2026秋高三数学复习 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质(原卷版)

立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练

考点一线面平行的判定

1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，在多面体ABCDQP中，底面四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，

ÐABC=60°，VPAB为正三角形，四边形ADQP为直角梯形，ÐADQ=ÐDQP=90°，AB=AD=2，E为平面∥

ADQP上的点．

(1)当点E在直线AD上时，求线段AE的长度，使得CE平面PAB；

(2)若CE平面PAB，求线段CE的最小值．∥

∥

224-25··

．（高一下河北期末）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1=2,AC=22,N为线段AB的中点.

(1)证明：AC1//平面B1CN；

(2)平面B1CN将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.

3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，平面PAC^底面ABCD．

(1)求证：BD^PC．

PM

(2)若E为侧棱PC的中点，在侧棱PD上是否存在点M，使得BE//平面MAC？若存在，求出的值；若不存

MD

在，请说明理由．

4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点

G在棱BB¢上，且满足B¢G=aB¢B.

(1)若a=0.5，求证：EG//平面D¢AC；

1

(2)若点M在线段BD上，且满足D¢M//平面EFG，且a的取值范围为[,1]，求D¢M的取值范围.

2

5．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=4．

(1)求证：BB1//平面ACD1；

(2)求点B1到平面ACD1的距离．

6．（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面VABC是边长为2的正三角形，AA1^

BF1

底面ABC，AA1=3，D,E分别是AC,AC11的中点，点F在线段BB1上，且=．

BB13

(1)证明：DE//平面ABB1A1．

(2)求直线AF与平面DAB1所成角的正弦值．

7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，侧面PAD^底面

ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，PC的中点．

(1)求证：直线EF平面PAD；

(2)若AD=2，求侧面∥PBC与侧面PAD所成角的余弦值．

8．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点．

(1)证明：EF//平面ABCD．

(2)求异面直线AF与BC1所成角的大小．

(3)求直线BD与平面D1EF所成角的余弦值．

考点二线面平行的性质

1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，

PA=PB=PC=AC=4，点O，M分别为线段AC，AB的中点．

(1)若平面POMI平面PBC=l，证明：l//BC；

(2)证明：OP^平面ABC；

(3)求PM与AC所成角的余弦值．

2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，PD^平面ABCD，底面ABCD是正方形，

PD=AB=2，E为PC中点．

(1)求证：PA//平面BDE；

(2)求证：DE^平面PCB；

(3)设平面PABÇ平面PCD=l，求证：l//平面ABCD．

3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形．M、N、Q分别为

PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)求证：平面MNQ//平面PAD；

(2)求证：BC//l；

(3)若PA=5，AB=42，求四棱锥P-ABCD的体积．

4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB^AC，BB1=2BA，点Q是线段BB1的

中点，连接QA,QC,QA1,QC1．

(1)求证：QA^平面QAC11

(2)设平面QAC与平面QAC11的交线为直线l．求证：AC//l

(3)若AB=AC=1，求二面角C1-QA-C的正弦值．

5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为梯形，

BC//AD，平面PAB^平面PBC，且AB=BC=2，PA=AD=4.

(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC//l；

(2)求l与AC所成的角；

(3)求二面角C-PD-A的余弦值．

6．（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在圆锥PO中，ABCD为底面圆的内接四边形，对角线AC过圆心O，圆

π

锥母线长为22，BC=2，ÐACB=.

3

(1)若AD//BC，平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：AD//l；

(2)若AD=2，求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值.

7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为底面中心，M,E分别

为PA,PD的中点，△PDC为等腰直角三角形，且DP=DC.

(1)若平面PBCI平面PAD=l，判断直线l与BC的位置关系并证明；

(2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值；

(3)若F,N分为CE,DE的中点，点G在线段PB上，且|PG|=l|GB|，若平面GFN//平面ABCD，求实数l的值.

8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为梯形，

BC//AD，平面PAB^平面PBC，且AB=BC=1，PA=AD=2.

(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC//l；

(2)求证：AB^BC；

(3)求二面角C-PD-A的余弦值.

考点三面面平行的判定

1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，AC11上的点，

uuuruuuuruuuur

AE=lAC1，A1F=lAC11，lÎ(0,1)．

(1)求证：EF//平面BCC1B1．

(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG//平面ABB1A1？请说明理由．

2．（24-25高一下·云南临沧·期末）如图1，等腰梯形ABCD中，AD//BC，E为AD边上一点，且

.'

AB=AE=BE=CD=2，BC=ED=4，O为BE中点，F为BC中点将VABE沿BE折起到VABE的位置，如图

2．

(1)证明：CD^平面AOF'；

(2)若AO'^OF，求点F到平面A'EC的距离；

(3)试在线段A'D上确定一点G，使得平面GCE//平面AOF'，并给出证明．

3．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.

(1)证明：C1G//平面CEF.

A1H

(2)在棱AA1上是否存在点H，使得平面C1GH//平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

A1A

4．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示，O

为AC与BD的交点.

(1)求证：AO1//平面B1CD1；

(2)求证：平面A1BD//平面B1CD1.

5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，△BCD为等边三角形，BD=23，

PA=3，AB=AD=PB=PD，ÐBAD=120°，点E，F分别为PC，CD的中点.

(1)求证：平面BEF//平面PAD；

(2)求二面角P-BD-A的余弦值.

6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，一个水平放置的边长为3的等边三角形ABC绕着中心点O逆时针旋转

πuuuur

，再沿竖直方向OO¢平移一定距离后，连接AA¢，AC¢，BB¢，BA¢，CC¢，CB¢，此时侧面三角形AA¢B，

3

A¢BB¢，BB¢C，ACC¢正好都是等边三角形.

(1)证明：平面B¢C¢C//平面AA¢B.

(2)求平面A¢B¢C¢与平面A¢AB所成角的余弦值.

724-25··

．（高一下四川成都期末）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，E,F分别是AB,A1B1的中

点．

(1)求证：CE^平面ABB1A1；

(2)求证：平面AFC1//平面CEB1；

(3)求直线AC1与直线CB1所成角的大小．

8．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均

为等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED=7，FB=3，M为AD的中点．

(1)证明：平面BMF//平面CDE；

(2)求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值；

(3)求点M到平面ABF的距离．

考点四面面平行的性质

1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ÐABC=60°.

(1)证明：AC^平面BB1D1D；

(2)若BC=BB1=2，求二面角B-AC-B1的正切值；

(3)若点P在A1D上，BC1ICB1=E，直线BP与平面AB1C交于点F，求证：C1P∥EF.

2．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点.已知M，N分

别是PC，AB的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG.

(1)求证：MN//平面PAD；

(2)求证：AP//HG.

3．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，AB//CD，四边形ACFE为矩形，AB=AE=1，

AD=CD=2.

(1)求证：DF//平面ABE；

(2)AB^AD，平面AED^平面ABCD，求直线DF与平面BEF所成角的正弦值.

4．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和底面ABCD均为菱形，且AD=2，

π

ÐAAD=ÐDAB=，E为AD的中点，B1C1与平面CDE交于点F，

1311

(1)求证:F为B1C1的中点；

(2)若平面ADD1A1^平面ABCD，求二面角B-AA1-D的余弦值.

5．（2025·海南·模拟预测）如图，