两个相似三角形的判定-浙教版九年级数学上册（含解析）

4.4两个相似三角形的判定浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，点C为线段的中点，在AC上取点D,分别以AD,CD,BC,8。为边向上作正方形ADGH,

CDKL,BCIJ,08ER当A8=2时，若A,K,J共线，则图中阴影部分的面积为（）

.10D.1

A•gB瑞c•早

2.如图，。0的弦CD交直径AB于E,OD=DE,CE：DE=3：5,若OE=5,

则CD的长为（）

A.4<10

B.4V~5

C.3vHlO

D.3y/~5

3.如图，在△力BC中，点。、E分别在边力8、AC上，AD=2,BD=3,能判

断。E〃8c的是（）

.DE2

A•而一

nAE2

c而一

D•得|

4.如图，等腰RtaABC中，2LBAC=90°,点D是AABC外一点，分

别以BD,CD为斜边作两个等腰直角和△CDG并使点尸落

在BC上，点E落在△4BC的内部，连结E凡若tan4FOB=|,则aABE

与ADE"的面积之比为（）

B

D

A.\

4

JC-2

D.3

在RtZiABC中，CD是边的高，若AC=4,AB=10,则的

.8

AsB.2C.1D.3

6.如图，在a/IBC中，4B=6。。,BA=3,BC=5,将A/IBC沿图示中的虚

线期开,西下的阴影二角形与原二角形不相似的是（）

7.如图，2ABe〜XADE、^BAC=Z-DAE=90°,AB与DE交于点0,48=4,AC=3,尸是DE的中

点，连接8D,BF,若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△力。。〜△FOB,②△800〜△E04,

@^.FDB+Z.FBE=90%®BF=^AE.其中正确的是（）

B

A.①②B.③④C.②③D.②③④

8.在平面直角坐标系中，直线），=+2和x,y轴交于4,四两点，在第二象限内找一点P,使仆PAO

和AAOB相似的三角形个数为

C.4D.5

9.如图，。、E分别是△48C的边48、BC上的点，DE//AC.^SsBDE：

ShADE=1：2.则SAD2的值为（）

JC-4

D|

10.如图，在正方形48C。中，A8PC是等边三角形，BP、CP为延长线分

别交力。干点EF，连接80、DP,B0与CF相交于点儿给出下列结论：

①4E=：FC；②NPDE=C5。;^=热④。夕=PFFC.其中正

确的为（）

A.①②③

B.①③

C②③④

D.①②④

第H卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，CE与80交于点4要使需要添加一个条件，这

个条件可以是______.（写一个即可）

12.如图，四边形EFGH是AABC内接正方形，BC=16cm,而4。=8cm,则内接正方形边长

EF=cm.

13.已知：如图，在△48C中，AB=15m,AC=12m,力。是乙BAC的夕卜角平分

线，。£7/力3交AC的延长线于点E,那么C£=?n.

14.如图，在Rt△力BC中，乙ACB=90°,CD148于点D,CD=3,

BD=1,则力C的长是.

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题8.0分）

如图，在A/4BC中，点D,E,r分别在AB,BC,4c边上，DE//AC,EF//AB.

（1）求证：ABDEFEFC.

（2）解H，

①若BC=12,求线段BE的长；

②若△ETC的面积是20,求△A8C的面枳.

16.（本小题8.0分）

如图，AD.BC相交于点P,连接AC、BD,且匕1=乙2,AC=3,CP=2,DP=1,求8。的长.

17.(本小题8.0分)

已知：如图，△ABC中，AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.求证：^BDA=ABAC.

18.(本小题8.0分)

如图，在矩形4BCO中，E是3c的中点，DF1AE,垂足为F.

(1)求证：△/

(2)若A8=6,8c=4,求DF的长.

19.(本小题8.0分)

如图1，四边形/BCD内接于半圆。，力B是直径，C是的的中点，延长40,BC交F点E.

(1)求证：CE=CD.

(2)若48=5,BC=\T5.求才。的长.

E

20.(本小题BO分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形0A8C的顶点小C分另J在％轴和y轴的正半轴上，点8的坐标为

(5,2),点P是以边上的一动点(不与。、8重合)，联结OP、/1P,过点。作射线0E交AP的延长线下点E,

交CB边于点M,Z.AOP=Z.COM.

(1)当OP14P时，求直线4P的解析式；

(2)设CP=x,MP=y,在点P的运动过程中，是否存在％,使AOCM的面积与△/8P的面积之和等于

△EMP的面积？如果存在，请求出工的值：如果不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性

质.

