，・・.包=_^—,得〃尸——，即。(0,--・••若AfLLFB

c-2c22

在L厂f即罩•三…即—

则"『岛―即岳。，解得「土"产0毒1

C_

则，=二％=幺=9・・・。=1,・•・离心率e=---=■

2M2V33a3

6.从椭圆=+=7=1（。＞折＞0）上一点尸向x轴作垂线，垂足恰为左焦点E,A是椭圆与

ab

x轴正半轴的交点，B是柄圆与），轴正半轴的交点，且AB〃。尸（。是坐标原点），则该椭圆的

离心率是___________

h2}

【解析】由题意知A（兄0）,1（0,b）,P-G一

a)

b~b「？？？2—“

:.---=—.•，b=C}又,.•。=力+。,

acaa222

7.设椭圆的两个焦点分别为尸】.、后，过B作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF.PFz

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

【解法一】设耳（一c,O）,玛（。,0）,由题意易知,归闾二忻闾=20,归用=2任，

在=馆国_=，=及-1

26/\PF^\PF2\1+V2

【解法二】由题意易知，忙用=内周=2c,由通径得|P周二生，故2c=生，解得6=收-1

aa

方法三运用小二中而求离心率

8.已知尸是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段B/的延长线交C于点Z）,且

~BF=2Fb,则C的离心率为

【解】如图，|BF|二后◎二『

作加山轴于点。“则由而二2而，得修，所以，|DDi|M|0F|=2C，

|DDJ||BD|31112112

2R2

即XD夸，由椭圆的第二定义得|FD|二e（二一匹）二a-3c

，C/云

2n

又由川二2|/力I，得@二2a-之乙，占3上解得S=£=一,

aa3

9.经过椭圆二十与=1（〃>〃>0）的左焦点E作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A,B

a~b~

两点，若|A用=2|8用，求椭圆的离心率。

【解析】直线44的斜率N心〃60。=百，带入公式e=Yl+k2婴=2•

|2+12+13

方法四运用〃=£=」♦&+夕:求离心率

asina+sinp

10.已知E、B是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若_1尸鸟，且/尸死6=60°.

则C的离心率为（）

A.I-----B.2-5/3C.D.V3-1

2

£=sin(a+夕)_sin(6()o+3()。)_——

【解析】

asina+sin夕sin600+sin30°-+-

22

XV

11.椭圆八r+、=l（。>匕>0）的左、右焦点分别为E,R,焦距为2c.若直线

a~b~

y=G（x+c）与椭圆〃的一个交点M满足NMEF2=2NMF2E,则该椭圆的离心率等于

【解法一】:由）=6G+c）知直线的倾斜角为60°,・・・NMF尸2=60°,NMBR=30°.

:./F\MF2=90：：.MF\=c,MF?=6C.

2

又MF、+MF2=2a.，c+6c=2a,即a=-=—=73-1.

x/;3+1

csin（＜z+sin（60°+30°）-7=-----「

【解法二】—=-----------------=----------------------=|=J3-1

asinQ+sin/sin600+sin30°——+-

22

Xv

12.设椭圆C：r+J=的左、右焦点分别为爪人,。是C上的点,

a~b~

）.

ZPFIF2=30°,则。的离心率为（

7

【解法一】如图所示，在心中，|FiBI=2c,

设|PF,=x，则|PF]|=2x,由心"30。=旦”」=土=也，得]二冬』0.

H2。33

3c_c_G

而由椭圆定义得，|PF,|+|PF2|=2«=3X,：,a=-x=^c

2片及=?

百

一石

【解法二】e=j=sin（a+夕）5亩（90。+30。）:2

sin«+sin/?sin900+sin30°143

2

2）

13.过椭圆下云f。）的左焦点F-轴的垂线交椭圆于点P,尺为右焦点,

若尸产2=60°,则椭圆的离心率为（）

61

A.----B.C.一D.

