北师八年级数学上册 一定是直角三角形吗（分层练习）

1.2一定是直角三角形吗分层练习（学生版）

基础过关练

题型一勾股数的判断与直角三角形的判断

1.下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）

A.3,4,5B.0.6,0.8,1C.9,12,16D.5,12,13

2.下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（）

A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7

3.欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为15cm和8cm,对角线为17cm,则该画

框（填“合格”或“不合格”）.

4.在V43C中，若8C?+力炉=402,贝|J//+NC=度.

5.已知三角形三边长分别是8,15和17,则三角形的面积是.

6.如图，分别以V48C的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积E、8、&的

关系为S+S?=S3,则V48C是三角形.

题型二勾股数与整式化简

7.已知〃7>0,若3加+2,4m+8,5加+8是一组勾股数，求〃7的值.

题型三证明直角三角形

8.如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方.那么以这三个正整数为边长的三

角形是直角三角形.若连续的两个整数为40、41,请证明结论.

9.已知：整式彳=〃2+I,B=2〃,C=〃2—I,且整式c>o.A、4、。的值均为正数，则以整式A、B、

。为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习(学生版)

题型四在网格中判断直角三角形

10.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则下列结论

错误的是()

A.力炉=20B.Z5JC=90°

C.V48C的面积为10D.点A到直线灰?的距离是2

11.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接力8、BC,则N/8。的度

12.如图，由边长为1的小正方形组成的5x5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，V48C的顶

点均在网格的格点上.为V//。中彳8边上的高线.

(I)求证：=90°；

(2)求CD的长.

题型五与勾股数有关的简单规律探究

13.我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾"、"股''和"弦''分别指的是直角三角形中较短

的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边.

观察：3,4,5；5,12,13；7.24,25；发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇

数,事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是:(9-1),；(9+1)；勾是5时，股和弦的算式分别是:(25-1),

；(25+1).根据你发现的规律：

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（1）当勾是十一时，则股和弦分别为：;（直接写出结果）

（2）根据上述规律，继续观察：6,8,10；8,15,17；可以发现这些勾股数的勾都是从6

起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含〃？（加为偶数，且〃16）的代数式来表示所有这些勾股

数的股为.

14.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五观察下列勾股数：3,

4,5：5,12,13；7,24,25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究

了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；…若此类勾股数的勾为2〃?

（〃出3,〃?为正整数），则其股是（结果用含〃7的式子表示）.

题型六勾股定理逆向运用与三角形的面积

15.如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：力3=3

米，8C=4米，力。=12米，8=13米，且则这块草坪的面积是（）

16.如图所示的一块地，Z/1Z)C=90°,/ID=12m,CO=9m,48=39m,BC=36m,求这块地的面

积.

17.如图，在四边形"CO中，D8=90°,4B=4,8c=3,CD=12,40=13,求四边形力8c。的面

积.

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能力提升练

题型一勾股定理与解三角形

1.如图,CD是V45C的高.

(1)若CD=12,40=9,80=16,则/C的长为,的长为

(2)若CD=a,4D=b,BD=c,且『=反，求证：V力是直角三角形.

2.如图，在VX8C中，CD1AB于点、D.

(1)己矢口力。=4,BD=l,CD=2,求证：N4CB=90°；

(2)已知4c8=90。.

①若力。=3,BD=2,求C£)2；

②若设/。=〃?，BD=n,CD=k,则加，〃，%的数量关系为

题型二新定义问题

3.定义：如图，点、M、N把线段力8分割成儿”、MN、NB,若以4W、MN、g为边的三角形是

一个直角三角形，则称点A/、W是线段力〃的勾股分割点.

1111

AMNB

(1)已知M、N把线段44分割成4»、MN、NR,若4M=1.5,MN=25,RN=2,则点M、N是

线段府的勾股分割点吗？请说明理由.

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（2）已知点M、N是线段48的勾股分割点，且4必为直角边，若48=24,AM=6,求BN的长.

题型三与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想）

4.三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,

41...,则第〃组勾股数的第二个数为（）.

