圆的基本性质 章末八大题型总结（拔尖篇） 含解析-浙教版九年级数学上册

专题3.12圆的基本性质章末八大题型总结（拔尖

篇）

＞题型梳理

【题型1动态图形的扫过的面积的计算】

【题型2圆周角定理有关的计算与证明】

【题型3垂径定理的实际应用】

【题型4由点与圆的位置关系求求最值】

【题型5由圆的对称性求最短路线问题】

【题型6动点的运动轨迹长度计算】

【题型7正多边形与圆】

【题型8圆锥侧面积的相关计算】

【题型1动态图形的扫过的面积的计算】

（2023秋・江苏盐城•九年级校考阶段练习）

1.如图，已知A、。是OO上任意两点，且AO=6,以AD为边作正方形A8CO,若AO

边绕点。旋转一周，则边扫过的面积为.

（2023秋・江苏•九年级专题练习）

2.如图，半圆。的直径A8=4,弦8=2拒，弦8在半圆上滑动，点C从点A开始

滑动，到点。与点3重合时停止滑动，若例是。。的中点，则在整个滑动过程中线段8M

扫过的面积为.

2026-2027学年

（2023•黑龙江鸡西•校考三模）

3.在平面直角坐标系中，己知4（2,0）,8（3,1）,C（l,3）；

沿x轴负方向平移2个单位至△A/Ci，画图并写出G的坐标：

（2）以A点为旋转中心，将△A8C逆时针方向旋转90c得△Age?，画图并写出C2的坐

标;

⑶在平移和旋转过程中线段8C扫过的面积为.

（2023秋・浙江•九年级专题练习）

4.如图所示，扇形QW从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，47=60。，。4=1.

⑴求。点运动的路径长；

（2）求0点走过路径与射线/围成的面积.

【题型2圆周角定理有关的计算与证明】

【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：半圆（或直径）配对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径

（2023秋•北京西城•九年级北京八中校考期中）

5.如图，已知：过0。上一点A作两条弦A4、AC,且/B4C=45。，储8,AC都不

经过。）过A作AC的垂线AF交。。于。，直线B。，AC交于点E,直线BC,DA交

于点F.

E

B

(1)证明：BE=BF；

(2)探索线段48、AE、八产的数量关系，并证明你的结论.

(2023秋•湖北•九年级期末)

6.已知“8。内接于GO,N8AC的平分线交O。于点D，连接。8,DC.

图①

⑴如图①，当/刖。=120。时,，请直接写出线段48,AC,A。之间满足的等量关系

式：:

⑵如图②，当N84C=90。时，试探究线段AB,AC,40之间满足的等量关系，并证

明你的结论.

(2023秋•山西朔州•九年级校考期中)

7.如图，8。是。O的直径，弦3。与。4相交于点E,4：与相切于点A,交08的

延长线于点R/产=30。ZR4C=120°,忒7=8.

⑴求/的度数；

(2)求AC的长度；

(3)判定四边形AF3C的形状，并证明你的结论.

(2023秋•江苏盐城•九年级统考期中)

8.如图，在的内接四边形A8C。中，DB=DC,NDAE是四边形A8C。的一个外

角.

2026-2027学年

D

⑴若NDAE=75。,则ND4C=_。；

⑵过点。作DE/A8于E,判断A从AE.AC之间的数最关系并证明;

⑶若A3=6、AE=2,求AQ2_AQ2的值.

【题型3垂径定理的实际应用】

【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线

过圆心，且平分弦对的两条弧.

（2023秋・河北石家庄•九年级校联考期末）

9.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A,

B两点,他测得“图上”圆的半径为5厘米，入B=8厘米.若从日前太阳所处位置到太阳

完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是；

②“图上”太阳升起的平均速度为______厘米/分.

（2023秋•浙江台州•九年级校考期中）

10.我市在创建全国文明城市检杳中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现己更

换新的公交候车亭（图1）,图2所示的是侧面示意图，尸G为水平线段，PQUG点H

为垂足，FG=4m,"7=2.4〃?，点P在弧FG上，且弧R7所在的圆的圆心。到尸G,

PQ的距离之比为5：2,则P4的长约为多少米？

图I

（2023春・浙江台州•九年级台州市书生中学校考期中）

11.如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面A8长为800

米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面

上取一点P,在桥面A5上取点C,作射线PC交弧（主桥拱）于点D,右边画出了PC

与P。关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）

v

A.桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米

B.桥拱正下方的桥而E尸的实际长度约为500米

C.拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米

D.桥面上8尸段的实际长度约200米

（2023秋•河北邢台・九年级校联考期末）

12.“筒车”是一种以水施作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是

以轴心O为圆心的圆，已知圆心。始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦为6米

时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下力部分网上一点距离水面的最大距离；.

