苏科版九年级数学上册复习讲义：反比例函数的概念

专题1.1反比例函数的概念（举一反三讲义）

【新教材苏科版】

题型归纳....................................

【题型1反比例函数的识别】.....................................................................1

【题型2根据反比例函数的定义求参数】..........................................................3

【题型3求反比例函数中自变量的取值范围】......................................................4

【题型4反比例函数的解析式】..................................................................5

【题型5列反比例函数关系式-几何图形类】.......................................................7

【题型6列反比例函数关系式-物理公式类】.......................................................9

【题型7列反比例函数关系式-生活经济类】.......................................................11

【题型8列反比例函数关系式•图表信息类】......................................................12

考点1反比例函数的概念

知识点1反比例函数的概念

1.定义：一般地，如果两个变量-），之间的对应关系可以表示成y=：（及为常数，…）的形式，那么

称1,是X的反比例函数.

2.自变量取值范围：2L*0,因变量取值范围：江Q.

3.反比例函数的形式：①%y=A；②y=%=

4.人称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，4始终为常数且k¥0.

【题型1反比例函数的识别】

【例1】（25-26八年级下•山东济西•期中）下列式子中，y是“的反比例函数的是（）

A.y=：B.y=x2C.xy=-2D・y=+

【答案】C

【分析】本题根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式为y=：（攵工0）,也可变形为xy=

k（kwO）,据此逐一判断各选项即可.

【详解】解：A.y=g是正比例函数，该选项不符合题意；

B.'是二次函数，该选项不符合题意；

C.xy=-2变形可得歹=子，是反比例函数，该选项符合题意；

D.丫=.不符合反比例函数定义，该选项不符合题意.

【变式1-1]（25-26九年级上•陕西西安・月考）反比例函数y=^的上值是.

【答案】|

【分析】本题考杳反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键.

根据反比例函数的定义作出判断即可.

【详解】解：反比例函数y=?保值是点

故答案为：

【变式1-2]（24-25九年级上•山东烟台•期中）将反比例函数y二-总写成y=£的形式，则k的值为.

【答案】-衿0.75

4

【分析】本题考查了反比例函数的定义，由丫=-?=」即可求得&的值.

【详解】解：•••反比例函数y=-5=：,

：.k=-}

故答案为:-

4

【变式1-3]（25-26九年级上•宁夏银川・月考）下列函数：@y=3x-l；@y=2厂]；③丫=一刍④y=；；

XCtX

@y=%2-1；@xy=-1：（7）y=2x,y是x的反比例函数的有.（填序号）

【答案】②④⑥

【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如为常数，〃十0）,或

可转化为y=A%T（k芋0）、xy=k（k芋0）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可.

【详解】解：①y=3x—l是一次函数，不是反比例函数，

②y=2%t可变形为y=：,符合反比例函数的定义，是反比例函数，

③？=一点中自变量X的次数为一2,不符合反比例函数定义，不是反比例函数,

④？=!可变形为丫=•1,符合反比例函数的定义，是反比例函数,

乙XX

⑤了=/一1是二次函数，不是反比例函数，

⑥工y=-l可变形为y=-：,符合反比例函数的定义，是反比例函数,

⑦y=2%是正比例函数，不是反比例函数，

综上所述，反比例函数有②④⑥.

故答案为：②④⑥.

【题型2根据反比例函数的定义求参数】

【例2】（25-26九年级下•广东潮州•月考）若、=高是反比例函数，则〃?的值为.

【答案】3

【分析】反比例函数的一般形式为y=：（k手0,k为常数），可得分母中x的次数为1,据此列方程计算即可得

到m的值.

【详解】解：根据反比例函数的定义，可得m—2=1,

解得m=3.

【变式2-1】（2026•河南南阳•一模）写出一个使函数〉=工存在的％的值：_____.

X—6

【答案】3（答案不唯一）

【详解】解：•.•函数y=t存在，

X-o

—6H0,

解得力*6,

故x的值可为3.

