高考数学第一轮复习教案-导数

高考复习——导数

复习目标

1.了解导数的概念，能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导

函数的概念./解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.

2,熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导

数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最人（小）值的问题，掌握导数的基本应用.

3.了解函数的和、差、枳的求导法则的推导，掌握两个函数的底的求导法则。能正确运用函数的和、差、

积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4.了解受合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导

法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主

要是以下几个方面：

1.导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）：

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得笥便）等关于〃次多项式的导致问题属于

较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数及解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起

注意。

4.瞬时速度

物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某

一时刻（或某一位置）的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对睇时速

度作r说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有r极限工具后，本节教材中是用物体在•段时

间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.

5.导数的定义

导数定义及求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则及某些导数公式时，都是以此为依据.对

导数的定义，我们应注意以下三点:

(□△x是自变量X在/处的增量(或改变量).

(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x-O时，包有极限，那么函数y=f(x)在点X。处

Ax

可导或可微，才能得到f(x)在点X。处的导数.

(3)如果函数y=f(x)在点X。处可导，那么函数y=f(x)在点.“处连续(由连续函数定义可知).反之不

一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导.

由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以卜.三个步骤进行：

⑴求函数的增量Ay=f(x0+Ar)-/(x0)；

(2)求平均变化率包=也匚匕竺二也」；(3)取极限，得导数/'(/)=lim包,

ArAY―。AJT

6.导数的几何意义

函数y=f(x)在点工。处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,/(x()))处的切线的斜率.由此，可以利

用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点/处的导数，即曲线y=f(x)在点P(X0,/(X0))处的切线的斜率：

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为)，一比)=/'(工0)(工一工0)

特别地，如果曲线y=Nx；在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，

可得切线方程为X=Xo

7.导数及函数的单调性的关系

㈠f(X)>0及/")为增函数的关系。

广。)>0能推出f(x)为增函数，但反之不i定。如函数=/在(-8,+8)上单调递增，

但f\x)>0一•.广(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

㈡/'5)工0时，f\x)>。及/(x)为增函数的关系。

若将/'(x)=o的根作为分界点，因为规定了'(X)工0,即抠去了分界点，此时/(X)为增函数，

就一定有尸(x)>0.•.当/'(X)工0时，/'(幻>0是/(x)为增函数的充分必要条件。

㈢f\x)»0及/(%)为增函数的关系。

/(x)为增函数，一定可以推出/'(x)NO,但反之不一定，因为了'(X)20,即为/'(x)>0或

f\x)=0,当函数在某个区间内恒有/。)=0,则f(x)为常数，函数不具有单调性。・•.f(x]>0

是f(x)为增函数的必要不充分条件。

㈣单调区间的求解过程

已知)'=f(x)

(1)分析)，=/(为的定义域；⑵求导数v=ro)

<3)解不等式/'(_¥)>0,解集在定义域内的部分为增区间

<4)解不等式/'(X)<0,解集在定义域内的部分为城区间

我们在应用导数判断函数的单调性时•定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下

以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f(x)在某个区间内可导。

㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数/(X)在(。涉)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在

/(x)=z?处连续，因此/(工)在(氏。)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相

同，且在公共点处函数连续，则：区间就可以合并为以个区间。

8.y=f(x)xe[a,b]

(i)/'(x)>0恒成立y=f(x)为(°,。)上T

对任意xw(a,切不等式f(a)</(x)<f(b)恒成立

(2)/'(x)v0恒成立/.y=/(x)在(a,/?)上J

对任意xw(a,b)不等式/(〃)>f(x)>f(b)恒成立

四、经典例题解析：

例1设函数/(x)=x2exi+ar3+bx2,已知工=-2和x=l为/'(x)的极值点.

(I)求。和的值：(II)讨论/(X)的单调性：(III)设g(工)=§/3一厂，试比较/(工)及以工)的

大小.

