2025-2026年浙江省北师大版高三数学第七十八章概率统计与几何综合练习题

2025-2026年浙江省北师大版高三数学第七十八章概率统计与几何综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在第七十八章概率统计与几何综合练习中，某校高三（1）班随机抽取50名学生进行身高测量，得到一组样本数据。若这组数据的中位数是170cm，众数是172cm，则下列关于这组数据的描述中，正确的是（）A.至少有25名学生的身高大于170cmB.至少有25名学生的身高在168cm到172cm之间C.数据的方差一定小于标准差的平方D.数据的极差一定大于平均数的3倍解析：中位数是170cm，说明样本中至少有25名学生的身高小于或等于170cm；众数是172cm，说明172cm出现的频率最高，但无法确定具体人数；方差与标准差的关系是方差等于标准差的平方，故C错误；极差是最大值与最小值的差，平均数的3倍与极差无直接关系，故D错误。正确答案为B。2.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E为PC的中点。则直线BE与平面PAC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.3/4解析：取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=2，AE=√2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。正确答案为A。3.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆），则该几何体的体积是（）A.8πB.4πC.2πD.π解析：由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π。正确答案为A。4.在概率统计与几何综合练习中，已知某校高三（2）班有60名学生，其中男生40名，女生20名。现随机抽取3名学生组成学习小组，则小组中恰好有2名男生和1名女生的概率是（）A.1/3B.1/2C.2/5D.3/10解析：P=（C(40,2)×C(20,1))/C(60,3)=（760×20）/（20×19×18）=8/19≈0.421。正确答案为C。5.在几何综合练习中，已知圆O的半径为2，弦AB=2√3，OC⊥AB于C，则OC的长度是（）A.1B.√3C.2D.√7解析：在Rt△OAC中，OA=2，AC=√3，OC=√(OA²-AC²)=√(4-3)=1。正确答案为A。6.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，则连续射击3次恰好命中2次的概率是（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8解析：P=C(3,2)×0.8²×0.2=3×0.64×0.2=0.384。正确答案为B。7.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=√3，则点P到平面ABC的距离是（）A.1B.√2C.√3D.2解析：点P到平面ABC的距离即PA=√3。正确答案为C。8.在概率统计与几何综合练习中，已知某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形），则该几何体的体积是（）A.8B.16C.24D.32解析：由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、4，体积V=4×2×4=32。正确答案为D。9.在几何综合练习中，已知圆O的半径为2，弦AB=2√3，OC⊥AB于C，则∠AOB的度数是（）A.30°B.60°C.120°D.150°解析：在Rt△OAC中，AC=√3，OA=2，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。正确答案为C。10.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为等腰三角形，左视图为矩形，俯视图为圆），则该几何体的体积是（）A.4πB.8πC.12πD.16π解析：由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=3，则点P到平面ABC的距离是________。参考答案：3解析：点P到平面ABC的距离即PA=3。2.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，则连续射击4次至少命中3次的概率是________。参考答案：0.4116解析：P=C(4,3)×0.7³×0.3+0.7⁴=0.4116。3.在几何综合练习中，已知圆O的半径为3，弦AB=2√6，OC⊥AB于C，则OC的长度是________。参考答案：√3解析：在Rt△OAC中，OA=3，AC=√6，OC=√(OA²-AC²)=√(9-6)=√3。参考答案：3/10解析：P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。4.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，E为PC的中点。则直线BE与平面PAC所成角的正弦值是________。参考答案：1/2解析：取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=3，AE=√6/2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。5.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形），则该几何体的体积是________。参考答案：24解析：由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、3，体积V=4×2×3=24。6.在几何综合练习中，已知圆O的半径为4，弦AB=4√3，OC⊥AB于C，则∠AOB的度数是________。参考答案：120°解析：在Rt△OAC中，AC=2√3，OA=4，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。7.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，则连续射击5次恰好命中3次的概率是________。参考答案：0.0576解析：P=C(5,3)×0.6³×0.4²=0.0576。8.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=5，则点P到平面ABC的距离是________。参考答案：5解析：点P到平面ABC的距离即PA=5。9.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为等腰三角形，左视图为矩形，俯视图为圆），则该几何体的体积是________。参考答案：8π解析：由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值是√2/2。（×）解析：直线PB与平面PAC所成角的正弦值需要具体计算，不能直接得出√2/2。2.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形），则该几何体的体积是8。（×）解析：由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、2，体积V=4×2×2=16。3.在几何综合练习中，已知圆O的半径为3，弦AB=2√3，OC⊥AB于C，则OC的长度是1。（×）解析：在Rt△OAC中，OA=3，AC=√3，OC=√(OA²-AC²)=√(9-3)=√6≠1。4.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.5，则连续射击4次至少命中2次的概率是0.6875。（√）解析：P=1-C(4,0)×0.5⁴-C(4,1)×0.5³×0.5=0.6875。5.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=4，则点P到平面ABC的距离是4。（√）解析：点P到平面ABC的距离即PA=4。6.在概率统计与几何综合练习中，某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现随机抽取3名学生组成学习小组，则小组中恰好有2名男生和1名女生的概率是8/15。（×）解析：P=C(40,2)×C(20,1)/C(60,3)=8/19≈0.421≠8/15。7.在几何综合练习中，已知圆O的半径为4，弦AB=4√3，OC⊥AB于C，则∠AOB的度数是90°。（×）解析：在Rt△OAC中，AC=2√3，OA=4，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°≠90°。8.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，则连续射击5次至少命中4次的概率是0.16807。（√）解析：P=C(5,4)×0.7⁴×0.3+0.7⁵=0.16807。9.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=3，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值是1/3。（×）解析：直线PB与平面PAC所成角的正弦值需要具体计算，不能直接得出1/3。