第一章 整式的乘除（7个易错点）【北师】七年级数学下册

第一章整式的乘除（7个易错点）

易混易错

易错点1嘉的乘法运算

【指点迷津】根据同底数暴的乘法法则计算即可，同底数窑相乘,底数不变，指数相加.

1.已知x+），-3=0,则2y・2"的值是（）

A.6B.-6C.8D.8

2.若2x+y-2=0.则5入・5）=.

3.若3/2=36,则或•=.

2

4.若3〃，・32〃=81,贝1]〃计2〃=.

5.若9乂32吟33加=322,则〃7的值为.

易错点2塞的乘方与积的乘方

【指点迷津】牢记根据幕的乘方以及同底数嘉的乘法法则

6.己知a=8P,6=273c=961,则小b,。的大小关系是（)

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a

7.若（”〃）3=/卢，则忖〃的值分别为（）

A.9；5B.3；5C.5；3D.6；12

8.计算（1）2019■（卷严0狗结果是（)

A.2B.2c.2D.3

3232

9.已知9〃』3,27〃=4,则32*3”=（)

A.1B.6C.7D.12

10.若户=5,户=16,则（c必）"=.

11.若苏/〃=54,十=3,则.

x

12.已知10』,5=bf求：

（1）50'的值；

（2）2丫的值;

（3）20'的值.（结果用含〃、。的代数式表示）

易错点3同底数幕的除法

【指点迷津】同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.熟悉逆用同底数嘉的除法法则以

及积的乘方法则。

13.若（严=8,。〃=2,则型2"的值是.

14.己知3X9'"X27'〃=32I,求（-m2）3-r（/n3*m2）的值.

易错点4多项式乘多项式

【指点迷津】用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积

15.如（龙+〃?）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则〃?的值为（）

A.-3B.3C.0D.1

易错点5完全平方公式及几何背景

【指点迷津】牢记完全平方公式

16.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（〃+b）〃（〃为非负整数）展开式的

项数及各项系数的有关规津如下，后人也将右表称为“杨辉三角”

（«+/?）°=1

（〃+。）［=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

Qa+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Ca+b）5=a5+5a4b+1Oa3b2+1Oa2b3^5ab4-^b5

则Qi+b）9展开式中所有项的系数和是（）

1

11

121

1331

14641

15101051

A.128B.256C.512D.1024

17.已知〃+』=5,则/十二■的值是

aa2

18.若x-y=6,xy=7,则/+)a的值等于.

19.如图，有两个正方形A,B,现将8放在A的内部得图甲，将A,3并列放置后构造新的

正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15,则正方形A,B的面积之

和为.

B____

------AB

图甲图乙

20.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1

可以得到(。+人)2=/+2时+/，请解答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式.

(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.

(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：

若a+8+c=10,ab+ac+bc=35f则浮+序+廿=.

(4)小明同学用图3中x张边长为。的正方形,y张边长为b的正方形z张边长分别为

b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9〃+4万)长方形，则x+y+z=.

21.(1)请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积.

图1图2

方法①：;

方法②：：

（2）根据（1）写出一个等式；；

（3）若x+y=8,盯=3.75,利用（2）中的结论，求x,y；

（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图2,它表示了（2加+〃）（m+〃）=

2〃尸+3，〃〃+/.试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+〃）（〃z+2〃）=2m2+5mn+2n2,

22.乘法公式的探究及应用.

数学活动课.匕老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为。的正方形，8种

纸片是边长为人的正方形，C种纸片长为。、宽为〃的长方形,并用4种纸片一张，3种

纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：;方法2：

（2）观察图2,请你写出下列三个代数式：（"〃）2,次+序，帅之间的等量关系.

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：

（。+方）（。+28）=a1+3ab+2b2

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知:a+b=5,672+Z?2=ll,求劭的值；

②已知（2018-a）2+（4-2017）2=5,求（2018-a）（a-2017）的值.

