直线与圆的位置关系（ 切线的判定与性质十大题型）（ 解析版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形一圆》

2.5直线与圆的位置关系（1）

直线与圆的位置关系&切线的判定与性质

Q知识要点归纳

知识点一直线和圆的位■关系

直线和圆

的位置关相离相切相交

系

直线和圆没有公共点，直线和圆只有一个公共点，这直线和圆有两个公共点，这

定义这时这条直线和圆相时这条直线和圆相切时这条直线和圆相交

离

图形

q9------------------@

公共点个数012

圆心0到直线

的距离d与圆

d>rd=rd<r

的半径r的关

系

公共点名称切点交点

直线名称切线割线

直线与圆相离Od>

总结直线与圆相切od=r直线与圆相交od<r

r

知识点二JBl的切线的判定定理

♦1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

♦2、几何语言表示：（如右图）

为OO的半径，BC1_OA于A,

.直线/是OO的切线

♦3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：

<1）定义法，（如图1）直线和圆只有•个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；

（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径（即大力时，直线与圆相切:

（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并旦垂直于这条半径的直线是圆的切线.

♦4、常见证切线作辅助线的方法：

（1）有交点，连半径，证垂直；

（2）无交点，作垂直，证相等（证明d=r）.

知识点三圆的切靖的性质定理

♦1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

♦2、几何语言表示：

•••直线/是。0的切线，A是切点，

，白线/±OA.

题型归纳

（髓型一判断白线和国的位■关系

幽二根据直线和圆的位置关系确定交点个数)

（量型三已知亘线和圆的位置关系确定取值礴直线与圆的位置关系

膻型A利用切线的性质求角度

&切线的判定与性质)

班型四利用直线与圆的位■关系求彳值

医型五切段的判定一连半径证垂直

£'驾题_型_突_破_•典_例精_析

一二

题型一判断直线和圆的位置关系

【例题1】（2023•南涔区二模）已知平面内有。。与直线48,。。的半径为女7〃，点。到直线AB的距

离为3cm,则直线A6与。。的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.不能判断

【分析】根据点O到直线A8的距离与圆的半径大小作比较即可.

【解答】解：•.•点。到直线A3的距离为3“〃，且OO的半径为3cm,

：.3cm=3cm,即直线AB与0O的位置关系是相切，

故选：A.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.

解题技巧提炼

本题主要考查了直线和圆的住置关系，解决此类问题的关键是根据圆

心到直线的距离与半径的大小关系判断.

①dVrQ直线和圆相交；（^）d=rQ直线和圆相切；③d>?•今直线和圆相离.

【变式1-1］（2023春•宁远县期中）已知。。的半径是10,圆心。到直线/的距离是13,则直线/与。。

的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

【分析】运用直线与圆的三种位置关系,结合10VI3,即可解决问题.

【解答】解：的半径为10,圆心。到直线/的距离是13,而10VI3,

・•.点O到直线/的距离大于半径，

・••直线/与0。相离.

故选:A.

【点评】本题考查的是直线与网的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定.

【变式1-2】（2022秋•大名县校级期末）己知。。的半径是一元二次方程3=0的一个根，圆心

O到直线I的距离d=4,则直线/与。O的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.平行

【分析】先求方程的根，可得「的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解.

【解答】解：；v2・2r-3=0,

••XI=-1,X2~3,

•••0。的半径为一元二次方程程/-2r-3=0的根，

••"=3,

\'d>r,

・•・直线/与0O的位置关系是相离，

故选：c.

【点评】本题考查的是直线与圆的位置美系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定.

【变式1-3】（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有。。和点M,N,若。。半径为2cm,线段OM=3c7〃,

ON=2cni,则直线MN与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系.

【解答】解：的半径为2。〃，线段OM=3c〃?，ON=2cm,

即点M到圆心O的距离大于圆的半径，点N到圆心O的距离等于圆的半径,

，点M在0O外，点N在0O上,

・•・直线MN与的位置关系为相交或相切,

故选：D.

【点评】本题考克了直线与圆的位冒关系,正确的理解题意是解题的关键.

