高考数学总复习 解三角形

4.4解三角形

五年高考

考点1正弦定理、余弦定理

1.（2023全国乙文,4,5分，易）在△A8C中，内角的对边分别是a,b,c,若4cosB-

力cosA=c•，且0条则8=（）

A.-B,-C.—D,—

105105

答案C

2.（2021全国甲文,8,5分，易）在△A8C中，已知8=120。M。二旧/8=2,则BC=（）

A.lB.V2C.V5D.3

答案D

3.（2020课标〃/理,7,5分，易）在aABC中,cosC=|,AC=4,8C=3,则cosB=（）

A.-B.-C.-D.-

9323

答案A

4.（2021全国乙文,15,5分，易）记AC的内角C的对边分别为4瓦c,面积为

75,8=60。,/+d=3讹,贝1」b=.

答案2注

5.（2024新课标II』5,13分，中）记“8。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA+百cosA=2.

⑴求A；

⑵若加inC=csin2B,求AABC的周长.

解析⑴由已知得乂nA+^cosA=sin9+以，因为0<4<兀,所以1V4+；<?,所

以4+三=?即AJ.

326

（2）ihV26sinC=2csinBcosB及二^^,f#V2sinBsinC=2sinCsinBcosB,又sinB/0,

且sinC#0,所以cos8号则sin"二冬则〃二肃7-sin=Txy=2Vz又sin

C=sin(A+B)=

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sinAcos8+cosAsin^=-x—+-x—=以c=-^—•sinC=4x=V2+

22224s1nA-4

V6ZB|Ja-b+c=2+3也+泥，所以"BC的周长为2+3/+V6.

6.（2024新课标I,15,13分，中）记AABC的内角A,8,C的对边分别为a力,c.

已知sinC=V2cosB,a2+h:-c2=y/2ah.

⑴求B；

⑵若△4BC的面积为3+但求c.

解析⑴由余弦定理的推论得cos}=空=零乂（）<C<7T,・•・

2ab2ab24

由sinC=V2cosB得&cos8=sin-=―,

42

cos由0<B<n得

⑵由⑴得庆冥三「白=嘉,二4=4

34sinBsineV3V2

令专=专二”>（）,则b=y/3t,c=V2t,

・・・A=7t-8-C二瑞,

..«.fitn\\f6+V2

.・sinA=sinj=---,

'*'SiBc=-^csinA=-xV3txy/2tx=3+V3,

A/224

/.r=2,Mlltc=2>/2.

7.（2023全国乙理,18,12分，中）在△ABC中，已知NB4O12（T,AB=2,AC=1.

⑴求sin/A8c

⑵若。为8c上一点，且N8AZ>90。,求MOC的面积.

解析⑴在A43C中，由余弦定理，得BC2=22+12-2X2X|XCOS1200=7,则BC=5（3分）

由正弦定理，得占BC

sin^BAC'

贝IJsin/A8c="产=皆署=等.（6分）

⑵在Rl^ABD中,由⑴知sin/A3D=巨/1./4BO为锐角，所以tan/A8/）=".

145

在RtAAZ?/）中/5=2,则AD=AI3tnnAABD=2^=誓.

（9分）

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在△AOC中,NZMC=30°,AC=

的面积S=：x等x1xsin30°=4.（12分）

2o10

8.（2021新高考I,19,12分，中）记△ABC的内角A,的对边分别为a力,c.已知F=ac,点D

在边AC上,8Z)sinNA8OasinC.

（1）证明：87＞。

⑵若4D=2OC,求cosZABC.

解析⑴证明油题设得“力二

sinz.ARC

在△居（?中，由正弦定理知三=—,

sinCsinz^BC

即si"_c

sinz.ABCb

代入BD二/I：；.中，得BD喙又b'ac,

Sinz/IKCD

・•・BD=b.(4分)

(2)由AD=2L)C^AD=lb,DC=^

心+人£2-8。2

在△AB。中,cosA=_9

2ADAB2X产

AC2+AB2-BC2

在△ABC中,cosA=

2ACAB

故二竺=化简得3?-l\b2+6a2=0,

-be2bc

又b^-ac,(7分)

所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,

所以c=3a或(8分)

当b3a时3a2,所以此时a+b<c,

故《瓦。构不成三角形；（10分）

、"|c=*/时力2=a。二彳』,所以b与

此时0瓦c可以构成三角形，（II分）

a+b

故c^i,b=^a,所以在ZkABC中,cosNABC=^a~=&+；。23a_（12分）

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考点2解三角形及其综合应用

1.（2021浙江,14,6分，中）在AABC中,N8=60。,48=2幽是8c的中点,AM=28，则

AC=,cosZMAC=

答案2旧；噂

JLJ

2.（2022全国甲，理16,文16,5分，中）已知△ABC中，点。在边上,

NAQ8=120o,AD=2,C£>=28D当堂取得最小值时,8。二

AD

答案V3-1

3.（2020全国//6,5分，中）如图，在三棱锥P-A8C的平面展开图中,AC=1,A8=月。=低A8J_

AC/8J_4。，/CAE=30。,则cosZFC13=

答案4

4

4.（2023新课标I』7/0分，中）已知在△ABC中,A+8=3C2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

⑵设AB=5,求AB边上的高.

