第五章 轴对称与旋转（压轴题专练）-湘教版七年级数学下册复习

第五章轴对称与旋转（压轴题专练）

一、选择题

1.（2024•山东济宁•一模）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为（-1,0）,

每一次将“08绕着点。顺时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到

△4。4,第二次旋转后得到A/i”区，…，依次类推，则点的坐标为（）

2023

C.卜22侬,22。22后）D.（-2^,-2

2.（22-23八年级上•贵州黔南•期末）如图,在48。中,NC=6,8c=8,沿过点8的直线折

叠这个三角形，使点。落在"边上的点E处，8。为折痕，若以s=1s△诙，则"边长为（）

3.（23・24八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在“AC中，/3=8,BC=6,沿过点B的直

线折叠这个三角形，使点。落在力4边上的点£处，折痕为4。，若NC=2NBDE,则。£的长

是（）.

4.（22-23八年级上•河南驻马店•阶段练习）如图，长方形力8C。的两边8G。分别在x轴,

V轴上，点C与原点重合，点月（-】，2）,将长方形4AC。沿X轴向右翻滚，经过一次翻滚点力

对应点记为4,经过第二次翻滚点4对应点记为应……依此类推，经过2022次翻滚后点力

对应点4值的坐标为（）

A.(3033,2)B.(3033,0)C.(3029,2)D.(3029,0)

5.（22-23八年级上•江苏淮安•期末）如图，在中，ZJ5C=90°,5C=8,JC=10,点P、

。分别是边8C、4C上的动点，则4尸+尸。的最小值等于（）

6.（22-23八年级下•湖南怀化•期末）如图，点3在x轴上,48。=90。,4=30。0=2,将△口8

绕点。按顺时针方向旋转，每次旋转120。，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标

C.(-D.(L0)

7.（2023九年级•全国•专题练习）如图，乙4。"60。，点P到。力的距离是2,到OB的距离是

3,M,N分别是。力，上的动点，则△月WN周长的最小值是（）

P

M

0NB

A.2x/19B.3V13C.9D.5石

二、填空题

8.（2024♦河南•一模）如图，在等腰Rt△4?C中，AC=AB=2g,4%C=90。，点E是射线8C

上的一点，且8=1,连接花，以A为直角顶点，在花的左侧作等腰直角RtA4EZ）,将线段比

绕点£逆时针旋转90。，得到线段打，连接防，交DE干点、M,则4W的长

为_____________________-

9.（23-24九年级上•吉林长春•期末）如图，是等腰直角三角形，8c是斜边，点尸是“8C

内一定点，延长8P至点P,将△月在绕点4旋转后，与△4CP'重合，如果4P=收，那么

PP=.

10.（22-23八年级下•四川成都•阶段练习）如图1.RtA4O8和RsC。。中，/AOB=4COD=9V,

4=40。，ZC=60。，OD与04重叠.若“08绕点O按每秒20。的速度沿逆时针方向旋转不停.在

旋转过程中.若』08和△C。。中有一组边平行，则称之为一次“边平行”，当旋转到秒

时，第三次边平行；当旋转到秒时，第2022次边平行.

11.（23-24九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将a"。绕点A顺时

针旋转到△力4q的位置，点八。分别落在点与、G处，点々在X轴上，再将△力44绕点々顺

时针旋转到“心6的位置，点G在x轴上，将△44G绕点G顺时针旋转到△/四G的位置，点

4在4轴上,依次进行下去…,若点42,0）、8（0,4）,则点时23的横坐标为

12.（22-23七年级下•福建龙岩•阶段练习）如图1纸片.48。（AD〃BC）,将C力按如图2所

示沿着折叠至QC',OC'与线段8c交于尸，42=加。，点E在线段6C上，若将力。按如

图3所示沿着。。折叠至。4,且H在线段的延长线上，点。在线段8c上，则

/-ODE=.（用含机的式子表示）

13.（22・23八年级上•湖北武汉・期末）如图,RtZUBC中,ZC=90°,AC=BC=6,AB=6扬，

将折叠，使得点。恰好落在48边上的点E出，折痕为力。，P为折痕/。上一动点，

则△PEB周长的最小值是.