根据正方形的性质证明△力DK-AAB/,设CD=x,^\AD=1-x,KD=CD=x,所以；二手，解

得”=：,求出4D、BD,再根据图形可得S阴彤部分=S正力形4DG，+S正方形/M£F-S正方形CDKLS正方彩8C〃，进

而可得结果.

【解答】

解：根据题意可知：DK//BJ,

•••△AD"〉ABJ,

tDK_AD

‘豆二丽’

•・•点C为线段48的中点，AB=2,

•.AC=BC=BJ=1,

设CD=x,

则4。=1一%,KD=CD=x,

:.—x=-1---x,

12

解得％=

24

・•.AD=1—x=BD=1+Y=Q,

S阴影部分—S正方彩

224411

=3X3+3X3-1X1-3X3

_10

=V

2.【答案】A

【解析】解：连接力D,CB.

,:CE：DE=3：5,

.,.可以假设CE=3k,DE=5k,

vOD=DE,

OA=OD=OB=5k,

AE=OA+OE=5k+5,BE=OB-OE=5k-5,

•:Z.A=Z.C,LADE=乙B,

•••△AED^is.CEB,

tAE_DE

""CE='EBf

AAE-EB=CE•DE,

(5k+5)(5k-5)=3kx5k

，上=建(负根已经舍去)，

CD=8k=4\OL0.

故选：A.

连接力＞BC,设CE=3K0E=5/〈，利用相似三角形的性质构建方程求解

本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

3.【答案】0

【解析】解：只有选项。正确，

理由是：♦.•40=2,BD=3,^=|,

/.AD=—AE=一2.

ABAC5

v/A=,

•••△ADE^^,ABC,

:.Z.ADE=乙B,

:.DE〃BC,

根据选项4、B、C的条件都不能推出DE〃BC.

故选：D.

先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△力DE"ABC,根据相似推出“DE=/8,根据平行

线的判定得出即可.

本题考查了平行线分线段成比列定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是

解此题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：如图，延长力E交BC于点

在中，tan乙30?=熊=?,

.,.可以假设8F=5a,DF=2a,

•••△CD尸是等腰直角三角形，

CF=DF=2a,CD=2S。，

•••△ABC,△BOE都是等腰直角三角形，

•••乙ABC=乙EBD=45°,黑=暮=7~~2,

BkBA

•••Z.DBC=Z.EBA,

•••△BDCEBA,

•,耳=踪=V_2,乙BCD=^BAE=45°,

AEAB

•••AE=孕CD=2a，

VZLBAC=90。，

•••/-BAE=Z.CAE=45°,

-：AB=AC,

7

；•AJ上BC,BJ=CJ=^a,

:SABE=zAE-BJ=-x2ax-a=-a2,

7

vAJ=BJ=CJ=”，

3

EJ=AJ-AE=^a9

11Q1」/OQQ

S&DEF=S&BDF+SABFE-SABDE=2X5ax2a+-x5ax-a--x<79ax-^-a=-az»

•・・鬻$4

故选：B.

如图，延长力E交8c于点/.在中，tanzFDF=可以假设8"=5a,DF=2a,分别求

出△ABE,△£)£1/的面积，可得结论.

本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学

会利用参数构建方程解决问题.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考杳了相似三角形的性质和判定，关键是能根据相似得出比例式.求出匕4乙4。8=90。，

/.CAD=^BAC,推出△C4D-Zi8AC,得出比例式空=整，代入求出即可.

ABAC

【解答】

解：VZ-ACB=90°,CDLAB,

・•・Z.ADC=Z.ACB=90°,

Z.CAD=Z-BAC,

•••△CAD^LBAC,

tAC_AD

~AC"

AC=4,AB=10,

，—吗

104

168

故选人

6.【答案】D

【解析】解：4阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

8.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C两三角形对应边成比例且夹带相等，故两三角形相似，故本选项错误.

D两三角形的对应边成比例，包夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项正确.

故选：D.

此题考杳的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.根据相似三角形的

判定定理对各选项进行逐一判定即可.