（1）求该圆的半径；

（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦A3从原来的6米变为8米时，则水面下盛水荒的

最大深度为多少米？

【题型4由点与圆的位置关系求求最值】

【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为「，点到圆心的距离为d，则有：当d

2026-2027学年

时，点在圆外；

当4=/时，点在圆上，当4V7•时，点在圆内.

（2023秋・江苏苏州•九年级苏州市振华中学校校考期中）

13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2）,点8（0,2+。，C（0,2-r）（r>0）,点

〃在以。（6,6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=9O。，则，的最小值

是.

（2023秋•山东德州♦九年级统考期中）

14.如图，点A、B的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点,

连接OM，则OM的最小值为

（2023秋•山东泰安•九年级校联考期末）

15.如图，点尸（3,4）,。尸半径为2,4（250）,B（5,0）,点用是0P上的动点，点C是

)

D.2

222

（2023秋•河南驻马店•九年级平舆县第二初级中学校考期末）

16.如图，R^ABC中，48_1308=6,8。=4,。是.8。内部的一个动点，且满足

4PAB=NPBC,则线段CP的最小值为.

【题型5由圆的对称性求最短路线问题】

（2023秋・浙江杭州•九年级校考期中）

17.如图，在。。中，八8是。。的直径，AB=\0,AC=CD=DB，点E是点Q关于AB

的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①N8OE=60。：②=③

DM上CE；④CM+OM的最小值是10.上述结论中正确的个数是

（2023秋•安徽淮北•九年级校考期末）

18.如图，A8是的直径，A8=2,点C在。。上，NC48=3（）。，。为弧8c的中

点，P是直径A8上一动点，则PC+PQ的最小值为（）

（2023秋•陕西渭南•九年级统考期末）

19.如图，A、8是半限。上的两点，MN是直径，OB工MN.若A8=4,08=5,P

是WN上的一动点，则出+P3的最小值为.

2026-2027学年

（2023秋•广东广州•九年级校考期末）

20.（1）如图①，在&48c中，NA=120,A13=AC=5.尺规作图：作△/18c的外接

圆OO,并直接写出融C的外接圆半径/?的长.

（2）如图②，0。的半径为13,弦A4=24,M是AB的中点，。是。。上一动点，求

的最大值.

（3）如图③所示，AB,AC、8C是某新区的三条规划路，其中A3=6km,AC=3km,

N8AC=60，8C所对的圆心角为60，新区管委会想在8C路边建物资总站点〃，在AB,

AC路边分别建物资分站点E、F,也就是，分别在BC、线段4B和AC上选取点P、

E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PfEf/-P的路径

进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路庄:、和FP.为了快捷、环保和节

约成本.要使得线段PE、EF、人P之和最短，试求"+即+产?的最小值.（各物资

站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

【题型6动点的运动轨迹长度计算】

（2023春•黑龙江大庆•九年级校考阶段练习）

21.四边形A8CO中，N8=NO=9（）。，ZDAB=135°,且入8=2,4。=4&.以B为

圆心，BC为半径作弧，交班的延长线于点E,若点。为弧居上的动点，过点。作

QH工BC于点H,、设点1为ABQH的内心,连接BI,Q!,当点Q从点。运动到点E时，

则内心/所经过的路径长为.