10.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为等腰三角形，左视图为矩形，俯视图为圆），则该几何体的体积是4π。（×）解析：由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π≠4π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=3，求点P到平面ABC的距离。参考答案：3解析：点P到平面ABC的距离即PA=3。2.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，则连续射击4次至少命中3次的概率。参考答案：0.3456解析：P=C(4,3)×0.6³×0.4+0.6⁴=0.3456。3.在几何综合练习中，已知圆O的半径为3，弦AB=2√6，OC⊥AB于C，求OC的长度。参考答案：√3解析：在Rt△OAC中，OA=3，AC=√6，OC=√(OA²-AC²)=√(9-6)=√3。4.在概率统计与几何综合练习中，某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取2名学生组成学习小组，则小组中两名学生都是男生的概率。参考答案：3/10解析：P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。5.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，E为PC的中点，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值。参考答案：1/2解析：取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=3，AE=√6/2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。6.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形），求该几何体的体积。参考答案：16解析：由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、2，体积V=4×2×2=16。7.在几何综合练习中，已知圆O的半径为4，弦AB=4√3，OC⊥AB于C，求∠AOB的度数。参考答案：120°解析：在Rt△OAC中，AC=2√3，OA=4，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。8.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，则连续射击5次恰好命中3次的概率。参考答案：0.1323解析：P=C(5,3)×0.7³×0.3²=0.1323。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在几何综合练习中，已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=4，求点P到平面ABC的距离。参考答案：4解析：点P到平面ABC的距离即PA=4。2.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.5，则连续射击6次至少命中4次的概率。参考答案：0.3125解析：P=C(6,4)×0.5⁴×0.5²+0.5⁶=0.3125。3.在几何综合练习中，已知圆O的半径为5，弦AB=4√5，OC⊥AB于C，求OC的长度。参考答案：3解析：在Rt△OAC中，OA=5，AC=2√5，OC=√(OA²-AC²)=√(25-20)=3。4.在概率统计与几何综合练习中，某班级有70名学生，其中男生50名，女生20名。现随机抽取3名学生组成学习小组，则小组中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：5/21解析：P=C(50,2)×C(20,1)/C(70,3)=5/21。5.在几何综合练习中，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=5，E为PC的中点，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值。参考答案：√2/4解析：取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=4，AE=√10/2，∠BAE=arcsin(√10/8)=√2/4。6.在概率统计与几何综合练习中，某几何体的三视图如图所示（主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形），求该几何体的体积。参考答案：12解析：由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、3、1，体积V=4×3×1=12。7.在几何综合练习中，已知圆O的半径为6，弦AB=6√3，OC⊥AB于C，求∠AOB的度数。参考答案：120°解析：在Rt△OAC中，AC=3√3，OA=6，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。8.在概率统计与几何综合练习中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，则连续射击7次恰好命中5次的概率。参考答案：0.209解析：P=C(7,5)×0.8⁵×0.2²=0.209。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.C5.A6.B7.C8.D9.C10.B二、填空题1.32.0.41163.√34.3/105.1/26.247.120°8.0.05769.510.8π三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.32.0.34563.√34.3/105.1/26.167.120°8.0.1323五、应用题1.42.0.31253.34.5/215.√2/46.127.120°8.0.209【解析】一、单项选择题1.中位数是170cm，说明样本中至少有25名学生的身高小于或等于170cm，故B正确。2.取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=2，AE=√2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。3.由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π。4.根据超几何分布公式计算，P=C(40,2)×C(20,1)/C(60,3)=8/19≈0.421，故C正确。5.在Rt△OAC中，OA=2，AC=√3，OC=√(OA²-AC²)=√(4-3)=1。6.根据二项分布公式计算，P=C(3,2)×0.8²×0.2=0.384。7.点P到平面ABC的距离即PA=√3。8.根据二项分布公式计算，P=C(4,3)×0.7³×0.3+0.7⁴=0.4116。9.取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=3，AE=√6/2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。10.由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为2，高为4，体积V=1/3×π×2²×4=8π。二、填空题1.点P到平面ABC的距离即PA=3。2.根据二项分布公式计算，P=C(4,3)×0.7³×0.3+0.7⁴=0.4116。3.在Rt△OAC中，OA=4，AC=2√3，OC=√(OA²-AC²)=√(16-12)=√3。4.根据超几何分布公式计算，P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。5.取PC中点E，连接AE，则BE⊥PC，∠BAE为BE与平面PAC所成角。在Rt△ABE中，AB=3，AE=√6/2，∠BAE=30°，sin∠BAE=1/2。6.由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、2，体积V=4×2×2=16。7.在Rt△OAC中，OA=4，AC=2√3，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。8.根据二项分布公式计算，P=C(5,3)×0.7³×0.3²=0.1323。三、判断题1.中位数是170cm，说明样本中至少有25名学生的身高小于或等于170cm，但无法确定大于170cm的人数，故错误。2.由三视图可知该几何体为长方体，长宽高分别为4、2、2，体积V=4×2×2=16，故错误。3.在Rt△OAC中，OA=3，AC=√3，OC=√(OA²-AC²)=√(9-3)=√6≠1，故错误。4.根据二项分布公式计算，P=1-C(4,0)×0.5⁴-C(4,1)×0.5³×0.5=0.6875，故正确。5.点P到平面ABC的距离即PA=4，故正确。6.根据超几何分布公式计算，P=C(40,2)×C(20,1)/C(60,3)=8/19≈0.421≠8/15，故错误。7.在Rt△OAC中，OA=4，AC=2√3，∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°≠90°，故错误。8.根据二项分布公式计算，P=C(5,4)×0.7⁴×0.3+0.7⁵=0.16807，故