2027年高考数学一轮复习(创新设计)第4节　空间直线、平面的平行

第4节空间直线、平面的平行课标要求1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行a∥α,a⊂β,α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒α∥β性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β,a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.2.三种平行关系的转化(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题过程中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时,一定要写全定理满足的条件,否则可能是假命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.2.(人教A必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交答案D解析因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.3.(人教A必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.

答案平行四边形解析因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH＝HG,且平面EFGH∩平面ABFE＝EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.4.(人教B必修四P108T3改编)如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PA和PC分别与β相交于B和D,若PA＝4cm,AB＝5cm,PC＝3cm,则PD＝cm.

答案27解析因为α∥β,平面PBD∩α＝AC,平面PBD∩β＝BD,由平面与平面平行的性质定理,得AC∥BD,所以PAPB＝PCPD,即49＝考点一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2,CD＝4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.证明法一如图,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,∴EF∥CD,且EF＝12CD又∵AB∥CD,AB＝2,CD＝4,∴AB綉EF,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,∴BE∥平面PAD.法二如图,延长DA,CB相交于点H,连接PH,∵AB∥CD,AB＝2,CD＝4,∴HBHC＝ABCD＝12又E为PC的中点,∴BE∥PH,又BE⊄平面PAD,PH⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.法三如图,取CD的中点H,连接BH,HE,∵E为PC的中点,∴EH∥PD,又EH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EH∥平面PAD,又由题意知AB綉DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD⊂平面PAD,BH⊄平面PAD,∴BH∥平面PAD,又BH∩EH＝H,BH,EH⊂平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE⊂平面BHE,∴BE∥平面PAD.角度2直线与平面平行的性质例2(2026·武汉联考)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.(1)求证:BC∥平面PAD;(2)M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.证明(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.(2)如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以MO∥PA.因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM＝HG,所以AP∥HG.感悟提升1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,即证明线线平行,一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.2.判定直线与平面平行,主要有三种方法:(1)线面平行的定义(无公共点);(2)线面平行的判定定理;(3)面面平行的性质定理.3.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.训练1如图,四边形ABCD为长方形,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明:(1)DF∥平面PBE;(2)DF∥l.证明(1)取PB的中点G,连接FG,EG,因为点F为PC的中点,所以FG∥BC,FG＝12BC因为四边形ABCD为长方形,所以BC∥AD,且BC＝AD,所以DE∥FG,DE＝FG,所以四边形DEGF为平行四边形,所以DF∥GE,因为DF⊄平面PBE,GE⊂平面PBE,所以DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE,又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE＝l,所以DF∥l.考点二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证:BC∥GH;(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC＝BC,且平面BCHG∩平面A1B1C1＝GH,∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,∴A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.感悟提升1.证明面面平行可以通过线面平行来证明,而判定面面平行主要有四种方法:(1)定义(常与反证法结合);(2)面面平行的判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线.训练2如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l,证明:B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面CD1B1＝l,平面ABCD∩平面A1BD＝BD,所以l∥BD,又B1D1∥BD,所以B1D1∥l.考点三平行关系的综合应用例4如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).(1)求证:MN∥平面PAD;(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.(1)证明过点N作NE∥CD,交PD于点E,连接AE,因为N为PC的三等分点,可得NE＝23CD又因为M为AB的三等分点,可得AM＝23AB因为AB∥CD且AB＝CD,所以AM∥NE且AM＝NE,所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN∥AE,又由MN⊄平面PAD,AE⊂平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)解当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD,证明如下:取PB上一点Q,使得BQ＝13BP,即点Q为PB上靠近点B的三等分点在△PAB中,因为M,Q分别为AB,PB的三等分点,可得MBAB＝BQBP,所以因为MQ⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以MQ∥平面PAD;又由(1)知MN∥平面PAD,且MN∩MQ＝M,MN,MQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD,即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD.感悟提升三种平行关系的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面平行间的转化.训练3(2026·长春调研)如图,在正四面体S－ABC中,AB＝4,E,F,R分别是SB,SC,SA的中点,取SE,SF的中点M,N,Q为平面SBC内一点.(1)求证:平面MNR∥平面AEF;(2)若RQ∥平面AEF,求线段RQ的最小值.