E

（2023秋•江苏连云港•九年级校考阶段练习）

22.如图，已知NAAC=9O。，AB=10,3c=5,半径为2的。。从点4出发，沿A->

23.如图，有一块长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚,

木板上顶点A的位置变化为AfA-4，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡

住，使木板边沿A£与桌面成30。角，则点A翻滚到点A的位置经过的路径长为（）

A.10cmB.3.57rcmC.4.5〃cmD.2.5^-cm

（2023•浙江温州•校考三模）

24.图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后匕两次旋转移动垃圾桶，实现对垃

圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢.图2,图3是该装置的侧面示意图，

4B与地面所成的锐角为60。，A«=HOcm,8c=30限m,C。=30cm.第一次转轴8c绕

点B把竖直放置垃圾桶旋转，转轴转至8G，使A,B,G共线，在此转动过程中，转

轴与转轴所成锐角为30。保持不变.第二次转地。后绕点G旋转至2G，使

R,凡,B,A共线.当转抽外端点。到达最高处时，点2离地面的距离为cm.垃

圾桶从举起到倒掉垃圾的整个过程中，转轴外端点。所经过的路径长为cm.

2026-2027学年

图2图3

【题型7正多边形与圆】

【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径

叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多

边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

（2023秋・山东淄博•九年级统考期末）

25.已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A,B,C,D,E,尸在圆上.若两个大

~1~

（2023秋•河南驻马店•九年级统考期末）

26.如图，已知。。的半径为4,则该圆内接正六边形ABC。砂的边心距OG（）

C.2GD.3

（2023秋・浙江杭州•九年级校考期中）

27.如图，正方形4BCD和正AAE/都内接于。。，EF与8C、C。分别相交于点G、H,

则三7的值是（）

Or/

A瓜

/A.--B.V2c.GD.2

2

（2023秋・北京海淀♦九年级期末）

28.如图，。。是正八边形A4cz的外接圆，0。的半径是1,则下列四个结论中

正确的是.

①£）尸的长为②DF=4iOF;

MODE为等边三角形；④s正心必8c=AEDF.

【题型8圆锥侧面积的相关计算】

【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关犍，并且能够灵活运用.

（2023秋•全国•九年级专题练习）

29.小华的爸爸要用一决矩形铁皮加工出一个底面半径为20a〃，高为40夜切?的锥形

漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）

⑴你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？

（2）如图，有两种设计方案,请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？

2026-2027学年

（2012春・湖南永州•九年级阶段练习）

30.如图，在等腰梯形A5CQ中，AD//BC,40=2,BC=6,以人为圆心，为

半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A-DWE剪下围成一个圆锥.

则圆锥的高为.

（2023秋・江苏•九年级专题练习）

31.如图是一张直角三角形卡片，NAC8=90。，AC=8C,点。、£分别在边48、AC

上，AD=2cm,D/?=4cm,DEA.AB.若将该卡片绕直线。E旋转一周，则形成的几何

体的表面积为_cn】2.

（2023秋・全国•九年级专题练习）

32.如图，在一张四边形A8CO的纸片中，AB//DC,AD=AB=BC=26ZZ>45C,

以点A为圆心，2为半径的圆分别与ARAD交于点、E、F.

（2）过点4作。A的切线：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（3）若用剪下的扇形4瓦围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪

出一个圆作为这个圆锥的底面？

2026-2027学年

参考答案：

I.94

【分析】如图所示，连接。力、OC,过点。作于点E,延长OE交8c于点F.则8c

边扫过的面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出

DE=AE=3,进而可得出C/=OE=3,再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得巴3c

边扫过的面积.

【详解】解：如图所示，连接O。、OC,过点。作OE_LAO于点E,延长OE交于点立

，由垂径定理可得===

2

;四边形A8C。为正方形，

/.BC//AD.AD=BC=6,ZCDA=90。，

，ZCFO=NDEO=90°,

・•・四边形Q*'C为矩形，CF=DE=3.

•・•八。边绕点。旋转一周.则8c边扫过的图形为以OC为外圆半径，（加为内圆半径的圆环,

，圆环面积为5。/2=万（。。,—。尸丫=九•（?r2=9乃.

故答案为：9%.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面枳公式，结合4。边

的旋转，找出8。边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键.

