福建省福州市2027届高三上学期开学适应性练习数学试卷（含解析）

福建福州市2026-2027学年高三年级上学期适应性练习数学试题一、单选题1．样本数据80，85，87，88，90，92，95的第50百分位数为（

）A．87 B．88 C．89 D．922．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，不共线，且，则（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体.设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为（

）A． B．C． D．6．已知等差数列的首项为，公差为．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：则这个三角形数表第10行所有数的和为（

）A．729 B．980 C．1000 D．13317．已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（

）A． B． C． D．8．已知函数的最小值为1，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．10．在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且平面平面，则（

）A．B．棱上存在点，使得平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的大小为11．已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（

）A．可以取任意实数B．满足的有无数个C．若圆心在上，则的最大值为D．若圆心在直线上，则的最大值为三、填空题12．曲线在点处的切线方程为________.13．已知抛物线与的公共点为.若两条抛物线的焦点到直线的距离相等，且两焦点之间的距离为，则________，________.14．已知数列的通项公式为.若中存在三项构成公比为的等比数列，则正整数的最小值为________.四、解答题15．如图，在直三棱柱中，是中点.(1)求证：平面；(2)若，且，求直线到平面的距离.16．已知椭圆的左、右顶点分别为，，两焦点分别为，，，且.(1)求的值；(2)已知，点在上，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标.17．记的内角，，的对边分别为，，.已知，.(1)求；(2)若的面积为，求.18．足球点球大战的规则如下：裁判员通过抽签决定先罚点球的球队，之后双方交替罚球.前五轮中，每队各派5名队员依次罚点球；若领先方的进球数与落后方的进球数的差值，超过落后方剩余罚点球的次数，则领先方提前获胜；否则，完成五轮时，进球数多的球队获胜.若完成五轮时双方进球数相同，则从第六轮开始进入“SuddenDeath”阶段，即双方继续各派新队员罚点球，直到某一轮中一方罚进而另一方罚失时决出胜负.某次高中足球联赛的淘汰赛中，甲、乙两队在常规时间和加时赛后以战平，比赛进入点球大战.假设每名队员是否罚进相互独立.已知甲队前五轮5名队员罚进点球的概率依次为，，，，；乙队前五轮每名队员罚进点球的概率均为.甲队先罚.(1)求乙队在前两轮中恰好罚进一个点球的概率；(2)前三轮罚点球后，比分达到.（ⅰ）求第五轮时甲队罚进点球就提前获胜的概率；（ⅱ）已知两队未进入第六轮“SuddenDeath”阶段，且甲队获胜.用表示比赛中甲队罚进点球的个数，求的分布列和数学期望.19．已知函数的定义域为，为非零实数，若对任意都有，则称为拓展函数.(1)已知狄利克雷函数.若函数，，判断是否为拓展函数；(2)已知为拓展函数（，且），设，当时，.（ⅰ）当时，证明：，；（ⅱ）若，，，证明：.1．B【详解】样本数据80，85，87，88，90，92，95是从小到大排列的，因为，不是整数，故样本数据的第四个数作为第50百分位数，所以第50百分位数为88.2．B【详解】由题设，，则.3．B【详解】因为，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，解得.4．C【详解】由双曲线方程可知一条渐近线方程为，代入点可得，即，所以双曲线的离心率为.5．A【详解】由题意，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，正方形及三角形的边长为，则正方形的面积为，三角形的面积为，所以每张石凳的表面积为.6．C【详解】由题意可得，第行有项，第行有项，第行有项，……，第行有项，前行总项数为，所以第行第一个数是，第行共项，最后一个是，，，所以这个三角形数表第行所有数的和．7．C【详解】设函数的最小正周期为，因为函数的图象关于原点对称，则，且，可得，即，又因为在区间上单调递减，则，可得，且，则，解得，可得，若，则在区间上单调递减，符合题意；若，则在区间上单调递增，不符合题意；综上所述：，，所以.8．D【详解】的定义域是,,当,,在单调递减，没有最小值；当,得,,,单调递减，,,单调递增，所以当时,取得最小值,令,则,即,设,,,,单调递减，,,单调递增，所以，所以的解为,即,.9．ABD【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，则，对于A，，故正确；对于B，，故正确；对于C，，故错误；对于D，，故正确.10．AC【详解】设底面正方形边长为，取的中点，因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，对于A，，，因为，所以，即，A正确；对于B，因为在轴上，设，，，，若平面，则，，，即，，即，然而不能同时等于和，即不存在这样的，B错误；对于C，，，，因为异面直线与所成角为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确；对于D，因为平面，所以平面的一个法向量为，，，设平面的法向量，所以，即，令，得，，所以二面角的大小不为，D错误．11．BCD【详解】∵⊙的方程为，半径，圆心到轴的距离为，到轴的距离为，由弦长公式可得，，且弦长存在，则，，即，.对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误.对选项B：若，则，即，只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个，B正确.对选项C：若圆心在⊙上，则，∴，，则，因为，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为，C正确.对选项D：∵，，令，，∴.∵圆心在直线上，∴，代入得：，结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值，此时取最大值，故，由基本不等式可得∴，即，∴，当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立.故的最大值为，D正确.12．【详解】由题设，且时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.13．【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，由题有，又，解得，所以，由，解得或，所以，则.14．12【详解】假设数列中的构成公比为的等比数列，所以,又,所以,所以,因为都是质数，所以能被整除，所以,即,所以正整数的最小值为，验证：当时，由得，所以,取，则,符合题意，所以正整数的最小值为.15．(1)如图所示，连接交于点，连接，由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点，又是中点，则.因为平面，平面，所以平面.(2)【详解】（1）略（2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为.因为，，所以.又因为，，所以，所以.因为平面，由，得.又因为，，所以，解得，即直线到平面的距离为.【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为.因为，，所以.又因为，，所以，所以.又因为，，，平面.，所以平面.因为点为中点，所以点到平面的距离为.由，得.又因为，，所以，解得，即直线到平面的距离为.【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.设平面的法向量为，则，取，则，，即.又，则点到平面的距离.由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为.16．(1)(2)或【详解】（1）由已知得，，故，，且.所以，解得.因为，所以.（2）解法一：设，因为，所以中点为.因为，所以，.因为是以为底边的等腰三角形，所以，所以，所以，整理得，，即