2323

c,/）或（-c,,K）,

【解法一】由题意知点P的坐标为（-

a

VZFiPF^eO0,.*.-5=73,即2a片心声二（4--）.

b2

a

:.A/3e~+2e-V3=0,e----或en-A/3（舍去）.

3

【解法二】c=c=sin（a+）_sin（9（T+30。）2.出

asina+sinQsin900+sin300<,13

2

方法五运用区“七广-与求离心率

a

14.过点M(l,1)作斜率为--的直线与椭圆C：不■+4=1(r/>/?>0)相交于A,B

2a~h~

两点，若M是线段A8的中点，则椭圆C的离心率等于.

2222

x1y1Xnyo

【解法一】设4（xi,>'i）,B（照，y>）»则一7,+―^-=1»―7*+-犷二1，

a2b2a2b2

•・•过点M(l,1)作斜率为-L的直线与椭圆c：J+=(♦>〃>())相交于4,B两

2a~b~

点，M是线段AB的中点，，两式相减可得之+(-5)•3二0,

a22b2

________板

・•・〃=&〃，••・cfj晓_匕2=4：.e=-=—.高中数学资料群734924357

a2

【解法二】由点差法可得“•左"解得”=正〃,

a2a

c=y]a2-be=~=--

方法六运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率

X2V2

15.已知椭圆C：r+与=1(a>〃>0)的左焦点为尸，C与过原点的直线相交于人，B两

a~h~

4

点，连接AP,4R若=10,|8n=8,cosZABF=-,则C的离心率为().

【解析】如图所示，根据余弦定理,\AF\2=\BF\2-^\AB\2-2\BF\\AB\COSZABF,

即AP|=6又|。川2=出产「+|勿「一2|勿|iBFlcosNABP,即|卯|=5

又根据椭圆的对称性，|AF|+|BF|=2a=14,・・・〃=7,尸|=5=c,所以离心率为』

7

16.在△ABC中，AB=BC,cos若以46为焦点的椭圆经过点C,则该

椭圆的离心率e=.

7

【解析】设4B=BC=1,cos5=一一则AC2=AB二+3C2-2AB8CCOS8=J

189

3

17.在△ABC中，ZA=90J,tanB=-.若以48为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆

的离心率0=

【解析】如图，不妨设14cl=3,|4B|=4,则|BC|=5,所以2〃=8,2c=4,e=L

2

方法七运用相似比求离心率

18.已知椭圆《+9=1（«>/?>0）的左焦点为F,右顶点为A,点6在椭圆上，且W•的:

轴，直线交），轴于点P.若下=2用，则椭圆的离心率是（）

4.近B.爽C.1D.工商中数学资料群734924357

2232

卜2

【解法一】如图，由于B/W轴，故4-c,y=—,设尸（0,Q,

2

0AP=2PB，团(-a,/)=2(-Ct-/).0fl=2c,0^—=—,，选D

aa2

7

【解法二】由题意可知一，解得©=£

AFa+c3

1

2O

方法八求出点的坐标带入椭圆方程建立等式

「V,2

19.如图，在平面直角坐标系中，A”A2,8,比为椭圆—+=1(a>b>0)的四个顶点,

a"b"

户为其右焦点，直线AB1与直线Bz尸相交于点。线段07与椭圆的交点M恰为线段07的

中点，则该椭圆的离心率为.

y

【解】由题意，可得直线43的方程为工4二L直线丛尸的方程为2+=1

-abc-b

2acb(a+c)b(a+c)

两直线联立则点7(),则M(aC),由于此点在椭圆

a-c’(a-c)a~c'2(a-c)

2(a+c)2

上，故有———万+---z=l»整理得3a~-1Oac-c=0

(a-c)4(a-c)2

即J+10e-3=0,解得e=2V7-5高中数学资料群734924357

方法九运用几何关系求离心率

x2

20.已知R、B是椭圆C:—4-=1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点

ab2

。在过A且斜率为g的直线上，△PFE为等腰三角形，/耳鸟。=120。，则C的离心

6

率为()

