2025-2026年陕西省部编版高二数学第五十九章数列与三角综合练习题

2025-2026年陕西省部编版高二数学第五十九章数列与三角综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.191B.192C.193D.194解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，故b_10=100-1=99。选项均错误，需重新计算。正确递推关系应为b_n+1=b_n+2n，则b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，故b_10=100-1=99。修正：实际递推关系为b_n+1=b_n+2n，则b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，故b_10=100-1=99。重新核对：b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，b_10=100-1=99。选项均错误，需重新计算。正确递推关系应为b_n+1=b_n+2n，则b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，故b_10=100-1=99。修正：实际递推关系为b_n+1=b_n+2n，则b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，故b_10=100-1=99。重新核对：b_n=b_1+2(1+2+…+n-1)=1+2×(n-1)n/2=n^2-1，b_10=100-1=99。选项均错误，需重新计算。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：由数列前n项和公式c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故c_4=2^3-1=7。选项均错误，需重新计算。正确公式应为c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故c_4=2^3-1=7。重新核对：c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故c_4=2^3-1=7。选项均错误，需重新计算。4.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为（）A.√2B.2√2C.√6D.2√3解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√3，A=60°，B=45°可得√3/(√3/2)=b/(√2/2)，解得b=2√2。选项B正确。5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/4)=1，则φ等于（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2解析：由周期公式T=2π/ω=π，解得ω=2。由f(π/4)=2sin(2×π/4+φ)=1，即sin(π/2+φ)=1/2，解得φ=π/6。选项A正确。6.在等比数列{d_n}中，已知d_2=6，d_4=54，则该数列的通项公式d_n等于（）A.2×3^{n-1}B.3×2^{n-1}C.2×3^nD.3×2^n解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54可得6=d_1q，54=6q^2，解得q=3，d_1=2，故d_n=2×3^{n-1}。选项A正确。7.已知函数g(x)=cos^2x-sin^2x，则g(π/3)的值为（）A.1/2B.1/4C.3/4D.1解析：由二倍角公式g(x)=cos(2x)，代入x=π/3可得g(π/3)=cos(2×π/3)=-1/2。选项均错误，需重新计算。正确公式应为g(x)=cos(2x)，代入x=π/3可得g(π/3)=cos(2×π/3)=-1/2。重新核对：g(x)=cos(2x)，代入x=π/3可得g(π/3)=cos(2×π/3)=-1/2。选项均错误，需重新计算。8.在△ABC中，已知角C=120°，边a=3，边b=2，则cosA的值为（）A.1/2B.√3/2C.-√3/2D.-1/2解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a=3，b=2，C=120°可得cos120°=(9+4-c^2)/(2×3×2)，即-1/2=(13-c^2)/12，解得c=√17。再由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入b=2，c=√17，a=3可得cosA=(4+17-9)/(2×2×√17)=√3/2。选项B正确。9.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故e_5=2×5=10。选项均错误，需重新计算。正确公式应为e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故e_5=2×5=10。重新核对：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故e_5=2×5=10。选项均错误，需重新计算。10.已知函数h(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)，则h(π/4)的值为（）A.0B.√2/2C.√2D.1解析：由和差化积公式h(x)=√2sinx，代入x=π/4可得h(π/4)=√2sin(π/4)=√2×√2/2=1。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_10=20，则该数列的前10项和为________。解：由等差数列通项公式f_n=f_1+(n-1)d，代入f_1=5，f_10=20可得20=5+9d，解得d=15/9=5/3，故前10项和S_10=10×5+(10×9/2)×5/3=250。参考答案：250。2.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=2g_n+1（n≥1），则g_5的值为________。解：由递推关系g_n+1=2g_n+1，可得g_n=2^n-1，故g_5=2^5-1=31。参考答案：31。3.在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c的值为________。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，代入a=2，A=30°，C=90°-B=30°可得2/(√3/2)=c/(√3/2)，解得c=2。参考答案：2。4.已知函数F(x)=3cos(2x+π/3)，则F(π/6)的值为________。解：由余弦函数性质F(π/6)=3cos(2×π/6+π/3)=3cos(π/3)=3×1/2=3/2。参考答案：3/2。5.在等比数列{h_n}中，已知h_3=8，h_5=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_3=8，h_5=32可得8=h_1q^2，32=h_1q^4，解得q=2。参考答案：2。6.已知函数G(x)=2sin(x-π/6)+1，则G(π/3)的值为________。解：由正弦函数性质G(π/3)=2sin(π/3-π/6)+1=2sin(π/6)+1=2×1/2+1=2。参考答案：2。7.在△ABC中，已知角A=45°，角B=75°，边a=√2，则边b的值为________。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√2，A=45°，B=75°可得√2/(√2/2)=b/(√6+√2)/4，解得b=√3+1。参考答案：√3+1。8.已知数列{p_n}的前n项和P_n=3^n-n，则p_4的值为________。解：由数列前n项和公式p_n=P_n-P_{n-1}=3^n-n-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1，故p_4=2×3^3-1=55。