解析⑴•・•A+3+C=TI,A+8=3CI.乃二%A,

44

乂V2sin（/^-C）=sinB,

••・2sin（4-9=sin（*。

即2俘sin71-ycosA）=号cos4-（一当）sinA,

整理得sinA=3cosA,

又Vsin24+cos2/l=\,A£（0,„

..sinA=-------.（5分）

10

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⑵由⑴知C=^,sin人=噜,cos八二唱

（乎一）二

则sin8=sin8^cosA4-^sinA=（6分）

ACBC

在AABC中，由正弦定理得•茨------=,

sinBsin/f

••仓=墨=建,.•・AL2V1U,8c=3年（8分）

~"s"10

.'•SAABC=^AC-FC-sinC=X2VTUx3V5x-15.（9分）

设A8边上的高为九则/<5gl5,（10分）

5.（2023新课标II,17,10分，中）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4瓦c,己知△ABC面积

为痘,D为BC的中点，且AD=1.

⑴若N4QC=；,求tanB；

⑵若〃+e2=8,求b,c.

解析由题意知SAAB浮逐,BD=DC,

・c_^3

••OA.4/JC=-

⑴'・・5的）智0力•DC•sinZADC=^-,DA=1,ZADC=^,/.\DCsin=y,

：.DC=2,

：.4Q=2,易知NA。4号，（2分）

在ZM/M中,由余弦定理得AB2=BD2+DA2-2DADBCOSZADB,gpAB2=22+\2-

2xlx2x（-i）=7,

：.AB=\[7,（3分）

222

八AB+BD-AD7+4-15>/7

COSB=---------------------=—F—=—,

2ABBD2V7X214

AsinB=yJl—cos2B=（4分）

・，„sinBV3

..tanB------=——（5分）

COSB5

⑵如图所示，延长A。至£使DE=连接BE.CE,

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易得四边形A8EC为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

・・・4"=。£/。二8£由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACeosZBAC,AE2=AC2+CE2-

2ACCEcos/ACE,两式相力「得BC2+AE2=2（AB2+AC2）（；itcosZBAC+cosZACE=0）,

即BC2+AE2=2（b2+c2）=\6,

又AE=2AD=2,，BC2=12,：.BC=2\[3,（7分）

^S^ADC^AD•DC-sinZADC=曰,AD=\,DC=①

sinZADC=1,AAD1BC,：,b=c,（9分）

22

又Z>+C=81/.b=c=2.（10分）

6.（2022新高考H,电12分，中）^ABC的内角A,B,C的对边分别为“瓦。分别以a,b,c为

边长的三个正三角形的面积依次为SiSS.已知5i-52+S3=psin吟

⑴求A/WC的面枳；

⑵若sinAsinC3P求b.

解析⑴由题意得S尸&设畔尻§3畔（二2,

444

S\-S2+Sy=^-（a2-b2+c2）=^,HPa2-b2+c2=2,

42

illcos8=_匕得a2+ci-b2=2accosB,

2ac

故2accosB=2,accosB=1,（3分）

乂Vsin8=条cos8二手或cosB=一乎（舍），

.3立.„i.ci3721=噂（6分）

••cic——,••SAASG—czcsino=­x—x—

42243

⑵由正弦定理号=&=三得号二ac

sin4s\nBsinCsin2fisinHsin。'

乂知卫

ac£sinAsinC=—,（9分）

43

・匕2_9._b__3

sin2/?41*sin/?2Z

A/?=^sinB=-X-=-.（12分）

2232

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7.（2022新高考I,18,12分，中）记AA8C的内角4,8,C的对边分别为己知9*

l+sin/l

sin28

1+C0S2H"

⑴若C=泉求8；

3

⑵求邛的最小值.