2.-

2

【分析】根据勾股定理的逆定理可得AOC力是直角三角形，进而得出OM=gc。，再根据

旋转可得O”旋转的圆心角为90。，半径OM=&,根据扇形面积的计算方法进行计算即可。

【详解】解：连接OC、OD、OM,如下图：

2026-2027学年

*.*OC=OD=^AB=2,CD=2\/2

，OC2+OD2=CD2

工ZCO£>=90°,

又•・•点M为CO的中点,

：.OM=>CD=立,

2

弦C。在半圆上滑动，点。从点A开始滑动，到点。与点8重合时停止滑动，OM就绕着点。

逆时针旋转90。，8M扫过的部分为下图中的阴影部分,

D(C)

A/

/E

B(D)

O

由题意可得：ONA.BD,OMLAD

・•.BN=-BD=42=OM,4ENB=4EOM=3)。，

2

乂:/MEO二NBEN,

・•・△ME*^EN(AAS),

•q_q

••MEO一°&BEN

8M扫过的部分的面积就是又.a=%兀x(四)」=工

3602

故答案为：!

【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股

定理的逆定理是正确解答的前提.

3.(1)作图见解析，(-1,3(

(2)作图见解析，(-3,-1)

⑶2兀+4

2026-2027学年

【分析】（I）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案；

（2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可；

（3）根据平移的性质以及旋转的性质进而得出线段BC扫过的面积.

【详解】（1）解：如图所示：即为所求，6（-1,3）,

故答案为：（-1,3）；

（2）如图所示：△&与G即为所求，G（-3,-l）,

故答案为：（-3,-1）；

（3）根据题意，每个小正方形的边长为1,

44=J1+12=五，

AC="+32=回,

•:将^ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A,

/.BC〃,BC=B]G，

，四边形BCG片是平行四边形，

・•・在平移和旋转过程中线段8C扫过的面积为：2x2+也卫"•一空

360360

【点睛】本题考查作图一平移变换、旋转变换，平行四边形和扇形面积公式等知识，根据题

2026-2027学年

意得出平移和旋转过程中线段8C扫过的面积是解题关键.

4.(1)。点运动的路径长为?；

(2)。点走过路径与射线/围成的面积为苧.

O

【分析】(1)一共转动了三次，分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式即可

求解；

(2)同(1)的方法，利用扇形面积公式的长方形面积公式即可求解.

【详解】(1)解：如图，

运动路径第一段弧长缆兰=；,

Io()2

第二段路径为线段长为RI=f，

lol)3

第三段路径为线4=3,

IX02

即O在射线/上运动路径为g+g+[=

4DD

(2)解：围成面积,

c9001C、兀冗90用1兀

S.=-----------71S,=1>—=—

3604-333604

S=Sl+S2+Sy=^-

【点睛】本题考查弧长公式、扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

5.(1)见解析

⑵AE=AF+6AB,见解析

【分析】(1)连接CO,证明△BCD为等腰直角三角形，再证明△网划，即可得出

结论；

(2)过点4作交AE于〃，先证明△88为等腰直角三角形，得出AH=&AB,

2026-2027学年

再证明△臣得出目/=人/，由A£=EH+〃4,等量代换即可证明AEAP+V2AB.

【详解】（1）证明：如图I,连接C。，

-,AF±AE,

ZC4D=90°,

.•・CO为桢的直径,

NCBD=90。，

:.4EBC=4FBD=*T,

NR4C=45。，

/.ZBDC=ZBAC=45°,

ZBCD=45°,

:.BC=BD,

•••四边形ACB。内接于。。,

"ECB=4FDB,

NEBC=ZFBD

在AEBC与AFBD中，，BC=BD

ZECH=/FDB

/.△^C^AFBD(ASA),

；.BE=BF；

（2）解：AE=AF+垃AB，

证明：如图2,过点3作交AE于〃,

/BAH=45°,

2026-2027学年

.NAH”为等腰直角三角形，

/.AH=42AB，

/.ZE=ZF,BE=BF,

/EBF=NHBA=W,

NBH+ZHBF=ZHBF+NFBA,

:.ZEBH=4FBA,

在和△FKA中，

NE=/F

BE=BF,

NEBH=NFBA

.•.△E8%△厂R4(ASA),

：.EH=AF,

AE=EH+HA=AF+42AH.

【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是解题的关

键.

6.(V)AB+AC=AD

(2)AB+AC=&AO，证明见解析

【分析】(I)在线段4。上截取AE=AB,连接BE,根据圆周角定理的推论证明汨和△BCD

是等边三角形，再利用SAS证明△BEOgaBAC,得出。E=AC,即可推导得出

AB+AC=AO：

(2)延长AB到点M,使BM=4C,连接。M,利用圆内接四边形的性质得出ZMBD=ZACD,

再利用SAS证明AMBDg△ACD，推出MD=4。，NM=NBAD=45。，进而证明MD_LAO,

根据勾股定理可得AM=、QA。，即A3+AC=&AO.

