考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷9

考研数学三(函数、极限、连续)模拟

试卷9

一、选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)

|.|sin(4_2)

1、函数f(x)=H'T)(~2)2的有界区间()

A、(一1,0).

B、(0,1).

C、(1,2).

D、(2,3).

标准答案：A

知识点解析：当对0,1,2时,f(x)连续，而

limf(x)=-lim/(x)=-®«

所以，函数f(x)在(一1,0)内有界，故选A.

2、设f(x)在(一8,+8)内有定义，且

.limf(x)=a,g(x)=x%#。'则()

I0,x=0,

A、x=0必是g(x)的第一类间断点.

B、x=O必是g(x)的第二类间断点.

C、x=0必是g(x)的连续点.

D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.

标准答案：D

知识点解析：因为财务㈣(9=则"、令"T又g(0)=0,

故当a=0时，?型⑴=g(°)即g(x)在点x=0处连续；当a和时，

!货以%)*g(0)即XR是以*)的第一类间断点.因此，g(x)在点x=0处的连续性

与a的取值有关，故选D.

(A)1+—)=1.(B)lim(1+—)=e.

xfxI

(C)lim(1——)=-e.(D)lim(1+—j=e.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

lim(1+-)=e

知识点解析：由重要极限结论x，可立即排除B、D.对于A、C

选项，只要验算其中之一即可.对于C选项，因

lim(］--)=limf(1--)］=e'1

L八x)xfJ,故c不正确，选A.

4、设「(x)在［a,b］上连续，且r(a)>0,P(b)VO,则下列结论中错误的是()

A、至少存在一点x()6(a,b),使得f(xo)>f(a).

B、至少存在一点x()E(a,b),使得f(xo)>f(b).

C、至少存在一点xoW(a,b),使得r(xo)=O.

D、至少存在一点xo6(a,b),使得f(xo)=O.

标准答案：D

知识点解析：首先，由已知「(x)在⑶b］上连续，且F(a)>0,f(b)<0,则由介值

定理，至少存在一点xOE(a,b),使得F(xo)=O;另外,

广(a)=>0

*-<»♦*-a,由极限的保号性，至少

3x0e(9)使印航工，⑷

%。一°>0即f(xo)>f(a).同理，至少存在一点x0e(a,

b)使得f(xo)>f(b).所以选项A、B、C都正确，故选D.

5、设x—>0时，ax2+bx+c―cosx是比x?高阶无穷小，其中a,b,c为常数，则()

(A)a=5，6=0,c=I.(B)«=一十，6=0,c=0.

(C)Q=-=0,c=1.(D)a=^tb=0,c=0.

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

lim(ax2+6%+c—cos%)=0,

知识点解析：由题意得’7得C=l,又因为

lim峭二Vla+b_+匕著)=0,

1%*z/所以得b=0,

°-2故选c.

6、当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3—9x?+12x—a恰好有两个不同的零点?()

A、2.

B、4.

C、6.

D、8.

标准答案：B

知识点解析：f(x)=6x2-*18x+12=6(x—l)(x—*2),故极值点可能为x=l,x=2,且

f(l)=5—a,f(2)=4—a,可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点.故应选B.

7、设X—>0时，(l+sinx)x—1是比xtanx”低阶的无穷小，而xtanx”是比「一

l)ln(l+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()

A、1.

B、2.

C、3.

D、4.

标准答案：B

知识点解析：当X—>0时,(l+sinx)x—1-ln[(l+sinx)x-l+l]=xln(l+sinx)

xsinx^x2,(产-1)历(1+J)~si&・丁~J而相小〜x.x5+i.因

此2Vn+lV4,则正整数n=2,故选B.

8、设f(x)和(p(x)在(一0C,+8)上有定义f(x)为连续函数，且f(x)#0,(p(x)有间断

点，则()

A、(p(f(x))必有间断点.

B、[<p(x)『必有间断点.

C、f((p(x))必有间断点.

险(%)

D、必有间断点.

标准答案：D

ri,工NO,

知识点解析：取f(x)=l,xe(—00,+oo),(p(x)=T，x<°，则f(x),(p(x)满足题

设条件.由于(p(f(x)尸1,[(p(x)]2=l,f((p(x))=l都是连续函数，故可排除A、B、C,

应选D.

lim-y^-y()

9、极限”。)-(。阳/+2y

A、不存在.

B、等于1.

C、等于2.

等于;.

D、2

标准答案：A

lim1lim丁

222

(i,y)-(0,0)x+x+2kx1+2/，

知识点解析:由于与k的取值

lim―不

有关，则极限+2y不存在，故选A.