①由（1）知：，因为在椭圆上，所以

②联立①、②，消去，化简得.显然，解得，代入②得.所以点的坐标为或.解法二：因为是以为底边的等腰三角形，且，，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上（异于点），所以，即整理得，

①由（1）知：，因为在椭圆上，所以.

②联立①、②，消去，化简得.解得，代入②得.所以点的坐标为或.解法三：设点，由题意不与重合，故，则直线的方程可设为.由（1）知：，因为在椭圆上，所以.

①将代入①，得.展开整理，得.因，得，所以，.所以.因为是以为底边的等腰三角形，，，所以，所以.整理得，.

②将代入②，得.展开整理，得.因为，所以.所以，.所以点的坐标为或.解法四：由（1）知：，由在椭圆上，可设.因为是以为底边的等腰三角形，且，，所以，且.所以.展开，得.整理，得.因为，所以，所以，所以点的坐标为或.17．(1)(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理得.因为，故，又，所以，所以，所以.（2）解法一：由（1）知，，且.设的外接圆半径为，因为的面积为，所以，所以，解得，所以.由余弦定理，得，所以，所以，解得.解法二：因为的面积为，且，所以，所以，解得.由正弦定理得，所以，又，所以，所以，所以.由余弦定理，得，所以，所以，解得.解法三：因为的面积为，且，所以，所以，解得，又因为，所以，所以.由余弦定理得，所以，所以，解得.18．(1)(2)（i）（ii）分布列为45【详解】（1）设事件，分别为甲队、乙队第名队员罚进点球，则，，，.设事件“乙队在前两轮中恰好罚进一个点球”，则.（2）（i）由题意可知，在后甲队在第五轮时罚进点球就提前获胜，即第4轮甲队罚进乙队罚失，第5轮甲队罚进.记所求事件为，因为，，相互独立，所以.（ii）的可能取值为4，5.设“已知两队未进入第六轮‘SuddenDeath’阶段，且甲队获胜”，“比赛中甲队罚进点球的个数为4”，“比赛中甲队罚进点球的个数为5”，则，，互斥，且，，，，，，，相互独立，因为，由（i）知，，所以，所以.因此，，则的分布列为45故.19．(1)是(2)（i）【解法一】证明：，，使得因为为拓展函数，所以，则，，…则，所以，所以.因为当时，，且，所以，所以，.（ii）【解法一】证明：因为，所以当时，，当时，，，使得，因为，所以，，…所以，所以，所以.因为当时，，且，所以，所以.同理可证当时，.设，则，设，则，则，所以，则，且，