第一章 《勾股定理》能力卷-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗

和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的

距离为22.4cm。已知配套吸管的长度为27.6cm,且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长

度的最小值为5cm（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（）

图1图2

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三

角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,若正方形

ABCD的面积为30,AE+BE=7,则4CFP与^AEP的面积差是（）

3.我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成•个正方形和两对全等的三角

形，如图所示，已知NA=9（）。，BD=4,CF=6,设正方形ADOF的边长为x,贝I」%2+10%=（）

4.如图，在△ABC中，AD_LBC于点D,点E是边AC的中点，连结DE,连结BE交AD于点

F,此时NCAD=/CBE,下列结论中：©BE5F^ZABC；AD2+CD2=4DE2；

@ZCDE=ZABE+ZBAD；④若记△ABF的面积为SAABF，△BDE的面积为SABDE,则

SAABF=SABDE,其中正确的结论是（)

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

5.如图，分别以RtAABC三边为边向外作正方形,连接BD.若SMBC=2sXABD=4,则正方形

C.16D.20

6.如图所示，意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理.若设图1

中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为S】，经过以下裁剪，翻转，拼出图2,其

中空白部分的面积为S2,嘉琪同学得出了以下四个结论：①SinM+^+Qb；②S2=c2+Qb;

③S1=S2；@a2+b2=c2.则其中正确的有（）

D.4个

7.数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做

拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，者助这个图形设计了一道数学题：由四

个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE=a,HG=b,则正方形BDFA

的面积是（）

A

2222

A.a2一.B.«2+庐c.a-bD.a+b

22

8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1,以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三

角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH,AFCG,四

边形BDIG的面积分别记为Si,S2,S3,若已知S1=l,S2=3,S3=5,则两个较小正三角形

9.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形4BCD,对角线

AC,80交于点。.若4。=1,BC=4,则等于（)

A.15B.16C.17D.20

10.如图，正方形ABCD的边长为4,其面积标记为S”以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等

腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…按照此规律继续下去，则S2O23

的值为（）

A.(I)2018B.(I)2020C.(I)2021D.@)2023

二、填空题(每题3分，共18分)

11.我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如

图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形

EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是.

弦图

弦

一

实

朱

二

二IB

实

昆州■卜

六X■跳巴浅・久

黄Z

■力11朱

实T

阳映跃及

一T

黄

图

12.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为/BAF时，顶部

边缘B处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm,小组成员

调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为NDAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的

距离DE为20cm,则底部边缘A处与E之间的距离AE为.

13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图''(图1),后人称其为“赵爽弦图由图

1变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形A8C0,正方形EFGH,正

方形MNKT的面积分别为Si，Sz，S3.若S2=12,则S1+S3的值为.

AHD

请按照图中所标注的数据计算图中实线所

围成图形的面积S二

15.如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出然后分别以

这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样

子，0”分别与/IE、EC交于G、H,若△4。6小后。〃公门77的面积分别为4,9,16,则

S^ABC=______

16.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程，满足这个方程的正整数解

(a,b,c)常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构

造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，…，分析上面勾股数组可以发

现，4=1x(3+1),12=2x(54-1),24=3x(7+1),…分析上面规律，第6个勾股数

组为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为

“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.其中乙4GB=40E4=/CE0=48HC=

90°,连接AE交8G于点R连接8E,得到图1.若乙ABE=々AEB.

(1)求证：EF=OF；

(2)延长4E,交BC于点M,若48=5,求CM的长.

18.【问题背景】

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周

髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了

一幅“弦图"(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

(1)【探索求证】

图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法''的示意图，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位

置放置，连接CO,其中4A=/B=4OEC=90。，请你利用图②推导勾股定理.

(2)【问题解决】

如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点力，B,其中AS=AC,由

于某种原因，由C到力的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,

H,8在同一条直线上)，并新修一条路C”,且CHJL48.测得07=2.4千米，"8=1.8千米，问新

路CH比原路C4少多少千米？

(3)【延伸扩展】

如图④，已知4C=4,BC=5,AB=6,CDLAB,设AO=%,求％的值.

19.【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20,

3,2,A和B是这个三级台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①所示，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚊沿

着台阶爬到B点的最短路程是多少？

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②所示，将三级台阶展开成平面图形，可得到长

为20,宽为15的长方形，连接AB,经过计算得到AB的长度为,就是最短路程.