14.（22-23九年级上•辽宁沈阳•期中）如图，四边形48C。为矩形，48=6,AD=4,点、P为

边48上一点，以。〃为折痕将4。“折叠，点力的对应点为点连接4f交。，于点A/,

点。为线段4C上一点，连接力。，MQ,则力。+"。的最小值是

15.（21-22七年级下•湖北武汉•阶段练习）如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中

PN〃QM,点、A、3分别在PN、QW上，记（0VaV90。）；如图2,将纸带第一次

沿3R/折叠成图2,使与氏4重合；如图3,将纸条展开后第二次再折叠，使BM与BR,

重合，第三次沿力&折叠成图4,第四次沿8&折叠成图5,按此操作，最后一次折叠后恰好

完全盖住N4&B,整个过程共折叠了9次,则。=

P___AN

I

QBM

图1

三、解答题

16.（23-24七年级上•陕西西安•阶段练习）新定义:从一个角的顶点出发，在角的内部引两

条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角

的内半角.如图1,若射线0C、在408的内部，且DC如%08,则%。。是乙408的内

半角，根据以上信息，解决下面的问题:

ZBOD=.

⑵如图2,已知N4O8=60。，将N4O8绕点O按顺时针方向旋转一个角度。（0。＜。＜60。）至

NCOD.若NCO8是Z4。。的内半角，求。的值.

（3）把一块含有30。角的三角板CO。按图3方式放置，使。C边与。力边重合，0D边与0B边重

合，如图4,将三角板8。绕顶点。以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为/秒,

当射线OB、0C,。。构成内半角时，请求出，的值.

17.（23-24七年级上•福建泉州•阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条

射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的

内半角、如图①所示，若DCOD=*O8,则是,力。〃的内半角.

⑴如图①所示，已知4。=70。，ZJOC=15°,是乙1。8的内半角，则40。=；

（2）如图②，已知4A0B=63。，将NAOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度。＜63。）至NCOD,

当旋转的角度。为何值时，NCCm是4。。的内半角？

（3）已知4。8=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度

按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线刃，OB,OC,能否构成

内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由.

18.（23-24七年级上•河北石家庄•期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射

线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内

图1图2图3图4

如图①所示，若DCOD=知08,则是/小阳的内半角.

⑴如图①所示，已知404=70。，々。。是”力。4的内半用，则NC0D=,若4OC=15。，

ZBOD=；

（2）如图②，已知^AOB=63。，将ZAOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度a（0<a<63。）至ZCOD,

当旋转的角度。为何值时，/。用是4OQ的内半角？请说明理由：

⑶已知4。8=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度

按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线。。始终在/月08的外部，射

线0408,OC,OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由.

19.（23-24七年级上•浙江金华•阶段练习）如图1,点。为直线48上一点，将两个含60。角的

三角板MON和三角板。尸。如图摆放,使三角板的一条直角边。"、OP在直线力6上，其中

/OMN=/POQ=60°.

⑴将图1中的三角板。PQ绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边。P在NA/ON的内

部且平分NMON,求旋转角N8OP?

⑵三角板“。在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在/MCW的内部.试探究/MOP与NNO。

之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3,将图1中的三角板MOV绕点。以每秒2。的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板

。尸。绕点。以每秒3。的速度按逆时针方向旋转，将射线。8绕点。以每秒5。的速度沿逆时针

方向旋转，旋转后的射线06无为。后，射线OC平分乙WON,射线OD平分NP。。，当射线OC、

。£＞重合时，射线0£改为绕点。以原速按顺时针方向旋转，在。。与OD第二次相遇前，当

4OE=15°时,求出旋转时间「的值.

20,（23-24七年级上•江苏常州•期末）如图，在//用的内部绕点O自由旋转，旋转过

程中/次加、NCO。的大小始终保持不变，其中4700=10°.首先“OQ绕点。顺时针匀速旋

转，旋转速度为每秒6。，旋转开始前OC与04重合，当旋转至。。与08重合时，“0Q立即再

以另一速度绕点。逆时针匀速旋转，当旋转至OC与点重合时，旋转停止，设时间为，秒，

记印°=N4OC—NBOD，力用含/的代数式表示，已知绕点。顺时针匀速旋转过程中，当

/=5和10时，与之对应的〃的两个值互为相反数；N。。。从开始旋转到最后停止，整个过程

总用时33秒.

顺时针

逆时针

⑴“8绕点O顺时针匀速旋转过程中，力的值的变化情况：（填“由负到正”或“由正

到负”）；

⑵求NAOB的大小及4COD逆时针旋转时的速度；

(3)在整个旋转过程中，若％=60,直接写出，的值.