易错点6平方差公式及几何背景

【指点迷津】牢记平方差公式

23.下列运算中，不能用平方差公式运算的是()

A.(-b-c)(-b+c)B.-(x+y)(-x-y)

C.(x+y)(x-y)D.(x+y)(2x-2y)

24.若代数式M・(3X-)，2)=/-9X2,那么代数式M为()

A.-3x-y2B.-3产/C.3x+)2D.3x-y1

25.观察：(x・1)(x+1)・1，(x・1)(f+x+l)=N・1，(x・1)(V+f+x+[)-i,

据此规律，当(x-1)(r+x,+R+f+x+i)=o时，代数式『021・i的值为()

A.1B.0C.1或・1D.0或-2

26.己知cr-/?2=9,则。=,b=.

27.如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为〃的小正方形(〃>〃)，把剩下部分沿图

1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公

式是()

aaa

图1图2

A.(a-b)2=a2-lab^b1B.Ca+b)2=cr+2ab+b2

C.a(a+b)=a2+abD.(a+b)(。-b)=cr-b1

28.如图，边长为2〃?+3的正方形纸片剪出一个边长为，〃+3的正方形之后，剩余部分可剪拼

成一个长方形，若拼成的长方形一边长为〃?，则另一边长为

29.如图1所示，边长为。的正方形中有一个边长为〃的小正方形，如图2中阴影部分剪裁

后拼成的一个长方形.

(1)设如图1中阴影部分面积为S,如图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代

数式表示Si,S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；

(3)试利用这个公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

易错点7整式的混合运算一化简求值

【指点迷津】牢记整式运算法则

2

30.先化简，再求值：（-3肛）（r+盯-V）-31）2（3F+3盯+9），其中x=-2，），=-3.

32

第一章整式的乘除(7个易错点)

易混易错

易错点1塞的乘法运算

【指点迷津】根据同底数暴的乘法法则计算即可，同底数窑相乘，底数不变，指数相加.

1.已知x+)，-3=0,则2y・2"的值是()

A.6B.-6C.2D.8

8

【答案】。

【解答】解：x+y-3=0,

・”+y=3,

・・・2)'・2、=2%=23=8,

故选：D.

2.若2x+)，・2=0.则5入・5)'=25.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：・・2+厂2=(),

.・.5〃5=52巾=52=25.

故答案为：25.

3.若3户2=36,则以=2.

2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原等式可转化为:3^X32=36,

解得3X=4,

把3*=4代入等得，原式=2.

故答案为：2.

4.若3加・32〃=81,则加+2〃=4.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：322〃=34,

〃?+2〃=4,

故答案为：4.

5.若9X32〃?X33〃占322,则〃?的值为4.

【答案】4.

【解答】解:V9XX35W=32X32WX33«=32+2,N+3W=32+5W=322,

/.2+5w=22,

解得“7=4.

故答案为：4

易错点2幕的乘方与积的乘方

【指点迷津】牢记根据骞的乘方以及同底数塞的乘法法则

6.已知a=8P,b=274i,c=96i,贝Ija,〃，c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<c1.b>c>a

【答案】A

【解答】解：・・・a=8P=⑶）31=3⑵

b=27，\=（33）41=3%

c=96,=（32）61=3122.

则a>b>c.

故选：A.

7.若（心〃）3=〃％巴则n的值分别为（）

A.9；5B.3；5C.5；3.6；12

【答案】B

【解答】解：•・•（。〃物）3=故巴

.・./〃仿〃3=济〃5,

.•・3"7=9,3〃=15,

••机=3,〃=5,

故选：B.

8.计算（3）2019.（_2严20的结果是（)

23

A.2B.2C.

3232

【答案】A

【解答】解：（V"。•（看严2。

_（3严19・（2部19・2

=ix2

3

—_2—.

3

故选：A.

9.已知9'”=3,27〃=4,则32"3〃=（）

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【解答】解：,・・9利=32M=3,27”=33〃=4,

.・.32/3〃=32m义33"=3X4=12.

故选：D.

10.若庐1=5,於=16,则Cab）n=_±475_.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：-a2n=5,m=16,

・•・（暧）2=5,（护）2=6

**•an=±V5,bn=±

•e,（ab）n=an*bn=±4^/5,

故答案为：士尔兀.