（2）【变式探究】如图③所示的是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8

cir,若蚂蚁从点A出发沿着玻端杯的侧面到点B,则蚂蚊爬行的最短距离为.

（3）【拓展应用】如图④所示，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底

4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B

处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少?（杯壁厚度不计）

20.如图，RMABC中,/4CB=90。，D为AB中点,点E在直线BC上（点E不与点8,C重合），

（I）如图1,当点尸与点A重合时，请直接写出线段EF与8E的数量关系：.

（2）如图2,当点尸不与点A重合时，请写出线段4F,EF,BE之间的数量关系，并说明理由;

（3）若4C=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段A广的长.

21.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书

《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五''的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创

制了一幅“弦图''（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

bSi

图8图9

（1）①如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则（用含有a,b和c

的式子表示三者之间的等量关系）；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来

证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三

角形，这三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有个；

②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部

分）的面积分别为Si，S2,直角三角形面积为S3,请判断Si，S2,S3的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方

形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设

大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,己知z.1=

z2=z3=za,则当，a变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)则：

①Q2+b2+c2+d2=-

②b与c的关系为,a与d的关系为.

22.项目式学习

【项目主题】

一类勾股数有序表示的探究

【预备知识】

能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a?+b2=c2的正整数a,b,c

是勾股数，记为(a,b,c).

设m,n为正整数，且m>n,因为(n?-Mp+(2mn)2=(n?+M)?,所以(m?-M,2mn,m2+

M)为勾股数.本项目只研究形如(m?-M,2mn,m2+M)的句股数.

【规律探窕】

分别对m,n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：

勾股数(m2-n2,2mn,m2+n2)序号

mn

21(3.4,5)1

1(8,6,10)2

3

2(5,12,13)3

1(15,8,17)4

42(12,16,20)5

3(7,24,25)6

【规律应用】

根据上表规律，请完成下列问题:

(I)m=5,n=1对应的勾股数是(,,)序号为;

(2)勾股数(35,12,37)对应的m=,n=；

(3)序号为15的勾股数是(,,)

(4)【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中n?+

M的值随着序号的增大而增大.他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，+M的值也会随着

序号的增大而增大.请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明.

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题

【解析】【解答】解：设上碗口的圆心为C,杯底圆心为D，吸管接触杯底边缘的点为4连接力。、

CD,则。。1AD,/4CD为直角三角形。

9；E

I,|

99ZI

t/；\

I/

!99；

'•t，J!

I•/t•1•

A"D"'B

...吸管外露长度最小值为5cm,吸管总长27.6cm,・,•此时吸管在杯中的长度AC=27.6-5=

22.6cm,

又;吸管口到杯底的距离CO=22.4cm,

由勾股定理得：AD=-JAC2-CD2=V22.62-22.42=J(22.6-22.4)(22.6+22.4)=V0.2x45=

3cm,

•・・4。为杯子下底面的半径，...杯子下底面的直径为2x3=6cm

故答案为：C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题时先根据“吸管外露长度最小则吸管在杯中的长度最

大、'，结合吸管总长求出吸管在杯中的最大长度，再将该长度、吸管口到杯底的距离转化为直角三角

形的斜边和一条直角边，利用勾股定理求出杯子下底面的半径，最后乘以2得到底面直径。

2.【答案】C

【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图〃模型：全等三角形中对应边的

关系

【解析】【解答】解：如图，记CP交DG于点M。

•・•正方形ABCD的面枳为30

AAB2=3O

设AE=x,则BE=7-x.

在RsAEB中，由勾股定理得AE?+BE2=AB2

Ax2+(7-x)2=30

A2x2-14x=-19

V.4H1BE,BE1CF

.'.AH||CF

：.LEAP=乙GCM

V△AEB会△CGO

・・・AE=CG

：.LAEP=△CGM(ASA)

**•EP=MG,S^AEP—SACGD

:.S&CFP-S&AEP=SACFP-S&CGM=S梯形FPMG

111

=2(MG+PF),FG=DEF,FG=2s正方形加「

•「S正方形EHGF=$正方形为Be。-4sMEB

1

=30-4-^x(7-x)

乙

=2X2-14X+30

=-19+30

=11

•••、△。口一Sf£p的值为导

即△CFP与△AEP的面积差为¥

故答案为：C.