【变式1-4】（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5,5c=8,以A为圆心作一个

半径为3的圆，下列结论中正确的是（)

A.点8在OA内B.直线与OA相离

C.点C在。A上D.直线8。与OA相切

【分析】过A点作于”，如图，利用等腰三角形的性质得到8〃=C"=$8C=4,则利用勾股定

理可计算出4〃=3,然后根据点与圆的位置关系的判定方法对4选项和8选项进行判断：根据直线与圆的

位置关系对。选项和。选项进行判断.

【解答】解：过A点作于〃，如图,

'：AB=AC,

：.BH=CH=1BC=4,

在木△A8“中，AH=>JAB2-BH2=V52-42=3,

*B=5>3,

・•・6点在04外，所以A选项不符合题意；

•・3。=5>3,

・•.(7点在0A外，所以。选项不符合题意；

：.AH=3,AHA-BC,

・•・直线BC与0A相切，所以。选项符合题意，8选项不符合题意.

【点评】木题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为「，圆心。到直线/的距离为d,若直线/和00

相交od<r；直线/和。。相切=d=r：直线/和。。相离二也考查了点与圆的位置关系和等腰三角

形的性质.

【变式1-5】如图所示，在RtAABC中，NC=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心，，•为半径的圆

与直线A5有何位置关系？为什么？

(1)r=4cm.(2)r=4.Scm.(3)r=6cm.

【分析】此题重点是求得圆心到直线的距离，即是求直角三角形斜边上的高.该高等于两条直角边的乘积

除以斜边，然后根据数量关系判断直线和圆的位置关系.

若dVr,则直线与圆相交：若4=八则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

【解答】解：AB=>/AC2+BC2=V62+82=10(cm),

设AB边高为h,

则h・AB=ACXBC,

,6x8..、

h=-nr-=4.8o(cm).

(I)当r=4c/n,d>r,则A8与OC相离;

(2)当r=4.8c〃?，d=r,则A8与QC相切；

(3)当/=6c〃?，r>d,则A8与OC相交.

【点评】注意直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘枳除以斜边：能够熟练根据数量关系判断直线和

圆的位置关系是解题的关键.

孑题型二根据直线和圆的位置关系确定交点个数

【例题2】(2022秋•江夏区校级期末)已知。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为4,那么直线/

与0O的公共点的个数是(：

A.0B.1C.2D.无法确定

【分析】利用宜线与圆的位置关系的判断方法得到直线/和。O相交，然后根据相离的定义对各选项进行

判断.

【解答】解：:。。的半径等于5,同心。到直线/的距离为4,

即圆心O到直线I的距离小于圆的半径，

・••直线/和0。相交，

・••直线/与。。有2个公共点.

故选：C.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为一，圆心。到直线/的距离为d,则当直线，和

。0相交="</：直线/和。。相切=d=r；直线/和。。相离=d>..

解题技巧提炼

直线和圆的住置关系与圆的公共点个数间的关系:

1、直线和圆相交Q两个公共点，

2、直线和圆相切<=>一个公共点，

3、直线和圆相离Q没有公共点.

【变式2-1】已知OO的半径等丁&、〃?，圆心。到直线/的距离为9c”则直线/与。。的公共点的个数

为（）

A.0B.IC.2D.无法确定

【分析】利用直线与圆的位置关系必判断方法得到直线/和0。相离，然后根据相离的定义对各选项进行

判断.

【解答】解：:。。的半径等于8,加，圆心。到直线/的距离为%7〃，

即圆心O到直线/的距离大于圆的半径，

・•・直线/和。。相离，

・•.直线/与OO没有公共点.

故选:A.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O。的半径为八圆心。到直线/的距离为由则当直线【和

O0相交直线/和。。相切Qd=r：直线/和相离

【变式2-2］（2022秋•武汉期木）直角△ASC,N6AC=90°,Afi=8,AC=6,以A为圆心，4.8K度为

半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断.若■，则直线与圆相交；若d=r,则直

线于圆相切：若d>r,则直线与圆相离.