A.2〃（2〃+1）B.2〃（2〃-1）C.2〃（〃+1）D.

5.勾股定理/+从=。2本身就是一个关于b,C的方程，满足这个方程的正整数解（a，Ac）通常叫

做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数

组：（3,4,5）,（5,12,⑶,（7,24,25卜….分析上面勾股数组可以发现，

4=lx（3+l）,12=2x（5+l）,24=3x（7+l）,...,分析上面规律，第9个勾股数组为.

6.将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：

a3815243548•••

h468101214•••

c51017263750•••

（1）当6=90时，直接写出。的值；

（2）是否存在•组数，既符合上述规律，且其中个数为71?若存在，请写出这组数；若不存在,

请说明理由；

（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直

角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例.

拓展培优练

1.如图，在5x5的正方形网格中，已知线段db和点P,且线段的端点和点夕都在格点上，在网

格中找一格点0，使线段b,。。恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点。有（）

P

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A.0个B.2个C.3个D.4个

2.【知识回顾】

(1)如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三

角形的两直角边长分别为明风斜边长为J课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方

形的面积，证明了勾股定理请写出证明过程.

【类比迁移】

(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2,若a=3,6=4,则空白部分的面积为

【能力提升】

(3)如图3,在中，/I。是4。边上的高，/B=4,AC=5tBC=6,设40的长为孙请求出工

的值.

A

图1图2图3

3.【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数伍也。)，称为勾股数，《周髀算经》

中记载的“勾三股四弦五''中的"3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如

(6,8,10)(9,12,15)(12,16,20)等都是勾股数.当然,勾股数远远不止这些,如(5,12,13)(8,15,17)等也都是勾

股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(。力工)才能满足关系式设(aAc)为一组勾

股数，观察下表回答问题:

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

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(1)根据表1的规律写出勾股数(11,,);

观察可得：表1中爪。与力之间的关系是;(填勾股定理不得分)

(2)根据表2的规律写出勾股数(16,,)；

观察可得：表2中b、c与力之间的关系是；(填勾股定理不得分)

(3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145,你知道这组勾股数可能

是多少吗？(请用勾股定理的形式直接写出结果，例如3?+42=5?)

4.数学探究课上李老师出这样一道题：”等边V/8C中有一点P,且4=3,PB=4,PC=5,试求

的度数小明和小军一起讨论时发现了一种求/4P8度数的方法，下面是这种方法的一部分思路,

请按照下列思路要求画图或判断.

(1)在图中画出△力PC绕点4顺时针旋转60。后的(尺规作图)；

(2)试判断△/加的形状，并说明理由;

(3)试判断△4DP的形状，并说明理由；

(4)由(2)(3)两问可知，4APB=.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

基础过关练

题型一勾股数的判断与直角三角形的判断

1.下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）

A.3,4,5B.0.6,0.8,1C.9,12,16D.5,12,13

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”,

则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可.

【详解】A.32+42=9+16=25=52,符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；

B.0.62+0.82=0.36+0.64=1=12,符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；

C.年+㈠=81+144=225*62,不符合勾股定理，不能构成直角三角形，符合题意；

D.52+122=25+144=169=132,符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；

故选C.

2.下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（）

A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理.

利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可.

【详解】解：•.•32+42=255=25,3+4>5,

・•.3,4,5可构成直角二角形，R斜边为5,故选项B不符合题意；

V6>5,且3+4>6,

・・・3,46可构成钝角三角形，故选项C符合题意；

V3+4=7,故选项D不能构成三角形，不符合题意；

•・・4<5,故选项A不符合题意；

故选：C.

3.欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为15cm和8cm,对角线为17cm,则该画

框（填“合格”或“不合格”）.

【答案】合格

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直,

掌握勾股定理逆定理是解题的关键.

【详解】解：V153=225,8?=64,17?=289,

/.152+82=172,

.•・画框的两边垂直，

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故答案为：合格.

4.在V/3C中，若+油2=HC?,贝l」4+NC=度.

【答案】90

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握如果三角形有两边的平方和等于

第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题关键.由题意可知出8=90。，即可求解.