【分析】由正方形ABCD面积为30可知AB2=30,设参数表示AE,BE的长度，利用勾反定理可得

2x2-14x=-19,易证AH||CF,得至炳错角4EAP=乙GCM,由ASA判定可证明△AEP三SCGM,从而

得到对应边EP=MG,再将ACFP与AAEP的面积差转化为界正方形E9，而$正方形EHGF=

S正方形48C。—4S“EB=11,故可求SACFP-SM£P=¥。

3.【答案】D

【知识点】.「角形全等及其性质；勾股定埋

【祚析】【解答】解：由题意可知，aBODg△BOE,△COE^ACOF,

・・・BE=BD=4,CE=CF=6,

・・・BC=BE+CE=BD+CF=10,

在RSABC中,由勾股定理得:AC2+AB2=BC2,

即(6+x)2+(x+4)2=102,

整理得，x2+10x=24,

故选：D.

【分析】由全等三角形的性质易得：BE=BD=4,CE=CF=6,在RsABC中，利用勾股定理建立

方程即可求解.

4.【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一

【解析】【解答】解：•・•ADJ_BC,

AZADB=ZADC=90°,

ZCAD=ZCBE,

又NAFE=NBFD,

AZAEB=ZADB=90°,

即BE±AC,

•・•点E是边AC的中点，

AAB=BC,

・・・BE平分NABC,即①正确；

VZADC=90°,点E是边AC的中点，

，DE=1AC,AD2+CD2=AC2

・•・AD2+CD2=4DE2,即(2)正确：

由①②知，ZABE=ZCBE,ZDAE=ZADE,

又NCAD=NCBE,

AZABE=ZADE,

又・.・NAFB=NDFE,

AZBAD=ZBED,

AZCDE=ZCBE+ZBED=ZABE+ZBAD,即③正确;

***SABFx/If,SABDEBDxCE>

VBF>BD,AE=CE,

SAABF>SABDE»即④错误；

故答案为：A.

【分析】根据AD1BC、三角形内角和定理、勾股定理知BE_LAC,从而知①②正确；结合题

意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面

积公式知④不正确.

5.【答案】D

【知识点】勾股定理；勾股树模型

【蚱析】【解答】解：设AC=a,BC=b,

由AD||BC知=S^ACD=；Q2=2，解得a=2

而SMBC==4,解得b=4,

由勾月支定理得ARAR2=AC2+RC2=22+42=20

故SABGF=AB2=20

故答案为：D.

【分析】由平行同底等高可得AC的长，由此可得BC的长，求出AB?即这ABGF的面积.

6.【答案】D

【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明

【解析】【解答】解：由勾股定理得:a2+b2=c2,

由题意得：Si=$2=a2+后+2x=a2+d=c?+ab，

故①，②，③，④正确，

故选：D.

【分析】本题考查勾股定理的证明思路，核心是利用拼剪前后面枳不变的原理，结合正方形和直角

三角形的面积公式进行推导。首先计算Si，图1空白部分由两个边长分别为a、b的正方形和两个直

角边为a、b的直角三角形组成，正方形面积分别为小和庐，两个直角三角形面积和为2x/ab=

Qb,因此Si=Q2+属+ab；再计算S2,图2空白部分由一个边长为C的正方形和两个直角边为a、b

的直角三角形组成，正方形面积为。2,两个直角三角形面积却仍为ab,因此S2=c2+ab；由于拼剪

过程中只是改变了图形的形状，总面积保持不变，所以空白部分面积也相等，即S1=S2；结合Si和

S2的表达式，可椎出/+房=〃，因此四个结论均正确。

7.【答案】B

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解:设CD=x,则DE=a-x,

VHG=b,

/.AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x,

・.x-丁’

/.BC=DE=a-弯匹孚，

2

在R@BCD中，BD2=BC2+CD2=（卑）2+（卑）2=£^!±_,

222

・•・正方形BDFA的面积为之生。

2

故答案为：之鱼.

2

【分析】设CD=x,则DE=a-x,求得x=等，在BCD中，利用勾股定理求解即可.