【解答】解：VZBAC=90°,AB=8,AC=6,

r.BC=io,

・•.斜边上的高为：怨手=4.8,

BC

d=4.Scm=rem=4.Scm,

・•・圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1,

故选：B.

【点评】本题考直了直线与圆的位置关系：设。。的半径为「，圆心。到直线/的距离为4则当直线！和

00相交=dV「：直线」和OO相切=d=r；直线/和。。相离=d>，.

【变式2-3】已知。。的半径是3,圆心。到直线/的距离是4,则直线I与。0的公共点的个数是（）

A.0B.1C.2D.1或2

【分析】欲求直线/与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离4与圆半径「的大小关系.若“＜，，

则直线与圆相交：若4=人则直线与圆相切；若d＞r,则直线与圆相离.

【解答】解：•・•圆半径＞=3,圆心到直线的距离d=4.

故r=3＜（/=4,

・••直线与圆的位置关系是相离.

・••直线/与的公共点的个数是0,

故选:A.

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定.

【变式2-4】已知。。的直径等于&7〃，圆心。到直线/上一点的距离为4“〃，则直线/与。。的公共点

的个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线/和OO相离，然后根据相离的定义对各选项进行

判断.

【解答】解：:。。的直径等于&•出，圆心0到直线/上一点的距离为4“〃，

，OO的半径等于4cm,圆心0到直线/的距离

即圆心0到直线/的距离W圆的半径，

・••直线/和OO相切或相交，

・••直线/与0O有1个或2个有公共点.

故选：D.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为「，圆心。到直线/的距离为4则当直线/和

00相交odVr；直线/和。。相切0d=-：直线/和。0相离

产题型三已知直线和圆的位置关系确定取值范围

【例题3】（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系中，以点A（4,3）为圆心、以R为半径作圆

A与x轴相交，且原点。在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（)

A.0</?<5B.3VRV4C.3</?<5D.4</?<5

【分析】分别根据原点。在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径火的取值范围.

【解答】解：:A（4,3）,

：,0A=V324-42=5,

•.•原点。在圆a的外部，

•••RVOA,即RV5,

丁圆A与入轴相交，

：.R>3,

・・・3<RV5,

故选:C.

【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与

国的位置关系是解此题的关键.

解题技巧提炼

解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半

径的大小关系，然后求其取值范围即可.

【变式3-1】（2022秋•连云港期中）直线/与。。相离，且。。的半径〃等于3,圆心。到直线/的距

离为"，则d的取值范围是.

【分析】根据''若dVr，则直线与圆相交；若，1=「,则直线于圆相切：若d>r,则直线与圆相离”即可得

到结论.

【解答】解：•.•直线，与。。相离，0。的半径等于3,圆心。到直线/的距离为d,

Ad>3.

故答案为：d>3.

【点评】本题考查的是直线与圆的位置美系，熟知设O。的半径为，，圆心。到直线/的距离为d,当"〉

「时，直线/和。。相离是解答此题的关键.

【变式3-2】（2022秋•青龙县月考）如图，已知NACB=30°,CA/=2,AM=5,以点M为圆心，（为

半径作OM,OM与线段4c有交点时，则，•的取值范圉是.

【分析】过M作M〃_LAC于〃，根据直角三角形的性质得到HM=*CM=1,然后根据直线与圆的位置关

系即可得到结论.

【解答】解：过M作M〃_LAC于凡

'：CM=2,NAC7?=3O°,

：.HM==1,

'：AM=5,OM与线段AC有交点，

・•・/,的取值范围是1W-W5,

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设。。的半径为，，圆心。到直线/的距离为4若直线/和0。

相交=dVr；直线/和00相切=d=r：直线/和00相离

【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的。P的圆心P的坐标为（-3,

0）,将。P沿x轴正方向平移，使OP与），轴相交，则平移的距离d的取值范围是.

（分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可.

【解答】解：当OP位于），轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为I：

当0P位于），轴的右侧且与），轴相切讨，平移的距离为5.

故平移的距离d的取值范围是l〈d<5.

故答案为：1V4V5.

【点评】本题考杳了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与宣线相切时，点到圆心的距离等于圆

的半径.

