2024-2026年高考数学试题分类汇编直线与圆（解析版）

专题05直线与

考点01直线与方程

1.（2026.上海.高考真题）在平面直角坐标系中，点（1,2）到直线4%-3），+5=。的距离为.

3

【答案】；/0.6

【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.

,|4xl-3x2+5|3

【详解】根据点到直线的距离公式可得"=J.+（-3）2

故答案为：羡3

2.（2025・上海•高考真题）已知4（0,1）,8（1,2）,。在「:/-丁二心刀心。）上，则丫相。的面积（）

A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

【答案】A

【分析】设出曲线上一点为（。，〃）.得出〃二〃^，将三角形的高转化成关于。的函数，分析其单调性，从

而求解.

【详解】设曲线上一点为（/勿，则/一从=],则〃=庐],

kAn=y-r;=1»A8方程为：y-\=x,即x_y+]=u,

1-0

根据点到直线的距离公式，（a〃）到/W的距离为：扬+l-b+l,

V2V2V2

设f⑸=4^Ti-b=J,

yjb2+l+b

由于bNO,显然〃力）关于Y单调递减，/S）a=/（0），无最小值,

即VA8c中，A3边上的高有最大值，无最小值，

又A8一定，故面积有最大值，无最小值.

故选：A

3.（2024.北京.高考真题）已知M=｛（X,），）|），=X+G2-*,1W2,0WY1｝是平面直角坐标系中的点集.

设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<\B.d=3,S>i

C.d=M，S<\D.d=M，S>\

【答案】c

y4x-

【分析】先以，为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域卜Nx,结合图形分析求解即可.

l<x<2

【详解】对任意给定xe[l,2],则/一工=工（工一1）20,且，40』，

可知不4工+/（工2一%）工工+/一不='2,gpX<y<,

y<x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域卜2A-,

\<>x<2

如图阴影部分所示,其中A（1,1）,*2,2）,C（2,4）,

2

可知任意两点间距离最大值d==7(l-2)2+(l-4)2=Vio,

阴影部分面积s<S^«c=1xlx2=l.

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，

见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题FI中的条件有明确的几何意义，解题时要准确

把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.

4.(2024•上海.高考真题)直线a"1=0的倾斜角为.

【答案】£

4

【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.

【详解】设直线x-)，+l=。的倾斜角为氏。«0,兀)，

将直线转化为斜截式y=x+i,可知直线的斜率为1,

所以tan6=l,

所以

所以直线+1=0的倾斜角为;.

故答案为：7.

4

点02直线与圆的方程

1.(2025•全国I卷高考真题)已知圆/+。+2)2=/(r>0)上到直线)，=氐+2的距离为1的点有且仅有

2个，则，•的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,a)D.(0,+8)

【答案】B

【分析】先求出圆心£(0,-2)到直线y=Gx+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.

【详解】由题意，

在圆力+(升2)2=/(r>0)中,圆心仪0,-2),半径为

到直线y=6x+2的距离为1的点有且仅有2个，

|0xN/3-(-2)xl+2|

・・•圆心仪0,—2)到直线y=限+2的距离为：d=,⑻((=2，

3

当r=l时，

圆工2+（）,+210）上有且仅有一个点（人点）到直线y="r+2的距离等于1；

当r=3时，

圆工2+（），+2）2=/&>0）上有且仅有三个点（B,C,。点）到直线y=6x+2的距离等于1：

当则，的取值范围为（L3）时,

圆工2+（）,+2）2=产（/>0）上有且仅有两个点到直线），=岛+2的距离等于1.

故选:B.

2.（2024.全国甲卷高考真题）已知直线办+切-a+&=0与圆C：/+9+纣-仁。交于A8两点，则|A8|

的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点产（1,-2）,从而可得当PCJ_A6时，|4四的最小，结合勾股定理

代入计算，即可求解.

【详解】因为直线级+〃y-。+2〃=0,即。（x-l）+Z;（.y+2）=0,令％-1=0,

则工=1,〉=一2,所以直线过定点（卜2）,设P（l,—2）,

将圆Gf+）,2+4V-I=o化为标准式为f+（y+2『=5,

所以圆心C（0,—2）,半径「二石，p。=1

当PC_LA8时，|A8|的最小，

此时|A.=2J,_|/>cf=2x后工=4.

故选：C

4

3.（2U24•北京•高考真题）圆Y+y2-2x+6），=（）的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.aB,2C.3D.3及

【答案】D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得f+）/—2x+6y=0,BP（x-l）2+（y+3）2=10,

卜产十储加

则其圆心坐标为（L-3），则圆心到直线x-y+2=0的距离为

/+（-炉

故选：D.