【变式2-2］（25-26八年级下•河南周口・月考）若函数、=（771+3）乂向-8）是反比例函数，则〃?的值为.

【答案】被或一位

【分析】本题考杳反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程

求解即可.

【详解】解：函数丫=（巾+3"/-8是反比例函数,

根据反比例函数的定义，形如y=：（k为常数，攵工0）的函数叫做反比例函数，可变形为y=

2

因此可得m-8=-l

771+3工0

解一元二次方程m?-8=-1,移项得=7,开方得m=V7或m=-V7,

验证m+3,夕+3工0,-V7+3*0,均满足系数不为。的条件，

故m的值为V7或一夕.

【变式2-3]（25-26九年级上•山东威海・月考）若函数y=（m+、G）（m-甸是反比例函数，则相的值

为（）

A.&B.-\[2C.+V3D.V3

【答案】B

【分析】本题主要考杳了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为y=〃xT,其中k00是解题的关键.

根据反比例函数的定义列式方程计算即可.

【详解】解：•.•函数y=（m+Y5）（m—衣卜苏-3是反比例函数，

••.m2—3=—1且（m+V3）（m—V2）工0,

解得：rn=—>[2.

故选B.

【题型3求反比例函数中自变量的取值范围】

【例3】（24-25九年级上•云南・月考）在反比例函数中，自变量x的取值范围为（）

A.x>-2B.x<-2C.x^-2D.全体实数

【答案】C

【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于。即可求解，

学握分式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，x+2手0

•••XH—2,

故选：C.

【变式3-1]（25-26九年级上•湖南岳阳•期末）反比例函数y=-（中，自变量x的取值范围是.

【答案】

【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义.自变量x的取值范围是XW0.

【详解】解：•.・函数y=是反比例函数，

•••工工0，即自变量x的取值范围是工。0.

故答案为；工或0.

（变式3-2】反比例函数y=三言中自变量x的取值范围是_____.

彳-cum

【答案】%*2023

【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定.根据二次艰式有意义的条件列出不等式，解不等式得

到答案.

【详解】解：由题意得：x-2023^0,

解得：X工2。23,

故答案为：%。2023.

【变式3-3】函数y=高中，自变量工的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】A

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0求解即可.

【详解】根据题意得，x-2>0,

解得，x>2.

故选A.

【点睛】本题考杳了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0：

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

【题型4反比例函数的解析式】

【例4】（25-26八年级下•河南周口•期中）函数y=：，当％=2时，函数值），为（）

A.3B.-3C.12D.1

【答案】A

【分析】本题考杳己知函数解析式求函数值，将给定的自变量的道代入解析式计算即可.

【详解】•••函数解析式为y=*

•••将％=2代入解析式得y=g=3,

因此函数值y为3,

故选；A.

【变式4-1】（2024.内蒙古赤峰.二模）若点力（a,b）在双曲线＞=:上，则代数式时-5的值为

【答案】0

【分析】本题考查反比例函数解析式，利用反比例函数的解析式求出帅的值，进一步可求出劭-5的值.

【详解】解：在双曲线y二：上，

--ab=5,

•-ab—5=5—5=0,

故答案为：0.

【变式4-2］（25-26七年级上•福建南平•期中）如表，如果工和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填一

X252010

y45?

【答案】10

【分析】本题考查了反比例关系的性质与应用，即两个量%和y成反比例关系时，它们的乘积是一个定值，xx

y=k（k为常数）.由于％和y成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知数据％=25,y=4,求出该

定值，再代入求出y的值即可解答.

【详解】由反比例关系可知，xy=k（k为常数），

取X=25,y=4,得k=25x4=100,

验证％=20,y=5,20x5=100,符合，

当为=10时，则10xy=100,解得y=10,

故答案为：10.

（变式4-3］已知y与x成反比例，且当％=2时,y=6,则当y=4时，x的值为.