【变式3-4】Rlz^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,若以点C为圆心，r为半径，旦。C与斜边AB

有唯一公共点，求半径「的取值范围.

【分析】此题注意两种情况：

(I)圆与A8相切时；

(2)点A在圆内部，点8在圆上或圆外时.

根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解.

【解答】解：如图，根据勾股定理求得49=5.

；BC>AC,

・••以C为圆心，「为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点分两种情况：

(I)圆与AB相切时，即r=CO=3X4+5=2.4；

(2)点A在圆内部，点8在圆上或圆外时，此时4CC/W8C,即3V/W4.

••.3V0或r=2.4.

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即

可.

利用直线与圆的位置关系求最值

【例题4】(2022秋•凉山州期末)点4是半径为2的。。上一动点，点。到直线MN的距离为3.点P

是MN上一个动点.在运动过程中若/P。4=90'，则线段限的最小值是

【分析】根据勾股定理用OP表示出根据垂线段最短解答即可.

【解答】解：•・・/POA=90°,

y/OA1+OP2=y/4+OP2,

当。P最小时，用取最小值，

由题意得：当OP_LMN时，OP最小，最小值为3,

.•.也的最小值为：V4T37=V13,

故答案为：713.

【点评】本题考杳的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的

长是解题的关键.

解题技巧提炼

本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，

添加适当的辅助线是解题的关键.利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂

线段最短”求最值.

【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形八8。中，已知BC=4,AB=AC=3,若0c

的半径为l,P为AB边上一动点，过点P作©C的切线PQ,切点为则PQ的最小值为.

【分析】作A£L8C于点E,。。_1_/18于点。，连接CP、CQ,先由3C=4,AB=AC=3BE=CE=he

=2,再根据勾股定理求得AE=而，由］x3CO=；x4x而=SA"C求得。。=等，由尸。="P?-1可

如，当CP的值最小时，kQ的值最小，所以当点产与点/5重合时，C尸的值最小，根据勾股定理求山此时

PQ的值即可.

【解答】解：如图，作AE_L8C于点E,CD_LAB于点£>,连接CP、CQ,

V/?C=4,A8=AC=3,

：.BE=CE=1BC=1x4=2,

ZAEB=90°,

：.AE=7AB2-BE?=V32-22=6

1i

\'-/\B*CD=*BC・AE=SAABC，

x3CD=5x4xV5,

22

.4、怎

・r・n但.’

•・・PQ切。。于点。,CQ=1,

：.PQVCQ,

；・NCQP=90。,

：.PQ=JCP2-CQ2=VCP2-I2=-i,

・••当CP的值最小时.，PQ的值最小，

，当点。与点。重合时，CP的值最小，此时CP=CO=竽,

:・PQ最小=J（竽）2_1=经，

故答案为：—

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定

理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

【变式4-2]（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点。为圆心，1为半径作圆，点P（m,

乃m+2遮），过点P作该圆的一条切线，切点为A,则%的最小值为（）

A.3B.2C.V3D.\[2

【分析】连接两，04，由切线的性贡得到。4_1_布，求出PO2=//+（&m+2g）2=4〃?+12〃?+12,由勾

股定理得到PA2=PO2-0解=4〃』+⑵/11=4(771+款+2,即可求出PA的最小值是VL

【解答】解：连接P。，0A,

VM切圆于力,

：.OA1PA,

:点P(m,V3m+2V3),

.*.PO2=m2+(V3m+275)2=4/n2+12m+12,

•・•圆的半径是1,

：.0A=\,

：.P^=PO2-OA2=4/?72+12/M+11=4(7n+1)2+2,

••・市的最小值是2,

VM>0,

・••朋的最小值是我.

【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是11切线的性质，勾股定理得到以2=

PCr-OA2=4m2+\2m+\\=4(m4-1)2+2,即可求出PA的最小值.

