第二章《直线和圆的方程》综合检测卷（基础A卷）解析版

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第二章综合检测卷(基础A卷)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，选对得5分，选错得。分.

1.已知直线/"+卬+6=0的倾斜角为60,则实数()

A.-x/3B.--C.—D.百

33

【答案】B

【分析】由题意可得直线/：、+砂+6=0的斜率为左=tan60o=」二6，解方程即可得出答案.

a

【详解】已知直线/：x+@+6=0的倾斜角为60。，

则直线/：x+«v+6=0的斜率为k=tan60°=--=>/3>

则a=~~Y•

故选:B.

2.已知直线/的方程为x-〃?y+2=0,则直线/()

A.恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴

C.恒过点(-2,0)且不垂直x轴D.恒过点(-2,0)且不垂直轴

【答案】D

【分析】令y=0求出X,即可求出直线过定点坐标，再分机=0和〃?工0两种情况讨论，判断直线与坐标轴

的关系，即可得解.

【详解】解：直线/的方程为xr吵+2=0,令y=0,可得x=-2,所以直线恒过点(-2,0),

当用=0时直线方程为x=-2,此时直线垂直x轴，

171

当用于0时直线方程为)，=一丫+—，一工0,显然直线不与V轴垂直.

mmm

故选：D

3.已知圆。1：(工-2)2+()，-1)2=9和直线/：3-"0.若圆02与圆。关于直线/对称，则圆的方程为()

A.a+iy+&+2)2=9B.(X-1)2+(^-2I2=9

C.(x+2)2+(jp+l)2=9D.(x-l)2+(y+2)2=9

【答案】B

【分析】根据对称性求得圆。［的圆心和半径，进而求得圆。2的方程.

【详解】圆。］：（》-2）2+（”1）2=9的圆心为（2,1）,半径为3,

（2,1）关于直线八x-y=O的对称点是（1,2）,

所以圆。2的圆心是（1,2）,半径是3,

所以圆Q的方程为（x-1）2+（.叱=9.

故选：B

4.已知44,0）到直线4x-3y+a=0的距离等于3,则0的值为（）

A.-1B.-13或-19C.-1或一31D.-13

【答案】C

【分析】由距离公式，解方程得出。的值.

“一、，|4x4-3x（）+a|..,

【详解】由距离公式可得，J_7==1=3,即。+咐=15,解得。=-1或。=-31.

\/42+32

故选：C

5.己知直线4：加・》+1=0,/2:2x-（W-l）y+l=0（/WGR）,则下列结论正确的是（）

A.直线4过定点

B.当时，w=1

C.当/J”2时,m=2

D.当〃〃,时，两直线乙、/,之间的距离为也

4

【答案】B

【分析】求出直线4所过定点的坐标，可判断A选项；根据两直线垂直求出机的值，可判断B选项；根据

两直线平行求出实数机的值，可判断C选项：根据平行线间的距离公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，由；、可得｛」所以，直线4过定点（0,1）,A错；

1-^=0［y=1

对于B选项，当/1_L4时,，2〃?+（川一1）=3加-1=0,解得机=；,B对；

对干C选项，当乙优时，「Mr"）"?,解得…1,c错；

m工2

对于D选项，当〃〃2时，，"=T，直线4的方程为_工一旷+1=0,即2x+2y_2=0,

直线，2的方程为2x+2），+l=0,

此时，直线乙、/,之间的距离为dJ［（一2）|二之二口错.

V22+224

故选：B.

6.若圆G：/+y2=4与圆。2：》2+/一2〃卜+〃/一加=0外切，则实数〃?=（）

A.-1B.1C.1或4D.4

【答案】D

【分析】由两圆的位置关系计算艮］可.

【详解】由条件化简得G：（x-加?+/=〃?,.•.〃?>（）,即两圆圆心为G（o,o），GW，o），

设其半径分别为4,々，八=2/2=品,所以有=+G=2+J£n〃?=4.

故选：D

7.过点（一等且倾斜角为1的直线/交圆/+V-6y=0于48两点，则弦力〃的长为（）

A.472B.2&C.2N/|0D.M

【答案】A

【分析】写出直线/的方程，求圆心到直线/的距离，再利用弦长公式进行求解即可.