【答案】3

【分析】首先根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当％=2时，y=6代入求出上的俏，进而

可得当y=4时，》的值.

【详解】解：与x成反比例，

••・y=+（kH0）,

•••当x=2时，y=6,

二k=2x6=12,

•••反比例函数解析式为y=7，

二当y=4时，4=—,

/x

•••X=3,

故答案为：3.

【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）

设出含有待定系数的反比例函数解析式y=3（k为常数，kHO）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）

代人解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式.

考点2列反比例函数关系式

知识点1列反比例关系式

1.理解题意:找出实际问题中的已知量和变量（自变量,因变量），将文字或图形语言转化为数学语言：

2.分析关系:找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；

3.列函数表达式:设出表示变量的字母，把等量关系式式含字母的式子替换,将表达式写成用自变量表示的

函数的形式.

【题型5列反比例函数关系式.几何图形类】

【例5】已知圆柱的体积是30cm3,它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm?）的函数解析式为.

【答案】h=y.

【分析】直接利用圆柱体枳公式进而得出答案.

【详解】解：由题意可得：Sh=30,

则h片，

故答案为：h=Y«

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握圆柱体积求法是解题关键.

【变式5-1】已知菱形的面积是12cm2,菱形的两条对角线长分别为工和y,则y与x之间的函数关系是

【答案】y=?

【分析】根据菱形面积=9对角线的积，可列出关系式.

【详解】解：由题意得：1xy=12,可得：丫=日，

故答案为：y=§.

【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型.

【变式5-2］用解析式表示下列函数.

（I）三角形的面积是12cm2,它的一边〃（单位：cm）是这边上的高万（单位：cm）的函数；

（2）圆锥的体积是50cn?,它的高。（单位：cm）是底面面积S（单位：cn?）的函数.

【答案】（1）Q==；（2）h=拶

aS

【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可；

（2）根据圆锥的体积公式V=写出解析式即可.

【详解】⑴；=12

24

.・.a=-

（）-Sh

2•••50=3

.150

AA=——S

【点睛】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键.

【变式5-3］（25-26九年级上.全国.课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为100m）,现打算

沿墙用一个面枳为120m2的矩形花圃.设花圃的长48为xm,宽为ym,则y关于X的函数表达式是,

自变量的取值范围是.

A----------------B

【答案】y=3，0<x<100

X

【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键.根据长方形

的面积=长乂宽，可得移=120,进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为100m求

得工的取值范围.

【详解】解：解：由题意得xy=120,即丫=子.

•••唐墙可利用的最大长度为100m,

••.0<x<100,

故答案为：y=詈，0<x<100.

【题型6列反比例函数关系式-物理公式类】

【例6】（25-26九年级上•河南省直辖县级单位•期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工

具.已知手压水井的阻力和阻力臂分别是800N和0.2m,则动力片（单位：N）与动力臂人（单位：m）之间

的函数表达式是

【答案】片二詈

【分析】本题考查了列函数表达式.根据“阻力x阻力臂=动力x动力臂”即可得到函数表达式.

【详解】解：•.•阻力x阻力臂=动力x动力臂，阻力和阻力臂分别是800N和0.2m,

•••&xL]=800x0.2=160,

即F1=詈.

故答案为：久=詈.

【变式6-1】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距％（米）的对应数据如下表:

近视眼镜的度数y（度）2002504005001000

镜片焦距X（米）0.500.400.250.200.10

根据表中数据，可得），关于K的函数表达式为

【答案】y=小

X

【分析】由表中数据可得，xy=100,从而可得），关于工的函数表达式.

【详解】由表中数据可得，xy=100,

・•.），关于X的函数表达式为'二三.

故答案为-二菱

【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键.

【变式6-2]（25-26九年级上•湖北襄阳・月考）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和

物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）成

反比例关系，当％=7.5时-，y=2.4,则y关于％的关系式是（）

「18n1

C^=7D.x=­y

18Z

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式即可.