【变式4-3](2022秋•常熟市期中)如图，直线)=*计3与x轴、y轴分别交于A,8两点，点尸是以C

(1,0)为圆心，1为半径的网上任意一点，连接以，PB,则△R1B面积的最小值是()

【分析】作C”_LA8于〃交O。于E、F.当点P与石重合时，△附B的面积最小，求出EH、A3的长即

可解决问题

【解答】解：作C〃_LA8于〃交。。于E、F.

VC(1,0),直线八8的解析式为？=*"3,

4

-

，直线C，的解析式为产一3

f4

y-X+

-一

3

由f<x

l3

y-X+3

彳ly

1

•(1-2)

：95

••・C〃=J(l+$2+(第2=3,

(4,0),B(0,3),

：.OA=4,08=3,八8=5,

：.EH=3-1=2,

当点P与E重合时，△附8的面积最小，最小值=±x5X2=5,

故选：A.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

⑪题型五切线的判定一连半径证垂直

【例题5】（2023春•保德县校级期中）如图，△八中，AB=AC,以48为直径作。O,与交于点

D,过。作AC的垂线，垂足为E.求证：QE是。。切线.

【分析】连接OD,由于N8AC=2N8/U),NBOD=2NBAD,那么/8AC=N3O。，可得OO〃AC,而

DE1AC,易证/0。3=90°,从而可证。七是。0切线.

【解答】证明：连接OQ，

VZBAC=2ZBAD,/BOD=2/BAD,

；・NBAC=NBOD,

：.OD//AC,

又TOEUC,

AZ4ED=90°,

••・/OOE=NAEO=9(T,

半径OD±DE,

•••OE是。。的切线.

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定.解题的

关僮是连接OD、AD,并证明OD//AC.

解题技巧提炼

直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证

垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等.

【变式5-1】（2022秋•黄埔区期末）如图，为。0的直径，。为。。上一点，ADLCD,垂足为

AC平分ND48.求证：0c为。。的切线.

【分析】由于。是OO上一点，连接OG证OC_LCO即可：利用角平分线的性质和等边对等角，可证得

NOC4=NCA。，即可得到OC〃/W,由于4D_LCD,那么OC_LCD由此得证.

【解答】证明：如图，连接OC,

\'OA=OC,

・•・NOAC=/OCA,

FC平分NO4C,

/.ZDAC=ZOAC,

••・NOAC=/OCA,

：.AD//OC,

'：AD±CD,

C.OCLCD,

••・C在00上，

.••co是CO的切线.

【点评】本题主要考杳的是切线的判定方法.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这

点（即为半径），再证垂直即可.

【变式5-2】（2023•义乌市模拟）如图，OO的直径AB=4,N48C=30°,8c交OO于点。，。是

BC的中点.

（1）求的长;

（2）过点。作。E_LA。，垂足为£求证：直线。E是。。的切线.

C

【分析】（1）根据圆周角定理求得408=90“，然后解直角三角形即可求得8。，进而求得8c即可:

（2）要证明直线。E是。。的切线只要证明NEQO=90°即可.

【解答】解：（1）连接AO,

C

是C。的直径,

；・/八1）8=阿，

又•.•NA8C=30°,AB=4,

:・RD=2®

是8c的中点，

:.BC=2BD=4如:

（2）连接OD.

・••7）是3C的中点，。是A8的中点，

・•・OO是△48C的中位线，

：.OD//AC,则NEDO=NCED

又•JOfLLAC,

，NCED=90",NEDO=NCED=90"

・・・0E是。。的切线.

【点评】此题主要考杳了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质.解题时要注意连接过切点的半径

是圆中的常见辅助线.

【变式5-3】（2022•昭平县一模）如图，是。O的弦，OP_LAB交于C,OC=2,ZABC=30°.

（1）求A8的长；

（2）若C是OP的中点，求证：PB是。。的切线.

【分析】（I）连接OA、08,根据圆周用定理得到/AOC=2/A8C=60'，则/04。=30°,所以OD=

=1,AD=43OD=V3,再根据垂径定理得AO=8D,所以A8=26；

（2）由（1）N8OC=60°,则△OCR为等边三角形，所以BC=OB=OC,NOBC=/OC8=60",而

CP=CO=CB,则/C8P=NP,可计算出NC8P=30°,所以NOBP=NOBC+NCBP=90",于是根据

切线的判定定理得PB是OO的切线.