21.(23-24七年级上•浙江金华・期末)东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形

纸片按如图1所示折叠，点尸在边4C上，点区G在其它三边上，FE和FG为两条折痕，且

折叠后重叠的纸片最多不超过三层.东东在探究的过程中，发现户C随着点£,G的位置

变化而变化，为了研究方便，把/出花记为a,NCFG记为0.

⑴如图1,当夕=30。/=40。时，求的度数.

(2)如图2,当点凡B\U在同一直线上(即N8万C=0>)时，探究。和尸的数量关系，并说

明理由.

(3)在NEFG和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求4的度数.

22.(23-24七年级上•四川成都・期末)若〃和”均为大于0。小于180。的角，且|/a-"|=60。,

则称Na和“互为”伙伴角”.根据这个约定，解答下列问题：

⑴若Na和4互为“伙伴角”,当Na=130。时，求”的度数：

(2)如图1,将一长方形纸片沿着EP对折(点P在线段8C上，点E在线段48上)使点3落在

点八，若N1与N2互为“伙伴角”，求N3的度数；

(3)如图2,在图1的基础上，再将长方形纸片沿着尸”对折(点尸在线段4。上)使点C落在

线段尸石上的点C处，线段心，落在NEP/内部.若/I与N4互为“伙伴角”，求〃尸产的度数.

第五章轴对称与旋转（压轴题专练）

一、选择题

1.（2024・山东济宁•一模）在平面直向坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为（7,0）,

每一次将“08绕着点。顺时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到

△AQB、,第二次旋转后得到A/IQ星，…，依次类推，则点的坐标为（）

B.（22022,0）

D.12吗廿目

【答案】C

【分析】此题考查了图形旋转的坐标的规律计算，分别求出每次旋转后点A的对应点的坐标,

发现点A的坐标变化规律即可求解，熟练掌握正三角形边角性质，正确探究发现点坐标的变

化规律并运用规律解决问题是解题的关键.

【详解】由题意可得:

第一次旋转后，点4卜1,6）,

第二次旋转后，OA2=2\点4（2,29,

第三次旋转后,04=23,点4（8,0）,

第四次旋转后，。4=24,点4（8,-86）,

第五次旋转后，点4卜16,2-168）,

第六次旋转后，。4=26,点4（-64,0）,

第七次旋转后，=2。，点儿卜64,64石）,

第2023七次旋转后,2023：6=337-1,

22阳，点%3卜22/22优26）,

故选：C.

2.（22-23八年级上.货州黔南.期末）如图,在“sc中,AC=6,3C=8,沿过点&的直线折

叠这个三角形，使点C落在N8边上的点£处，BD为折痕,若。=权.，则在边长为（）

【答案】C

【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的而枳，由折着可得也…山BE.BJ8,进

.4S1

而由得到螳=.根据三角形面积即可得唠斗进而求解，由折叠的性

质得到A=;是解题的关键.

°ABED-

【详解】解：由折叠可得，BE=BC=8,

•S一S

,•3BCD-»ABED，

・$8cw

.e

・S-AED_1

,,二F

,AE1

••诟="

即丝=1,

84

解得AE=2,

；・/IB=BE+4E=8+2=10,

故选：C.

3.（23-24八年级上.湖北武汉.阶段练习）如图，在“比中，回8,8c=6,沿过点4的直

线折叠这个三角形，使点。落在.边上的点石处，折痕为孙若NC=2/BDE,则小的长

是（）.

【答案】A

【分析】由折叠的性质可得:£ABD=£CBD,8C=8E=6,NC=NQE8,如图，过点。作。

于点旭，作。N_L〃C于点M则可得ON=O历，则4E=2,S&s8：S.Bm=8：6=4:3,求出

AD：8=4:3,即可求解.

【详解】解：由折叠的性质可得：ZABD=ZCBD,BC=BE=6,NC=NDEB,如图，过点。

作。M人48于点作.DN上BC于点、N,则。N=QM,

*,*AB=8fBC=BE=6,

••AE—2,SdADB：S"CD~8:6=4:3,

,/ZDCB=2Z.BDE,

，NEDC=NDCB=/DEB,

ZADE+ZCDE=180。,ZAED+ZDEB=180°,

/.NADE=NAED,

AD=AE=2,

•S“OB：S.B8=4:3,

/.AD-.CD=4:3,

33

：.CD=DE=-AD=-

421

故选：A.