4.（2024.全国甲卷.高考真题）己知〃是a，c的等差中项，直线④+〃y+c、=0与圆V+），2+4y-l=0交于A8

两点，则M同的最小值为（）

A.IB.2C.4D.275

【答案】C

【分析】结合等差数列性质将。代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为。力,c成等差数列，所以劝=a+c,c=2b-a,代入直线方程+c=0得

/、/、，f-Y-1=0[x=1

at+〃y+2〃一a=0,即〃（工一1）+力（y+2）=（）,^jy+2-0^ly-2，

故直线恒过（1,-2）,设尸圆化为标准力程得：C:Y+（y+2>=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PC_LA8时，|4回最小,

|PC|=l,|AC|=|r|=V5,此时|A即=2|=P|=2>Mc2_rc2=27^7=4.

5.（2026・全国I卷・高考真题）（多选）已知圆G：（x+1尸+丁=l，圆C2：（x-l）2+），2=l,圆G：x2+（）,一G）2=l,

直线/：,，=履+〃与G，G，G均有两个交点.记/被G，G，G截得的弦长分别为心、力、口，则（）

5

A.左可以取任意实数B.满足』=邑=4的直线/共令3条

C.满足$|+$2+邑=3的直线/多于3条D.当人=0时，M+&+%的最大值为3争

【答案】BCD

【分析】已知三个圆均为半径r=l的等圆，圆心分别为G（-1,0）、C2（i,o）,G（O，G），利用弦长公式

S产诉王（4为对应圆心到直线/的距离•，且4<1以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.

,\b-k|.出+4|

【详解】记G，G，G到直线，：丁=丘+〃的距离分别为4，4，4,则4=7前，出=石京，4=

•・•直线与三个圆均有两个交点,

.・・4<1,4<1,4<1，对应弦长为y=2Ji-疗(/.=],2,3).

A：,:解4<1,得攵一J1+&2cbvk+Jl+k?,

解4<1，得一k-dl+k?<b<-k+\!l+k2，

不妨取&>0,

■:k+Jl+k2>一&+11+攵2>U>k-dl+k2>一左一J1+1)»

：•k-\l\+k2<b<-k+\li+k2»记4=9-J1+12，-k+Jl+k,,

解&<i,得>/5-，1+公<b<6+Ji+k。1记-J1+&),

当后一Jl+A?>-k+Jl+k2»即上=当时，AI18=0,

此时不存在这样的直线/与三个圆都相交.

：•女不能取任意实数，A错误.

B：*.*S]=$2=$3，

:.d}=d2=dy.

由4=&得|〃一Z|=|b+Z|,平方得*k=0,即左=0或〃=0.

①当&=0时，直线为y=b,由4=4得Ib|=|b-J5|,解得〃=走,

2

此时4=3<1，符合条件，对应直线1条.

12

②当6=0时，直线为y=依，由4=4得7国千=-^r，解得左=±G，

Jl+Fyj\+k2

6

此时4=无＜1,符合条件，对应直线2条.

12

综上，共3条直线满足条件，B正确.

C：令匕=0,

2“2―2

，53=2

Jl+公

令1=收-2(1>0)，则&2=/+2,

_2(2+/)

:.4+$2+$3=/,.

〃+3

4+2/c

令费+$2+$3=3,即八=3,

"+3

平方整理可得5——⑹+11=0,解得1=装或，=1,即女=±&或2=±”,

55

经验证，此时4,出，4均小于1，满足题目要求，此时已有4条直线，多于3条，C正确.

m

D：当匕=0时，4=4=

«+k2

令|="2一2(1>0)，则&2=『+2,

_2(2+/)

:.。+与+$3-「---.

Vr+3

设fa)=-n=">°)，求导得"°=------1

S+3(产+3产

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为偃心到直线的

7

距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.

6.（2026•全国n卷•高考真题）（多选）已知圆。：Y+/=],圆斗：x2+y2_6K-8y+Z=0,则下

列说法正确的是（）

A.点A的坐标为（-3,-4）

B.A=9时，圆A与x轴相切

C.当女=-11时，圆4与圆。相切

D.当圆A与圆。相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-2=。

【答案】BC

【分析】对于A,求出A的圆心坐标即可判断；

对于B,利用圆心4到x的距离即可判断；

对于C,求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；

对干D.将两个圆的方程相减化简即可求解.

