第7章 平面图形的认识（二）（7类压轴题专练）-苏科版七年级数学下册复习

第7章平面图形的认识（二）（7类压轴题专练）

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CDf若4=40。，ZC=26°,则NE=.

【变式训练】

1.如图，AB//EF,WlJZJ,ZC,NE满足的数量关系是

E

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C利用平行线的性质，探究NA、NF、NC满

足的数量关系.

图形/B、/F、NC满足的数量关系

图⑴

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

图(6)

⑴将探究NC、NE之间的数量关系填写下表;

(2)请选择其中•个图形进行说明理由.

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，4B〃CD、BEFD是AB、之间的一条折线，则N1+N2+N3+N4=

【变式训练】

1.如图，直线卜//卜,若Nl=40。，Z2比N3大10°,则N4=

2.(1)如图①，如果48〃CD,求证：ZJPC=ZJ+ZC.

(2)如图②，AB//CDt根据上面的推理方法，直接写出4+〃+/。+/。=.

(3)如图③，AB〃CD,若乙!BP=x,NBPQ=y,4PQC=z,ZQCD=m,则〃?=(用

x、y>z表示).

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线4B〃CD,则N2+N3+N4-N1-N5的度数为

B

【变式训练】

1.如图：

⑴如图1,4〃，2，若NP=65。，计算并直接写出4+N8的大小.

(2)如图2,在图1的基础上，将直线依变成折线PQ8,证明：/4+/8+/。=/夕+180

⑶如图3,在图2的基础上，继续将且线变成折现况版.请你写出一条关于N1、

N2,N3,N4,N5的数量关系(无需证明直接写出)

2.猜想说理:

(1)如图，AB//CD//EFf分别就图1、图2、图3写出/力，NC,NXFC的关系，并任选

其中一个图形说明理由:

图5

(2)如图4,若AB"CD.贝［N/1+NC+N力尸C=__________度:

(3)在图5中，若48〃4。，请你用含〃的代数式表示4+/2+/3+/4+...+N〃的度数.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，线段48,8C被直线力。所截，。是线段力。

上的点，过点。作。七〃48,连接4£,NB=NE.将线段4E沿着直线4C平移得到线段

连接DQ.

⑴求证：AE"BC•,

⑵若NE=75。，DELDQ,求/。的度数.

【变式训练】

1.(2023下•陕西咸阳•八年级统考期中)如图，将A8C沿4C的方向平移得到S斯.

⑴若4=74。，求NZ犯尸的度数;

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求“BC平移的距离.

2.(2023下•江西南昌•七年级统考期末)将三角形48C沿射线4”方向平移到三角形。跖的

备用图

⑴如图1,当点。与点8重合时.

判断：NBFENCBF、（用“>"、"="、"V”填空）

(2)如图2,当点。与点3不重合时，连接"，b.试探究2CBF,NBFD三个角之

间的数量关系，并证明你的结论.

3.(2023下•河北邢台•七年级校考期末)如图1,AB,8c被直线NC所截,4=72。，过点/

作花〃8C,。是线段4C上的点，过点D作DE〃4B交HE于点E.

(1)求，上的度数；

⑵将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接.

①如图2,当/"。=45。时，求/。的度数；

②如图3,当/即。=90。时，求/。的度数；

③在整个平移过程中，是否存在=3/。？若存在，・直•接写出此时®2的度数，若不存

在，请说明理由.

4.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段钻平移得到CO,使A与。对应，B与

C对应，连接力。，BC.

（1）求证：NB=4DC；

⑵点G在8。的延长线上，点。与U关于直线。。对称，直线QC交4。的延长线于点/？.点/

在线段CE上，且NDFE=/EDF.

①设NB=a,求ZTOG的度数（用含。的代数式表示）；

②证明：住啜•

【题型五三角形中与角平分线有关的综合问题】

例题：（2023上•山东临沂♦八年级校考期中）如图，己知：点?是A8C内一点，BP，CP分别

平分N45C,ZACB.

图②

⑴如图①若4=70。，求4PC的度数；

⑵如图①求证：/BPC大于/A；

(3)如图②，作“8c外角/MHC,NNC8的平分线，相交于点。.试探索/4。。与/力之间的数

量关系，并说明理由.