C

cos/1sin2F

解析⑴:黑翳（采分点:出现二倍角公式给1分）,（1分）

1+sinAl+cos25

口

即n--co-s-A-=-s-i-n-B

1+sinzlcosfi

cosAcosB-sinAsin8=sinB,

即cos（A+B）=sinB,又C号，（3分）

sinfi=cos（A+B）=-cosC=-cosy=1z

（4分）

3,6

⑵由⑴知,sinB=cos（A+B）=-cosC,

'.'sin8>（）恒成立,it）,

*/-cosC=sin（c—5

C-^=B或B+C->71（不合题意，舍去）,（5分）

.•・A=p2Z?,A>0,・•・BU（0,彳），（6分）

.。2+7_sin2/l+sin2F_8s228+siM8

''c2sin2CCOS2B

_（2COS28-1）2+（I-COS28）

（8分）

COS2B

令cos28=fj£&l）,

吐g=（2・1）2+（-）=4t+£_5>4&-5,当且仅当4六2,即U立时，取“=”（扣分点:不

ctce2

写扣1分）.（11分）

・.・二好的最小值为

4&-5.（12分）

8.（2021新高考11,18,12分，中）在ZkABC中，角A,8,C所对的边分别为〃力心且满足

b=a+],c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△A8C的面积;

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⑵是否存在正整数©使得NBC为钝角三角形?若存在，求〃；若不存在，说明理由.

解析(l)2sinC=3sinA=>2c=3a,

又c=a+2,

.\2(a+2)=3a,a=4,

b=a+1=5/c=«+2=6,

.・.=[・.sinA=Vl-c^A=二

cos2bc2X5X644'

SA.4fic=|bcsinA=5x6(6分)

⑵由已知得。>松口

若△ABC为钝角三角形，则角C为钝角，

，cosC=a2+b2~c2<O^r+b2<c2=^a2+(a+1)2<(^+2)2=>«2-2«-3<0=>-1<u<3,“>0,，aG(0,3).

2ab

(9分)

同时还应考虑构成AABC的条件,

即a+b>c^a+(a+1)>a+2^a>I.

综上所述，当。£(1,3)时ZABC为钝角三角形.

・•・存在正整数折2,使得AA8C为钝角三角形.(12分)

9.(2020新高考I，。/。分,易粒①北^^②匕冬皿4二工③片百人这三个条件中任选一个/卜

充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题:是否存在△A8C,它的内角A8,C的对边分别为©瓦c,且sin>4=V3sin

8T--------------?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

解析方案一:选条件①.

由和余弦定理得贮簪武=v-

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得Q=V3b.

于是4M=与由此可得b=c.(6分)

2v3b42

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由①解得a=y/3,b=c=\.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=L（10分）

方案二:选条件②.

由和余弦定理得H等三=尊

62abL

由sinA=V3sinB及正弦定理得Q=V3/z

3b2+b2-c2

于是

26b2考

由止匕可得Z?=c,Z?=C=pA=v-（6分）

65

由②csinA=3,所以c=b=2y/3,a=6.

因此选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2V3.（10分）

方案三:选条件③.

由和余弦定理得可金=

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得a=

于是辿黑F=今由此可得反c.

（6分）

由③4与A=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.（10分）

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三年模拟

基础强化练

1.（2025届江苏盐城四校琰考,5）在ZLABC中，内角A£C的对边分别为已知

“=V5,（sinA-sin8）（/?+a）=c（sin8+sin。则△ABC面积的最大值为（）

A.-B.-C.—D.—

4242

答案C

2.（2024河北保定十校三模,6）在中，内角4#,C的对边分别为0"c,且B=2C,b=y[2a.

则（）

ASA8C为直角三角形

BAABC为锐角三角形

CAABC为钝角三角形

DSA8C的形状无法确定

答案A

3.（2025届浙江金华开学考,4）古代数学家刘徽编撰的《海岛算经》是中国最早的•部测

量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《海岛算经》测量一个球体建筑物

的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点）,地面上B,C两点与点A在同

一条直线上,且在点A的同侧.若在8,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。,

且BC=\00m,则该球体建筑物的高度约为（）

（cos10^0.985）

AHC

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

答案B

4.（2024山东日照三模,8）在NBC中，角A£C的对边分别为若〃=/+尻.，且八金

e，5则料取值范围为（）

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A.（LV3）B.（亨,2）

C.（V2,V3）D.（百⑵

答案C

5.（多选）（2024安徽合肥一六八中学模拟,10）MBC的内角A,8,C的对边分别为则下

列命题为真命题的是）

A.若则sinA>sinB

B.若si/A+sinFvsin2c，则△ABC是钝角三角形

C.若flcosA=bcos8,则ZkABC为等腰三角形

D.若a=8,c=10/=45°,则符合条件的AABC有两个

答案ABD

7.（2024河北保定九校二模』3）在△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a力,c,若rsin

6sinC,（a+c>=18+序，则△区8c的面积为.

