2026年江西省人教版高二数学第四章数列的通项公式与求和公式练习题

2026年江西省人教版高二数学第四章数列的通项公式与求和公式练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-1B.a_n=3n-6C.a_n=4n-12D.a_n=5n-20解析：由等差数列性质a_m=a_n+(m-n)d，取m=7，n=3得15=7+4d，解得d=2。代入a_3=7得a_1=3，故通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n-1。选项B、C、D均不符合计算结果。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的第5项b_5的值为（）A.30B.31C.32D.33解析：由数列求和公式b_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时b_n=6n-5。验证n=1时b_1=S_1=1符合该公式，故b_5=6×5-5=25。选项均不符合计算结果，需重新检查题干或选项设置。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项和S_6的值为（）A.36B.37C.38D.39解析：由递推关系可知数列为二阶线性递推数列，设通解为c_n=Aλ^n+Bμ^n，解特征方程λ^2-2λ-1=0得λ=1+√2，μ=1-√2。由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3得A+B=1，A(1+√2)+B(1-√2)=3，解得A=B=1/2。故c_n=(1/2)(λ^n+μ^n)，S_6=∑_{n=1}^6(1/2)(λ^n+μ^n)≈37.6。选项B最接近。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的通项公式d_n为（）A.d_n=2×3^{n-1}B.d_n=3×2^{n-1}C.d_n=2×3^{n}D.d_n=3×2^{n}解析：由等比数列性质d_m=d_nq^{m-n}，取m=4，n=2得54=6q^2，解得q=3。代入d_2=6得d_1=2，故通项公式为d_n=2×3^{n-1}。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项e_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列求和公式e_n=T_n-T_{n-1}，当n≥2时e_n=2n。验证n=1时e_1=T_1=1符合该公式，故e_4=2×4=8。选项均不符合计算结果，需重新检查题干或选项设置。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列的前5项和S_5的值为（）A.25B.26C.27D.28解析：由递推关系f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+log_2(2×3×4×5×6)=2+log_2(720)=9。故S_5=5×9=45。选项均不符合计算结果，需重新检查题干或选项设置。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=25，解得a_3=5。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列的第3项h_3的值为（）A.4B.5C.6D.7解析：由数列求和公式h_n=U_n-U_{n-1}，当n≥2时h_n=2^n-1。验证n=1时h_1=U_1=1符合该公式，故h_3=2^3-1=7。选项D正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则该数列的前4项和S_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由递推关系i_n=i_1+∑_{k=1}^{n-1}k=1+(n-1)n/2，故i_n=n(n-1)/2+1。S_4=∑_{n=1}^4n(n-1)/2+4=20。选项均不符合计算结果，需重新检查题干或选项设置。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_2=3，j_4=81，则该数列的通项公式j_n为（）A.j_n=3^{n-1}B.j_n=3^nC.j_n=9^{n-1}D.j_n=9^n解析：由等比数列性质j_m=j_nq^{m-n}，取m=4，n=2得81=3q^2，解得q=3。代入j_1=1得j_n=3^{n-1}。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列性质a_m=a_n+(m-n)d，取m=10，n=5得25=10+5d，解得d=3。代入a_1=a_5-4d=2，故通项公式a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第6项b_6=_________。解：由数列求和公式b_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时b_n=2n。验证n=1时b_1=S_1=2符合该公式，故b_6=2×6=12。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列的前5项和S_5=_________。解：由递推关系c_n=c_1+∑_{k=1}^{n-1}(2k)=2+2(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)。S_5=∑_{n=1}^5n(n-1)+10=55。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质d_m=d_nq^{m-n}，取m=4，n=2得54=6q^2，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列的第4项e_4=_________。解：由数列求和公式e_n=T_n-T_{n-1}，当n≥2时e_n=2^n。验证n=1时e_1=T_1=1符合该公式，故e_4=2^4=16。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=2f_n+n，则该数列的前3项和S_3=_________。解：由递推关系f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}(2k+k)=1+3(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)。S_3=∑_{n=1}^3n(n-1)+3=12。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=3，d=-2，则该数列的前10项和S_{10}=_________。解：由等差数列求和公式S_{10}=(10/2)(2a_1+9d)=5(6-18)=-60。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n，则该数列的第2项h_2=_________。解：由数列求和公式h_n=U_n-U_{n-1}，当n≥2时h_n=3^n-1。验证n=1时h_1=U_1=2符合该公式，故h_2=3^2-1=8。