【解答】（1）解：连接OA、OB,如图，

VZABC=30°,0IUAB,

：.ZAOC=60°,

：.ZOAD=30°,

：・0D=ioA=1x2=l,

：.AD=y/3OD=R,

OPLAB,

：.AD=BD,

：.AB=2yf3i

(2)证明：由(1)ZBOC=60°,

而OC=OB,

.•.△OCB为等边三角形，

：,BC=OB=OC,NOBC=NOC8=60°,

；・C是OP的中点，

：,CP=CO=CB,

:.NCBP=/P,

而ZOCf3=NCRP+ZP,

/.ZCBP=30°

:・NOBP=/OBC+/CBP=90°,

：.OBLBP,

・•・/归是o。的切线.

【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了垂

径定理、圆周角定理和含30度的直用三角形三边的关系.

【变式5-4】(2023•岚山区开学〉如图，已知△ABC中，AC=BC,A。是△ABC外接圆。。的直径，过

点C作8。的垂线交8。的延长线于点£,连接CO.

求证：(1)平分NAOE：

(2)CE是OO的切线.

【分析】（I）根据等腰三角形的性质得到NC48=NA8C,等量代换得到/4）C=NCD5根据角平分线

的定义即可得到结论：（2）连接0C,根据三角形的内角和定理得到NDCE+NCQE=90。,根据等腰三

知形的性质得到/OCO=/OOG求得上OCE=90°,根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】证明：（1）,：AC=BC,

:,NCAB=/ABC,

•••NCDE=NC4B,ZADC=/ABC,

:.ZADC=ZCDE,

...CO平分NAOE:

（2）连接OC,

•；CELBE,

r.ZE=90°,

r.ZDCE+ZCDE=90o,

•:OC=O。，

：.ZOCD=ZODC,

ZODC=ZCDE,

:・NOCD=NCDE,

：.ZOCD+ZDCE=90o,

/.ZOCE=90°,

•••0。是。0的半径，

；・CE是。。的切线.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质,正确地作出辅

助线是解题的关键.

题型六切线的判定——作半径证垂直y

【例题6】（2022•椒江区一模）如图，△A8C为等腰三角形，O是底边8。的中点，腰48与。。相切

于•点。.求证：AC是。。的切线.

【分析】过点。作OE_LAC于点£连接OD,OA,根据切线的性质得出48JLO。，根据等腰三角形三线

合一的性质得出AO是NB4C的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论.

【解答】证明：过点。作。E_LAC于点£连接OO,OA,

••MB与OO相切于点。，

：.ABA-OD,

:△ABC为等腰三角形，O是底边5c的中点，

••・4。是NZMC的平分线，

：.OE=OD,即OE是。。的半径，

•.•圆心到直线的距离等于半径，

••"C是OO的切线.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题

的关键.

解题技巧提炼

直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的

长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.

【变式6-1】如图，。为正方形AOCO对角线AC上一点，以。为圆心，长为半径的OO与3C相切于

点、M.求证：CO与。O相切.

【分析】利用正方形的性质得出AC平分角N8CO,再利用角平分线的性质得出OM=ON,即可得出答案.

【解答】证明：如图所示，连接OM,过点。作ON_LC。于点N,

•••0。与3c相切于点M,

：.OMA.BC,

又，：ONLCD,。为正方形八8co对角线AC上一点，

：.0M=0N,

二ON为。。的半径，

••.CO与。。相切.

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM=ON是解题关键.

【变式6-2】(2022•武汉模拟)力图，在RtZXAHC中，NB=90°,N8AC的平分线交BC于点。，E

为A8上的一点，OE=OC,以。为圆心，08长为半径作0。，AB=5,EB=3.

(1)求证：AC是。。的切线;

(2)求线段AC的长.

E

Dy_c

【分析】(1)过点。作。尸_LAC于凡求出B£>=。/等于半径，得出AC是。。的切线.