【详解】解：:在VMC中,BC2+AB2=AC2,

.•.“6C是直角三角形，且彳。是斜边，

:./8=90。，

.•.乙4+/。=90。，

故答案为：90.

5.已知三角形三边长分别是8,15和17,则三角形的面积是.

【答案】60

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用

直角三角形面积公式求解.

【详解】解：•・•三角形的三边长分别是8、15、17,82+152=172,

・・・这个三角形为直角三角形，

・•・这个三角形的面积是gxl5x8=60.

故答案为：60.

6.如图，分别以V48c的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面枳％%星的

关系为5+邑=$3，则V/8C是三角形.

【答案】直角

【分析】本题考查勾股定理逆定理，SI+Sz=S3根据圆的面积公式，结合题意求出8c2+402=4炉是

解题关键.分别求出工、S2、S3,再结合SI+S2=S3,即可得出8c?+4。2=力炉，说明V4BC是直角三

角形.

【详解】解：VSj=7tx（^-X-,S2=X—,S,=71XX—,

V2J2*2J22J2

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又♦・・$+S2=S3,

:・BC2+AC2=AB2,

・・・V48C是直角三角形.

故答案为：直角.

题型二勾股数与整式化简

7.已知〃>0,若3掰+2,4m+8,5〃?+8是一组勾股数，求〃？的值.

【答案】〃?=1

【难度】0.65

【分析】根据勾股数定义：满足。2+〃=。2的三个正整数，称为勾股数可得：（3〃7+2）2+（4加+8）

2=（5加+8）2,再解方程即可.

【详解】解：:桃>0，3加+2,4/»+8,5加+8是一组勾股数，

（3w+2）2+（4w+8）2=（5/Z1+8）2,

解得：〃7=1.

【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义.

题型三证明直角三角形

8.如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方.那么以这三个正整数为边长的三

角形是直角二角形.若连续的两个整数为40、41,请证明结论.

【答案】见详解

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，

如果一个三角形的三条边。、b、c满足/+〃=/,那么这个三角形为直角三角形.根据勾股定理

的逆定理进行验证即可.

【详解】解：连续的两个整数为40、41,

•.•40+41=81=92,

•/92+402=81+1600=1681,

1681=412,

・••以40,41,9为边长的三角形是直角三角形.

9.已知：整式1=〃2+I,B=2〃,C=〃2_],且整式C〉0.A、B、C的值均为正数，则以整式A、B、

。为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由.

【答案】直角三角形，理由见解析

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【难度】0.85

【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理.：根据勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】解：以整式A、B、。为边长的三角形是直角三角形，理由如下：

VB2+C2=(2n)2+(7?-1)2=w4+2n2+l;A2=(n2+1)2=nA+2n2+,

222

B+C=Af

・・・这个三角形是直角三角形.

题型四在网格中判断直角三角形

10.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,8,C都在格点上，则下列结论

错误的是()

A.AB2=20B.ZBAC=90°

C.V/18C的面积为10D.点A到直线8c的距离是2

【答案】C

【难度】0.85

【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离.熟

练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.

利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可.

【详解】解：A、”2=2'42=2。，本选项结论正确，不符合题意；

222

B、VJC2=I2+22=5,AB'=22-♦42=2(),5C=3+4=25,

：.AC1+AB2=BC2,

.•./94。=90。，木选项结论正确，不符合题意；

C、^sc=4x4-lx|x2-lx2x4-U3x4=5,本选项结论错误，符合题意；

D、点4到8c的距离=2&,BC+8C=2X5+5=2,本选项结论E确，不符合题意；

故选：C.

11.如图，每个小正方形的边长为1,4、B、C是小正方形的顶点，连接48、BC,则。的度

数为.

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【答案】45。/45度

【难度】0.65

【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到力8,BC,X。的长

度，继而可得出///。的度数.

根据勾股定理可以得到：AC=BC=Jl2+22=54B=Jf+32=回，

•・,(不/+(6)2=(屈j,AC1-BC2=AB1,

・・・V48C是等腰直角三角形.

