垂径定理-浙教版新九年级数学暑假预习讲义

o知I识I框I架

圆是轴对称图形，每条过圆心的直线都是它的对称轴

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

若CD是直径，CD1AB,则AE=BE,

AC=BC,AD=BD

垂

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分茂所对的亚

径

三、垂径定理的推论平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

定

弦的垂直平分线经过圆心

圆的两灸平行弦所夹的孤相等

将一条孤分成相等的两条弧的点

作弦的垂直平分线，与孤的交点即为强的中点

r口诀过圆心作垂线，连半径，构造直角三角形（口△）

勾股定理公式半径2=弦心距2+（半弦长）2

R，=d?+（1）2（知二求一）

即

◊知I识I精I讲

知识点01垂径定理

1.圆的轴对称性

圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。

2.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并R平分弦所对的两条弧。如图,若CD是。O的直径，CD±AB于点E,

则:

①AE=BE（平分弦）

②AC:BC（平分劣弧）

③症向（平分优弧）

3.推论

定理1：平分弦（不是直径）的直径垂立于弦,并且平分弦所对的两条弧。

定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。

4.弧的中点与等分

弧的中点定义：分一条弧成朽等的两条弧的点。

尺规作图：作弧的中点只需径弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。

5.垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理近有如下结论：

（1）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧：

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；

（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6.常见辅助线做法

（1）过圆心，作垂线，连半径，造RTA,用勾股，求长度：

（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。

即时即练|如图,。。的直径CO垂直弦48于点E,且48=8,0B=5,则CE的长为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键.

根据垂径定理得出8E的长，艰据勾股定理得。E,即可求解CE.

【详解】解：。。的直径CD垂直弦AB于点E,且48=8,0B=5,

：.AE=BE=^AB=4,

2

•••在Rt△BOE中,0E=>]0B2-BE2=V52-42=3,

:.CE=0C-OE=2,

故答案为：B.

【易错提醒】

(1)在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在

这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦

不能是直径)

题型突破(

题型1应用垂径定理进行计算与证明

【例1】如图，O。的半径是5,AB是o。的直径，弦CDL48,垂足为P,若CD=8,贝必4C0的面积是()

A.16B.24C.32D.48

【答案】C

【分析】连接。。，由垂径定理可知PD=：CD=4,在口^。「。中利用勾股定理可得。「二3,从而可

知4P=8,再借助三角形面积公式即可计算.

【详解】解:连接0D，

A

•「O。的半径是5,48是。0的直径，弦CD=8,

：,PD=-CD=4,

2

OP=>JOD2-PD2=V52-42=3,

・・・4P=OA+OP=5+3=8,

=池•AP=Tx8x8=32・

【例2】如图，点4为射线0M上一点，将射线0M绕点。逆时针旋转或0。<aV180。）得到射线ON,以。为

圆心，。力长为半径画圆，交射线0N于点8,以点8为圆心，A8K为半径画弧，交。。于点CQ4,C不重合），

连接4。交。8于点。，连接。C根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（）

A.AC1OBB.AD=CDC.Z-AOB=Z.BOCD.OD>BD

【答案】D

【分析】由作图可■知:脑=品和。8=A0,由垂径定理可得出AC1OB,AD=CD,乙AOB=乙BOC=a,

由a（0。<a<180。）不确定大小则无法判断。0>BD.

【详解】解：根据作图可知：照=除，OB=AO,

：-AD=CD,AC1OB,

/.Z.AOB=Z.BOC=a,OB=AO=OC,

Va(00<a<180。)不确定大小，

，无法判断得出

【易错提醒】

（I）垂径定理遇弦的计算或证明，优先过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形转化条件：用

“半径、半弦长、弦心距”构成直角三角形，满足r2=d2+G)：知二即可求一。

(2)任取两条不平行的弦，分别作垂直平分线，交点即为圆心，依据是弦的垂直平分线必过圆心。

【变式某地出土•个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规

画出瓷盘的圆心和半径.(保留作图痕迹)

【答案】见解析

【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可.