(2)先证明△BOEg/XOC”(HL),根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF,得出AB+EB

=AC.

【解答】证明：(1)过点。作。F_LAC于凡

•.飞3为OO的切线，

・・./8=90°

：.AB±BC

二4。平分/GAGDFA.AC

:.BD=DF

・・"。与0。相切：

(2)在ABDE和△DC/中：

•；RD=DF,DE=DC,

：.RtA^DE^RtADCF(HL),

：,EB=FC.

\'AB=AF,

：.AB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

：.AC=5+3=S.

【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判

定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题(2)的关键.

【变式6-3】如图，0C平分NAO&。是。。上任意一点，和。A相切于点£,连接CE.

(1)求证：08与。。相切：

(2)若0E=4,的半径为3,求CE的长.

【分析】(1)过点。作。尸_LOB于点凡先由切线的性质得。E_L0A,则由角平分线的性质得。尸=OE,

即可证得结论；

(2)过E作EG，。。于G,先由勾股定理求出0。=5,再由面积法求出EG=导，然后由勾股定理求出

DG=i，最后由勾股定理求出CE即可.

【解答】⑴证明：连接。E,过点。作。凡LO8于点F,如图所示:

•••。。与0A相切于点E,

：.DE±0A,

TOC平分NA05,

：.DF=DE,

又：DF工0B,

与。。相切：

(2)解：过E作EG_L0。丁•G,如图所示:

.,.ZOED=90°,

V0E=4,DE=3,

：.0D=V32+42=5,

VEG10D,

：.-ODxEG=^OExDE,

22

,*OExDE4x312

-EG=-dD-=—=-5f

2

：.DG=\/DE2-EG2)=l

924

：.CG=CD+DG=3+^=g,

12后

:・CE=、EG2+CG?=

-5-,

【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅

助线.

题型七切线判定多结论问题

【例题七】（2022秋•青山湖区期末）如图所示，A8是00的直径，。。交8C的中点于。，OE_L4C

于•E,连接AO,则下列结论：①AO_L.BC；②NEDA=NB；③0A=夕C：④OE是。。的切线，正确

的有（)

D

E

o

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确：由。为中点，得到AO为48的一半，

故AO为4c的一半，选项③正确；由。。为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OO与

AC平行，由AC与3E垂直得到。。与OE垂直，即NOOE为90°,故为圆O的切线，选项④正确.

【解答】解：•.•48是0O直径，

AZADB=90°,

：.AD±BC,选项①正确；

连接。/5,如图,

；D为BC中点,。为48中点，

.••OO为△ABC的中位线，

：.OD//AC,

XDE±AC,：.ZDEA=90a,

AZODE=90°,

••・Z)E为圆。的切线，选项④正确：

又OB=OD,

:,NODB=4B,

为圆。的直径，

••・乙4。8=90°,

'：ZEDA+ZADO=90°,ZBDO+ZADO=90°,

:.£EDA=4BDO,

：.ZEDA=ZB,选项②正确；

由。为8。中点，且八。

.,.AD垂直平分BC,

1

-3

：.AC=AB,又0A=2

：.OA=^AC,选项③正确;

则E确结论的个数为4个.

故选：D.

C

【点评】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理.证明切线时连接。。是解这类题经常连接的辅

助线.

解题技巧提炼

本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解

答此题的关键.

【变式7-1】如图，在。。中，E是半径0A上一点，射线E/UOA,交圆于4,P为仍上任一点，射线

AP交圆于C,。为射线8尸上一点，且。C=OP,下列结论：①CO为。。的切线：②附＞PC：③N

CDP=2ZA,其中正确的结论有（）

A.3个B.2个C.I个D.0个

【分析】根据已知及切线的判定等充各个结论进行分析，从而得到答案.

【解答】解：

：.ZDPC=ZDCP,

♦：4DPC=4APE,

：.NDCP=NAPE,

f：OA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA：

VZOAC+ZAPE=90a,

：.ZOCA+ZDCP=90°,

••・c。为o。的切线(①正确)：

②不•定；

连接co,

•••C。是。。的切线，

:.乙DCP=；/AOC.