解：(I)因为/'(X)=e*T(2xIJ)I3ax2i2bx=xex'(^i2)Ix(3axI2b),

又X=-2和X=1为/3)的极值点，所以/(-2)=/(1)=0,

一6。+2〃=0,

因此《解方程组得。=一‘，b=-\.

3+3。+2〃=0,3

(H)因为。=一§,b=-\,所以/'(工)=工(1+2)(©1-1),

令/'(x)=0,解得％=-2,x2=0,x3=1.因为当X£(YO,-2)L(0，D时，f\x)<0；

当xe(—2,0)U(l，+8)时，f\x)>0.所以/(x)在(-2。)和(1,+8)上是单调递增的;

在(一oo,-2)和(0,1)上是单调递减的.

(III)由(I)可知/(X)一！13一工2,故/(x)一g3)n/e'T一13一防,

令h(x)=ex-'-x则〃'⑶=ex-1-1.令hf(x)=0,得4=1,

因为XW(YC,1]时，/z'(x)W0,所以〃(x)在xw(-oo,l]上单调递减.

故X£(-OO,1]时，力(尤)2力(1)=0;因为戈£[1,+8)时，/?'(工)20,

所以力(X)在Xw[l,+8)上单调递增.故以£口,+8)时,h[x}h(l)=0.

所以对任意工€(-8,+8),恒有/?(龙)20,又f20.

因此f(x)-g(x)，。，故对任意xe(-8,+8),恒有f(x)2g(x).

说明；本题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题，另外利用导数证明不等式也是高考不科

忽视的考查方向.

2x-b

例2.已知函数/(X)=—~7,求导函数/'(X),并确定了(X)的单调区间.

U-1)

2(x—1)~—(Jlx—/?)x2(x—1)—2.x+2,b—22[x—(b—1)]

解：J(X)=--------------1---------=-------7—=-------：~7—•

("1)4(X-1)3U-1)3

令ra)=o,得工=。一1.

当人一1<1,即人<2时，/(龙)的变化情况如下表：

X(-co,b-\)b-\0-M)(1,4-00)

八X)—0+—

当〃-1>1,即Z?>2时，/'（X）的变化情况如下表:

X（-孙1）（1，h-1）b-\S-1,+8）

r（x}—+0—

所以，当〃<2时，函数/（0在（-8,人-1）上单调递减，在S-L1）上单调递增,

在（1,+8）上单调递减.

当〃>2时，函数/（用在（-8,1）上单调递减，在（1,人—1）上单调递增，在3-1,+8）上单调递减.

2

当。-1=1,即〃=2时，f（x）=——，所以函数/*）在（-8,1）上单调递减，在（1,+00）上单调

x-1

递减.

例3.已知函数f（x）=x+—+b（xw（））,其中a,bwR.

X

（I）若曲线y=/（x）在点尸（2,/（2））处的切线方程为y=3x+1,求函数/（x）的解析式：

（II）讨论函数/（x）的单调性：

（山）若对于任意的-.2,不等式/（x）wio在-,1上恒成立，求人的取值范围.

J21J4—

解：（I）/。）=1一二，由导数的几何意义得r⑵=3,于是。=一8.

x

由切点P（2,/（2））在直线y=3x+\上可得-2+8=7,解得b=9.

Q

所以函数f（x）的解析式为f（x）=X一一+9.

X

当。工（）时，显然/'（x）>0（工工0）.这时/（x）在（-8,0）,（0,+<刈）内是增函数.

当。>0时，令/'（x）=（）,解得x=±G.

当x变化时，r（x）,/（©的变化情况如下表:

X（-<20,一-）-4a（0,右）右（G,+co）

/（X）+0——0+

/（X）/极大值XX极小值/

所以/C0在（YO,—JZ）,（JZ+00）内是增函数，在（一4.0）,（0.JZ）内是减函数.