8.【答案】C

【知识点】勾股定理；勾股树模型

【解•析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为a,较长直角边为c,较短直角边为b,由勾股定理

得,a2=c2+b2,

•••a2—c2—b2=0,

222222

•••S阴影=a-c-（b-S&HG=a-c-b+SAW/;=ShHIJ

•0•Ss^Hij=Si+S2+S3=1+3+5=9,

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理得到於=。2+廿,根据正三角形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于

两个较小正三角形纸片的重叠部分（△HIJ）的面积.

9.【答案】C

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCO是“垂美"四边形，即4C1BO,

・••在R£AA08中，AB2=OA2-^OB2,在At△COO中，CD2=OC2+OD2,

：,AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

在中，AD2=1=OA2+0D2,在RtZkBOC中，BC2=42=OB2-^OC2,

A.4D2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2=i+42=17,

故选：C.

【分析】根据垂美四边形的定义可得4clB。，由勾股定理可得力依=042+032,CD2=0C2+

OD2^\AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2,求解即

可.

10.【答案】A

【知识点】勾股定理；探索图形规律

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD的边长为A

ASi=DC2=42=16,

•••△DEC是等腰直角三角形，

/.DE=EC,

VDE2+CE2=DC2,

ADE2=1DC2=1SI=8,

乙乙

2

/.S2=DE=8,

同理S3=iS2=^SI,S4=^SI,

••^2O23=^2022X^I=^2022X24=（^）2'H8-

故答案为：A.

【分析】先求出Si,S2,S3,从中找出规律，由此推出S2O23.

11.【答案】竽

【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；“赵爽弦图”模型

222

【解析】【解答】解：解法一•••Si=(a+b)2,S2=a+b,s3=(b-a),

(a+b}2+(a2+b2)+(b-a)2=10,得次+/=竽

即S2=孚

L3

、11

解法二S]—$2=4x]Qb,S2—S3=4x2ab,

•••Si-S2=S2—S3,即2S2=SI+S3=10—S2,

10

：・S=

2丁

故答案为：号

【分析】解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直

角三角形的两直角边分别为a,b(b>a).

12.【答案】15

【知识点】勾股定理的实际应用淇他问题

【解析】【解答】解：由题意可得，BC=7cm,AC=24cm,DE=20cm,AB=AD,Z.ACB=

Z-AED=90。，

・••在R亡△48c中，AB=y/BC2^-AC2=V72+242=25cm，

•*.AD=25cm,

・••在ZkAOE中，AE=y]AD2-DE2=V252-202=15cm，

故答案为：15.

【分析】在Rta/IBC中根据勾股定理求出4B长，在再Rt△/WE中根据勾股定理求出4E长解答即

可.

13.【答案】24

【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图〃模型

【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S,则根据图形可得：SI=8S+S3，S2=

4S+S3=12,•••Si+S3=8S+S3+S3=2(45+S3)=24.

故答案为：24.

【分析】根据已知图形的面积分割即正方形48CD的面积等于正方形EFGH的面积加上正方形MNKT

的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形EFGH的面积等于正方形MNKT的面

积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.

14.【答案】50

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理

【解析】【解答】解：'：AE1AB,EF1AF,BGLGC,AzF=zEAB=zAGB=90°,则乙E4F+

(乙EAF=乙ABG

“AG=90。,/BAG+乙ABG=90。，AzF/lF=4ABG,在RSE4F和中z_EFA=LAGB,

AE=AB

,RtAEAF三RtAAGB,：.AG=EF=6,AF=BG,同理可证得：RSBGC三R3DHC,：.BG=

CH,BC=CD=5,CG=DH=4,又由勾股定理可得：CG=y/BC2-CG2=V52-42=3»则FH=

AF+AG+CG+CH=16,故S梯形““0=+OH)xFH=*x(6+4)x16=80,S^AF=

SMGB=\AFXEF=9,SABGC=SRCDH=:BGxCG=6,则图中实线所围城的图形的面积是：S=

^^EFHD-SAEHF.SRAGB-SRRGC-S^CDH=80-2x9-2x6=50.

故答案为：50.