ZABC=45°.

故答案为：45。.

12.如图，由边长为1的小正方形组成的5x5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，V"C的顶

点均在网格的格点上.8为中/出边上的高线.

(1)求证：ZACB=90°；

(2)求CQ的长.

【答案】(1)见解析

(2)2

【难度】0.65

【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键.

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（1）由勾股定理可得4c2=22+42=20,502=『+2?=5,AB1=42+32=25,继而得到

22

AC^C=20+5=25=AB\根据勾股定理的逆定理得到V/"C是直角三角形，即可得到结论；

（2）由（1）得AC=Mi=2旧,BC=加,AB=5,利用三角形面积公式求出。=2.

【详解】（1）证明：由勾股定理可得de?=22+42=20,8C2=F+22=5,J^=42+32=25,

AC2+BC2=20+5=25=AB2,

・•.VXBC是直角三角形，

ANACB=90。.

（2）解：由（1）得力。=而=2后,8C=>/^，力5=5,

•；CD上AB,^ACB=90°,

：・S、SC=；ACBC=；ABCD,

：.2石x石=58,

:.CD=2.

题型五与勾股数有关的简单规律探究

13.我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、"股"和"弦''分别指的是直角三角形中较短

的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边.

观察：3,4,5；5,12,13；7.24,25；发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇

数,事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是:（9-1）,；（9+1）：勾是5时，股和弦的算式分别是:（25-1）,

g（25+l）.根据你发现的规律：

（1）当勾是十一时，则股和弦分别为：—；（直接写出结果）

（2）根据上述规律，继续观察：6,8,10；8,15,17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6

起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含〃？（机为偶数，且，”>6）的代数式来表示圻有这些勾股

数的股为—.

【答案】60,61

4

【难度】0.85

【分析】本题主要考查了勾股数，

对于（1）,通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而

写出结果；

对于（2）,根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1,其弦是

勾的平方的四分之一加1.

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【详解】解：⑴勾是11时，股和弦的算式分别是:乂（112—1）=60,白（1-+1）=61；

故答案为：60,61；

（2）6,8,10,口J以写成G.xb?-l,：x6~+1；

44

8,15»17,可以写成8,：x82-l.xK+1,

44

根据规律，可知这些勾股数的股为：1.

4

故答案为：

4

14.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3,

4,5：5,12,13；7,24,25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究

了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；…若此类勾股数的勾为2〃?

（〃出3,〃?为正整数），则其股是（结果用含〃7的式子表示）.

【答案】a=m1-\

【难度】0.85

【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足/+/=/的三个正整数称为勾股数；根据题意得2〃?

为偶数，设其股是则玄为。-2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【详解】解：•・・〃?为正整数，

・・・2加为偶数，

设其股是m则弦为。+2,

根据勾股定理得，（2加）2+。2=。+2）2,

解得：a=nr-\f

故答案为：a=nr-1.

题型六勾股定理逆向运用与三角形的面积

15.如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：酢=3

米，8c=4米，40=12米，。。=13米，且48_LC8.则这块草坪的面积是（）

A.36m2B.26m2C.30m2D.40m2

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【答案】A

【难度】0.65

【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时

勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出

准确的示意图.体会数形结合的思想的应用.连接力C,根据勾股定理，求得/C,再根据勾股定

理的逆定理，判断“。。是直角三角形.这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和.

【详解】解：连接力。，如图，

•/AB1BC,

：.ZABC=90°f

♦.•48=3米，8c=4米，

.•.4。=5米，

米,。力=12米,

ACZ+AD2=CD\

・•・△/C。为直角二角形，

这块草坪的面积=2

SAABC+S“e=3x4+2+5x12+2=6+30=36cm,

故选：A.

16.如图所示的一块地，^ADC=90°fJD=12m,CD=9m,AB=39m,8C=36m,求这块地的面

积.

【答案】这块地的面积是216平方米

【难度】0.65

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本

题中正确的判定V/2C是直角三角形是解题的关键.