(山)由(11)知，/(x)在［L，1］上的最大值为f(L)及/(l)中的较大者，对于任意的aw［2,2］,

442

1f(l)<10b<--4a|

不等式/(x)W10在［-，1］二恒成立，当且仅当<4一，即《4，对任意的〃£［一，2］

49

/(1)<!()-

成立.

77

从而得〃V-，所以满足条件的人的取值范围是(-oc,一］.

44

说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能

力、综合分析和解决问题的能力.

例4.水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，其水库

的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为

八9)=.(—厂4-14/—40)。4+50,0</«10,

4"-10)(3541)+50,10VY12

(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-IVtVi表示第i月份(i=l,2,…，12),问一年内

哪几个月份是枯水期？

(II)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).

解:(I)①当ovW10时,，/3=(一-+5—40)小+50<50,

化筒得「一14£+40〉0,解得1V4,或，>10,X0<t<10,故0<£V4.

②当10Vt<12时，V(£)=4(t-10)(3r-41)+50<50,

41

化筒得(Lio)(3L41)vo,解得lovy—，又10Vr412,故10<f<12.

3

综合得0<K4,或10<f<12,

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(H)由(I)知：/")的最大值只能在(4,10)内达到.

由J〃(f)=e4'(一一r+-r+4)=一一e4'(/+2)(/-8),

424

令3=0,解得W(t=-2舍去).

当।变化时，〃及1/的变化情况如下表:

t(4,8)8(8,10)

V/(t)+0—

V{t}极大值

由上表，1/(。在1=8时取得最大值/(8)=8。2+50—108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际

问题能力.

by-4-1

例5.已知函数/(X)—力—(。>()且。于1,)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一

+C

个是工=-c.

(I)求函数/'(X)的另一个极值点:

(II)求函数/(X)的极大值M和极小值"7,并求加一根21时Z的取值范围.

,，，，、k(x?+c)-2x(h+1)-kx1-2x+ck、八

解：(I>/(x)=-------：----；------=------；----：—，由题意知f(-4?)=0,

(1+c)~(r+c)~

即得—2。一cA=0,(*)•:cwO,ZwO.

2

由/'(x)=0得一"2-2X+C&=0,由韦达定理知另一个极直点为x=l(或x=c一一).

k

22

(11)由(*)式得攵=——，即。=1+一.

c-1k

当。>1时，2>()：当()vc<l时，k<-2.

(i)当攵>()时，/(X)在(一8,一。)和(1,+8)内是减函数，在(一G1)内是增函数.

LL2L

由M—+-------21及火>0,解得A2>/2.

22(4+2)

(ii)当左〈一2时，/(X)在(-8,一。)和(1,+8)内是增函数，在(一。,1)内是减函数.

._—k~k(%+1)~+1

M-m=----------------=1-----------------恒成立.

2(4+2)2Z+2

综上可知，所求攵的取值范围为(fo,—2)|jJ5,+8).

例6.求证下列不等式

x2x2

(1)x----<ln(l+x)<x---------xG(0,+co)

22(1+x)

2X0乃、

sinx>—XG(0,—)

712

(3)x-sinx<tanx-xxG(0,—)

2

22

x|x-\

证明：(1)/(x)=ln(l+A)-(x----)/(0)=0/'*)=------\+x=------>0

21+xx+\

y=、f(x)为(0,+x>)上T/.xG(0,+co)/(x)>。恒成立

/.g(x)在(0,+on)上T:..rG(0,+oo)x----------ln(l+x)>0恒成立

2(1+x)

e—sinx2人入,

(2)原式。----->—令f(x)=smx/x

XTC

(3)令/(x)=tanx—2x+sinx/(0)=0

说明：利用导数证明不等式这一部分内容不可忽视，它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值

问题。

五、强化跟踪：

1.设函数f(x)在处可导，则limAX)―/(A。)等于()

以->oAx

A.7'(10)B./'(一/)C.-f\-X0)D.-/(-Xo)

2.若Um/(%+2")-"/)=i,则/，(/)等于()