2111

A.B.—C,一D,一

3234

【解析】•・,过4直线斜率为f・・.切〃。=f

66

即si"a=^=W'南二^'丽”丽(120+«)/.母彳晨二岛

/.2V13c=(a+c)--,：,e=-,选。

54

22

21.已知()为坐标原点，F是椭圆C=+J=1的左焦点，A,B分别为C的

a~b~

左，右顶点.P为C上一点，口尸产_Lx轴，过点A的直线/与线段尸尸交于点M,与y轴交

于点£若直线8W经过0石的中点，则。的离心率为()

【解析】由题意可设F(-c,0),AC-a,0),B(a,0),

I2u2

令尸-c,代入椭圆方程可得度土〃11-二=±—，可得P(-c三)

Vcraa

设直线AE的方程为广&(x+a),

令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令尸0,可得E(0,ka),

ka

设OE的中点为“，可得〃(0,—)»由8,HfA/三点共线，可得kBH=kBM，

2

ka

即为2=内〃—0,化简可得3三=’,即为片3c,可得片£=！，选A

-a-c-aa+c2a3

X2y2b

22.椭圆r+==1(a>b>0)的右焦点尸(c,0)关于直线产一x的对称点Q在椭圆上,

a~b-c

则椭圆的离心率是.高中数学资料群734924357

匚上•过£…②

【解析】不妨令L1,设。(〃?，办由题意可得12~c2J,即：2f2

2bc2

-2~

由①②可得：〃k0一小

尸代入③可得:a

解得e~(4e"■4e'+l)+4^2=1>可得，\e^e-1=0.

即4e"-2e'+2e'-e'+2e'-1=0,可得(2e~-1)(2e'+e~+l：=0»解得e二---

2

23.设大、鸟是椭圆E：5+斗=1(a>b>0)的左、右焦点，尸为直线1二卫上一

点,△入PE是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(

【解析】如图所示，然尸耳是等腰三角形,NF2Kp=今工=30°,|F2P\=\g\=2c,

一

ZPEe=60°,NSPQ=30。,\F2Q\=C,乂|6Q|二羡C,

所以W—C=c,解得c=3。，因此e=£=3,选c

v

24.如图，Fi,同是椭圆C：=+y=l与双曲线C的公共焦点，A,4分别是G,。2在

4

第二、四象限的公共点.若四边形AE8E为矩形，则G的离心率是().

，I。•日

【解析】椭圆G中，|AR|+|AR|=2a=4,|FE|=2c=26.又四边形AF国用为矩形,

・・・NRAB=90。，・・.|A«|2+|AR/=|BB|2,.・.|A*|=2-0,|AB|=2+&,・•.双

V3显

曲线C中，2c=2百，2a=|AF2|-|AF"=2jL故e=—j==——选。

V22

22

25.在平面直角坐标系中，椭圆C的标准方程为[+马=1(a>0,0>0),右焦点为F,

a23

右准线为/,短轴的一个端点为B.设原点到直线B/的距离为4,F到/的距离为几若

d2二厨,则椭圆C的离心率为.

【解析】设椭圆C的半焦距为c,由题意可设直线BF的方程为土+上=1,即bx+cy-bc

cb

bebea1a1-c2b2

=0.于是可知4=/---------=—,d、=-----c=----------=—.

y]b2+c2a'ccc

d2=ad、»/.—=底尻,即ab=瓜c?.

.*.tz2(fl2—c2)=6c1.1=0.*.e'=—=B

3~T

题型二双曲线离心率的求解

1、定义法关系求离心率

2、运用渐近线求离心率

3、运用e=Jl+k?求离心率

2+1

4、运用e，二呼号求离心率

a|sincz-sinp\

5、运用结论•左m=2求离心率(A,B为椭圆上的任意两点，M为直线A8的中点)

a"

6、运用几何关系求离心率

方法一定义法关系求离心率

1.设Fi,Fz是双曲线二一工■二1(。>(),/?>())的左，右焦点，0是坐标原点。

a~b~

过Fz作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若\PF1\=y^\OP\,则C的离心率为

()