连接力C，根据直加可以求得斜边力C的长度，根据力C,BC,43可以判定V48C为直角三角

形，要求这块地的面积，求V/2C与"CQ的面积之差即可.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

【详解】解：连结4C，如图所示:

vZJDC=90%由勾股定理得：AC=>]CD2+AD2=15(m),

又AC2+BC2=152+362=392=AB2,

・••”6C是直角三角形；

这块地的面积S=S△横c-=；X15X36-；X12X9=216(m2),

即这块地的面积是216平方米.

17.如图，在四边形/出C。中，D4=90°,48=4,BC=3,CD=12,JD=13,求四边形力4co的面

积.

【答案】36

【难度】0.85

【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接zf。，由勾股定理可得

22

AC=\IAB+CB=5^再证明得到乙4CQ=90。，再由S四边形D=S.®+S/°,列式计算

即可.

【详解】解：如图所示，连接力C,

•••/6=90°,

.•・"8C为直角三角形,

,/AB=4tBC—3,

「・根据勾股定理得：AC=dAB、CB2=5，

又力。=13,

:.CD2+AC2=\69,心二169,

:.CD'+AC2=AD2.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

为直角三角形，

:.ZACD=900,

•­SmABCD=S“sc+g48•EC+g/C•CO=36•

能力提升练

题型一勾股定理与解三角形

1.如图,CD是VZ8C的高.

（1）若CD=12,力。=9,8力=16,则/C的长为,6C的长为;

（2）若CD=a,AD=b,BD=c,且/=反，求证：丫力8c是直角三角形.

【答案】（1）15；20

（2）见解析

【难度】0.65

【分析】本题考杳勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关铤.

（1）在RtZi/CO中，根据勾股定理可求得1C,在RtZ\C£）6中，根据勾股定理可求得8C；

22

（2）先利用勾股定理证明=a+c=BC\从而证得4c?+8C?=＜夕，根据勾股定理的

逆定理得出VXZ7C是直角二角形.

【详解】（1）解：-CDLAB,

二."CD是直角三角形，

在Rt△力C。中，•.-CD=12,40=9,AC2=CD2+AD2,

:.AC=JCD2+AD2=7177?­=15,

又：CD工4B,

・•・△88是直角三角形，

在RtACDB中，

.'CD=12,80=16,BC?=CD〜BD?,

BC=^CD2+BD2=V122+162=20；

故答案为：15；20.

（2）证明：是V/3C的高，

ZCDA=4CDB=90°.

・••在Rd）中，AD'+CD?=AC：

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1.2一定是直角三角形吗分层练习(解析版)

^a2^b2=AC2.

同理，a2+c2=BC2.

2

*：a=bef

ACZ+BC2=a2+b2+a2+c2

=b2+c2+2bc

=(/)+C)2

「.”BC是直角三角形.

(2)已知4cB=90°.

①若40=3,80=2,求CO?；

②若设力。=〃?，BD=n,CD=k.则加，〃，攵的数量关系为.

【答案】(1)见解析

(2)①«；②人二=小〃

【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定

理是解题的关键.

(1)由勾股定理可得力0=20,比*2=5、折=25,再根据勾股定理逆定理即可证明结论；

(2)设CZ)〃，则4。2=〃2+9刀。2=/+4,由勾股定理可得抬+9+公+4=25求解即可：②由勾股定

理可得/C?=〃/+&23c2=42+〃2,进而得至+12+/+〃2=(〃]+〃)，=〃/+2〃〃?+〃2求解即可.

【详解】(1)证明：/D=4,BD=1,CD=2,

222

：.AC=AD+CD=206c2=CDi=5,

,//炉=(4+l『=25,

/.AC2+BC2=AB2,

...ZACR=90°.

(2)解：①设8="则2c2=上2+9#。2=公+4,

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1.2一定是直角三角形吗分层练习(解析版)

Z/1CB=9O°,

AAC2+BC2=AB2,即/+9+公+4=25,解得：N=6(已舍弃负值)，

:.CD2=6.