【详解】过点-4,0且倾斜角为。的直线/的方程为丁=石'+弓，

\//

即、/Jx-y+1=0,

又圆X，6y=0即x2+（y-3）2=9,

所以圆心（0,3）,半径〃=3,

则圆心（0,3）到直线/的距离“=LUI=i,

2

直线被圆截得的弦AB=2WF=4>/2.

故选：A.

8.圆/+»2一2》-2丁一2=0上到直线力+4^+。=。距离为1的点恰有一个，则，=（）

A.3B.8C.3或-17D,一22或8

【答案】D

【分析】圆上到直线3x+4y+c=0距离为1的点只有•个，直线与圆相离，转化为圆心到直线距离而得解.

【详解】圆X，+歹’-2x-2y-2=0的圆心半径,=2,过C作直线48：4x-3y-1=。交圆。于点力,

8,如图:

则直线相垂直于动直线3x+4y+c=0,因圆。上到直线3x+4y+c=0距离为1的点恰有一个,

则直线3x+4y+c=0与圆C相离,且点力或8到该直线距离为1,即|"H3Q=1,

|3U+4-+c|

所以圆心。至lj直线3x+4p+c=0距离为3,即3,解得c=-22或c=8.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.下列说法中正确的是（）

A.若直线斜率为立，则它的倾斜角为30。

3

B.若力8（1,3）,则直线48的倾斜角为90。

C.若直线过点（1,2）,且它的倾斜角为45。，则这条直线必过点［3,4）

D.若直线的斜率为“则这条直线必过（L1）与（5,4）两点

【答案】ABC

【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除

D.

【详解】对于A,设直线的倾斜角为。（0。《。＜180。），则由题意得tana=^,所以a=30。，故A正确；

对于B,因为力8（1,3）,所以直线48与x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为90。，故B正确；

对于C,因为直线过定点（1,2）,且斜率为345。=1,所以直线的方程为y-2=x-l,即y=x+l,

易知4=3+1,故直线必过（3,4）,故C正确:

对于D,不妨取)，=%,满足直线的斜率为但显然该直线尸%不过(山)与(5,4)两点，故D错误.

故选：ABC.

10.设点4(-2,3)4(3,2),若直线〃x+y+2=0与线段力4没有交点，则。的取值可能是()

A.-1B.-2C.1D.-

2

【答案】AC

【分析】直线分+)，+2=0过定点P(0,-2),求出直线尸4/力的斜率，由图形可得直线与线段力8有公共点

时。的范围，从而可得无交点时。的范围，由此可得正确选项.

【详解】易知直线6+»+2=0过定点F(0,-2),

_3-(2)_5_2-(-2)_4

PA-2-02松3-03

4S

直线ax+y+2=0的斜率为一a,由图知一〃■或,

45

所以或。之5时有交点，

45

因此当-5<。：时，直线or+J，+2=0与线段AB无交点,

故选：AC.

11.下列说法错误的是()

A.直线xsina+)，+2=()的倾斜角0的取值范围是„口["当，^

L4」14

B."a=-1"是"直线a2x-y+\=0与直线x-ay-2=0互相垂直〃的充要条件

C.若直线/：〃a1=0与直线x+5y+13=0相交，且交点的横坐标的范围为[-3,2],则实数刑的取值

(3]

范围是-00,--<44+00)

I4」

D.经过点(1,1)且在x轴和V轴上载距都相等的直线方程为x+)-2=0

【答案】BD

【分析】根据斜率为4=31!。=-6泊。€卜1川求得。的范围可判断庆；根据两直线垂直的等价条件和充分条

件必要条件的定义可判断B；由两直线相交得出工=二一~，因为xw[-3,2],所以-34二一~-<2,解不等

5,77-15/M-1

式可判断C：分为两种情况讨论，当在X轴和y轴上截距都为。时；当过点（1,1）且在X轴和y轴上截距相等

不为o时，求出直线方程可判断D.