【详解】(1)解：如图①在线段A。上截取4E=AB,连接“，

2026-2027学年

图①

•••ZBAC=120°,AO平分NBAC,

ZBAD=ZC4£>=60°,

,•*CD=CD

/DBC=/DAC=W,

同理：/DCB=4DAB=0,

BC=CD=DB,

'：AE=AB,N8AE=600,

AB—BE—AE，

•••ZABE=ZDBC=^）0,

NDBE=/CBA,

在和△8AC中，

BE=AB

■ZDBE=NCBA,

DB=CB

：.△BEDRBAC（SAS）,

DE=AC,

AD=AE+DE=AB-¥AC.

故答案为：AB+AC=ADi

（2）解：AB+AC=y/2ADf理由如下：

如图②，延长A8到点M,使8M=AC,连接DM,

2026-2027学年

•••四边形A8CQ内接于O。，

/.NMBD=ZACD,

•/ZBAD=ZCAD=-Z.BAC=45°,

2

/.BD=CD,

在△M8。和^ACD^,

MB=AC

-/MBD=ZACD,

BD=CD

^MBD^ACD(SAS),

MD=AD，

NM=NBAO=45。，

/.Z/WDA=90°,

•••MD1AD,

•••AM=41AD»&PAB+BM=y/2AD，

•••AB+AC=y/2AD.

【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆内

接四边形的性质，勾股定理等知识点，解题关键是熟练运用转化思想，通过添加辅助线，构

造全等三角形.

7.⑴殍

(2)30°

(3)四边形AF3C是平行四边形，证明见解析

【分析】(1)由切线的性质得出4/_124,求出N尸=33。，得出NAW=60。，由圆周角定

2026-2027学年

理可得ZADB=-ZAOF=30°.

2

(2)证出Q4_LBC,由垂径定理得出8E=CE=g8C=4,证明“。8是等边三角形，得出

AB=OB,由直角三角形的性质得出OE=：O8,BE=gOE=4,求出。石=递，即可得

23

出人。=八8=08=20七=地即可；

3

(3)根据(1)(2)得到的相关结论证明A尸〃6C、6/〃AC,然后根据两组对边平行的

四边形是平行四边形即可解答.

【详解】(1)解：与0。相切于点4，

/.AF1OA,

,:ZF=30°,

・•・Z4OF=60°,

NADB=-NAOF=30°.

2

(2)解：VZACB=ZADB=30°,ZBAC=\20°,

，ZABC=180°-120°-30°=30°,

JZABC=ZACB,

••・AB=AC,

：,OALBC

BE=CE=-BC=4

2

VZAOB=60°,OA=OB,

・•・dOB是等边三角形，

AB=OB,

*：NOBE=30。,

；・OE=goB,BE=y/3OE=4,

・"46

・・OE=---,

3

，AC=AB=OB=2OE=—.

3

(3)解：四边形A万C是平行四边形，证明如下:

2026-2027学年

,：OALBC,AF1OA,

，AF//BC

,:AAOB是等边三角形，

，ZABO=60。，即ZABF=12(F,

VZBAC=120°,

JZABF=Z^AC=120°,

・•・BFHAC、

・•・四边形AFBC是平行四力形.

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识是解题的关键.

8.(1)75

(2)AC=2AE+A8,见解析

(3)60

【分析】(1)四边形ABCD是圆O的内接四边形，则N3CO+/8W=180。，是四

边形A8CQ的一个外角得到ND4£=N8CD,BD=CD,则NCBD=NDCB,由圆周角定理

得到NC6Q=NC4D,即可得到答案；

(2)过点。作。尸工AC于点尸，先证明△6£>£9A8”(AAS)得到DE=D尸，AE=CF,

再证明△AOE”A4OF(AAS),则伍=.，进一步即可得到结论；

(3)在RIZX8QE中，BD2=BE2+DE2»在RtZ\4功中，AD2=AE2+ED2»由

AB=6,4七=2得至1]8石=8,则8£>2=64+£>炉，AD2=4+£p\即可得到结论.