②根据勾股定理得，AC2=AD2+CD2=ni2+k\BC2=CD2+BD2=k2+n2,

4c8=90°,

/.AC2+BC2=AB2,RP+k2+k1+n2=(m+n)2=m2+2mn+n2,

解得：Ar：=mn.

故答案为：k2=mn.

题型二新定义问题

3.定义：如图，点M、N把线段力8分割成AM、MN、NB,若以4W、MM、M?为边的三角形是

一个直角三角形，则称点M、N是线段48的勾股分割点.

I________|______________|_________|

AMNB

(1)已知M、N把线段48分割成4W、MN、NB,若用必=1.5,MN=25,ZW=2,则点M、N是

线段"的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)已知点M、N是线段/也的勾股分割点，且为直用边，若力8=24,=6,求8N的长.

【答案】(1)是，见解析；

(2)8或10

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏

解.

(1)根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段48的勾股分割点；

(2)设外=工，则/川=24-//-42=18-%，分两种情形：①当"N为最长线段时，.姬=/1/+入H;

②当BN为最长线段时，BN'AMrMN。分别列出方程即可解决问题.

【详解】(1)解：是，理由：

AM-+BN2=i.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25，

/.AM2+NB2=MN?,

.•.4W、MV、N8为边的三角形是一个直角三角形，

，点M、N是线段48的勾股分割点；

(2)解：设BN=x,贝l」A/N=24—4M-5N=18—x,

①当MN为最长线段时，依题意MM=4M2+N炉，

R|J(18—x)2=x2+36,

解得x=8；

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

②当BN为最长线段时，依题意得BN。=AM2+MN2,

即X2=36+（18-X）2,

解得4=10,

综上所述，8N=8或10.

IIII

AMNB

题型三与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想）

4.三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,

41...,则第〃组勾股数的第二个数为（）.

A.2〃（2〃+1）B.2〃（2〃-1）C.2〃（〃+1）D.2n（n-\）

【答案】C

【难度】0.65

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3

开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加

1,据此规律求解即可.

【详解】解：3,4,5；

5,12,13；

7,24,25；

9,40,41...,

•••••9

以此类推，可知，第〃组本原勾股数的第一个数为2〃+1,且第三个数比第二个数大1,且第二个数

和第三个数的和等于第一个数的平方，

设第〃组本原勾股数的第二个数为机,则第三个数为/〃+1,

fn+ni+\=（2〃+1）2,

2w+1=4772+4〃+1,

m=2n2+2n=2〃（〃+1）,

故选：c.

5.勾股定理/+〃=/本身就是一个关于叫b,c的方程，满足这个方程的正整数解（。也，）通常叫

做勾股数组,毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数

组：（3,4,5）,（5,12,13）,（7,24,25）,….分析上面勾股数组可以发现,

4=lx（3+l）,12=2x（5+l）,24=3x（7+l）,...,分析上面规律,第9个勾股数组为.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习(解析版)

【答案】(19,180,181)

【难度】0.65

【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理.

由勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…中，

4=lx[(lx2+l)+l]12=2x[(2x2+l)+l]24=3x[3x2+1)+1,…可得第9组勾股数中间的数为:

9x[(9x2+l)+l]=180,进而得出(19,180,181).

【详解】解：由勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…中，

4=1>[(1X2+1)4-1]12=2X[(2x24-1)4-1]24=3x[3x2+1)4-1,…可得第9组勾股数中间的数为:

9x[(9x2+l)+l]=180,进而得出(19,180,181).

故答案为(19,180,181).

6.将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：

a3815243548•••

b468101214•••

c51017263750•.♦

(1)当1=90时,直接写出。的值；

(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71?若存在，请写出这组数；若不存在,

请说明理由；

(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直

角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例.

【答案】(1)2024

(2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71,理由见解析

(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三

角形的另两条边的长都是正整数.理由见解析

【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。

(1)观察表格可知，a=m2-\,b=2m,c=m2+\(m^2,且『为整数)，据此根据b的值求出m

的值，进而求出a的值即可；

(2)分别令「=令_1,b=2m,c=*+]的值等于71,看m是否有大于等于2的正整数解即可;

(3)根据(〃/-1)~+(2用『=+1J可知若一个三角形三边长分别为加,2相，〃/+](m22,且加

为整数)，则该三角形为直角三角形，据此可得结论.