11.若小/〃=54,。〃,=3,则♦=2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：,.・户+〃=（优〃）3・废=54,0m=3,

・n5454c

••a=.....-^-=^-=2-

(am)333

故答案为：2

12.已知l(y=。，5x=b,求：

(I)5(y的值；

(2)2、的值；

(3)20'的值.(结果用含〃、〃的代数式表示)

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴50'=10"5』加

(2)2X=坐)x=j^i=2；

55Xb

（3）20'=（芈乂io）x=〃-x10*=j

553cb

易错点3同底数基的除法

【指点迷津】同底数嘉的除法法则：底数不变，指数相减.熟悉逆用同底数幕的除法法则以

及积的乘方法则。

13.若"=8,0n=2,则”2“的值是2.

【答案】见试题解答内容

【解答］解："=8,暧=2,

n,2nm2nm22

：.a'=a^a=a^（d）=8^-2=2f

故答案为：2.

14.已知3><9巾><27阳=321,求（-加）3・（加2）的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：3X9,7,X27,n=3X32W,X33w=31+3/n=321,

.*.l+5m=21,

；・m=4,

m2）3+（团3・〃尸）=_林-m=-4.

易错点4多项式乘多项式

【指点迷津】用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积

15.如（x+加与（1+3）的乘积中不含x的一次项，见〃z的值为（）

A.-3B.3C.0D.I

【答案】A

【解答】解：:（x+机）（x+3）=x1+3x+nix+3m=x2+（3+〃z）x+3ni,

又：（x+机）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，

•••3+/H=（）,

解得tn--3.

故选：A.

易错点5完全平方公式及几何背景

【指点迷津】牢记完全平方公式

16.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（。+人）”（〃为非负整数）展开式的

项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”

（a+h）0=1

(alb)x=a\b

(a+Z?)2=a2+2ab+lr

(a+b)3=ay+3a2b+3ab2+b?,

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+h4

554245

(a+b)=a+5ah+10/序+1Qab^5ab+b

则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）

1

1

121

1331

14641

15101051

A.128B.256C.512D.1024

【答案】C

【解答】解：当〃=0时­，展开式中所有项的系数和为1=2。,

当〃=1时，展开式中所有项的系数和为2=21

当〃=2时，展开式中所有项的系数和为4=22,

当〃一9时，展开式的项系数和为一2。一512,

故选：C.

17.已知〃+2=5,则6尸+士的值是23.

aa2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：a2+-^r=（a-）2-2=52-2=23-

a2a

故答案为：23.

18.若x-y=6,xy=7,则K+y2的值等于50

【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为x-y=6,节=7,

所以/+_/=（犬-），）2+2^=62+2X7=50,

故答案为：50.

19.如图，有两个正方形A,B,现将3放在A的内部得图甲，将A,8并列放置后构造新的

正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15,则正方形A,B的面积之

和为18.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示：

B

----------AB

图甲图乙

设正方形A、B的边长分别为x,外依题意得：

x2-y2-2(x-y)y=3

(x+y)2-x2-y2=15

化简得：

,x2-2xy+y2=3©

12xy=15②

由①+②得：

/+,2=18,

22

.SA+SB=x+y=18»

故答案为18.

20.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1

可以得到(〃+b)2=序+2"+〃，请解答下列问题：

(1)写出图2中所表7K的数学等式(〃+〃+22=〃2+/。+，2+2〃/?+2〃—+2/»,.

(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.

(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：

若〃+Z?+c=10,ab+ac+bc=35,则〃2+炉+4=30.

(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为〃、

人的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则工+?+2=156.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)•・•正方形的面积=十c)\正方形的面积=〃十户心十2如包心+2儿.

/.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

故答案为：(a+Z?+c)2=/+序+C2+24Z?+2GC'+2Z?C.

(2)证明：Ca+b+c)(a+b+c)f

=a2+ab+ac+ab-i-b2+bc+ac^bc+c2,

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(3)。2+6+/=(a+b+c)2-2ab-lac-2bc,

=102-2(ab+ac+bc),

=100-2X35,

=30.

故答案为：30；

(4)由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,

.(5a+lb)(9。+4力),

=45a2+20ab+63ab+2Sb\

=45/+2昉2+83必

••»x—45,y=28,z—83.

，x+y+z=45+28+83=156.

故答案为：156.

21.(1)请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积.

mn

2

mmn

m2

mn,)2

mnwmn

图1图2

方法①；（"[I12-;

方法②：（m一〃）2；

（2）根据（1）写出一个等式：（加+〃）2-=3m）2.