4.（22・23八年级上•河南驻马店•阶段练习）如图，长方形"CQ的两边8C,8分别在x轴,

y轴上，点。与原点重合，点力（-1，2）,将长方形相CO沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点4

对应点记为4,经过第二次翻滚点4对应点记为4……依此类推，经过2022次翻滚后点/

对应点为2022的坐标为（）

NA

AD

B0（。

A.（3033,2）B.（3033,0）C.（3029,2）D.（3029,0）

【答案】B

【分析】求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可.

【详解】解：如图所示：

——D

（

B00A2

4

点力（-1，2）,进过一次翻滚后4（2,1）,再经过一次翻滚后，4（3,0）,再经过一次翻滚后4（3,0）,

再经过一次翻滚后4（5,2）

可得：经过4次翻滚后点A对应点一循环,

2022+4=505.......2

・・・力（一1，2）,矩形的周长为2（1+2）=6

・・・经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（6x505+4-1,0）,即（3033.0）

故选：B

5.（22-23八年级上•江苏淮安•期末）如图，在△/纥中，48C=90°,BC=8,4C=10,点产、

。分别是边叱、如上的动点，贝的最小值等于（）

【答案】D

【分析】由勾股定理可得力8=6,作力关于叱的对称点4,过点4作4'Q_LXC,交.4C于点。，

交BC于点、P,根据对称可得：力尸+尸。=力/+尸。之力'。，得至IJ当以尸,。三点共线时，〃+尸。最

小，再根据垂线段最短，得到H。，力C时，力'。最小，据此求解即可.

【详解】解：在“8。中，乙18c=90°,8C=8,力C=10,

AB=ylAC2-BC2=6

作4关于8c的对称点H,过点4作HO_L4C,交力C于点。，交BC于点P,

・••当4,P,。三点共线时，”+尸。最小，

・・•垂线段最短，

・・.HQ_L4C时,4。最小，

连接4C,

・.・44关于8C对称，

A'B=AB=6,

AA'=12,

VAQLAC,AB1BC

,

5,<cx.=^AABC=^AC-A'Q,即：gx12x8=10x,

.•.HO哼.

故选D.

6.（22・23八年级下•湖南怀化期末）如图，点8在x轴上,480=90。,4=30。,。力=2,将A。”

绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转120。，则第2023次旋转结束后，点3所在位置的坐标

是（）

1G）

-----------9-------------D.（I，。）

c.22

【答案】A

【分析】先判断三角形。力B绕点。顺时针旋转，每次旋转120。，可得旋转3次为一个循环.再

分别求解第1次，第2次，第3次旋转后8的坐标，由规律得到第2023次旋转后与笫1次旋转

后的位置相同即可解答.

【详解】解：・//力80=90。,乙1=30。,04=2,

:"AOB=6叭OB=T,AB=\k2-]2=或

・・•三角形048绕点。顺时针旋转,每次旋转120。,

・・・旋转3次为一个循环.

第1次旋转，如图，过8作轴于尸,

由旋转的性质可得：/打阳=180。-120。=60。，

Z^F=30°,

第2次旋转，如图，过6作环一轴于凡此时0/与4轴重合,

:"AOB=60°,NOBF=30°,

・••点8所在位置的坐标为",用；

第3次旋转，如图，三角形回到原位置,

所以点B所在位置的坐标为。，0）；

Y2023+3=674……1,

・•・第2023次旋转后，与第2次旋转后的位置相同,

所以点B所在位置的坐标为

故选：A.

7.（2023九年级•全国•专题练习）如图，乙4。4=60。，点P到。力的距离是2,到OB的距离是

3,M,N分别是0力，上的动点，则△©的周长的最小值是（）

A.2晒B.3屈C.9D.573

【答案】A

【分析】作P点分别关于。月、（加的对称点P'、P",连接PP,分别交。4、（加丁河，N则

MP-MF,NP=NPn,OP=OP'=OP",，ROP-NRQP",乙1OP=/AOP"贝lj

PN+PM+MN=NP"+MN+MP'=DC,/POP"=2NAOB=12伊，此时△PMN周长最小，为PP,

据此解答即可.

【详解】作尸点分别关于。4、08的对称点P、P：连接PP,分别交04、OB千M,N,

贝人必尸="0，NP=NP：OP=OP'=OP",ZBOP=4BOP；NA0P=N40Pi,

PN+PM+MN=NP+MN+MP',/POP"=2N4O8=120°,

・•・此时/MN周长最小，为产户”，

延长尸'尸，交OB与D.