【详解】由。A：/+）,2一6x—8），+火=0,化简可得（工一3『+（）一4『=25—左，

所以女＜25,0A的圆心43,4）,半径）.=后二I，故A错误；

对于B,由攵=9,得0A的半径r=后=1=4,所以圆心43,4）到x轴的距离〃=4=厂，即。A与x轴相切，

故B正确；

对于C,由左二一11,得：A的半径r=后二^=6,由于的圆心为（0,0）,半径一'=1,所以|例=5=r一-'，

则？。与0A内切，故C正确；

对于D,由k2+,2_6工_8）'+外_（丁+,2—1）=（）,化简得：6x+8_y_A_[=0,

所以。与。A两个交点所在直线的方程为6x+8y-A-1=0,故D错误.

7.（2024.新课标n卷.高考真题）（多选）抛物线C产二船的准线为/,P为。上的动点，过/＞作

。人:炉+（）」4）2=1的一条切线，Q为切点，过尸作/的垂线，垂足为8,则（）

A./与OA相切

B.当P,48三点共线时，|PQ|二A

C.当|28|=2时，PAYAB

D.满足1Q川=12例的点。有且仅有2个

【答案】ABD

8

【分析】A选项，抛物线准线为*=-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,4,8三点共线时，先求

出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据归即=2先算出的坐标，然后验证即次是否成立；D

选项，根据抛物线的定义，|阳=|?目，于是问题转化成|E4|=|PF|的2点的存在性问题，此时考察加•的中

垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项,抛物线「=4%的准线为x=T,

A的圆心(0,4)到直线.丫=-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和A相切，A选项正确；

B选项，三点共线时，即PA_L/,则。的纵坐标为=4,

由4=4勺＞,得到4=4,故P(4,4),

此时切线长|尸0=一户=，不一f=屈,B选项正确:

C选项，当|阳=2时，xP=\,此时y；=4再,=4,故PQ2)或P(l,-2),

4—74—2

当P(l,2)时，A(0,4),B(-l,2),^4=—4=-2,=7—^=2,

0-1U-(-l)

不满足够后=T

当P(l,—2)时，A(0,4),B(-l,-2),^=^^=-6,心8=^^=6,

0-1UT—1)

不满足k/，Jw=T;

于是夕A_L八4不成立，C选项错误;

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|咫=|尸耳，这里尸(L0),

于是|/训=|阳时产点的存在性问题转化成|/训=|PF|时〃点的存在性问题,

A(0.4),F(1.0),好•中点(g.2,心中垂线的斜率为一/一=；

KAF4

于是"的中垂线方程为：丁=当了，与抛物线)，2=4五联立可得)，2-16)，+3()=。,

O

A=162-4X30=136>0,即版的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个尸点,使得|抬=忸尸|,D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

9

,2

设P丁‘，由可得W-1J)，又4。，4),又|小|二|冏,

根据两点间的距离公式，)±+(/-4)2=乙+1，整理得/—161+30=0,

V164

A=162-4X30=136>0,则关于i的方程有两个解，

即存在两个这样的。点，D选项正确.

8.(2026.北京・高考真题)已知直线心+y=0与圆(》-2尸+()，-2)2=4相切，则〃=.

【答案】0

【详解】圆(彳-2)2+()，-2)2=4的圆心为。(2,2),半径/=2.

由直线ar+y=。与圆相切，则得d='?]=2,

解得。=0.

9.(2025・天津・高考真题)/,：A-y+6=0,与k轴交于点A,与)，轴交于点8,与(x+lf+()，-3『=/代>0)

交于C、。两点，|AB|=3|C/)|,则r=.

【答案】2

【分析】先根据两点间距离公式得出|A81=6应，再计算出圆心到直线的距离d,根据弦长公式

|CD|=2>/产一久列等式求解即可.

【详解】因为直线4：一)，+6=。与x轴交于A(-6,0),与V轴交于8(0,6),所以|A8|=历/=6忘，所

以卬=2&,

圆(x+l)2+(y-3)2二产的半径为「，圆心(-1,3)到直线4：x-)，+6=0的距离为仁口若过=也，

10

故|CD|=2x//一a?=2,产一=2&,解得,=2；

故答案为：2.

10.（2025.上海.高考真题）在平面中，6和e；是互相垂直的单位向量，向量a满足卜-40卜2,向量b满

足1-6d=1,求。在a方向上的数量投影的最大值__________.

【答案】4

【分析】设。4=4。6=人根据题意，求得A8所在圆的圆心刃半径；再根据数量投影的意义,数形结合

即可求得结果.