【详解】(1)•・•四边形488是圆。的内接四边形，

JNBCD+NBAD=l800,

,/NZM£是四边形A8CO的一个外角，

,NDAE=NBCD,

*：BD=CD,

，/CBD=/DCB.

・•・ZDAE=ZCBD,

;弧CD所对的圆周角分划为NC4O、4CBD,

2026-2027学年

，/CBD=4CAD,

■:ND4E=75。，

，Z.DCB=ZLDBC=ZDAC=75°,

故答案为；75

(2)过点。作。//AC于点八

D

・•・ZDE4=90°

VZABD=ZACD,BD=CD,NE=NDFC=900,

・•・△/〃»：g△O(AAS),

:・DE=DF,BE=CF,

/.ZADE=ZADF,

XVZE=ZAFD,AD=AD,

・•・Z\4DE^A4DF(AAS),

/.AE=AF,

••・AC=AF+FC=AE-\~BE=AE~\~AE+AB=2AE~\~AB,

\^AC=2AE+AB；

(3)在RlZXBO石中，BD2=BE2+DE2>

在RtZXAE。中，AD2=AE2+ED2f

VAB=6,AE=2,

:.BE=8,

ABD2=64+DE2,AD2=4+ED2，

/.BD2-AD2=60.

【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,

9.相交1

【分析】首先根据海平面与圆有两个交点可判断出直线与圆的位置关系，然后连接04,过

2026-2027学年

点。作8_L/W于。，由垂径定理求出AO的长，再由勾股定理求出。。的长，然后计算出

太阳在海平线以下部分的商度，即可求解.

【详解】解：•・•海平面与员I有两个交点

・•・现在“图上''太阳与海平线的位置关系是相交;

设“图上”圆的圆心为O,连接。4,过点。作于。，如图所示:

海平线

VA5=8厘米,

AAD=-AB=4（厘米），

2

•••。4=5厘米,

•*-OD=>jo^-ADr=>/52-42=3（厘米），

・••海平线以下部分的高度=04+00=5+3=8（厘米），

♦・•太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为8分钟，

，“图上”太阳升起的速度=8+8=1（厘米/分），

故答案为：相交，1.

【点睛】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

10.PH的长约为1.2米

【分析】作出如图的辅助线，利用垂径定理结合矩形性质求得FM、OM、HN、ON的长，

分别在直角三角形OQW和直角三角形OPN中,利用勾股定理即可求解.

【详解】过点。作/G的垂线，垂足为过点。作P。的垂线，垂足为N,

vpcire,

，四边形MONH是矩形,

2026-2027学年

则FM=^FG=2(m),MH=ON=FH-FM=2.4—2=0.4(m),

•・・O到尸G,PQ的距离之比为5:2,

连接。厂和OP，则

在直角三角形OFM中，OF=OP7FM?+OM2=6+F=Am),

，直角三角形OPN中，PN=y/0P2-ON2=7(^)2-0.42=2.2(m),

:.PH=PN-NH=227=12(m)

故则PH的长约为1.2米.

【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理的应川，作出合适的辅助线,

构造直角三角形是解题的关系.

11.A

【分析】由题意知，%从0变化到8,A3=800米，横坐标一个单位长度对应的长度为100

米，函数图象中PC与PO函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点E、F,对应的横坐标分

别为1、6,可求进而可判断B的正误；如图，过最高点。作OHJLA5,交于，，

由题意知，EF中点对应最高点D,根据x=l+|=3.5时，DH<DC,结合图象可判断A

的正误；PC纵坐标最小时，PC1AB,由函数图象可得PC的值，进而可判断C的正误；

根据桥面上8厂段的实际长度约(8-6)x100米，计算可判断D的正误.

【详解】解：由题意知，%从0变化到8,人3=8(X)米，

・•・横坐标一个单位长度对应的长度为l(X)米，

函数图象中PC与PO函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点E、F,对应的横坐标分别为

1、6,

・・・所=(6—1)x100=500米，B正确，故不符合要求；

如图，过最高点。作。”_LA3,交AB于〃，

A/EHC\^F\-B

P"

由题意知，耳'中点对应最高点

2026-2027学年

・・.X=1+2=3.5时，DH<DC,

2

由图象可知，/X?=1.8xl(X)=180米，

・•・桥拱的最高点与桥面A8的实际距离小于180米，A错误，故符合要求；

PC纵坐标最小时，此时PC_LAB,由函数图象可知，?C=l.1x100=110米，C正确，故不

符合要求；

桥面上和'段的实际长度约(8-6)x100=200米，D正确，故不符合要求.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象，垂径定理.解题的关键在于结合题意理解图象信息.