答案手

7.（2024重庆西南大学附中模拟,13）己知△ABC的内角A,8,C所对的边分别为满足

sinB-sinCx^2b-a...„V2nc■mil

=FT,SmAsin且则片--------•

答案

8.（2025届重庆南开中学月考』5）已知△ABC中，角A,8,C的对边分别为4瓦c,且满足

a=2b-2ccof>A.

⑴求角C；

⑵若c=4,sinAsin8=;，求"ABC的面积.

8

解析（1）由余弦定理的挂论得a=2b-2ccosA=2b-2cb2^~a2

2bcl

即ab=lr-（r+cr,

.ca2+b2-c2ab1\・「五

•・cosF,•（°m），・・c=?

⑵由正弦定理得2R=9=£,

sineV3

则sinAsinB=———=

2R2R8

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解得ab=^,/.SA八次三absinC=；x"Tx'T=片金

9.（2024河北邢台期末,17）在锐角ZkABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asinC-

V3c=0.

⑴求A；

⑵求4sinB-4sinC的取值范围.

解析（1）由2asinC-V3c=0及正弦定理得2sinAsinC-V3sinC=0.

因为sin。和,所以sinA二，.

因为△ABC为锐角三角形，所以A=^.

*3

⑵因为4甘,所以8+C二声

（0<B<-,

因为△人3c为锐角三角形，所以2n

0<-n-B<-,62

32

因为4sinB-4sinC=4sin/?-4sin（A+^）=2sin/?-2>/3cosB=4sin（B—1），

由咛6（一也9，得EB冶）©（一0

所以4sin8-4sinC£（-2,2）.

即4sin8-4sinC的取值范围为G2,2）.

10.（2025届湖南衡阳一中月考［5）在△ABC中，角A乃,C的对边分别为兄/”,已知S为

△ABC的面积且4VJS+3俨辿2）=3/

⑴若"2,求“8c外接圆的半径R；

⑵若为锐角三角形，求亨的取值范围.

解析⑴:S为AABC的面积且4y/3S+3（b2-a2）=3c2,S=jacsinB,

A4V3x1«csinfi=3（c2+«:-/?2）=3x2«ccos民即tanB=5

•・•0<4<%・•・2R=七=二,解得R空.

3smBsinj3

⑵由⑴可知44

•J

.a?+M_siM/l+siMB_sin2（c+J）+J

••c2sin2Csin2c

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4仔inC+自ocsC『+3

4sin2C

4sin2C+2\/3sinCcosC+6cos2C

(用3(sin2C+cos2(?)代换3)

4sin2C

店131

一］十,十一•''

2tanC2tan2Cz

(0<C<:，

•••△ABC为锐角三角形,,•・如n解得?<C<-,

0<--C<-,62

32

Jan.•.()喻〈返

2

+

设/二盛则等=2+争+1=施+亨）?

・・・0</<旧时,吐注（1,7）.

C

能力拔高练

1.（2024河北秦皇岛二模,4）在△A8C中,内角A,8,C的对边分别为。力£若3+誓=

ab

等/3〃+13d=10/7c+1则tanB的值为（）

.73「12「4

A.-Bn.-C.—D.-

12473

答案C

3.（2025届江苏苏州中学月考,8）在△A8C中，内角A,8,C的对边分别为。力c且

asinA=（b+c）sin及则的取值范围是（）

A6）B01）C.停1）D.M）

答案A

3.（2025届山东青岛二中月考,8）如图,在平行四边形A8CO中Jan/

BAD=7,AB=5a,AD=5,E为边8c上异于端点的一点，且乐•尻=45,则sinZCDE=（）

V2

A.B•卷

10

答案B

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4.（多选）（2025届河北石家庄正定实验中学月考JOgABC中，内角A,8,C的对边分别为

ahc,S为AABC的面积，且a=2,AB-AC=2於5,下列选项正确的是（）

..K

A..A=-

3

B.若方=3,则有两解

C.若△A8C为锐角三角形，则b的取值范围是（2百,4）

D.若D为8c边的中点，则AD的最大值为2+V3

答案BCD

5.（多选）（2024浙江Z20名校联盟三模』0）已知AABC的内角的对边分别为〃力c且

专Q•sin2等=5sinA,卜.列结论正确的是（）

A.B=-

3

B.若斫4力=5,则AA8C有两解

C.当a-c=^b时,ZiABC为直角三角形

D.若"BC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是停1]

答案ACD

6.（2025届江苏南京第一中学开学考/4）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知A

为钝角,asinB=bcos。则cosA+cosB+cosC的取值范围是.