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

7.【答案】0

【解析】解：•••△ABCSAHDE,

•••Z.ADO=乙OBE,

•••Z.AOD=乙BOE,

AOO-AEOB,

OD_OA

•t•,

OBOE

OD_OB

二~OA=OEf

•••乙BOD=Z.EOA,

:心BOD-EOA,故②正确，

AOD^LEOB,ABOD~AEOA,

AZ.ADO=Z.ERO,Z.AEO=Z.DRO,

•••Z.ADO+Z.AEO=90°,

乙DBE=乙DBO+乙EBO=90°,

•••F是。E的中点，则DF=EF,

:.FD=FB=FE,

:.乙FDB=乙FBD,

•­■乙FDB+/FRE=乙FBD+乙FBE=90°,故③正确,

在RMA8C中，•••4B=4,AC=3,

:.BC=V32+42=5，

ABC^AADE,

.DE_BC_5

，"'AE=AC~3t

•••BF=3DE,

2BF5

•0•——,

AE3

故④正确，

Z.ADO=乙OBE,

•••乙ADOH乙OBF,

•••无法判断4AOD-LFOB,故①错误.

故选D.

首先证明△40D-FEOB,推出△B00-ZE04再证明/OBE=90。，可得②③正确，利用直角三角

形斜边中线的性质即可判断④正确.

本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法,

属于中考常考题型.

根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题.

【解答】

①分别过点。、点A作48、。8的平行线交于点Pi，则AOAPI与△AOB相似（全等），

②作4P21OPl，垂足为P2则△力”2与4AOB相似.

③作44。。3=4480交4Pl于P3，则△力。。3与△AOB相似.

④作A&1。23垂足为七，则△力。已与△403相似.

故选C.

9.【答案】B

【解析】解：,：S^BDE：S&cDE=1：2,

•••BE：EC=1：2,

•••BE：BC=1：3»

•••DE//AC,

•••ABDE~ABAC,△DOE-^^AOC»

.DE_BE

,而=芯=§'

•••S^DOE：S4Aoe—（器）2=g'

故选：B.

证明BE：EC=1：2,得出BE：BC=1：3,证明△BDE*BAC,△DOEfAOC,得至h空=黑=3

ACHC3

山相似三角形的性质即可解次问题.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC=1：3

是解决问题的关键.

1().【答案】D

【解析】解：・••△BPC为等边三角形，

:.PB=PC,乙PBC=乙PCB=60°,

•••FE//BC,

•••△FEP^ACPB>

又•：PB=PC,

:.PE=PF,

二FC=EB,

•••乙PBC=60°,Z.ABC=90°,

/LABE=30°,

在中，•.•N4BE=30°,

AE=^BE,

又BE=FC,

故①正确；

vPC=BC=CD,乙PCD=90°-60°=30°,

•••乙DPC=Z-PDC=180^~30°=75°,

Z-PDE=/-ADC-乙PDC=90°-75°=15°,

故②正确；

vFD//BC,

gFDHfCBH,

.DH_FD

二~BH=~BCf

又•••△8HC与△OHC同高，

.S4DHC_DH

,,SABH「BH'

又,•,黑=宾，Z7不是中点，

onDL

.••丝=竺3，

BHBC2

...-^DHC=1,

S^BHC2

故③错误；

•••Z-EPD=180°-乙EPF-乙DPC=180°-60°-75°=45°=LADB,

乙PED=乙PED,

PED~dDEB,

.•.%丝

EDBE

AED2=PEBE,

又•：PE=PF,BE=FC,

：.DE2=PFFC,

故④正确，

故选：D.

由△8PC是等边三角形，得AE而6E-CF,故①正确；由PC-BC-CDYPCD=90c-60c_

30°,可判定②正确；由△尸。得罂=黑，由ASHC与△DHC同高，可知冷驷=器，则

JBHBCb&BHC

判定③错误，由OEB,得篇=,，则EO2=pf,可判定④正确.

本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等

知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

11.【答案】乙B=

【解析】解：根据图象可知，乙EAD与484c为对顶角，

•••LEAD=Z.BAC,

・••根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，

得到乙8=乙E,即可证明^EADfBAC.

故答案为：△8=4E（答案不唯一）.

根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形，即可得到答案.

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

12.【答案】y

【解析】【分析】

此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，设正方形的边长为“，根据已知条件可

证得△4〃G74BC,由相似三角形的性质可得到丝=与，从而得到关于x的方程，解方程求出工的

值即可.

【解答】

解：设正方形的边长等于xcm,

•••四边形EFG"是正方形，

二GH//BC,

**•△AGH〜△ACB

GH_Al

二~BC~~AD'

x8-x

,16=~8~'

解得：”学.

即EF=.cm.

故答案为学.

13.【答案】4a

【解析】解：•••DE〃力8

•••Z.BAC=Z.F,乙B=乙EDC

•••△ABC^LEDC

:.AB：DE=AC：CE

•••4D是48/1C的夕卜角平分线，DE//AB

4EDA=Z.E/1D

•••DE=AE=AC+CE

：.AB：(AC+CE)=AC：CE

即15：(12+CE)=12：CE

:.CE=487Tl.