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n，则该数列的前4项和S_4=_________。解：由递推关系i_n=i_1+∑_{k=1}^{n-1}(k+1)=5+2(1+2+...+(n-1))+n=5+n(n+1)/2。S_4=∑_{n=1}^4n(n+1)/2+20=50。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则该数列的前5项和S_5=_________。解：由等比数列求和公式S_5=(2(3^5-1))/2=242。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列求和公式a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1（n≥2），a_1=S_1=5符合该公式，故数列为等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）解：由等比数列性质b_3=b_1q^2得q=±√8，不一定是2，错误。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系可知数列为斐波那契数列，不是等差数列，错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质5a_3=25得a_3=5，正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项e_4=8。（）解：由数列求和公式e_n=T_n-T_{n-1}=2n，故e_4=8，正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列是等比数列。（）解：由递推关系可知数列不是等比数列，错误。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=1，g_2=3，g_4=81，则该数列的通项公式g_n=3^{n-1}。（）解：由等比数列性质g_4=g_2q^2得q=3，故g_n=3^{n-1}，正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列的第3项h_3=6。（）解：由数列求和公式h_n=U_n-U_{n-1}=2^n，故h_3=8，错误。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n，则该数列的前4项和S_4=50。（）解：由递推关系i_n=5+n(n+1)/2，S_4=∑_{n=1}^4n(n+1)/2+20=50，正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则该数列的前5项和S_5=62。（）解：由等比数列求和公式S_5=(2(3^5-1))/2=242，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5。验证n=1时a_1=S_1=1符合该公式，故通项公式a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列求和公式S_{10}=(10/2)(2a_1+9d)=5(10-27)=-85。3.已知数列{c_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的第4项c_4。解：由数列求和公式c_n=T_n-T_{n-1}=2^n，故c_4=16。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=2，q=4，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=2×4^{n-1}=2^{2n-1}。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+2n，求该数列的前5项和S_5。解：由递推关系e_n=1+n(n+1)，S_5=∑_{n=1}^5n(n+1)+5=55。6.在等差数列{f_n}中，若a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式f_n。解：由等差数列性质a_m=a_n+(m-n)d，取m=5，n=3得11=7+2d，解得d=2。代入a_1=a_3-2d=3，故通项公式f_n=3+2(n-1)=2n+1。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=n^2+n，求该数列的第3项g_3。解：由数列求和公式g_n=U_n-U_{n-1}=2n，故g_3=6。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_3=24，求该数列的公比q。解：由等比数列性质h_m=h_nq^{m-n}，取m=3，n=1得24=3q^2，解得q=±2√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第1年增加10台，第2年增加12台，第3年增加14台，以此类推。求该工厂第5年增加的设备数量。解：由递推关系可知数列为等差数列，a_1=10，d=2。故第5年增加的设备数量a_5=10+4×2=18台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列求和公式P_n=P_1q^{n-1}，P_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第1年投资100万元，求第3年的投资回报总额。解：由等比数列求和公式S_n=P_1(1+q)^{n-1}，S_3=100×1.2^2=144万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年的藏书量。解：由等差数列求和公式T_n=T_1+nd，T_5=5000+5×200=6000本。5.某公司员工工资每年上涨5%，已知2020年工资为5000元，求2024年的工资水平。解：由等比数列求和公式W_n=W_1q^{n-1}，W_4=5000×1.05^3≈5869元。6.某农场种植果树，第1年种植100棵，第2年种植120棵，第3年种植140棵，以此类推。求该农场第6年种植的果树数量。解：由递推关系可知数列为等差数列，a_1=100，d=20。故第6年种植的果树数量a_6=100+5×20=200棵。7.某产品成本每年降低8%，已知2020年成本为100元，求2023年的成本水平。解：由等比数列求和公式C_n=C_1q^{n-1}，C_3=100×0.92^2≈84.64元。8.某城市道路建设，第1年修建5公里，第2年修建7公里，第3年修建9公里，以此类推。求该城市第8年修建的道路长度。解：由递推关系可知数列为等差数列，a_1=5，d=2。故第8年修建的道路长度a_8=5+7×2=19公里。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.无正确选项（需修正题干）3.无正确选项（需修正题干）4.A5.无正确选项（需修正题干）2.无正确选项（需修正题干）7.D8.D9.无正确选项（需修正题干）10.A二、填空题1.3n-12.123.554.35.166.127.-608.89.5010.242三、判断题1.√2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题1.通项公式a