*：408=60。，

Z.P'PPn=120°,

ZEra=60°,

ZD=30°,

•；PE=3,

：.PD=2PE=6,

・・.CD=CP+PD=2+6=8,

OC=—CD=—,

33

・•・OP=VOC2+CP2=“竽八？二|同，

・•.P'Pn=&)P=V3x-V57=2M,

3

即△PWN周长的最小值是2厢.

故选：A.

PH

二、填空题

8.(2024•河南•一模)如图,在等腰RtA48C中，AC=AB=2^,ZA4c=90。，点E是射线5C

上的一点，且CE=1,连接力E,以A为直角顶点，在力E的左侧作等腰直角Rt△力EQ,将线段

绕点E逆时针旋转90。，得到线段E尸，连接"，交DE千点、M,则4W的长

为_____________________.

【分析】连接80,分点E在线段8c上，点E在线段8c的延长线上两种情况，根据等腰直角

三角形的性质得到力。=花，/D4E=9()。，求出ND4B=NE/C,根据全等三角形点的性质与判

定，以及勾股定理，即可求解，

本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是:

根据点E的两种情况进行讨论.

【详解】解：如图，当点E在线段6c上时，连接80,

是等腰直角三角形，

AAD=AE,^DAE=90°,

•:AC=AB=2g，/加C=9(T,

/DAB=NEAC,

AD=AE

在“DB与AAEC,•NDAB=NEAC,

AB=AC

...白力。80A4EC(SAS),

NABD=ZACB,BD=CE,

•//ABC+NACB=NABD+ZABC=90°,

ZMC=90°,

VBC=V2^=X/2X2N/2=4,CE=i,

BD=CE=\yBE=BC-EC=4-\=3,

DE=>]BD2+BE2=Vl2+32=Vio，

•・•将线段EC绕点E逆时针旋转90。，得到线段衣

ZC£F=90°,EF=CE=\,

：.NBEF=90。,

：.ZDBE=/FEB,

•:BD=EF,BE=EB,

；.ADBE知FEB(SAS),

NBDE=NEFB,

,:乙BMD=4EMF,BD=EF,

五ME(AAS),

DM=EM,

.1nr而

••AM=-DE=----,

22

如图，当点E在线段8c的延长线上时，连接8Q,

同理可得，BE=5,

•*«DE=Vl2+52=\/26，

.1x/26

・・AM--DnEr=-----»

22

综上所述，力切的长为巫或叵，

22

故答案为：巫或叵.

22

9.（23-24九年级上•吉林长春•期末）如图，/8。是等腰直角三角形，8c是斜边，点P是』8C

内一定点，延长8P至点P"将"BP绕点/旋转后，与重合，如果在二夜，那么

PP'=.

A

P'

------------------------V

【答案】2

【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对

应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知.

【详解】:"BP绕点A旋转后能与A4CP重合,

：.AP=AP=五,NPAP=NBAC=90。

PP1=〃02+AP'2=2

故答案为：2.

10.（22-23八年级下•四川成都•阶段练习）如图1.和RLCOQ中,ZAOB=ZCOD=9（f>f

/八40。,ZC=60。，OD与04重叠.若小。8绕点O按每秒20。的速度沿逆时针方向旋转不停.在

旋转过程中.若“和△COO中有一组边平行，则称之为一次“边平行”，当旋转到秒

时，第三次边平行；当旋转到秒时，第2022次边平行.

【答案】5.56066

【分析】画出第三次平行的图像，得到三次平行时48〃C。，计算出』08绕点。旋转110。,

即可求得时间；由同一种边平行之间相差180度可得“08绕点O旋转一周有6次边平行出

现，再求出AO8绕点。按每秒20。旋转一周所用时间及2022次边平行需要转几周，进行求

解即可.

【详解】解：第三次边平行时，如下图所示，此时48〃。。,

B

A

'：4B=50°,

NB=Nl=500,

•/ND=30°,

Z2=20°,

・・・此时入05绕点。旋转110。,

・•・旋转时间为：岑=55秒；

由图2得，第一次平行时，即。C〃48,

,:Z.A=40°,

乙4。。=/彳=40°,

.*.1800-90°-40°=50°,

故第一次平行时，”OB绕点。旋转50。；

当旋转角度大于180。时，

50。+180。=230。时，OC//AB,

由此可得，绕点。旋转一周有6次边平行出现，

*/“OB绕点、。按每秒20。旋转一周所用时间为360。+20。=18秒，

,:2022+6=337周，

337x18=6066#,

故答案为：5.5,6066秒.