本题主要考查了三角全等的判定及性质，等量代换及图形，面积拆分的思想.根据已知条件可得：

ZF=ZEAB=ZAGB=90°,然后运用等量代换的思想求得：/E4F=/ABG,进而求得RSE力"三

RSAGB,得到：AG=EF=6,AF=BG,然后再运用同样的方法求得：BG=CH,BC=CD=

5,CG=OH=4,进而运用勾股定理求得CG=3,然后根据S=S梯形一SAE"-54死8-SABGC-

SACOH进行求解即可.

15.【答案】11

【知识点】三角形的面积;勾股定理

【解析】【解答】解：如图：

设A/8G,LABC,△8HC的面积分别为SI，S2»S3,

•・•在R£2k48C,然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形,

:,SAABD=448xAD=SAACE—x4七=44c之2

S^CF=\BCXCF=\BC

・・・AADG,AEG/MCFH的面积分别为4,9,16,

22

,•S=S4ABD-4=^AB-4,S2=SOCE-SI-S3-9=jAC-S1-S3-9,

2

S3=SABCF—16BC-16,

22

整理上式：得极=2sl+8,AC=2sl+2S3+2S2+18,BC=2S3+32,

V.4C2=AB2+BC2,

/.2s1+8+2s34-32=2sl+2S3+2S2+18,

则2s2=22,

：.S2=11,

即SAABC=11,

故答案为：II.

【分析】设△力8G,Zk/BC,ABHC的面积分别为Si，S?,S3,先利用三角形的面积公式求出

S=lABxAD=^AB2S^=^ACxAE=^AC2=鼻Cx"=鼻口再求出

hABD乙乙t乙ACE乙f乙乙

1212,,

Si=SMBD-4=々/IB-4,52=SMCE—Si—S3-9=24C--S3-9,

S3=S4BCF-16=IBC2-16,利用AC?=AB2+BC2,可得2sl+8+2S3+32=2sl+2s3+

乙

2s2+18,求出S2=11，从而可得S△力BC=1L

16.【答案】13,84,85

【知识点】勾股数；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：•・•第1组：3=2x14-1,4=lx(3+1),5=4+1；

第2组：5=2x2+l,12=2x(5+1),13=12+1；

第3组：7=2x3+l,24=3x(7+1),25=24+1；

・•・第〃组：2n+l,〃(2〃+1+1),n(2n+l+l)+l,

・••第6组:2x6+1=13,6x(13+1)=84,84+1=5.

故答案为：13,84,85.

【分析】由勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)中，4=lx(3+1),12=2x

(5+1),24=3x(7+1),可得第5组的勾股数组为60=5x(11+1),第6组的勾股数组为6乂

(13+1)=84,进而得出13,84,85

17.【答案】(1)证明：=

:.AB=AE

AB=AD

:.AE=AD

VZ-DFA=90°

EF=DF

由(1)知4E=40

•:Z.DFA=90°

.•.乙1=z3

V△AFD三△CH8,

・••乙1=Z2,

'：CAGE=乙BHC=90°,

J.LAGB=AGHC=90°,

A.4F||CH,

/.z.3=z4=z5,

・•・乙2=z5,

：,ME=MC,设ME=MC=x,

=AE+EM=5+x,

V△BGA=△CHB,

：.AB=BC=5,44BG=乙BCH,

：.BM=BC-CM=5-x

•:乙BHC=90°=乙BCH+乙HBC

：,LABG+Z-HBC=/-ABC=90°,

：.AB2+BM2=AM2,

A52+(5-X)2=(5+X)2»

5

-

4

5

-

CM4

【知识点】勾股定理；"赵爽弦图"模型；平行线的应用-证明问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角

形中对应角的关系

【解析】【分析】3）根据等角对等边得出AB=4E,由全等三角形的对应边相等得AB=AD,由等

量代换得A0=4E,由直角三角形性质得NDFA=90。，从而根据三线合一即可得出结论；

(2)由等腰三角形的三线合一得出N1=N3,由全等三角形的对应角相等得N1=N2,由内错角相

等，两直线平行可推出AF〃CH,由二直线平行，内错角相等推出N3=N4,结合对顶角两等及等量

代换推出及对顶角相等可推出/2=/5,由等角对等边得出MOME,设ME=MC=x，则/1M=

4E+EM=5+x,由全等三角形的性质得到48=BC=5//1BG=4BG7,则BM=BC-CM=

5-x,然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换可推出乙48G+4H8C=乙48c=90。，最后在

RIAABM中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.