【详解】对于A：直线xsina+y+2=（）的倾斜角为。，则tan。=-sinae卜1,1],

因为046<兀，所以。卜弓,兀），故选项A正确；

对干B：当。=-1时，戈-歹+1=0与直线x+y-2=0斜率乘积等于-1,两直线互相垂直，所以充分性成立;

若“直线。―一），+1=0与直线工-"-2=0互相垂直〃，则/+“=0可得。=0或。=—1,所以不一定有。=一1,

故必要性不成立，

所以"4=7”是"直线/x_y+l=O与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件，故选项B错误；

对于C：因为直线/：〃田+），-〃7-1=0与直线x+5y+13=o相交，

所以两直线的斜率小相等，即-用土-：，即小工（，

JJ

由mx+歹一加-1=0与x+5y+13=0消去y得x=「"L1”,

5rn-1

因为xe[—3,2],所以—34*当42,整理得誓1之0且手；20,

5m-I5m-15m-I

解得〃?4-：或〃724,故选项C正确：

4

对于D：当过点。,1）且在X轴和歹轴上截距都为o时，所求直线方程为x-y=o,

当过点（1,1）且在X轴和y轴上截踮相等不为0时，设所求直线方程为土+?=1,即'+'=1,可得4=2,所

aaaa

求直线的方程为x+y-2=。，

综上，所求直线方程为x-y=o或x+y-2=0,故选项D错误.

故选：BD.

12.已知圆O：/+/=4和圆M：/+）,2_4工+2尸4=0相交于48两点，点C是圆M上的动点，定

点P的坐标为（5,3）,则下列说法正确的是（）

A.圆”的圆心为（2,1）,半径为1

B.直线48的方程为2x—y-4=0

C.线段力〃的长为坟

5

D.|PC|的最大值为6

【答案】BCD

【分析】化圆”的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A的正误；联立两圆的方程求

得出5的方程可判断选项B的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得/出的长判断选项C的正误，利

用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D的正误.

【详解】选项A,因为圆M的标准方程为(4-2)2+。+1)2=1,

所以圆心为圆心为"(2,7),半径为1,故选项A错误；

选项B,因为圆。/+必=4和圆必：/+/一4工+2^+4=0相交于小〃两点,

两圆相减得到4工一2»-8=0,即”-y-4=0,故选B正确；

4

选项C,由选项B知，圆心00.0)到直线力8的距离为"二君，

所以|48|=2加==竽，故选项C正确；

选项D,因为.“(2,-1),尸(5,3),所以仍叫=反后=5,又圆M的半径为1,

故俨。|的最大值为归闸+〃=5+1=6,故选项D正确.

故选项：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线/：ax+(2〃-l)y+4-3=0,当。变化时，直线/总是经过定点，则定点坐标为.

【答案】(5,-3)

x+2y+1=0

【分析】把直线方程化为“(x+2y+l)-j，-3=0,令口_3=0,求出x,y的值即可.

【详解】因为直线/：or+(2a—l)y+a—3=0可化为a(x+2y+l)-y-3=0,

x+2y+1=0

令＜-y-3=0'解得"5，k-3,

所以直线/过定点(5,-3),

故答案为:(5,-3).

14.若「(5,-1),5(1,1),C(2,3),则△/改:的外接圆面积为

.4■257r

【答案】h

【分析［由斜率得48/8C,从而可得4。是直角三角形的斜边，也是18。的外接圆的直径，求得4C长

后得圆半径，从而得圆面积.

-1-113-1

【详解】阳8=丁丁=一；，^c=—=2,k-k=-\,：,ABJ.BC,力。是直角三角形的斜边，也是“8c

5—122-1ABBC

的外接圆的直径，

\AC\=^/(5—2)2+(-1-3)2=5»外接圆半径为〃=।?=:,

圆表面积为S=4万/=酎x(1)2=25".

故答案为：竽.

4

15.若点(W)在圆/+/+3+少+1=0内，则实数。的取值范围为.

【答案】(F,-4)

【分析】由关卜X，)'的二次方程表示圆可得。>6或。<-Q,乂由点(甲)在圆内可得。<-4,取交集即可.

【详解】解：由题可知12+6—4xl>0,解得心石或"-百，

又因为点(1,1)在圆内，所以12+/+i+a+i<o,解得°<-4.

所以实数。的取值范围为(-8-4).