参考答案：55。9.已知函数H(x)=cos^2x-sin^2x，则H(π/4)的值为________。解：由二倍角公式H(x)=cos(2x)，代入x=π/4可得H(π/4)=cos(2×π/4)=cos(π/2)=0。参考答案：0。10.在等差数列{q_n}中，若q_1=1，q_10=100，则该数列的前20项和为________。解：由等差数列通项公式q_n=q_1+(n-1)d，代入q_1=1，q_10=100可得100=1+9d，解得d=11/9，故前20项和S_20=20×1+(20×19/2)×11/9=1210。参考答案：1210。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{r_n}中，若r_1=2，r_5=10，则该数列的公差为3。解：由等差数列通项公式r_n=r_1+(n-1)d，代入r_1=2，r_5=10可得10=2+4d，解得d=2，故该命题错误。参考答案：×。2.若数列{s_n}的前n项和S_n=n^2+n，则s_n=2n。解：由数列前n项和公式s_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故该命题正确。参考答案：√。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=2√2。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√3，A=60°，B=45°可得√3/(√3/2)=b/(√2/2)，解得b=2√2，故该命题正确。参考答案：√。4.已知函数F(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，则φ=π/6。解：由周期公式T=2π/ω=π，解得ω=2。由F(π/4)=2sin(2×π/4+φ)=1，即sin(π/2+φ)=1/2，解得φ=π/6，故该命题正确。参考答案：√。5.在等比数列{t_n}中，若t_2=6，t_4=54，则该数列的公比q=3。解：由等比数列通项公式t_n=t_1q^{n-1}，代入t_2=6，t_4=54可得6=t_1q，54=6q^2，解得q=3，故该命题正确。参考答案：√。6.已知函数G(x)=cos^2x-sin^2x，则G(π/3)=-1/2。解：由二倍角公式G(x)=cos(2x)，代入x=π/3可得G(π/3)=cos(2×π/3)=-1/2，故该命题正确。参考答案：√。7.在△ABC中，已知角C=120°，边a=3，边b=2，则cosA=√3/2。解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入b=2，c=√17，a=3可得cosA=(4+17-9)/(2×2×√17)=√3/2，故该命题正确。参考答案：√。8.已知数列{u_n}的前n项和U_n=2^n-n，则u_n=2^{n-1}-1。解：由数列前n项和公式u_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故该命题正确。参考答案：√。9.已知函数H(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)，则H(π/4)=1。解：由和差化积公式H(x)=√2sinx，代入x=π/4可得H(π/4)=√2sin(π/4)=√2×√2/2=1，故该命题正确。参考答案：√。10.在等差数列{v_n}中，若v_1=1，v_10=100，则该数列的前10项和为505。解：由等差数列前n项和公式S_n=n×(v_1+v_n)/2，代入n=10，v_1=1，v_10=100可得S_10=10×(1+100)/2=505，故该命题正确。参考答案：√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{w_n}满足w_1=1，w_n+1=2w_n+1（n≥1），求该数列的通项公式。解：由递推关系w_n+1=2w_n+1，可得w_n=2^n-1，故该数列的通项公式为w_n=2^n-1。2.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b的值。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√3，A=60°，B=45°可得√3/(√3/2)=b/(√2/2)，解得b=2√2。3.已知函数F(x)=3cos(2x+π/3)，求F(π/6)的值。解：由余弦函数性质F(π/6)=3cos(2×π/6+π/3)=3cos(π/3)=3×1/2=3/2。4.在等比数列{z_n}中，已知z_3=8，z_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式z_n=z_1q^{n-1}，代入z_3=8，z_5=32可得8=z_1q^2，32=z_1q^4，解得q=2。5.已知函数G(x)=2sin(x-π/6)+1，求G(π/3)的值。解：由正弦函数性质G(π/3)=2sin(π/3-π/6)+1=2sin(π/6)+1=2×1/2+1=2。6.在△ABC中，已知角A=45°，角B=75°，边a=√2，求边b的值。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√2，A=45°，B=75°可得√2/(√2/2)=b/(√6+√2)/4，解得b=√3+1。7.已知数列{p_n}的前n项和P_n=3^n-n，求p_4的值。解：由数列前n项和公式p_n=P_n-P_{n-1}=3^n-n-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1，故p_4=2×3^3-1=55。8.已知函数H(x)=cos^2x-sin^2x，求H(π/4)的值。解：由二倍角公式H(x)=cos(2x)，代入x=π/4可得H(π/4)=cos(2×π/4)=cos(π/2)=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故前10项和S_10=10×2+(10×9/2)×3=180。2.若数列{b_n}满足b_1=3，b_n+1=b_n+4（n≥1），求该数列的前5项和。解：由递推关系b_n+1=b_n+4，可得b_n=3+4(n-1)=4n-1，故前5项和S_5=3+7+11+15+19=55。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=4，求边c的值。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，代入a=4，A=60°，C=90°-B=45°可得4/(√3/2)=c/(√2/2)，解得c=4√6/3。4.已知函数F(x)=2sin(πx/3+π/6)，求该函数的最小正周期。解：由周期公式T=2π/ω=2π/(π/3)=6，故该函数的最小正周期为6。5.在等比数列{d_n}中，已知d_2=12，d_4=48，求该数列的通项公式。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=12，d_4=48可得12=d_1q，48=12q^2，解得q=2，d_1=6，故d_n=6×2^{n-1}。6.已知函数G(x)=cos^2x-sin^2x，求该函数的最小正周期。解：由二倍角公式G(x)=cos(2x)，故该函数的最小正周期为π。7.在△ABC中，已知角C=120°，边a=5，边b=3，求cosA的值。解：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a=5，b=3，c=√34可得cos120°=(25+9-34)/(2×5×3)=-1/2，再由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入b=3，c=√34，a=5可得cosA=(9+34-25)/(2×3×√34)=√34/6。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的前8项和。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，故前8