11.（23-24九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将"8。绕点A顺时

针旋转到△48©的位置，点月、。分别落在点片、G处，点用在X轴上，再将△48£绕点与顺

时针旋转到“4G的位置，点在X轴上，将△44G绕点G顺时针旋转到△44G的位置，点

4在X轴上，依次进行下去…，若点题2,0）、5（0,4）,则点82的横坐标为.

【答案】(6068+2024^,0)

【分析】可求4(2+2氏0),%(6+264),^(8+475,0),以(12+464),可得当〃为偶数时,

纥卜〃+〃64),当〃为奇数时，8.((3〃-l)+(〃+l)60),即可求解.

【详解】解：由题意得

OA=2,08=4,

/.AB=\!oA2+OB2

=V22+4Z=2>/5，

OBl=OA+AB1

—OA+AB

=2+2x/5,

.*.5,(2+275,0),

:.B,C)=BC=B\G=OB=4,

0a=2+2石+4=6+23,

.•.B2(6+20,4),

OB?=OA+ABy+BC2+42c2+4区

=2+20+4+2+2石

=8+4后,

当(8+4底0),

OC4=OA3+B3c4

=8+4石+4=12+4石，

为(12+4&)

当〃为偶数时，

当〃为奇数时，

3(〃-1)+(〃-1)«+2+2/3

=(3〃-1)+(〃+1)\/5

.•.纥((3〃-1)+(〃+1)6,0)

当〃=2023时，

(3〃-1)+(〃+1)6

=(3x2023-1)+(2023+1)75

=6068+2024万，

/.52023(6068+2024x^,0),

故答案：仅068+20246,0）

12.（22-23七年级下•福建龙岩•阶段练习）如图1纸片.48。（AD"BC）,将C。按如图2所

示沿着折叠至QC',OC'与线段8c交于/，见。，点E在线段8C上，若将力。按如

图3所示沿着。。折叠至。4,且才在线段OC的延长线上，点。在线段8c上，则

/ODE=.（用含机的式子表示）

【分析】先根据邻补角性质求得NDFC,再由平行线性质与折叠性质求得/COE,再根据折转

性质求得N。。，最后用角的和差求得结果便可.

【详解】解：

/.£DFC=180°-m,

vAD||BC、

Z.ADF-4DFC-180°m,

...Z.CDC=ZADC-(!8(P-m)=ZADC+m-18(^,

由折叠性质得"DE=；/COC=；4DC+；W-90。,

ZCDO=AADO=ZADC,

2

LODE=Z.CDO-ZCDE=-ZADC--ZADC--m+90°=90°-Im.

2222

故答案为：90。-5〃.

13.（22・23八年级上•湖北武汉•期末）如图，RtA482中,ZC=90°,AC=BC=6,AB=6五,

将Rt△力灰;折叠，使得点C恰好落在44边上的点E出，折痕为力。，P为折痕力。上一动点，

则△PEB周长的最小值是.

【答案】6&

【分析】根据由△48沿彳。对•称，得至IJ4"=4C,进而表示出P8+PE二尸8+尸。3灰?，最

后求APEA周长即可.

【详解】由"CD沿/。对称得到，

则七与C关于直线力。对称，

AE=AC=6,

BE=AB-AE=6y/2-6,

如图，连接PC,

由题意得？C=PE,

:,PB+PE=PB+PC2BC=6,

当"在"C边上，即。点时收十PE取得最小值6,

・・,△依8周氏为尸E+尸6+4E,最小值为6及一6+6=6&.

故答案为：6万.

14.（22-23九年级上•辽宁沈阳•期中）如图，四边形488为矩形，AB=6,40=4,点产为

边"上一点，以QP为折痕将△O/P折叠，点力的对应点为点/，连接44、44'交QP于点M,

点0为线段8。上一点，连接力。，MQ,贝IJ4O+M0的最小值是.

【答案】2历-2

【分析】作点力关于8C的对称点八取力。的中点上连接87,。丁,RT，根据直用

三角形斜边上的中线性质和勾股定理求出公河，RT，根据△RAb三边关系求出A〃的最小值,

再根据。4+。加=。加+。丁之〃/，可得结论.

【详解】如图所示：点/关于的对称点7,

取力。的中点R,连接sr,QT,RT,RM,

・.•四边形48co是矩形，

ZRAT=90°t

*/AR=DR=2fAT=ZAB=12,

RT=dAR?+AT?=yl22+122=2历，

•%、H关于OP对称，

AA'_LDP,

・・・ZJMZ)=90°,

,:AR=RD,

RM=-AD=2,

2

■:MTNRT-RM,

MTN24-2,

：.MT的最小值为2J方-2,

QA+QM=QM+QT>MT,

・・・24+0历22历一2,

：.QA+QM的最小值为2历-2,

故答案为：2V37-2.