(1)证明因为R,M,N分别是SA,SE,SF的中点,所以MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以MN∥平面AEF.同理,MR∥平面AEF,又因为MR∩MN＝M,MN,MR⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面AEF.(2)解由(1)知,平面MNR∥平面AEF,若RQ∥平面AEF,则点Q在线段MN上移动.由题意得AE⊥SB,AE＝AB2−如图,在△RMN中,RM＝12AE＝3,RN＝12AF＝3,MNRQ的最小值为R到线段MN的距离.因为△RMN是等腰三角形,故RQ的最小值为(3一、单选题1.(2026·南京模拟)在空间中,直线l∥平面α的一个充要条件是()A.α内有一条直线与l平行B.α内有无数条直线与l平行C.任意一条与α垂直的直线都垂直于lD.存在一个与α平行的平面经过l答案D解析对于A,B,C,直线l都可能在α内.2.如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,与平面AA1B1B平行的直线为()A.AB B.CC1C.BC D.AC答案B解析由题意,AB⊂平面AA1B1B,BC,AC与平面AA1B1B都相交,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B,所以CC1∥平面AA1B1B.3.下列命题中正确的是()A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α答案D解析A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线也可能异面;C中,两平面可能相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,故D正确.4.(2026·抚顺六校协作体检测)在四棱锥P－ABCD中,E,F分别为侧棱PC,PD上一点(不含端点),则“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A解析因为CD∥EF,CD⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以CD∥平面BEF.由CD∥平面BEF,CD⊂平面PCD,平面PCD∩平面BEF＝EF,得CD∥EF.故“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的充要条件.故选A.5.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)交C1D1,A1B1,AB,CD分别于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为()A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.梯形答案A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD＝GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.6.如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'＝2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC＝()A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25答案D解析由题意知,平面α∥平面ABC,所以AB∥平面α,又平面α∩平面PAB＝A'B',所以A'B'∥AB,同理可得AC∥A'C',BC∥B'C',所以∠ABC＝∠A'B'C',∠BCA＝∠B'C'A',所以△ABC∽△A'B'C'.因为PA'∶AA'＝2∶3,所以PA'∶PA＝2∶5,所以A'B'∶AB＝2∶5,所以S△7.(2026·济南质检)如图,在四面体A－BCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,下列条件中,不能证明EH∥FG的是()A.E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点B.AEEB＝C.BD∥平面EFGHD.BEEA＝答案D解析对于A,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,则EH∥BD,FG∥BD,所以EH∥FG,故A中条件可以证明EH∥FG;对于B,因为AEEB＝AHHD,所以又CFFB＝CGGD,所以FG∥BD,所以故B中条件可以证明EH∥FG;对于C,因为BD∥平面EFGH,BD⊂平面ABD,且平面ABD∩平面EFGH＝EH,所以BD∥EH,同理可得BD∥FG,所以EH∥FG,故C中条件可以证明EH∥FG;对于D,若BEEA＝BF则EF∥AC,HG∥AC,所以EF∥HG,但EF不一定等于HG,所以四边形EFGH不一定是平行四边形,所以EH不一定平行于FG,故D中条件不能证明EH∥FG.二、多选题8.平面α与平面β平行的充分条件可以是()A.α内有无数条直线都与β平行B.α内的任何一条直线都与β平行C.两条相交直线同时与α,β平行D.两条异面直线同时与α,β平行答案BCD解析当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;当α内的任何直线与β平行时,必有两条相交直线与β平行,故B符合题意;两条相交直线同时与α,β平行,设两相交直线确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,可得α∥β,故C符合题意;两条异面直线同时与α,β平行,则可在一条直线上取一点作另一条直线的平行线,问题转化为C项的条件,故D符合题意.9.(2026·温州调考)已知三棱台ABC－A'B'C',上、下底面边长之比为1∶2,棱AB,BC,AC的中点分别为点M,P,N,则下列结论正确的有()A.A'N∥PC'B.A'P与AC为异面直线C.AB∥平面A'C'PD.平面A'MN∥平面BCC'B'答案BD解析对于A,因为A'N⊂平面A'C'CA,C'∈平面A'C'CA,P∉平面A'C'CA,且C'∉A'N,所以A'N,PC'是异面直线,故A错误;对于B,因为AC⊂平面A'C'CA,A'∈平面A'C'CA,P∉平面A'C'CA,且A'∉AC,所以A'P与AC为异面直线,故B正确;对于C,因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以AC∥MP,因为AC∥A'C',所以MP∥A'C',可得AB∩平面A'C'PM＝M,故C错误;对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC,因为MN⊄平面BCC'B',BC⊂平面BCC'B',所以MN∥平面BCC'B',因为AC∥A'C',A'C'＝12AC＝NC所以四边形A'C'CN为平行四边形,可得A'N∥C'C,因为A'N⊄平面BCC'B',C'C⊂平面BCC'B',所以A'N∥平面BCC'B',因为MN∩A'N＝N,MN,A'N⊂平面A'MN,所以平面A'MN∥平面BCC'B,故D正确.三、填空题10.考查下列两个命题:“”处都缺少同一个条件,补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为.

①m⊂αl∥m⇒l∥α;②答案l⊄α解析①由线面平行的判定定理知l⊄α;②由线面平行的判定定理知l⊄α.11.如图,空间图形A1B1C1－ABC是三棱台,在点A1,B1,C1,A,B,C中取3个点确定平面α,α∩平面A1B1C1＝m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是.

答案A,B,C1(答案不唯一)解析由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台,可得平面ABC∥平面A1B1C1,当平面ABC1为平面α,平面α∩平面A1B1C1＝m时,又平面α∩平面ABC＝AB,所以由面面平行的性质定理可知m∥AB,所取的这3个点可以是A,B,C1.12.(2026·盐城质检)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFFC等于.答案1解析连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF＝FG,所以PA∥FG,所以PFFC又AD∥BC,E为AD的中点,所以AGGC＝AEBC四、解答题13.由正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示,O为AC与BD的交点.求证:(1)A1O∥平面B1CD1;(2)平面A1BD∥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点E,连接A1E,CE,则A1E＝OC,A1E∥OC.所以四边形COA1E为平行四边形,所以A1O∥EC.因为EC⊂平面B1CD1,A1O不在平面B1CD1内,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为BD∥B1D1,B1D1⊂平面B1