辽宁省沈阳市郊联体2025届高三上学期9月开学联考数学试卷（含解析）

辽宁省沈阳市郊联体2025届高三上学期9月开学联考数学试卷本试卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,,则()A. B. C. D.2．命题“,”的否定是()A., B.,C., D.,3．已知是无穷数列,,则“对任意的m,,都有”是“是等差数列”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．函数的图象向左平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,得到的图象,则()A. B. C. D.5．通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过t秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数.定义声音的声强衰减到原来的所需的时间为，则约为()附：，.A. B. C. D.6．已知数列的前n项和为.若,,则()A.48 B.50 C.52 D.547．已知函数,对任意的x,都有,且,则下列说法不正确的是(

)A. B.是奇函数C.是R上的增函数 D.8．若函数有两个零点,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、选择题:本題共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9．若,则下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则11．若定义在R上的函数,满足,,,则下列结论中正确的是(

)A.是偶函数 B.是周期为4的周期函数C. D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12．已知正实数a,b满足,则的最大值为____________.13．设集合,.若;则_________.14．已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是________.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数.（1）当时,求函数的单调递减区间;（2）若是函数的极小值点,求实数a的取值范围.16．（15分）已知函数.(1)求曲线的对称轴;(2)已知,,求的值.17．（15分）如图,已知斜三棱柱中,侧面侧面,侧面是矩形,侧面是菱形,,,点E,F,G分别为棱,,的中点.(1)证明：平面;(2)求二面角的余弦值.18．（17分）已知正项数列满足，，且对于任意，满足.(1)求出数列的通项公式；(2)设，证明：数列的前n项和；(3)设，证明：.19．（17分）对于数列,定义：如果函数使得数列的前n项和小于,则称数列是“控制数列”.(1)设,证明：存在,使得等差数列是“控制数列”;(2)设,,判断数列是否为“控制数列”,并说明理由;(3)仿照上述定义,我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前n项积小于T,则称数列是“T特控数列”.设,其中,证明：数列是“特控数列”.参考答案1．答案：A解析：由题可知,,,,,因此.故选：A.2．答案：B解析：命题“,”的否定是“,”.故选：B.3．答案：A解析：对任意的m,,都有,令,可以得到,因此是公差为的等差数列;若,则,,,可得,故“对任意的m,,都有”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选:A4．答案：A解析：的图象向左平移个单位长度,得到的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到的图象故选：A.5．答案：B解析：由题意知，，即，等号两边同时取自然对数得，即，所以.故选B.6．答案：C解析：方法一：①,当时,②,①-②得当时,,中奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,公差均为2.,当n为奇数时,;当n为偶数时,..方法二：,,,数列是以7为首项,4为公差的等差数列,.故选：C.7．答案：C解析：对于A,在中,令,得到,因此,所以选项A正确;对于B,令,得到,即,所以选项B正确;对于C,由可化为,,记,则,不妨取函数,显然符合条件,则,因,当时,,当时,,即函数在上单调递减,在上单调递增,故C错误;对于D,令,,得,即,又,所以是首项为1,公差为1的等差数列,,故D正确.故选:C.8．答案：A解析：令,即.令,定义域为,,令,易知在上单调递增,且.令,,则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点,则,当时,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增;所以,当时,;当时,,则,解得,即实数a的取值范围是.故选：A.9．答案：BD解析：因为,所以,当时,为减函数,;当时,为增函数,解得,故选项A错误;对于B,由A得,即,故选项B正确;对于C,当,时,,故选项C错误;对于D,在上单调递减,在上单调递增,所以由A得,选项D正确.故选：BD.10．答案：AB解析：由题图得，，又，所以，选项A正确；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因为，所以函数的图象关于点对称，选项B正确；令，，解得，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则函数在区间上先单调递减再单调递增，选项C错误；因为，，由，得，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则，解得，选项D错误.故选：AB.11．答案：ABC解析：因为,所以.又因为,所以.又,则,即,所以,故是周期为4的周期函数.因为,所以也是周期为4的周期函数,选项B正确;因为,则,则,所以,所以为偶函数,选项A正确;因为,令,得,即,令,得,即,故,选项C正确;由,得,所以,选项D错误.故选：ABC.12．答案：解析：因为正实数a,b满足,则,当且仅当时,即时,等号成立,故ab的最大值为.故答案为：.13．答案：2解析：因为,,所以,所以是整数,且,再由集合中元素的互异性知,,.所以a是整数,且,,,得.当时,,,故,满足条件.故答案为：2.14．答案：解析：将a视为主元，设，则，当且仅当时取等号，故当时，恒成立.设，则，易知单调递增，且，①若，即时，则，所以在单调递增，故只需，即，解得；②若，即时，，即时，恒成立.综上，m的取值范围是.故答案为：15．答案：（1）（2）解析：（1）当时,,,由解得,所以函数的单调递减区间为.（2）,时,或.①若,当或时,,当时,,因此时,函数取极小值;②若,当或时,,因此不是函数的极值点;③若,当或时,,当时,,因此时,函数取极大值.综上,a的取值范围是.16．答案：(1)(2)解析：(1),,,由,得曲线的对称轴为;(2)由题意可得,即,又,则,即,所以,故.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：因为点E,F,G分别为棱,,的中点,连接,,则,,又因为平面,平面,所以平面,同理可得平面ABC,因为,平面,平面,所以平面平面,因为平面,所以平面ABC.(2)侧面是矩形,所以,又因为平面平面,平面平面,所以平面,又平面,因此.在菱形中,,因此是等边三角形,又E是的中点,所以,从而得.如图,以B为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.因为,所以,因此,,,,所以,,,设平面的法向量为,由,得,由,得,令,得,设平面的法向量为,由,得,由,得,令,得,.所以二面角的余弦值为.18．答案：(1)(2)证明见解析(3)证明见解析解析：(1)因为，，，当时，，计算得，由，可得，两相减可知，整理可得，所以为定值，定值为，所以所以为等差数列，故.(2)证明:由(1)得，所以，，故因为，所以，所以，即(3)证明：，因为，所以.另解：.19．答案：(1)证明见解析(2)是,理由见解析(3)证明见解析解析：(1)不妨设等差数列的首项为,公差为d,前n项和为,则,取,,,则,有,即,即存在,使得等差数列是“控制数列”;(2)数列是“控制数列”,理由