15.（21-22七年级下•湖北武汉•阶段练习）如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中

PN〃QM,氤4、B分别在PM上，记（0VaV90。）；如图2,将纸带第一次

沿8R/折叠成图2,使与8/重合；如图3,将纸条展开后第二次再折叠，使与BR/

重合，第三次沿4七折叠成图4,第四次沿8&折叠成图5,按此操作，最后一次折叠后恰好

完全盖住N4&8,整个过程共折叠了9次，则。='

PAN

QBM

图1

【答案】80。/80度

【分析】根据题意,可知第9次折叠时，&N刚好与&凡重合，根据折叠的性质，则行平角44N

被平分成了9个角，则再根据折叠的性质，即可求解.

【详解】根据题意，可知第9次折叠时，&N刚好与&&重合，作图如下:

PARiRiN

折痕9

折痕8

QB折痕3折痕4M

根据折叠的性质，则有平角被平分成了（9・1+1）个角，

./ARR_180//

9

PN//QM,

NR2BM=NAR?B=20”,

・・•根据折叠的性质有N&M?产N&BM,ZABR—R'BM,

/R2BR\=/R【BM=20”,

NAB&=/RBM=/R/R\+/R?BM=40%,

.・・a=ZABM=/ABR+/RBM=804

故答案为：80°.

三、解答题

16.（23-24七年级上•陕西西安•阶段练习）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两

条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角

的内半角.如图1,若射线OC、。。在N/O8的内部，且DCQQ=；D〃M,贝IJ/CO。是乙〃M的内

半角，根据以上信息，解决下面的问题:

ABOD=

⑵如图2,己知乙108=60。，将N4O8绕点O按顺时针方向旋转一个角度。（0。＜。＜60。）至

々COD.若NCO"是N/。力的内半角，求仪的值.

⑶把一块含有30。角的三角板CO。按图3方式放置，使。C边与。力边重合，0D边与0B边重

合，如图4,将三角板CO。绕顶点。以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为/秒,

当射线。40B、构成内半角时，请求出，的值.

【答案】（1）35。，10。

（2）20°

”、5.45.135.175

⑶不或亏或〒或-

乙乙乙乙

【分析】（1）本题主要考查了角的和差，先根据题意算出/C。。的度数，再利用

/8。。=44。8-4。。-/。。。即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键；

（2）本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转

性质可推出ZAOC=NBOD=a和NCO力=NAOB=60°,然后可用含有a的式子表示40D和NCO8

的度数，根据“。8是4。。的内半角，即可求出a的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键;

（3）本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转

一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应/值即可.掌握分类讨论思想

是解题的关键.

【详解】（1）解：是的内半角，4。"=7。。，

NCOD=>NAOB=35。,

2

：.ZBOD=NAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35°=10°.

故答案为：35。，10。.

（2）解：由旋转性质可知：NAOC=NBOD=a,NCOD=4AOB=6。,

/.Z.AOD=^AOC+ZCOD=a+6。，ACOB=ZA（）B-AAOC=6（P-a,

V4COB是NAOD的内半角，

:Z0D=2ZC0B,即。+60。=2（60。一2），解得：a=20°.

的值为20。.

（3）解:①如图4：此时NCOS是4。。的内半角,

由旋转性质可知：ZAOC=4BOD=4t。,NCOD=N4OB=31,

...ZAOD=ZAOC+ZCOZ）=4尸+302NCOB=NAOB-ZAOC=30°-41,

•・・/COB是4。。的内半角，

：.^AOD=2Z.COB,BP4zo+3（r=2（30°-4/°）,解得：Z=|

②如图：此时NCO4是乙4。。的内半角,

由旋转性质可得：NAOC=4BOD=4『,NCOD=NA（）B=3g,

ZAOD=ZAOC+ZCOD=4/°+30?4BOC=ZAOC-ZAO8=41°-30,

•・,NC08是4。。的内半角,

4<

：.DAOD=2D5OC,即4尸+30。=2（4/。—30。），解得：/=］；

③如图所示，此时4OD是/BOC的内半角，

由旋转性质可知：ZJOC=ZBOD=360°-4r^NCOD=ZAOB=30<,

，ZBOC=ZBOD+ZCOD=390-4。，/AOD=ZAOC-NCOD=33CP-4。,

・.・40。是NBOC的内半角，

:・/BOC=2NAOD,即390。-4/。=2（330。一4/。），解得：t=—；

2

④如图所示，此时4。。是/BOC的内半角，

上----------B

由旋转性质可知：4Aoe=/BOD=360。—4G/COD=zLAOB=30G,

NBOC=ZBOD+NCOD=390-4°,ZAOD=ZCOD-ZAOC=4°-33G,

・.・乙4。。是“BOC的内半角，

175

/.ZBOC=2ZAODt即390。-4/。=2（4产-330。），解得：/=—.