10、以卜四个命题中，正确的是()

A、若「(X)在(0,I)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.

B、若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.

C、若r(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.

D、若f(x)在(0,1)内有界,则r(x)在(0,1)内有界.

标准答案：C

j_马

知识点解析：设f(x)=%'则f(x)及f(x)=/均在(0,1)内连续，但f(x)在(0,1)内

1

无界，排除A、B；又f(x)=6在(0,1)内有界，但「(x尸2耳在(0,1)内无界，

排除D.故应选C.

y=；----

11、曲线1-e()

A、没有渐近线.

B、仅有"水平渐近线.

C、仅有垂直渐近线.

D、既有水平渐近线也有垂直渐近线.

标准答案：D

+e1+e-

知识点解析：显然x=0是函数1-e-”的间断点.因为'Tl-ew

故x=0是该函数的无穷型间断点，即x=0是该曲线的垂直渐近线.又因

I.一?

lim----7=1

L"1-e-”故原由线有水平渐近线y=l,因此选D.

12、设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在6>0,当

x6(a-6,a+B)时,必有()

A、(x-a)lf(x)-t(a)J>0.

BN(x-a)[f(x)—f(a)]<0.

N0,(x#a).

C、-a-%)

lim",_/(:)w0,(4#a).

Di(…)

标准答案：C

知识点解析：选项A、B显然不正确.对于选项C,由f(a)是f(x)的极大值，即

f(a)/(；).0,

f(a)-f(x)>0,可见(a-%)?'x€(aT,a+6)成立，由此选C.

..f(h2)]

13、设函数f(x)在x=0处连续，且、7%，则()

A、f(0)=0且f/(0)存在.

B、f(0尸1且f」(0)存在.

C、f(0)=0且f+'(0)存在.

D、f(0)=l且f+'(0)存在.

标准答案：C

由lim/U=1知,liqj/lM)-Q

知识点解析：Ih又因为f(x)在x=0处连续，则

/(0)=lirn/{x)=lim/,Ch2)=0.

令t=%则1=lim坐？=lim-/⑼=/；(0).

Ihit所以f+，(0)存在,

故本题选C.

14、当x-0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小?()

A、x2.

B、1一cosx.

C、-1.

D、x—tanx.

标准答案：D

知识点解析•：利用等价无穷小代换.由于x-0时,

1-cosx~—x2,yr-x-1~——x2

22

所以当x-0时，B、C与A是同阶的

无穷小，由排除法知选D.

15、f(x)=|xsinx|e8sx(x€R)是()

A、有界函数.

B、单调函数.

C、周期函数.

D、偶函数.

标准答案：D

知识点解析：因f(一x)二|(一x)sin(-x)|eC0S(-x)=|xsinx|eC0SX=f(x),故f(x)为偶函数,

应选D.

(x+1)arctan-z------,%#±1,

x-1

16、设f(x)='0，*=±1,411()

A、f(x)在点x=l连续，在点x=-l间断.

f(x)在点x=l间断，在点x二一1连续.

C、f(x)在点x=l,x=-l都连续.

D、f(x)在点x=l,x=-l都间断.

标准答案：B

知识点解析•：由函数连续的定义可知,

lim/(x)=2x=

・一1♦2

lim/(x)=2x

x-l-/)=--

9就欠)不存在，因而/(x)在％=1处不连续.

arctan---为有界量』im(%+1)=0,则

X-II

lim(4+1)arctan------=0=/(0).

L-I/一1

所以f(x)

在x二一1处连续，故选B.

二、填空题(本题共74题，每题1.0分，共14分。)

)imx2sin——=.

17、%

标准答案：0

知识点解析：因为x-0时，

Ji%:?=0.且sin」＞为有界函数，即'in工WI,所以lim^sin工=0.

■7xIXI4

..arctanx

lim---------=.

18、…工

标准答案：0

知识点解析：

因为十一0时/T8，且arctanx为有界函数，即|arctanx|＜子，所以lim型照=0.

]9设…(I+别1+扑”(1+,，则!呼”=-----------

4

标准答案：3

知识点解析：由题干可知，将Xn化简得

=("/)(1+―・・(~3)

所以

Hmz„=2•lim(I-

4

Hm(1+3X)-,M=.

20、x-0

标准答案：e6

知识点解析：化为指数函数求极限，则有

fe2u

lim(l+3x)^=d吧七M2)=eJ«4r2se\

若lim;加(cosx-6)=5,贝ljQ=_________,b=________.