故答案为：(口,-4).

16.已知直线/：，=去与圆U(x-l『+(y-6『二4相交于48两点，且|阳=2,则直线/的倾斜角

为.

【答案】。或斗

【分析】求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出左的值，进而

求出直线/的倾斜角.

【详解】直线/：歹=去，即6-y=o,

可得圆心到直线I的距离d='»

，公+1

圆的半径r=2,

所以弦长|AB|=2-7=不=2卜,

由题意2=2、4-匕叵■

Vk2+l

整理可得：公=-限，

解得〃=0或-石

所以倾斜角为。或当；

故答案为：0或军.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知41,4)*(-2,-1)<(4,1)是小8。的三个顶点，£>,二尸分别是边”津C,4c的中点.

⑴求直线。尸的方程；

(2)求3。边上的高所在直线的方程.

【答案］⑴x_3y+5=0；(2)3x+y-7=0

【分析】(1)根据中点坐标公式求出两点坐标，已知两点求出直线方程.

(2)求出直线4c的斜率，根据两条直线的位置关系得出垂线的斜率，利用点斜式解出直线方程.

【详解】⑴由题知。得,”喙江砧。

3\(1

故直线。尸的方程为：x+-即x-3y+5=0

1-(-1)

(2)由己知左改=

4-(-2)3

所以8C边上的高所在直线的斜率为一3

4c边上的高所在直线的方程为：y-4=-3(x-}),即3x+y-7=0

18.已知直线/经过点尸(-2,1),且与直线x+y=O垂宜.

⑴求宜线/的方程；

(2)若直线m与直线/平行且点P到直线m的距离为加,求直线机的方程.

【答案】(l)x-y+3=0；⑵x-y+5=0或x-y+l=0.

【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线/的方程为x-y+〃=0,将点尸(-2,1)代入即可求解;

(2)设直线，〃的方程为x-y+z=0,利用点到直线的距离公式即可求解.

【详角军】(1)设直.线/的方程为x—y+〃=。,

因为直线/经过点尸（-2,1）,所以-2-1+〃=0,解得：〃=3,

所以直线/的方程为工-户3=0.

（2）结合（1）设直线小的方程为x-»+"0,

因为点尸（-2,1）到直线m的距离为拉,由点到直线的距离公式可得：

d=।21+4=6,解得：1=5或/=1,

V2

直线〃？的方程为：•¥一歹+5=0或工一）＞+1=0.

故答案为：x-y+5=0或x-y+l=O.

19.已知两直线4：3x-y-l=O,/2：x+2y-5=0

（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程：

（2）若直线hx-O+4a-3=0与卜6不能构成三角形，求实数。的值.

【答案】（1）v=2x,x+y-3=0：（2）—,—2,1.

【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；

（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.

3x-y-1=0[x=I

【详解】（1）联立直线方程,一八解得」交点坐标。,2）,

x+2y-5=O[y=2

当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0,直线方程歹=2x,

当直线不过原点时，设其方程为x+y+6=0,过（1,2）得1+2+3=0/=-3,

所以直线方程x+y-3=o

综二：满足题意的直线方程为y=2x,x+y-3=0

（2）直线h：…丁+4。-3=0与儿4不能构成三角形

当4与，3平行时：3a=l,“=g

当4与4平行时：-a=2fa=-2

当三条直线交于一点，即4过点（L2），则1-2“+4a-3=0,a=l

综二所述实数〃的值为;,-2,1

【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉

截距为0,三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.

20.圆C经过点42,-1）,和直线x+_y=l相切，且圆心在直线y=-2x上.

⑴求圆。的方程；

⑵求阿c在y轴截得的弦长.

【答案]⑴(x7)2+(y+2)2=2；(2)2

【分析】(1)设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可:

(2)利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.

【详解】(1)设圆心的坐标为

则，("2『+(-20+1)2="「".

化简得/一2a+1=0,解得Q=1,

所以。点坐标为(1,-2),

半径r=\AC\=+(_2+1/=y/2，

故圆C的方程为(x-l『+(y+2)2=2.

(2)圆心C(L2)到y轴的距离为l,

所以圆。在3轴截得的弦长为2,(五『-仔=2.

21.