【详解】根据题意不妨设q=（l,0）,1=（0,1），a=（乂），），〃二（〃?,〃），

则〃_4q=（x-4,y）力一&2=（/»,«-6）,

由k一4q|=2可得（不一4『+）3=%由1—64=1可得-6『=1；

设（M=a,OA=〃，故A在以0（4,0）为圆心，2为半径的圆上；

8在以。2（。，6）为圆心，1为半径的圆上：

过8作8OJ_Q4于。，则OO即为〃在”上的数量投影，如下所示：

因为48分别为两圆上任意动点，不妨固定3,则08为定长,

设%5=6,即NAO8=e,故"q=|Oq.cos。,

II

因为此时目为定长，且〃=乙4。8<18。。,

故随着。的减小，cos。增大，直至04恰好与圆G相切时，|。4取得最大值，如下所示:

在0A与圆G相切的基础上，移动点8,过G作GE~LOA于£，故|8|=|0目+|瓦）|；

在么CAO中，ZC,AO=90°,GA=2,OG=4,

故NAOG=3（）°,ZCOE=60°,因为|。&|=6,

故在直角三角形GOE中，|0。2卜2|。耳，则OE=3,即|0。|=|。目+|叫=3+1回;

在四边形跳圮3中，因为NDEG=/GEO=90。，故|。用工忸Q=l，

当且仅当8G〃力2时等号成立，从而|。力=3+|叫£3+1=4.

12

综上所述；〃在a方向上的数量投影的最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点A4,采用

一定一动的处理策略，从而求解最大值.

11.(2024・上海・高考真题)正方形草地A4CQ边长I2E到A8,4。距离为0.2,尸到BCCD距离为0.4,有

个圆形通道经过且经过力。上一点，求圆形通道的周长.(精确到0.01)

【答案】2.73

【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.

【详解】如图，以A为原点建系，易知E(O2O.2),b(O.8.O.8),连接

不妨设£尸中点为例(050.5),直线EF中垂线所在直线方程为V-O.5=-(^-O.5),

化简得y=-x+l,所以圆心为半径为且经过£尸点

即（。一0.2）~+（—a+1—0.2）2=cr,■（七简得—2々+0.68=0,

解得"哼Li士厄，咨

结合题意可得a=l-述方0.434,故圆的周长为C=2m=2.73.

5

故答案为：2.73

12.(2024•天津.高考真题)已知圆。-1)2+,，2=25的圆心与抛物线)，2=2px的焦点尸重合，且两曲线在第

一象限的交点为A,则原点到直线4b的距离为

13

4

【答案】1-/0.8

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及A歹的方程，从而可求原点到

直线AF的距离.

【详解】圆(X-1)2+V=25的圆心为*1,0),故］=1即〃=2,

由+'=25可得/+21-24=0,故X=4或X=-6(舍)，

y2=4x

故A(4,4),故直线人/：y=：(x-1)即4x-3)，-4=0,

故原点到直线AF的距离为d=¥=g，

4

故答案为：—

2

13.(2025・上海・高考真题)在平面直角坐标系中，已知曲线「二+)，2=1()，20),点〃、Q分别为「上不同

(1)求「所在椭圆的离心率；

⑵若丁(1,0)，。在y轴上，若7到直线P。的距离为害，求夕的坐标；

(3)是否存在八使得-7PQ是以7为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求，的取值范围；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)乎；

⑵。(2,0)；

(3)存在，te.

【分析1(1)根据椭圆方程直接求离心率；

(2)问题化为以7(1.0)为圆心，亚为半径的圆与过0。/)的直线相切，且切线与「三+)，2=1()，20)有交

54

点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定尸的坐标；

(3)设PQ：)，=京+,P(%,X),。(马，)’2)，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得J软2+1>,n>2\k\>0^

4km/HI

注意讨论&=0、2/0,确定PQ中点为4--7T，丁F)，再结合册=-7、7P7Q=()求参数范围.

1+4X1+4Xk

14

【详解】（1）由「:?+_/=1（），20）,则a=2,c=石，即离心率为冬

（2）由题设，问题化为以7（1,0）为圆心，为半径的圆与过0（0/）的直线相切,

5

2

且切线与「：三+），2=1（）亚0）有交点，显然切线斜率存在，令切线为），=如+1,

4.

所以।“+M=正,可得2/+5〃+2=(2〃+1)(〃+2)=0,则〃=一，或〃=-2,

x!\+n252

当〃=-J,则切线为y=-白+1,联立/+4）/=4,可得/一21=0,

乙乙

则J=0或x=2,故此时尸（2,0）,满足;

当〃=一2,则切线为），=-2工+1,联立f+4y2=4,可得17/—16x=0,

则工=0或x哈，故此时尸肆号），不满足;

可设尸0：y=Ax+m