21、3e-a

标准答案：1;一4

知识点解析：因为

jlim^^-(cosx-6)=5,且limsinx•(cosx-b)=0,所以lim(e'-a)=0.

«^oe-a得

lim—(cosx-b)=lim-(cosx-b)=1-6=5,

a=l.且原极限可化为一0eT％得

b=一4.因此，a=l,b=一4.

2

极限limxsin-^---r---=__________.

”—RX+I

标准答案：2

i•2xi»24m

hmxsin-z------=limx-5------=2.

知识点解析：L・始+1…欠+1

(-1)

23、i'n

标准答案：1

知识点解析：

0..u/isiy-»>•hmail)

(中)=limev-7=e-",而数列|-1)■|有界,Ltl)=0,

所以lim(-l)Tn(山j=0.

---\n

故回一)2e°=1.

8,则a=

标准答案：1n2

由„1(=邺=

知识点解析：因为因此e3a=8,即

a=ln2.

sinx+cosx)

25、

标准答案：0

知识点解析：因为

0

。，且isinx♦cosx

所以上巴学(sinx+co&x)=0.

26、

-x1+1,|冗|Wc

设函数/(幻:2在(-8,+8)内连续，则c=__________.

1Kpix|>C

标准答案：1

2

一,X>c

X9

由题设知/<(*)工/+1,-c/％Wc,

2

一-,X<-C.

X

2?

则有=lim(x2♦I)=c2+1JimfCx)=lim—=一.

知识点解析：—?1l—C又因

为f(X)在(一8,十8)内连续,f(X)必在X=C处连续，所以

=lim/(x)=/(c),即J+1=-

1~C得eq

呵(泞"77-库丁)=__________-

27x-*+BTT

1

标准答案：3

知识点解析：

1吧(刀./_》)=㈣卜(J]+«L_])一4(J]__])]

Jim平:

28、*-I-cosx

标准答案：2

lim半1上封=lim宁=2.

I1-cosx712

知识点解析:

29、

设5,1」・・,4为正数（m>2）,则lim（a；+a；+…+a：）,=__________'

ny

标准答案:max{ai，aa，...»am}

知识点解析：假设ai为最大值，则

..-t

原式U猊皿1党）+…♦哙））.=限|=

因此lim（a"♦Q；+…♦a：）+=max）a,,/，…，%J,

■1・

lim

%+%2-1

30、

2

标准答案：20

知识点解析：利用等价无穷小量代换.

三、解答题（本题共70题，每题1.0分，共10分。）

31、

y(4x)2

1-cos4x4

lim--r———

-3,

标准答案:I6x

知识点解析；暂无解析

标准答案：

知识点解析：暂无解析

lr

iv..2+e,»inx

*z-----r+-r-Tx)

，-1r7Ix|

33、

所以原式极限为1.

知识点解析：暂无解析

rtanx、

e**df

.…f在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方

程，并求极限“〃

标准答案：由已知条件得

/(0)=0,广(0)=1,

故所求切线方程为

y=x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得

\imnf(一)=2lim---z---------=2lim/(")一/(°)=2/*(0)=2.

\nf-2Ix

知识点解析：暂无解析

..TTX

1-ysm—

设/(“。)=T---------；一工户＞。4＞。，求

1+xyarctanx

(l)g(x)=lim/(x,y);

]一•«

(2)limg(x).

35、M*

标准答案：

TTX

⑴g(x)=lim/(x,y)=lim]yy

y-**»y—••11+Xyarctanx

11-7rx

xarctanx'

⑵由⑴中结论㈣⑴=理©-康鼠）:理

2-----,-1+2irx

..arctanx-x+irx*..1+x

lim---------j--------=hm-------z---------

fx

_42+2g(1+/)

limIT.

«-o*2x(1+/)

知识点解析：暂无解析

[(]+x)：e]sinln(1+4)

求极限lim

t-o

36、/I+xsinx-1

..[(1+4)，-e]sinln(l+x)

hm--------:**------3-------

I/I+xsinx-1

=lim1。一段止inx=2|im(1+拼-

I1.I4

-2"xsinx

十・(|打)_9wiy_i

:2lim------------=2elim--------------

1-ox…4

—ln(1+%)-1

=2eliin----------------

x«“x

=2elim---------=-e.

标准答案：2x

知识点解析：暂无解析

[sin”-sin(sinX)]sinx

求极限lim

37、

]siru—sin(sinx)]sin%

Umsinx-sin(sin%)

ir3

cos%—cos(sinx)cosx..1-cos(sinx)

hm-------------

73x2

标准答案：

知识点解析：暂无解析

求极限1加[皿I上1]七

38、zL