【详解】解：(1)在圆上取两条弦力B,AC；

(2)分别作4B,的垂直平分线，交于一点0.

则点0就是所求的圆心.

(3)连接。人则。A就是这个圆的半径.

【变式1・2】如图，在。。中，半径。C,。。分别交弦48于点£F,且。£=。£

(1)求证:AE=BFi

(2)求证：AC=BD.

【答案】(I)见详解

(2)见详解

【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键

(1)过。作。M148于M,连接。力、0B,利用等腰三角形三线合一证明力M=8M,EM=FM,则

问题可证;

(2)利用等腰三角形三线合一，可证明〃0M=乙BOM,乙EOM="0M,进行角的组合可证明乙40C=

乙BOD,利用圆心角、弦、弧的关系，即可证AC-30.

【详解】（1）证明：过。作0M1AB于M,连接。4、0B,

\'0A=OB,OE=OF,

：,AM=BM,EM=FM,

：.AM-EM=BM-FM,

：,AE=BF；

(2)证明：VOMIAB,OA=OB,OE=OF,

：.LAOM=Z.BOM,LEOM=LFOM.

J./.AOM-Z-EOM=4BOM-乙FOM,

C.Z.AOC=乙BOD,

•••AC=BD.

题型2垂径定理的综合应用

【例3】石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而同展现了我国古代工匠对力学原理

的深刻理解和应用.如图，拱桥的跨度48=16m,拱高CD=4m,则半径。力为m.

【答案】10

【分析】此题考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识，根据垂径定理得到4。=BD=\AB=8m,

在□△AD。中，AO2=OD2+AD2,列方程并解方程即可.

【详解】解：由题意可知，0c14B,

.*.AD=BD=-AB=8m,

2

在Rt△ADO中,乙ADO=90°,DO=OC-CD=（。4-4）m,

：.AO2=OD2+AD2

•••AO?=（4。-4）2+8?

解得4。=10m,

国J半径。力为10m.

故答案为：10

【例4】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明同学所在的

学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、3、C、D

四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm.请你根据上述数据计算纸杯的直径

是（）

A.5cmB.8cinC.10cmD.10.2cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形.由垂径定理求

出BN,DM的长，设。由勾股定理得到/+42=（7-久）2+32,求出x的值，得到。M的长，由勾股

定理求出00长，即可求出纸杯的百杼长.

【详解】解：如图，过点。做MN1/18于点N,交CD于点M,

•:CD"AB,

:・MN1CD,

**AB=8cm,CD=6cm.

：,DM=-CD=-x6==-AB=-x8=4,

2222

设。M=X,

：,0N=MN-0M=7-x,

'：OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,

：.OM2+MD2=ON24-BN2,

.\X24-32=(7-X)2+42

.*.x=4,

：,OM=4,

：.0D=432+42=5,

，纸杯的直径为5x2=10.

故选：c.

【易错提醒】

（1）拱桥类问题中，拱高是弧顶到弦的距离，弦心距二半径-拱高，易误将拱高直接当作弦心距代入勾

股定理。

（2）弦垂直直径且无图时，弦可在圆心两侧，弦端点到直径端点的线段长有两种结果，易漏解。

【变式2・1】已知。。的直径C。=10cm,A8是。。的弦，AB1CD,垂足为M,且48=8cm,则4C的长

为（）

A.2VsemB.475cmC.2x/?cm或4VsemD.275cm或4vsem

【答案】C

【分析】先画好一个圆，标上直径C。，已知的长为8cm,可知分为两种情况，第一种情况48与

0。相交，第二种情况A8与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的4C的长；

:圆。的直径CO=10cm,AB±CDfA8=8cm,

/.>4A/=^B=^x8=4cni,0D=0C=5cm,

22

当。点位置如图I所示时，

*.*OA=5cm,AM=4cm,CD1AB,

/.0M=y/0A2—AM2=V52-42=3cm,

JCM=OC+OM=5+3=8cm,

/.AC=y/AM2+CM2=V42+82=475cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得aW=3cm,

•/OC=5cm,

/.MC=5-3=2cm,

在RSAMC中，AC=VAM2+CM2=V424-22=26cm.