A.亚B.2C.V3。.拉

I

【解析】因为OF产c,直线(中的斜率为一，则\OP\=a,\PF2\=b

a

则仍&|=y/6a,OF1=C,cos/POFi=-cosZPOF2=一三

则立萨

2.设八，尸2分别为双曲线上「占=1〃>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点。

a~b~

2

使得(|P*|-|PF2|)=b--3ab,则该双曲线的离心率为

22

【解析】V(IPF.I-\PF2\)2=^-3抽，.••由双曲线的定义可得(2a)=b-3ab,

Aa+3ah-b~=0f:.a=—,c=2+方?=b,/.e=—=VF7.

4"4a

xv

3.设”,后分别为双曲线三-二二1(〃>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点户

crb~

9

使得|PFj+|PR|=3。，|尸目|・|尸网=一"，则该双曲线的离心率为________

4

【解析】不妨设右支上尸点的横坐标为x,由焦半径公式有|PFi|=a，iPEl=ex+a.

99

2

V|PFI|+|PF2|=3^,\PFl\*\PF2\=-abf：,2ex=3b,(ex)-a=-ab

44

：.-b2-a=-ab,：,a=-b,"■+：,e=-=-.高中数学资料群734924357

444va4a3

Xx

4.已知双曲线r=1（。>0,b>0）,若矩形A3CO的四个顶点在£上，A&CD

a~b~

的中点为E的两个焦点，且2A川=3|BC|,则E的离心率是.

b2b2b，

由题意可设A(-c,—),3(-。，-—),C(c,■—),D(c,—),

aaaa

2b2

由21ABi=3BC\t可得2・——=3・2c,即为2/=3ac,

a

c

由/?z=c~-,「，e--,可得2e~-3e-2=0,解得e=2（负的舍去）.

a

方法二运用渐近线求离心率

5.若双曲线工-与二1的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的离心率为____

a/厂

【解析】双曲线5-与7=1的一条渐近线经过点（3,-4）,可得昉=4小即9（/-4）=161,

a~b~

Q5

解得e=_=2高中数学资料群734924357

a3

6.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2）,则离心率为

【解析】•・•渐近线的方程是产士2》，

a

.*.2=—*4,——,a=2/>,+^a,e=—=^-,即它的离心率为

aa2”十02。22

7.设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为&如果直线网与该双曲线的一条渐近

线垂直，那么此双曲线的离心率为

【解析】设双曲线方程为:•一三二1Q>0,b>0）,则尸（c,0）,B（0,b）

直线F8：bx+cy-bc=0与渐近线产上r垂直，所以-也•也二-1，即〃工”。

aca

所以c2-1=g即--e-l=0,所以已」1亚或巳」!^（舍去）

22

-----；_1

方法三运用e=^/^7F—求离心率

2+1

22

8.已知双曲线C--^-=1>0/>0）的右焦点为尸，过尸且斜率为百的直线交C

ClU

于A、B两点，若而=4而，则。的离心率为___________

【解法一】设双曲线。：:-与二1的右准线为/

过43分别作AM_L/于M,3N_L/于N,8。_14/于£),

由直线AB的斜率为,如直线AB的倾斜角为60。/.ZBAD=60°,|AD\=-\AB\

2

由第二定义|4"|一|a7|=|AD\=-(]AF\-\FB\)=-\AB\=~(\AF\+\

又・.・而=4而,...工3|而|=*|而|,.」《二9

e25

【解法二】直线的斜率七百，带入公式e二6

5

9.设尸1，尸2是双曲线C：厂—-V-^=1（^>0,方>0）的两个焦点.若在C上存在一点P,

a~b~

使尸尸1_!_尸生，且NPFiB=30°,则C的离心率为.

【解法一】如图所示，・・・PB_LPa,NPB凡=30°,可得|PF/=c.