12.⑴5米

(2)2米

【分析】(1)作ODLAB于点E,交O。于点。，由垂径定理可得AE=g48=3,DE=1,

再由勾股定理即可求出圆的半径；

(2)当A8=8米时，AE=-AB=4^z.在RtZ\AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA2,

2

则OE=3米，即可求出OE的长.

【详解】(1)解：如图，作于点E,交。。于点。.

则==3米，OE=1米.

设圆的半径为「米，在RtAAOE中，AE2+OE2=OA\

J32+(r-l)2=r2,

解得r=5,

・•・该圆的半径为5米:

2026-2027学年

(2)解：当A8=8米时，AEJA8=4米.

2

在RtZvAOE中，AE2+OE2=OA2,

42+OE2=52，

：.。£=3米，

ADE=5-3=2(米).

答：水面下盛水简的最大深度为2米.

【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键.

13.2而-2##-2+29

【分析】根据点A、B、。的坐标，可知点A是8C的中点，根据直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得A。的长，最后由点与圆的位置关系即可求解.

【详解】解：连接的，

由题意，得：AB=(2±r)-2=r,AC=2-(2-r)=r,

,AB=AC,

ZBPC=90°,

・•・AP=-BC=AB=t

2t

f要最小，就是点A到O。上的一点的距离最小，

在AO上，

•••4(0,2),。(6,6),

:.AD=^62+(6-2)2=2>/|3，

工1的最小值是AP=AO—PQ=2而一2,

故答案为：2万-2.

【点睛】本题考查点与恻的位置关系，具中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角二角形

2026-2027学年

斜边中线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

14.>/2.

【分析】先证点C在半径为1的。4上，可知，C在8Q与圆B的交点时，OM最小，根据

三角形的中位线定理可得结论.

【详解】解：:A(2,0),B(0,2),

，OA=OB=2,

•・•点C为坐标平面内一点，801,

・・.C在。8上，且半径为1,

•・•加为线段4c的中点，0D=0A,

/.O”是△ACD的中位线，

：・0M=；CD,

当0M最小时，即CQ最小，而D,B,C三点共线时,

当C在线段08上时，0M最小，

V0B=0D=2,ZBOD=901\

:.BD=&OB=2叵,

.\CD=2V2-1,

；.0M=gCD=a-g,

即0M的最小值为友，，

故答案为：

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时

2026-2027学年

点。的位置是关键.

15.C

【分析】如图，作射线OP交。尸于M?,连接OM.因为。4=A8CM=C8,所以AC=

yOM,所以当OM最大时，AC最大，可知当M运动到,孙时，0M最大，由此即可解决

问题.

【详解】如图，作射线。尸交。尸于M、M一连接OM,

yk

由勾股定理得：0P=疗彳=5,

*/OA=AB,CM=CB,

・•・AC=^OM,

・••当OM最大时，AC最大，

:.当M运动到时，OM最大，

此时AC的最大值=OM2=1(OP+PM2)=ix(5+2)=j,

故选C.

【点睛】本题考查了点与恻的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问

题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思

考问题.

16.2

【分析】首先证明点。在以48为直径的。。上，当0、P、C共线时PC最小，利用勾股定

理求出0C即可解决问题.

【详解】解：

2026-2027学年

•・・44_LBC,

NABP+NPBC=9()0,

•；NHR=NPBC

・・・N8AP+N/W尸=90。，

・•・NAP8=90。，

，点〃在以48为直径的0。匕当。、P、C共线时PC最小，

在山△3CO中，48=6,BC=4,

・・・OB=；AB=3,

,OC=yjoB2+BC2=5,

：・PC=OC-OP=5-3=2.

・・・PC最小值为2.

故答案为2.

【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P

位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型.