答案（1周

7.（2025届安徽江南十校段考』4）在^ABC中，丽•而一彳？•BC=一]亘？2,则1工狙伊-。）的

最大值为.

答案v

8.（2025届湖北武汉碎口开学考,14）2kA8C为锐角三角形，其三个内角A、8、C'的对边分

别为a、b、c,且比1,028,则ZUSC周长的取值范围为.

答案（2+或,3+V5）

8.（2024重庆八中模拟,16）如图,某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测

量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底。在同一水平线上，从测角仪顶点C

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处测得楼顶M的仰角NMCE=16.5。（点E在线段M0上）.他沿线段AO向楼前进100m

到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角NMOE=48.5。,楼尖MN的视角

NMON=3.5O（N是楼尖底部,在线段MO上）.

⑴求楼高M。和楼尖MN；

⑵若测角仪底在线段A。上的“处时，楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距

离FO.

参考数据:：-sin-l6-.5-°s-in-4-8.-5°a-,tan16.5呢匕tan48.5晏440x35M7.4.

sin32°5277

解析(1)NMCE=16.5°,/MQE=48.5°,・・・ZZWC=32°.

在△COM中,由正弦定理得CM二舞需

100sin(18()o-48.5。)_100sin48.5。

又CD=100m,ACM-

sin320sin320

100sin48.5°sinl6.5°7

/.ME=CMsinZMCE=-X100xMOm,

sin320

••・MO=ME+EO=40+1.7=41.7(m).

40

CE=ME工¥"=135(m).

tanz.MCFtanl6.5°

27

ADE=CE-CD=35m.

/NDE=/MDE-/MDN=45°,：,NE=DE=35m,MN=ME-NE=5m.

⑵连接MGNG,设尸O=xm,则lan/MGE哼lan/NGE岑

E2NGE）二盘磊签篝

4035

_5,55

^35-^4OX35<

2V4OX35Z

当且仅当4一，即启37.4时，等号成立.

・♦・楼尖MN的视角最大时测角仪底到楼底的距离FO为37.4m.

10.（2025届重庆联考/7）在A48C中，角八区。的对边分别为且满足

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请在①（a-/?）sin（4+C）=（a-c）（sinA+sinC）,②sinQ-C）cos（C+这两个中任选一个

作为条件，补充在横线上,并解答问题.

⑴求C；

⑵若8c的面积为10回an4二笔点。在线段AA二且2BQ=AD,求C。的长.

解析⑴选择条件①,（4-b）sin（A+C）=（4-c）（sinA+sinC）,则（a-b）sin3=（a-c）（sinA+sinC）,

（1分）

由正弦定理可得（。-加=（〃-。）（。+0即a2^b2-c2=ab,（3分）

所以cosC=°1由（。,兀）,得。=去（6分）

2ab23

选择条件②,sin偿一C）cos（C+§=j

即si器-停+制3仅+加今

所以cos2（c+9=（，（3分）

由（0,。得三＜C+g＜子，则cosff+=-a

•3OO\Oz/

所以C+冲拳则（6分）

⑵在△A8C中，因为tan所以^=当，

11COSA11

所以sinA二T^cosA,

在△ABC中,sinA＞0恒成立，故cosA＞0,

2

因为5",4+＜：0$%=1,所以（^^8$力）+COS2A=1,

解得cos/!=~,sin/!=—.（8分）

因为△A8C的面积为1（WM所以;x¥xbc=10百，

214

解得股=56,（9分）

由⑴得故［x今xab=10V5,解得而=40,（10分）

而sin/?=sin（A+C）=^^x-+—x-=

'71421427

所以3x竽xac=10百,解得ac=35,（11分）

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综上，可得用5,〃=8,c=7（负根舍去），（12分）

设而二4七?二瓦丽二«由平面向量基本定理得上争+券（13分）

22

所以同2=（'4|«|+4X|«|X|/?|X|+|/?|二等，

故CQ的长度为雪.（15分）

11.（2025届江苏扬州中学月考,18）在△A8C'中，设角A£C’所对的边分别是©仇G且满足

V3/?sinC+/?cosC=«+c.

⑴求角B；

⑵若匕=6,求AA8C面积的最大值；

⑶求竺三士的取值范围.

解析（1）因为6bsinC+bcosC=a+cf

所以根据正弦定理得5/5sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC,

又sinA=sin（B+C）=sin8cosC+cosBsinC,

则BsinBsinC+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

即百sinBsinC-cosBsinC=sinC,

又因为C£（（）K）,则sinC/）,

所以VSsinfi-cos8=1,整理