(1)证明：v/-ABE=^AEB

:.AB=AE

vAB=AD

•••AE=AD

•••Z-DFA=90°

EF=DF

(2)解：如图,

由(1)知力E=4。

•••Z.DFA=90°

・••乙1=Z3

V△AFD三△CH8,

・••乙1=Z2,

'：LAGB=乙BHC=90°,

C.LAGB=Z.GHC=90°,

A.4FIICH,

z.3=z.4=z.5,

Az.2=z5,

：.ME=MC,设ME=MC=x,

/.AM=AE+EM=S+尤，

V△BGA三△CHB,

J・AB=BC=5,^ABG=乙BCH,

：・BM=BC-CM=5-x

■:乙BHC=90°=乙BCH+乙HBC

：,LABG+乙HBC=4ABC=90°,

.,.AB2+BM2=AM2,

A52+(5-X)2=(5+X)2»

5

-

4

・・.7

18.【答案】（1）解：如图②所示:

AE=BC=a,AD=BE=b,DE=CE=c,

2

•••S^ADE=^AE-AD=^abrS^CE=^BE-BC=1ab,SACD£=；DE-EC=1c

梯形ABCD=\+BC)•(4E+BE)=：(b+a)2,^^ADE+^£,BCE+S&CDE=S梯形,

2ab+2cib4-cz=(Q+b)2,

•••2ab+c2=(a4-Z))2»

•••lab+c2=a24-b24-2ab,

C2=Q2+力2；

(2)解：设48=AC=x,

vBH—1.8km,

:.AH=AB-BH=(x-1.8)/cm,

•••LCHB=90°,CH=2.4km,AH2+CH2=AC2,

(X-1.8)2+2.42=X2,

•••%=2.5,即AC=2.5km,

AC-CH=2.5-2.4=0.1/cm,

.♦・新路CH比原路CA少O.I/CTH；

(3)%*AC=4,BC=5,AB=6,CD1AB,AD=x,

CD2=AC2-AD2=42-x2,CD2=CB2-BD2=52-(6-%)2,

•••42—x2=52—(6—%)2,

9

...X=-4T-

【知识点】三角形的面积：勾股定理的证明：勾股定理的应用；“赵爽弦图〃模型

【解析】【分析】(1)计算梯形ABCD的面积，一方面根据梯形面积公式计算，另一方面根据三角形

的面积公式计算三个直角三角形面积之和，然后根据梯形面积等于三个直角三角形面积建立等式，

化简后得到勾股定理的表达式；

(2)设AB=AC二x,则AH=x-1.8km,在RsACH中利用AB=AC以及勾股定理建立方程，求出x

的值，进而得到AC的值，最后计算出CA-CH的值；

(3)分别在RsACD和R^BCD中根据勾股定理表示出CD?,然后建立关于x的方程，求解得到

x的值。

19.【答案】(1)25

(2)17cm

(3)如图所示，将玻璃杯的一半侧面展开，作B关于EF的对称点B',

作B'D_LAE,交AE的延长线于点D,连接AB',BF,则BF+AF为最短路程.

由题意，得DE=lcm,AE=9-4=5(cm),

，AD二AE+DE=6cm.

•・•底面周长为16cm,

BD=lx16=8(cm).

VBD2+AD2=AB2,

.,.AB，2=82+62=1OO,

/.AB=10cm,

・♦・蚂蚊从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm

【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题：蚂蚁爬行模型：勾股定理的实际应用-台阶问题

【解析】【解答】解:

如图，根据勾股定理知：AB=7202+152=25，

故填：25.

如图，根据勾股定理知：AB=71524-82=17C|n»

故填：17cm.

【分析】⑴将三级台阶展开成平面图形，利用勾股定理计算出AB的长即可.

⑵将圆柱侧面展开成平面图形平面图形，利用勾股定理计算出AB的长即可.（展开后底面周长的一

半为直角三角形的一直角边长）

⑶利用对称将外壁的B点对称到“内壁”的B，点，再构建直角三角形，利用勾股定理求出AB，的长.

20.【答案】（1）EF=BE

（2）解：结论：AF2+BE2=EF2.