故选C.

【变式2・2】如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了4B,C,。四个观景位.已知观景台边缘

AB=2CD,观景位A与B之间的直线距离为24,观景位C与。之间的直线距离为13,则这座圆形观景台的半

径是.

D

C

■-_____/

^7B

【答案】16.9

【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用.由题意可得48=24,0)=13,过圆心。作。N1

交43于M,交。。于N,连接4V、0A,设半径。4=ON=八由垂径定理得到用V=9=2腐，AM=

2

^AB=12,结合脑=2CD,得到旬V=卧=6,AN=BN=CD=13,即可求出MN=5,再根据0M?+

/IM?=。屋列方程求解即可.

【详解】解:由题意可得力8=24,CD=13,

过圆心。作ON148交48于M,交。。于N,连接力N、0A,设半径04=ON=r,

・..制=明=射，AM=)B=12,

:脑=2CD,

：,AN=卧=CD,

:.AN=BN=CD=13,

:,MN=7AN?-AM?=5,

：・0M=ON-MN=r-S,

9：0M2+AM2=OA2,

A(r-5)2+122=r2,

解得r=16.9,

故答案为：16.9.

过关检测

A组基础过关

1.，，圆材埋壁，，是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，

深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为。。的直径，CD14B,垂

足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CO长度是（）

A.12寸B.B寸

【答案】D

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

设。。的半径为r,根据垂径定理得到在RtZiAEO中，利用勾股定理列出方程，求解半径r,

从而求出直径CD长度.

【详解】解：设。。的半径为r,

0A=0C=r>CD=2r^OE=r—1,

CD为。。的直径，CD1AB,

•••AE=x10=5»

在RtzxAE。中，由勾股定理得：0^2=。七2+A&2,

即丁2=（丁_1）2_|_52,

解得7*=13,

CD=2x13=26寸.

2.如图，在直角坐标系中，04经过原点0,并与x轴交于点B,已知点4的坐标是（2,2）,则点3的坐标

是（）

A.(0,2)B.(0,4)D.(-4,0)

【答案】C

【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键.连

接0/1,AB,过点4作/CJLOB于点C,先证△。48是等腰三角形，结合AC_L。8与点A的坐标是（2,2）,得

到08=20C=4,从而求得点B坐标.

【详解】解：如图，连接。4AB,过点A作4C10B于点C,

•••04经过原点0,并与x轴交于点8,

-AB.

AC1OB,

：.0C=-20B.

・・•点A的坐标是(2,2),ACLOB,

：.0C=2,

'：OC=-OB,

2

：.0B=20c=4,

•・•点8在x轴上，

，点B的坐标是(4,0).

故选：C.

3.如图，圆弧形桥拱的跨度48为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高。。为

【答案】8米/8m

【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键.

根据题意，CD1AB,0C=OB=13m,在Rt△BOD中运用勾股定理可求出。。的值，由CDOC-OD

即可求解.

【详解】解：根据题意，ABIC。，

：,AD=BD=-2AB=-2x24=12(m),且OC=OB=13m,

设CO=xm,则。。=OC-CD=(13-x)m,

在RtaB。。中，8。2=0。2+8/)2,

/.132=(13—x)2+122,解得，x=8,负值舍去，

/.CD=8m,

故答案为：8m.

4.下列语句中，不正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对

称轴；④长度相等的两条弧是等瓠；⑤三点确定一个圆.

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识.

①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线；⑤注意三个点应该不共线.