综上所述：当射线。4OB、OC、。。构成内半角时，t的值为g或当或号或号.

17.（23・24七年级卜・福建泉州•阶段练习）定义：从一个角的顶点出发,在角的内部引两条

射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的

⑴如图①所示，已知408=70。，ZJOC=15°,/C。。是/力。8的内半角，则4。。=;

(2)如图②，已知NAOB=63。，将ZAOB绕点。按顺时针方向旋转一个角度a(0<a<63。)至NCOD,

当旋转的角度。为何值时，NCO8是4。。的内半角？

⑶已知408=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度

按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线OB,OC,0。能否构成

内半角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由.

【答案】(1)20。

(2i21°

(3)能，当旋转的时间为与S或30s或90s或半s时，射线。OB,OC,OD能构成内半角.

【分析】(1)根据内半角的定义，即可求解；

(2)根据旋转的性质可得：4OC=NBOD=a,AAOB=ZCOD=63°,再根据内半生的定义,

即可求解；

(3)分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解.

【详解】(1)解：:/。。。是/小小的内半角，4。4=7(%

ZCOD=-^AOB=350

2

VZJOC=15°,

ZBOD=7(F-35°-15°=2(F,

(2)VZAOC=ZBOD=af

408=63。，

.•・N4OQ=63°+a,ZBOC=630-a,

♦；/COB是4OQ的内半角，

/.2(63°+^)=63°-«,

=21°,

・・・旋转的角度。为21。时，KOB是40。的内半角;

(3)在旋转一周的过程中，射线。力，OB,0Cf0。能构成内半角，理由如下;

理由：设按顺时针方向旋转一个角度旋转的时间为九

如图1,「N8OC是乙仞。的内半角，ZAOC=ZBOD=a,

：.4。。=30°+a,

・・.；（30。+q）=30。一a,

解得：a=10。，・・・/=学s）；

如图2,・・・/8OC是40。的内半角，ZAOC=NBOD=a,

・•・400=30。+。，

2、

=90°,

*'•z=y=30（s）；

如图3,丁4。。是N8OC的内半角，^AOC=ZBOD=360-a,

图3

N50C=360°+30°-a,

^(360°+30°-a)=360°-a-30°,

Aa=270°,

・・・/=90(s),

如图4,•:4。。是。的内半角，N4OC=NBOD=36()—a,

图4

.・・ZBOC=360°+30°-a,

；(360。+30°-a)=30°+30°-(360°+30°-a),

解得:a=350。，

综上所述，当旋转的时间为2s或30$或90s或畔s时，射线。4OB,OC,OQ能构成内半角.

j5

18.(23・24七年级上•河北石家庄•期中)定义：从一个甭的顶点出发，在角的内部引两条射

线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内

图1图2图3图4

如图①所示，若DCOQ=；D月则是的内半角.

⑴如图①所示，已知408=70。，NC。。是乙408的内半第，贝I]/。。力=,若400=15。,

ZBOD=

(2)如图②，已知408=63。，将NAOB绕点。按顺时针方向旋转一个角度a(0<a<63。)至ZCOD,

当旋转的角度。为何值时，NC。〃是4。。的内半角？请说明理由；

(3)已知=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度

按顺时针方向旋转，如图④，问；在旋转一周的过程中，旦射线始终在的外部，射

线04OB,0G8能否构成内半角？若能,请直接写UI旋转的时间；若不能，请说明理由.

【答案】(1)35。，20°

(2)a=21。，理由见解析

⑶号或30或90

【分析】本题考查了新定义，角的相关计算，旋转的性质，解题关键是理解什么是内半角的

定义.

(1)根据题意算出/C。。的度数，利用/力。4一乙4OC—NC。。即可算出N4。。的度数；

(2)根据旋转性质可推出N4OC=N4OQ=a和/。。。=44。8=63°,然后可用含有a的式子表

示40。和