（3）若x+y=8,xy=3.75f利用（2）中的结论，求x,y；

（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图2,它表示了（2团+〃）（m+〃）=

2加+3/〃〃+〃2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+n）（m+2n）=2m2+5mn+2n2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）方法①：（m+n）2-4/77/7,

2

方法②：（〃L〃）;

故答案为：（〃?+〃）2-4/72??,（m-n）2；

（2）由（1）可得：（〃?+〃）2-4mn=Cm-n）2：

故答案为：（〃2+〃）2-4mn=（〃？-〃）2；

（3）由（2）可得:{x-y）2=（x+y）2-4xy,

\9x+y=-8,孙=3.75,

・•・(x-y)2=6475=49,

.*.x-y=±7；

又・・・x+y=8,

・x=7.5Tx=0.5

­•<或《

y=0.5y=7.5：

（4）如图，表示（2〃?+〃）（加+2〃）=2nr+5mn+2n2：

22.乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为。的正方形，B种

纸片是边长为〃的正方形，C种纸片长为。、宽为〃的长方形.并用A种纸片一张，B种

纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：(〃+〃)2；方法2：cF+a+Zab

(2)观察图2,请你写出下列三个代数式:(9)2,於十扶,4。之间的等量关系.

2=4+2"+店

(3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：

(a+b)(a+2b)=a1+3ab-^2b1

(4)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

22

①已知：a+b=5,a+b=\\f求ab的值;

②己知(2018-〃)2+(d-2017)2=5,求(2018-〃)(〃-2017)的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)图2大正方形的面积=(a+b)2

图2大正方形的面积=/+加+2而

故答案为：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)由题可得(〃+/?)2,cr+b2,之间的等量关系为：(a+b)2=a2+2ab+b2

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2：

(3)如图所示，

bab

(4)①,・Z+〃=5,

(a+b)2=25,

2

：.cr+b+2ab=25f

又・・・°2+2=11,

**•cib=7；

②设2018-a=x,a-2017=y,则

,/(2018-。)2+(a・2017)2=5,

・*+)2=5,

*/(x+y)Zuf+Zxy+y2,

222

A(X4y)-(x+y)=_2,

2

即(2018-a)(a-2017)=-2.

易错点6平方差公式及几何背景

【指点迷津】牢记平方差公式

23.下列运算中，不能用平方差公式运算的是()

A.(-/?-c)(-b+c)B.-(A+y)(-x-y)

C.(x+y)(x-y)D.G+y)(2JV-2y)

【答案】B

【解答】解：小(--b+c)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本

选项不符合题意；

B、-(x+y)(-x-y)=(x+y)(x+y),不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计

算，故本选项符合题意；

C、0+)，)(x-y)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

。、(x+y)(lv-2y)=2(x+}9Cx-y)符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故

本选项不符合题意.

故选：B.

24.若代数式M・(3X・)，2)=/-9x2,那么代数式M为()

A.-3x-/B.-3.r+/C.3x+)2D.3x-/

【答案】4

【解答】解：:(-3x-)2)・(3x-y2)=/-9X2,

,M=(-3x-y2).

故选：A.

25.观察：(x・1)(x+1)=f・1,(x・1)(x2+x+l)1,(x・1)(V+f+x+l)=犬・i,

据此规律，当(X-1)(r+MS+f+x+l)=0时，代数式f02l・1的值为()

A.1B.0C.1或-1D.0或-2

【答案】D

【解答】解；,・・(X-1)(卢xCm—xi1)=0.

・3・1=0.

•**=1.

(X3)2=1.

・3=±1.

•*.X=±1.

当X=1时，原式=12°2-1=0.

当尸-1时，原式=1202-=・2.

故选：。.

26.已知cr-Z?2=9,则ci=3,b=0.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•:号-廿=(a+b)(a-b)=9,

〃+。=3,

联立方程组(a+b=3,

Ia-b=3

解得：a=3,b=0.

27.如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为〃的小正方形(a>b),把剩下部分沿图

1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2),利生这两幅图形面积，可以验证的乘法公

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+tr

C.a(«+£>)=a2+abD.(a+b)(a-b')