【详解】解：①和④错误，应强调在同圆或等圆中；

②错误，应强调不是直径的弦；

③错误，应强调直径所在的直线才是它的对称轴；

⑤错误，应该是不在同一条直线上的三个点，确定一个圆：

故选：A.

5.如图，过脑的中点C作CO_L47,垂足为。，AD=4,CD=2,则AS所在圆的半径长是.

【答案】5

【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理

的推论及勾股定理是解题的关键.

由“点C是用g的中点，CD1AB'\根据垂径定理的推论可知，加5所在圆的圆心在C。所在的直线上，延

长CO到圆心0,连接0A,设初所在圆的半径长为，则04=0C=r,0D=0C-CD=r-2,在Rl△AOD

中，根据勾股定理可得力。2+。。2=0"，即42+（厂-2）2=N,解方程即可求出脑所在圆的半径长.

【详解】解：如图，延长CD到圆心。，连接。4

•O

设脑所在圆的半径长为r,则O4=0C=r,

vCD=2,

:.0D=0C-CD=r-2,

在中，根据勾股定理可得:

AD2+OD2=0A2,

42+(r-2)2=r2,

解得：r=5,

二脑所在圆的半径长为5,

故答案为：5.

6.如图，拱桥可以近似的看作直径为260m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路

面48长度为100m,那么这些钢索中最长的一根的长度为m.

一钢索

【答案】10

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

设圆弧的圆心为O,过。作0C14B于C,交于。，连接。4,先由垂径定理得4c=50m,再由勾

股定理求出OC=120m,然后求tKD的长即可.

【详解】解：设圆弧的圆心为。，过O作。C_L48于C,交脑干。，连接。力，

则。

4=OD=-2X260=130(m)2,AC=2BC=-AB=-x100=50(m),

：・OC=yJOA2-AC2=V1302-502=120(m),

ACD=OD-OC=130-120=10(m),

即这些钢索中最长的一根为10m,

故答案为：10.

7.在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示.已知水面的宽度力B=24cm,则水的

最大深度为（）

A.5cmB.7cmD.10cm

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关

键.

连接。8,过点。作0C148于点。，交。。于点C,先由垂径定理求出8。的长，再根据勾股定理求出

。。的长，进而得出CO的长即可.

【详解】解：连接。儿过点。作0c14B于点。，交。。于点C,如图所示：

'：AB=24cm,

:.BD=-2AB=12cm»

〈O。的直径为26cm,

=OC=13cm,

在Rt△080中，OD=>JOB2-BD2=V132-122=5(cm),

：.CD=OC-OD=13-5=8(cm),

即水的最大深度为8cm,

故选：C.

8.如图，在。。中，弦4B垂直平分半径0C.

⑴求NC的度数；

(2)若。。的半径为r,求弦AB的长.

【答案】(1)60。

⑵后

【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识：熟练掌握垂径定理，

由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

(1)由已知条件得出。。=10C=；0B,证出2080=30。，得出48。。=60。，证出AOBC是等边三

角形，即可得出结果；

(2)由垂径定理得出BD=JAB,由勾股定理得出方程，解方程即可得解.

【详解】(1)解：•••弦4B垂直平分半径0C.

LBDO=90°,OD=：OC=：OB,

22

Z.OBD=30°,

乙BOC=90°-30°=60°,

•••OB=OC,

・•・△08C是等边三角形，

a=60°；

(2)解：:。。的半径为r,

•••4B垂直平分半径。。，

•••BD=2-AB2,OD=-r,

在Rtz\80。中，O82=m+BZ)2,

BPr2=(ir)2+(^B)2,

解得：48=或48二-百丁(舍去)，

・••弦A8的长为75r.

9.圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便.某水平

放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽48=0.8m,求水的最大深度.

<——0.8——►

【答案】0.8m

【分析】过点。作0C_L48于点C,连接04根据垂径定理得到4C=04,再在RS4C。中,根据勾股

定理可求出OC,进而即可求解.