VZDCP=|z/10C=1(1800-2ZA),

又•：NOCP=；(1800-ZCDP),

：.180°-2ZA=180°-/CDP,

••・NCOP=2NA,③正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了切线的判定的理解及运用.

【变式7-2】如图，A3是。。的直径，线段BC与。0的交点。是3c的中点，OE_LAC于点E，连接

AD,①43_LBC：②NEDA=NB；③QA=|AC：④DE是。。的切线，则上述结论中正确的个数是（）

【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断.

【解答】解：•••AB是直径，

AZADB=90°,

/.AD±BC,故①正确：

：.CD=BD,

XVZADC=ZAD5=90n,AD=AD,

.•.△ACOg△八8。(SAS),

：.AC=AB,ZC=ZB,

OD=OB,

:.NB=NODB,

：.£ODB=/C,

:、OD//AC,

'：DELAC,

：.ODLDE,

••・OE是圆O的切线，故④正确;

••18为圆。的直径，

AZADB=90°,

'：ZEDA+ZADO=90°,N800+/A00=90°,

，NEDA=NODB,

VZODB=2B,

:・NEDA=/B,选项②正确：

由D为SC中点，KADIBC,

垂直平分8C,

：.AC=AB,又。人=518,

：,OA=^AC,选项③正确；

故选：D.

【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接0。是解这类题经常连接的辅助线.

【变式7-3】如图，在四边形48CD中，ZBAD=25°,ZC=90°,ZADC=\\5°,。为A8的中点,

以点。为圆心、A0长为半径作圆，恰好使得点。在00上，连接O。，若/必。=25°,下列说法中

A.。是劣弧猊的中点B.C。是OO的切线

C.AE//ODD.N08C=120"

【分析】证出N8AO=NEAO,由圆周角定理得出防=应)，得出选项A正确：由等腰三角形的性质得出

N4)O=N3AO=25°,求出N0Z)C=N4OC-NAD0=90°,得出CO_LOO,证出。。是。0的切线，

选项81E确；由圆周角定理得出/6。。=2/e4。=50",证出得出AX〃。/),选项C

正确：由已知条件得出/O8C=13(r,得出选项。不正确：即可得出结论.

【解答】解：:/朋。=25°,ZEAD=25°,

:・NBAD=NEAD,

：.BD=ED,

.•.0是诙的中点，选项A正确：

,：OA=OD,

r.ZADO=ZBAD=25°,

：.ZODC=AADC-ZADO=1150・25°=90°,

：.CD±OD,

••・C。是o。的切线，选项3正确；

VZWD=2Z«4D=50°,ZBAE=250+25°=50°,

:・NBOD=NBAE,

：,AE//OD,选项。正确；

VZC=90",

••.NO8C=36（T-90°-90°-50，=130°W120°,选项。不正确：

故选：D.

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定；熟练掌握圆周角定理

和等腰三角形的性质是解决问题的关键.

【变式7-4】（2022秋•台江区校级月考）如图，点。在以A3为直径的半圆上，AB=S,ZABC=30a,

点。在线段八B上运动，点E与点。关于BC对称，DF上DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列

结论：

①CE=CF；②N£=30°：③线段EF的最小值为2百；④当AO=2时，EF与半圆相切.其中正确结论

的序号是.

【分析】①由点E与点。关于AC对称可得CE=CD,再根据DF1.DE即可证到CE=CF,从而判断正误；

②由对称性质得8C_LOE,/BCD=/BCE,当NBCOH60°时，NEW30°,从而判断正误；

③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CO148时C。最小，由于E/=2C。，求出C。的最小值就可

求出E"的最小值，从而判断正误；

④连接OC,易证AAOC是等边三角形，AD=OD,根据等腰三角形的“三线合一”可求出NACD,进而

可求出NECO=90°,从而得到即与半圆相切，从而判断正误.

【解答】解：①连接CD,

二•点E与点D关于AC对称,

：.CE=CD.

：,ZE=NCDE.

•:DFLDE,

；・NEDF=90°.

.,.Z£+ZF=90°,NCQE+NCDF=