23

A.—B.—C.3D.2

32

3.曲线y=13—31上切线平行于x轴的点的坐标是()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(-1,2)或(1,-2)

4.若函数f(x)的导数为「(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()

A.90°B.0°C.锐角D.钝角

5.函数y=2/3-3.一-12元+5在［0,3］上的最大值、最小值分别是()

A.5.—15B.5»—4C.-4,—15D.5>—16

As

6.一直线运动的物体，从时间t到t+At时，物体的位移为△$,那么lim——为()

4-»oZ

A.从时间t到t+at时，物体的平均速度B.时间t时该物体的瞬时速度

C.当时间为at时该物体的速度D.从时间t到t+zxt时位移的平均变化率

7.关于函数/'(工)=2次3-6工2+7,下列说法不正确的是()

A.在区间(一8,0)内，/(X)为增函数B.在区间(0,2)内，/(X)为减函数

C.在区间(2,+00)内，/(幻为增函数

D.在区间(-8,0)U(2,+8)内，/*)为增函数

8.对任意x,有/'*)=4/，f(l)=T,则此函数为()

A.f(x)=x4B.f(x)=x4-2c.f(x)=x4+1D.f(x)=X44-2

9.函数y=2x'-3x2T2x+5在［0,3］上的最大值及最小值分别是()

A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16

10.设f(x)在X。处可导，下列式子中及f'(工0)相等的是()

(1)lim小。)一《。一2"(2)lim/(xo+Ax)-/(xo-^)；

At->o2AxADAx

(3)血/(%+2A¥)-/(/+©)⑷11M/(■Y0+AT)―/(XL2”

-AxAr->oAX

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)

11.r(x)是定义在区间［一c,c］上的奇函数，其图象如图所示：令g(X)=a/、(X)+b,则下列关于函数

g(X)的叙述正确的是()

A.若a<0,则函数g(X：的图象关于原点对称.

B.若炉一1,一2<b<0,则方程g(%)=0有大于2的实根.

C.若a#0,b=2,则方程g(X)=0有两个实根.

D.若a21,b<2,则方程g(%)=0有三个实根.

12.若函数f(x)在点/处的导数存在，则它所对应的曲线在点(工0，/(10))处的切线方程是

13.设/(X)=X一一，则它及x轴交点处的切线的方程为。

X

14.设/'(%)=—3,则站了5一份一"/一如=_________。

JOh

15.垂直于直线2x-6y+l=0,且及曲线y=X3+3x2-5相切的直线的方程是.

1„

16.已知曲线)，二x+五，则二o

17.y=x?e'的单调递增区间姑

18.曲线)，=用3x?+1在点(],四)处的切线方程为。

19.P是抛物线y二工2上的点，若过点P的切线方程及直线)，二-5工+1垂直，则过P点处的切线方程

是o

20.在抛物线)，二X2上依次取网点，它们的横坐标分别为司=1,x2=3,若抛物线上过点P的切线

及过这两点的割线平行，则P点的坐标为o

21.曲线/(工)=工3在点A处的切线的斜率为3,求该曲线在A点处的切线方程。

22.在抛物线)，=/上求一点P,使过点P的切线和直线3x-y+l=0的夹角为三。

4

.x(x>0)

23.判断函数/(X)=〈在x=0处是否可导。

7a<())

24.求经过点(2,0)且及曲线y=•!■相切的直线方程。

25.已知曲线G：)'=，及G：y=一(工一2)2。直线1及G、。2都相切，求直线1的方程。

六.参考答案：

1-5CBDCA：6-10BDBAB；11B

12.>'-/(X0)=f'(X0)(X-X0)13.y=2(xT)或y=2(x+D

1

14.-615.3x+y+6=016.—

2

17.(-8,-2)及(o,+8)18.x-V2y+1=0

19.2x-y-l=o20.(2,4)

21.由导数定义求得/'")=31,

令3x?=3,则x=±io

当x=l时,切点为(1,D