【详解】解：如图，作0C148于点C,连接04

口——0.8——>

50=90。,AC=^AB,

*：AB=0.8,

：.AC=0.4,

在RtaACO中，根据勾股定理，得OC=1。42一+:2=03,

A0.3+0.5=0.8,

，水的最大深度为0.8m.

10.如图，48是。。的直径，CD是。。的弦，CD,AB的延长线交于点M.若乙力。。=3/M=45。，求黑的

DM

值.

【答案】V3

【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键;连接。。，过点。作。“1CD

于点H,由题意易得乙M=15。,〃=30°=乙ODC,则有。。=DM=0C,然后可设OH=a,则OC=OD=

DM=2a,进而问题可求解

【详解】解：连接OD，过点。作0Hle。于点”.

AAOC=3NM=45°.

:.匕M=15。,"=30°=“DC,

Z-M=乙DOM=15°,

/.OD=DM=OC.设OH=at则OC=OD=DM=2a,

-%CH=DH=V3a,CD=2x^3a,

B组综合提升

II.如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦48与小圆有公共点，则弦力8的取

值范围是（）

A.Q<AB<10B.8<AB<10C.4<<15D.4<<15

【答案】A

【分析】本题主要考查了圆中的有关性质.利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆

的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关锭.

当与小圆相切时有一个公共点，此时可知A*最小；当『8"经过同心圆的圆心时，弦力〃8〃最大且

与小圆相交有两个公共点，此时力〃8〃最大，由此可以确定所以4B的取值范围.

【详解】解：如图，当A夕与小圆相切时有一个公共点，

：,A,D=B,D,

在RtZiB'。。中，0D=3,OB'=5,

22

B'D=?）2_00z=V5-3=4,

=8；

当4〃8〃经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，

此时此8"=10,

所以4B的取值范围是8<AB<10.

故选：A.

12.把半径为10cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD=16cm,则EF的

长为（）

・

\O:

■•9

BC

A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm

【答案】D

【分析】过圆心。作MN1EF于点M,交O。于点N,连接。尸，根据勾股定理求出MF,再由垂径定理

求解即可.

【详解】解：如图，过圆心。作MN1EF于点M,交O。于点N,连接。心

P

*：

_____%,―4!ZJ_____

BNg•四边形48CD是矩形，

•••zC=zD=90°,

.・.四边形CDMN是矩形，

;MN=CD=16cm,

vOF=ON=10cm,

•••OM=MN—ON=6cm,

:.MF=7OF?-0M2=8cm,

■MN过圆心O,MN1EFt

:.EF=2MF=16cm.

13.瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期.如图是其实物及平面设计图.已知A,C为。。

上的两点，连接4C,ACIII(桌面)，O。的半径。力=26cm,AB,CO分别与直线/垂直于B,。两点，AB=

CD=3cm,AC=20cm,过点。作。Ell于点E,交AC于点F,则圆心到桌面/距离0E的长为()

A.31cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离.先根据力CI",OE1I,可得。F1AC,

EF=AB=CD=3cm,再根据垂径定埋得力尸=CF==10cm,然后根据勾股定埋得。尸二

4402—4/72=24,即可得出答案.

【详解】解：・・NCIIZ,OE11,48,CD分别垂直于点8,D,

OFLAC,EF=AB=CD=3ctn.

*：AC=20cm,

・・・A/=CF=：4C=10cm.

在RtA/。尸中,Ml据勾股定理得OF=一4/72=24.

：・0E=OF+"=24+3=27(cm).

故选：C.

14.已知。。的半径为5,P为圆内的一点，OP=3,则过点P的弦长的最小值是.

【答案】8

［分析］过P点作弦AB,使AB±OP,则AB为过P点的最短的弦，连结OA,根据垂径定理得AP=BP,

在RlAAOP中，根据勾股定理可计算出AP=4,则AB=2AP=8.