17.2##2个

【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得N88=60。；根据圆的对称性得N8QE=60。：故

①正确：②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得/。月。=1/。0。，故②错误：③根

据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得N8MO=3()。，再根据三角形内角和即可得

DM1CE；故③正确；④作C关于AB的对称点凡连接C/7交A3于点N,连接。尸交A8

于点M,此时CW+OM的值最短，即为。尸长，连接8,根据圆周角定理得NO=60。，

ZDFC=30°,再由三角形内角和得NFCO=90°,再由圆周角定理得。尸是。。的直径，即

可得出CM+OM的最小值，故④正确.

【详解】解：①VAC=CD=DR,

2026-2027学年

・•・/BOQ=60。；

又•：点E是点D关于AB口勺对称点，

・・・/8。七=60。：故①正确；

②•・•NCED=L/COD,故②错误；

2

③由M为48上动点，。为定点，

・•・ZW不一定垂直于CE；故③错误；

④作C关于A8的对称点F,连接交A8于点N,连接。厂交48于点M,此时CM+OM

的值最短，即为O/长，连接C。，

,•*AF=AC=CD=DB^

AZD=60°,/DFC=30。,

NFCD=180°-60。-300=90。,

・•・是0。的直径，

VAB=10,

DF=10,

:・CM+DM=DF=T0,故④正确.

故正确的个数为2个

故答案为:2.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用一最短距离问题，

灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

18.B

【分析】如图所示，作点。关于A8的对称点接，连接C"交于AB于点P,此时PC+也

的值最小，即PC+叨=PC+=S，连接。。，。。'，，根据点C在。O上，ZCAB=30°,

。为弧8C的中点，可得/CAQ'=45。，根据圆周角定理可得NCa>'=90。，可得△COU是

等腰直角二角形，由此即可求解.

2026-2027学年

【详解】解：如图所示，作点D关于AB的对称点似,连接CD，交于AB于点P,此时PC+。。

•・•点。在0。上，ZC4B=30°,。为弧BC的中点，

工CD=BD=BD'

NBAD'=-ABAC=1x30°=15°,

22

:.ZC4Z/=45O,

乙COD=2NC4D'=2x45。=90°,

•・,OC,06是OO的半径，即OC=。。'=LAB』X2=1,

22

・・・△CO。'是等腰直角三角形，

CD'=41OC=V2，

・・・夕。+夕。的最小值为近，

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆的基础知识，对称图形求对短路径，圆周角定理，等腰三角形的判

定和性质，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键.

19.2后

【分析】延长60交。。丁9连接A6'交"N丁尸，连接收.则抬十尸6的值最小，利用勾

股定理即可解决问题.

【详解】解：延长80交0。于8'连接A"交MN于P,连接相.

2026-2027学年

•:BB」MN,OB=OB,

，PB=PB',

APA+PB=PA+PB,=AB,,此时Q4+尸8的值最小，

VBB'是直径,

/.ZaAB,=90°,

BB'=10,AB=4,

「・PA+PB=PA+PB,=AB,=\lBB,2-AB2=A/102-42=2yf2\，

故答案为：2后.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用和最短路径问题，正确的作辅助线是解决本题的关键.

20.(1)5；(2)18；(3)(3V2T-9)km

【分析】(I)如图①，外接圆的圆心为。，连接04,。8,根据已知条件可得是等

边三角形，由此即可得半径；

(2)如图②所示，连接并延长交O。于点N,连接OP,显然，MN即为PM的最大值，

根据垂径定理求得的长即可求得MN的最大值；

(3)如图③所示，假设P点即为所求点，假设。点即为所求点，分别作出点。关于A3、AC

的对称点P、产连接尸P、PE,PE,产*,PF,PP",则。产即为最短距离，其长度

取决于姑的长度，根据题意正确画出图形，得到点尸的位置，根据等边三角形、勾股定理

等进行求解即可得PE+EF+b的最小值.

【详解】(1)如图①，外接圆的圆心为。，连接。4,OB,

2026-2027学年

•••。是等腰三角形人BC的外心，AB=AC,

・•・ZBAO=ZOAC=-ABAC=-x!20=60°,

22

'：O八=OB,

・•・"08是等边三角形，

；・OB=AB=5,

故答案为5：

（2）如图②所示，连接MO并延长交。。于点N,连接OP,

显然，MP4OM+OP=OM+ON=MN,

•・•人4=24,M是八B的中点，

:.MNA.AB,AM=MB=V2,

•：ON=\3,

,O