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

【详解】（1）解：观察表格可知,a=m2-L6=2如c=（加22,且机为整数），

.,•当6=90时，则2〃?=90,

m=45,

a=2024；

（2）解：不存在--组数，既符合上述规律，且其中一个数为71,理由如下：

当苏-1=71时,此时加=72,不符合题意；

当2m=71时，此时机=35.5,不符合题意;

当〃/+1=71时，此时川=70,不符合题意;

综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71;

（3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直

角三角形的另两条边的长都是正整数.理由如下：

对于一组数：〃，一1,2〃?，/+i（〃?22,且〃?为整数）.

（M-1）'+（2m）2=m4+2/n2+1=+1j

・,•若一个三角形三边长分别为，一1,2机，〃/+1（用22,且〃?为整数），则该三角形为直角三角

形.

•・,当的22,且加为整数时，2W表示任意一个大于2的偶数，加2-1,〃/+1均为正整数，

・••以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形

的另两条边的长都是正整数.

拓展培优练

1.如图，在5x5的正方形网格中，已知线段小。和点P,且线段的端点和点。都在格点上，在网

格中找一格点0,使线段b,PQ恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点。有（）

A.0个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌

握相关知识是解题的关键.

【详解】解：由网格可得：/=32+32=18,

/>2=I2+22=5♦

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1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

•.•线段4,b,尸。恰好能作为直角三角形三边,

当。作为斜边时,b2+PQ2=a2,

・•・尸。2=13,

V2?+32=13,

・♦・取格点a,则点a,。2即为所求的点，如图:

222

当P0作为斜边时,b+a=23=PQt

网格中，找不到一个格点。，使得尸。2=23,

综上，符合条件的点只有2个，

故选：B.

2.【知识回顾】

（1）如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三

角形的两直角边长分别为。，bt斜边长为J课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方

形的面积，证明了勾股定理/+Z?=c2.请写出证明过程.

【类比迁移】

（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折,得到图2,若。=3"=4,则空白部分的面积为

【能力提升】

（3）如图3,在V/l8c中，4。是8C边上的高，48=4,AC=5fBC=6,设8。的长为孙请求出工

的值.

b

图1图2图3

9

【答案】（1）见解析；（2）13；（3）

4

【难度】0.65

第23页共27页

1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

【分析】（1）利用以c为边的壬方形和4个直角三角形的面积和等于以边为（。+与的正方形的面

积建立方程，即可得出结论；

（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积可得答案；

（3）设4。的长为q则CD=BC-4Q=6r,根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：（1）依题意，•・•大的正方形的面积可以表示为（。+6）2,

大的正方形的面积还可以表示为/+4xgR）=c」+2R）

（a^-b）~=c2+2ab

a2+lab+b2=c2+2ab

（2）空白部分的面积=边长为。的正方形的面积-2个直角三角形的面积=cJ2xgM,

a=3,b=4,

・•・空白部分的面积=32+42-2x$3x4=25-12=13；

（3）•.•设8。的长为x,则CQ=8C-BQ=6-x

・I4）是4c边上的高

・,.AD1BC

AB2-BD2=AC2-CD2

42-x2=52-（6-.r）2

Q

解得X

4

【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

3.【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（〃，瓦。），称为勾股数，《周髀算经》

中记载的“勾三股四弦五''中的"3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如

（6,8,10）（9,12,15）（12,16,20）等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如（5,12,13）（8,15,17）等也都是勾

股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（。也。）才能满足关系式/+〃=c2.设（。也。）为一组勾

股数，观察下表回答问题：

表1表2

abcabc

3456810

第24页共27页

1.2一定是直角三角形吗分层练习（解析版）

5121381517

72425102426

94041123537

（1）根据表1的规律写出勾股数（11,,）;

观察可得：表1中6、c与片之间的关系是；（填勾股定理不得分）

（2）根据表2的规律写出勾股数（16,,）；

观察可得：表2