【详解】过P点作弦AB,使ABJ_OP,则AB为过P点的最短的弦,

V0P1AB,

・・・AP;BP,

在RSAOP中,OA=5,OP=3,

・・・AP=V。不一"=:52_32=4,

/.AB=2AP=8.

故答案为:8.

15.如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读

数恰好为“2”，“8”（单位：cm）,那么，该圆的半径为一.

【答案】.cm

4

【分析】设OB=rcm,由于刻度尺的宽为2cm,所以OC=r-2,再根据另一边与圆两个交点处的读数恰

好为“2♦♦和“8”可求出BC的长，在RtAOBC中利用勾股定理即可得出r的值.

【详解】根据题意获得下图：

设OB=rcm,

•・•刻度尺的宽为2cm,

AOC=r-2,

•・•另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”,

ABC=-x6=3,

2

在RIAOBC中，

VOB2=OC2+BC2,即/=(r-2)2+32,解得厂兰cm.

4

故答案为今。〃?.

4

C组挑战突破

16.如图，以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦4B交小圆于C,。两点，AB=8fCD=6.

(1)直接写出BD的长为；

(2)若大圆的半径是5,求小圆的半径长.

【答案】⑴1

⑵3注

【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质.

(1)过点。作。ElA8于点£,连接。40B,0C,0D,根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的

和差进行求解即可；

(2)结合(I)得，根据勾股定理进行求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，过点。作0E14B于点E,连接040S0C,。。，

根据垂径定理得，点E为线段48和。。的中点，

：

,DE=2-CD=23,BE=-AB=4,

:・BD=BE-DE=4-3=1,

故答案为：1;

(2)解：如图所示，过点。作0E14?于点£连接040B,0C,。。,

结合(1)得,

根据勾股定理得。£=>JOB2-BE2=V25-16=3,

：.0D=yJOE2+DE2=VOTQ=

・••小圆的半径长为3

17.如图，在RS/18C中，^BAC=90°,以点力为圆心，4c长为半径作圆，交BC于点D,交48于点E,连

接DE.

(1)若乙48。=20。，求/DE4的度数；

(2)若力。=3,48=4,求。。的长.

【答案】⑴65。：

(2*.

【分析】本题考杳了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，掌握知识

点的应用是解题的美键.

(1)连接4。，由三角形内角和定理可得乙ACD=70。，又AC=A。，所以々1CD=70。，求出

^CAD=40°,最后通过三角形内角和定理，等腰三角形的性质即可求解；

(2)过点力作4尸_1。。，垂足为F,由勾股定理得BC=VAC?+482=V32+42=5,又SAA8c=^4Fx

BC=^ACxAB,求得AF=&等=£,所以CF=VAC?_求尸2=J32_(£了=》最后由垂径定理即可

求解.

【详解】(1)解：如图，连接40,

\^BAC=90°,^.ABC=20°,

：.Z.ACD=70°,

9

：AC=ADf

C.LACD=^ADC=70°,

/.CAD=180°-70°-70°=40°,

，ND4E=90°—40。=50°

^•：AD=AE,

：.Z-DEA=乙ADE=：(180°—50。)=65°；

：.BC=yjAC2+AB2=V324-42=5,

又〈SAABC=\AFXBC=\ACxAB,

・•・”=w，

ixs5

J.CF=y/AC2-AF2=^32-(y)2=

*：AF1CD,

ACF=DF=)D,

：.CD=2CF=

18.如图所示，。、E分别是脑、和的中点，DE交48于M、交AC于N.求证：AM=AN.

【答案】见解析

【分析】连结。O，E。，根据垂径定理的推论可得。。1AB,OE14C,再由。。=。£得至IJ乙E。。=乙DEO,

根据等角的余角相等得到=乙ENC,即可证明结论.

【详解】证明：连结DO,EO,

•.•是脑的中点，E是府的中点，

:.OD1AB,OE1AC,

又：OD=OE,

乙EDO=乙DEO,

•••乙DMB