【详解】解：由题意设：y=：

把x=7.5,y=2.4,代入，

得A=7.5x24=18；

故选：C.

【变式6-3]（24-25九年级上•贵州铜仁・期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板.已知妙妙小朋

友的体重为20kg,坐在距离跷跷板支点的1.5m处，明明小朋友的体重为xkg,距离跷跷板支点的距离为ym.根

据杠杆平衡原理（动力x动力臂=阻力x阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则y与％应满足的关系式为（）

A.y=30%B.y=—

JZ30

=

C.y~D.y=x+30

【答案】C

【分析】本题考杳了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题.

根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即

可.

【详解】解：由题意，得：xy=29x1.5,

30

7=工,

故选：c.

【题型7列反比例函数关系式.生活经济类】

【例7】新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米,

从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系:1是.

【答案】y=y（x>0）

【分析】根据时间=路程♦速度可以列出关系式，注意时间应大于0.

【详解】由题意，得），与x的函数关系式），=软》>0）.

故答案为y=?（x>0）.

【点睛】本题考查了列反比例函数关系式，根据题意明确时间=路程:速度是解答本题的关键.

【变式7-1】一艘轮船装载2800吨货物，写出平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数/之间的关系式为

【分析】根据货物总吨数;卸货速度x卸货天数，代入即可得出关系式.

【详解】解：由题意得：2800=vr.

2800

--t--.

故答案为：^=等.

【点睛】本题考查反比例函数关系式，掌握货物总吨数=卸货速度X卸货天数是解题的关键.

【变式7-2]（25-26九年级上•河南濮阳・月考）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本

为），元，若该厂生产x只（X取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则），与x之间满足的关系式为（）

A人.y=--X-口B.y=-50-C-0八C.v=-50-0-0门D.y=--3-

）5000J3xzXJ500X

【答案】C

【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量

关系”是解题的关键.

根据“总成本=每只成本x数量”的等量关系，列出y与％的关系式.

【详解】解：♦.•总成本为5000元，每只成本为y元，数量为》只，

••-5000=yxx,

5000

・•・y=丁

故选:c.

【变式7-3］（2024.河北邯郸.模拟预测）有一段平直的公路/氏八与B间的距离是50m.现要在该路段安装

一个测速仪，当车辆经过A和3处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差t（s）输入程序后，随即输出此

车在48段的平均速度u（km/h）,则v与/间的关系式为（）

.50口18C「125八360

A.v=t-B.v=—tC.v=—9tD.v=—C

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度=路程+时

间”列出关系式即可.找出题中的等量关系是解决问题得关键.

【详解】解：vlm/s=3.6km/h,

so.180

if=—xo3.6=—,

故选：B.

【题型8列反比例函数关系式•图表信息类】

【例8】（25-26九年级下•山西太原・月考）生物实验探究小鱼鲤部气体交换，在水体溶氧量恒定的情况下,

实验测得小鱼鲤盖开合次数y（次/分钟）与水流动速度x（cm/s）成特定函数关系，下表是一组实验数据,

根据表中数据，y与%之间的函数关系式为（）

水流动速度%（cm/s）12.5162030

蛆盖开合次数y（次/分钟）19215012080

A.y=2400xB.、=誓C.y=D.y=

【答案】B

【分析】根据表格数据il算x与），的乘积，判断函数类型即可求解.

(详解】解.：vl2.5x192=2400,

16x150=2400,

20x120=2400,

30x80=2400,

・•.y是x的反比例函数,

二xy=2400,

解得、=等

【变式8-1］在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（mm）与面条的

粗细s（mm2）（横截面积）的对应数据如下表.根据表中数据，可得），关于s的函数表达式为（）

面条的总长度y（mm）1(X)2004(X)8002(X)0

面条的粗细s（mm?）12.806/03.20160064

人3201、1280

A.y=—D->"=—

s

【答案】D

【分析