理由：如图2中，过点A作AJ_LAC交ED的延长线于J,连接FJ,

•••AJ1AC,EC1AC,

:.AJIIBE,

•••LAJD=乙DEB,

在△力/。下口△BED中,

ZAJD=（DEB

乙ADJ=乙BDE,

AD=BD

.*.△AJD=△BEO（力力S）,

二AJ=BE,D]=DE,

vDF1EJ,

•••FJ=EF,

•••LFAJ=90°,

'.AF2+AJ2=FJ2,

：.AF2+BE2=EF2.

（3）解:AF的长为会或1.

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答]解：（1）-AD=DB,DELAB,

•••DE垂直平分4B,

•••EF=EB.

故答案为：EF=BE；

（3）解：如图3—1中，当点E在线段8C上时，设力F=%,则CF=5-x.

:•BE=2,

•••EF2=AF2+BE2=CF2+CE2,

X2+22=(5-X)2+12,

11

,•%=亏，

AF=T'

如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设=则C"=5-x.

图3・2

•••BC=3,CE=1,

・•・BE=4,

•・•EF2=AF2+BE2=CF2+CE2,

•••x2+42=（5-x）24-12,

.*.x=1>

-.AF=1,

综上所述，满足条件的力F的长为兽或1.

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性所证明即可；

（2）过点A作AJJ_AC交ED的延长线于J,连接FJ,借助辅助线构造全等三角形，将线段AF,

EF,BE,围成一个直角三角形：即可写出线段AF,EF,BE之间的数量关系；

（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设4F=心则CF=

5-x,根据勾股定理构建方程求解即可.

21.【答案】（1）解：①a2+案=。2；

②选择图1,证明过程如下：

证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，

即心=1adx4+（d—Q）2,

乙

化简,得次+M=c2

（2）解：①3；

证明：②结论S1+S2=S3；

***S[+S2=+炉-c?)+S3

o

,:a2+b2=c2>

⑶@mz；②b=c,a+d=m

【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图''模型

【解析】【解答】解：(1)解：①如果直角三角形的两条直角边分别为Q,b,斜边为C,那么。2十

b2=c2;

(2)①根据题意，

图4图5图6

在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c,

由勾股定理，得勾+川=〃,

S[+S?—S3；

在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c,

则Si=聂X(j)2=”,S2/X(|)2=抓2,S3彳X(02=加2,

1O

2

・'•S14-S2=g7T((2+b)y

•••次+庐=/,

**-g7T(a2+fc2)=^7TC2»

・'Si4-S2=S3；

在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c,

则Si=卑Q2,s.=却，S3省心，(等边三角形面积公式：S-=^a2,a为边长)

14L404等必△4

;Si+§2=亨(次+小)，a2+b2=c2»

.•岑胡+均=彖2，

•'•Si+S2=S3;

・•・满足Si+S2=S3的有3个，

(3)解：①如图9,正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、

m,

由(1)(2)中的结论可知，面积的关系为：SA+SR=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SM，

•*»a2+b2=e2»c2+rf2=/2»e2+f2=n?2.

••a2±b2±c2+d2-m?

②作川J.KL于点N,

图9

W1+乙KJN=90°,乙NJL+乙KJN=90°,

/.41=Z3=乙NJL,

♦:4LNJ=Z.IGH=90°,LJ=I'd,

AALNJ三八IGH,

：.LN=IG=d,NJ=HG=c.

同理可证：KN=a,NJ=b,

Ab与c的关系为b=c,a与d的关系为a+d=m.

故答案为：Q2+/J2=C2；3；m2；b=c,a4-d=m.

【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；

②选择图1,根据大正方形的面积等于四个仝等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然

后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；

（2）①在图4中，根据勾股定理，易得S]+S2=S3；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出

SHS2和S3的值,即可证明；在图6中,根据等边三角形的面积公式,分别求出Si、S2和S3的值,

即可证明。

②观察图形可知，三角形的面枳加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的

面积公式，即可求解；

（3）①根据（1）（2）,可知，最后再结合勾股定理，即可求解；

②作JN1KL于点N,根据41+/K/N=90°,乙NJL+乙KJN=9。°,易得N1=43=乙丫儿，再根

据乙LNJ=乙/GH=900,L]=IH,易证ALNJ三AIGH,可得LN=IG=d,NJ=HG=c,同理