由双曲线定义知，|PE|=2a+c,

由㈤下|2=|P¥『+|p尸2』得4c2=(2a+c)2+c2,即2c-4ac-4a=Qf即e-2e-2=0,

...=2.2石,・•.e=1+G.高中数学资料群734924357

2

3M▼csin(a+0sin(60°+30°)-J—厂

【解法二】e=-=------=|.=V31=V3+1

asina+sinQ|sin60-sin30|——

10.设(M8C是等腰三角形，a4BC=120%则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为

()

4W2B.巨立C1+加D1+t

22

]_

=£=sin(a+»5皿(120。+30。)_，1+5

asina+sin£|sin1200-sin30°|7312

T-2

22

11.已知A、B是双曲线=-2丁=1(Q>()/>())的两焦点，以线段F1B为边作正三角

a~b~

形“后后，若边MF】的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()

A.4+2^3B.V3—1C.、'+।D.A/3+1

2

,csin(a+〃)sin(60°+30°),—广

【解析】©=一=一.------------=1.^0-anol=V31=J3+1，选。

asin«+sin/?sin60°-sin30°—v

方法五运用结论鼠,乂「与求离心率

a

22

12.己知斜率为1的直线/与双曲线C："}=1（4>0,〃>0）相交于B、。两点，且

40的中点为M（l,3）.求C的离一心率；

【解法一】由题设知，/的方程为：y=x+2.

带入C的方程，并化简，得

4a24cJ

设3(%,)，J,。(同，％),则%+为=———-,x,5=①

b~-a-b2-a2

由MU）为皿的中点知亨=1，故/吕=L即"3A②

故c=yja2+b2=2a,所以C的离心率e=—=2.

【解法二】由kBD・&w

方法六运用几何关系求离心率

13.若双曲线C:，-g=l（。＞0,。＞0）的一条渐近线被圆（X—2『+V=4所截得

的弦长为2,则C的离心率为

解法一：常规解法

根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为丁=±幺》,根据直线与圆的位置关系可求得留心到

a

2出

渐进线的距离为G，・•・圆心到渐近线的距离为=-75,解得e=2.

解法二：待定系数法

设渐进线的方程为），=kx，根据宜线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为后,

**•圆心到渐近线的距离为—!—，即—!—=石，解得&=3；

由于渐近线的斜率与离心率

川+公ji+公

关系为代=/-1,解得6=2.

解法三：几何法

从题意可知：OA=OOi=O,A=2,△OQA为

等边三角形，所以•条渐近线的倾斜较为工，

3

由于攵=tand,可得A=渐近线的斜率与离心率关系为代=/一|,解得e=2.

解法四：坐标系转化法

根据圆的直角坐标系方程：（x-2『+）/=4,可得极坐标方程0=4cosO,由4cos8=2可得极

角。=工，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以女=6,

3

渐近线的斜率与离心率关系为k2=e2-\,解得e=2.

解法五：参数法之直线参数方程

如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为），=±2犬，可以表示点A的坐标为

a

（2cos"2sin〃），•・•cos^=-,sin<9=-，点A的坐标为俏l丝］,代入圆方程中，解得e=2.

CCyCC）

14.平面直角坐标系中，双曲线G：二•-3二1（〃>0,。>0）的渐近线与抛物线C?：^=20，

a~b~

（p>0）交于点0,A,B,若△0A8的垂心为G的焦点，则C的离心率为

X2y2b

【解析】双曲线Cq方=1（Q。，»。）的渐近线方程为尸土不

与抛物线C2：W=2py联立，可得产0或产土血，取也，贝iJk”二返二W

aao24ab

i2_2b

VAOAB的垂心为C2的焦点，，”——dx(--)=-1

4aba

£3

:.5。2=4。2,:.5/=4(c2-a)=

7一3

XV

15.设&,a是双曲线C：—-2T=1(«>0,〃:>0)的两个焦点，户是。上一点.若|PFi|

a~b~

十|PB|=6a,且的最小内角为30°,则。的离心率为.

由J|PKI+|尸鸟