故答案为：48.

根据平行线的性质可推得△ABC"EOC,再根据相似三角形的对应边成比例可得出一关系式48：

DE=AC：CE,由外角平分线可推出DE=4E,则可求解.

本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定及性质，注意相似三角形中对应边成比例.

14.【答案】3xTl0

【解析】解：在中,乙4cB=90。,CDJ.A］于点。,

•••乙B=Z.ACD,乙BDC=乙CDA=90°,

8cos△CAD

.CD_AD

BDCD

CD2=BDAD,

CD232

・.•"ORF%

•:乙B=LB,乙BCD=Z.A,

BCD〜△BAC»

AC_AD

•,布-7?'

vAC2=AB-AD=(BD+4。)•AO=(1+9)x9=90,

/.AC=3>fl0.

故答案为：3AT^0.

直接利用射影定理进行计算即可.

本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解答本题的关键.

15.【答案】解：(1)证明：•••DE〃AC,

乙DEB=Z.FCE.

•••EF//AB,

•••LDBE=乙FEC,

•••△BDEs〉EFC：

(2)①vEFIIAB,

.BE_AF_1

：'~EC=~FC~2"

vEC=BC-BE=12-BE,

BE_1

:12-BE=2'

解得：BE=4；

②嗯4

FC2

AC=3'

•••EF//AB,

•••△EFC~ABAC)

•••舞Y)2=(W

99

SdABC—4^AEFC=4X20

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解题的关键.

(1)由平行线的性质得出NDEB="CE,乙DBE=LFEC,即可得出结论；

(2)①由平行线分线段成比例得出黑=^=|,即可得出结果；

②先求H噂=得易证△"CM8AC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

16.【答案】解：vzl=z2,乙APC=LBPD,

APCs〉BPD,

ACCP

/•=，

BDDP

•••AC=3,CP=2,DP=1

ncDPAC1x33

：'BD=-=—=^

•••8。的长为半

【解析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的性质.先由21=22,

乙APC=〃PD,证明ZMPCSABPD,然后列比例式求出8。的长.

±84121C

----•C

8C-8-2=4=,一2=-

17.【答案】证明：在△ABC中，AB-4,BC-8,BD-2.••8

又Z.ABD=Z.CBA,•••△ABD^^CBA,•••LBDA=Z.BAC.

【解析】见答案

18.【答案】【小题1】

证明：•••四边形人BCD是矩形，

AD//BC,48=90°,ALDAF=Z.AEB.

vDF1AE,:.Z.AFD=Z.B=90°,

ABE-^DFA.

【小题2】

•••E是BC的中点，BC=4,BE=2.

•••AB=6,:.AE=VAB2+BE2=V62+22=2/^0.

•••四边形ABCO是矩形，AD=BC=4.

••・△ABEHD尸4嚼=嗡

•np-板加-6x4_6

~AE_2、,一5ViU-

【解析】1.见答案

2.见答案

19.【答案】(1)证明:连接AC,

E

；C是的的中点，

:.CD=CB，

:.Z.EAC=Z.BAC,CD=CB,

•.T8是直径，

•••/-ACE=乙4cB=90。，

在△ACE与△ACB中，

Z.EAC=LBAC

AC=AC,

乙ACE=乙4c8

：.^ACE=^ACB(ASA^

:.BC=EC,

:.CD=CE；

(2)解：连接8D,

:.BE=BC+CE=2门，

•••四边形力BCD内接于半圆。,

Z.ABC+/-ADC=180°,

v/.ADC+Z-CDE=180°,

/.ABC=Z.CDE,

•••CE=CD,

•••Z.F=乙CDE=乙ABC,

•.T8为直径，

•••Z.ADB=90°,

ALBDE=90°,

•••乙ACB=乙BDE=90°,^ABC=乙E,

•••△ABC^ABED,

.AB_BC

J，丽=茄’

5_V5

,•2口一百‘

•••ED=2,

ACE=LACB,

二AE=AB=5,

AD=AE-ED=5-2=3.

【解析】(1)连接AC,根据C是舫的中点，得N£4C=乙BAC,根据4B是直径，知"CE=乙ACB=90°,

再利用AS力证明△4G?三△4G?.得BC=EC.从而讦明结论：

(2)连接80,利用两个角相等证明△/WC〜△BEO,得第=言，可得