【变式训练】

1.(2023上•天津津南•八年级校联考期中)在“8c中，

⑴如卜图所不，如果4=60。，。和N4C8的平分线用交于点P,那么N4PC=

⑵如下图所示，。和乙纥。的平分线相交于点尸，试说明N8PC=；4；

(3)如下图所示，42。和4CE的平分线相交于点2猜想N8PC与的关系，直接写出答

案，不用证明.

2.(2023上山东日照八年级校考阶段练习)如图①，在少14C中，N/AC与-46的平分线

相交于点P.

(1)如果4=80。,求N6PC的度数;

(2)如图①，猜想/力和N8PC的关系，并证明；

⑶如图②，作乙48。外角NMHC,4VC8的角平分线交于点°,试探索N。、/力之间的数量关

系.

(4)如图③，延长线段8P、QC交于点E,△夕。七中，存在一个内向等于另一个内角的2倍，求

/力的度数.

3.(2023上•陕西西安•八年级高新一中校考阶段练习)【初步认识】

(1)如图①，在中，BP平分/4BC,C0平分/ZC8.若乙4=8()。，贝lJ/P=；如

图②，8W平分CM平分外角则//与的数量关系是;

【继续探索】

(2)如图③，BN平分外角NEBC,CN平分外角NFC3.请探索/力与NN之间的数量关系；

【拓展应用】

(3)如图④，点。是“8C两内角平分线的交点，点N是“8C两外角平分线的交点，延长

BP、NC交于点、M.在小MN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求/力的度数.

【题型六三角形中与折叠的综合问题】

例题：(2023上•福建厦门•八年级校联考期中)如图，》出。是一个三角形的纸片，点Q,E

分别是A/AC边/〃，/。上的两点.

⑴如图(1),如果沿直线力E折叠，且DESC,则与/力的关系是

⑵如图(2),如果沿直线。E折叠后力落在四边形内部，探究N8ZW,NCE力和/力的

关系，并说明理由.

(3)如果折成图(3)的形状，探究NCEH和的关系，并说明理由.

【变式训练】

1.(2023上•山东日照•八年级校考阶段练习)探究:

⑵把图①A4C沿。E折叠，得到图②，填空：Z1+Z2ZB+ZC（填

（3）如图③，是由图①的"8C沿QE折叠得到的，如果4=30。，则工+尸.

猜想NBD4NCE4乙4三个角存在的等量关系为.

2.（2023上•甘肃平凉•八年级校联考期中）问题1如图①，一张三角形纸片”。，点。、E分

别是少出。边上两点.

研究（1）：如果沿直线。石折叠，使A点落在CE上的H点，则N80H与/力的数量关系是

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N8ZW、NCE/T和数量关系是________；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想乙九W、NCEH和a4数量关系，并说明理由;

A

22B

猜想：________；

理由:

研究（4）：将问题1推广，如图④所示，将四边形力山。沿）折叠，使点45落在四边形EFCQ

的内部，/1+/2与乙1+N8之间的数量关系是.

【题型七与三角形有关的新定义型综合问题】

例题：（2023上•河南新乡•八年级校考阶段练习）定义：如果一个三角形的两个内角a与夕满足

20+a=90。，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

4

CDB

⑴若“BC是”准互余三角形"，ZC>90°,4=60。，则"的度数是；

⑵若△45C是直角三角形，ZJC5=90°.

①如图，若：4。是/鹿（C的平分线，请判断18。是否为，•准互余三角形”？并说明理由.

②点E是边8c上一点，”死是"准互余三角形"，若4"=24。，贝IJ/E4C的度数是

【变式训练】

1.（2023上•江西南昌•八年级校考阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3

倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如120。,40。,20。的三角形是“智慧三角形”.如图，

NMCW=60。，在射线。河上找一点/,过点A作力4"LOM交ON于点4,以A为端点作射线4）,

交射线03于点C.

⑴48。的度数为。，"OB（填“是"或‘穴是"）智慧三角形;

⑵若NO4C=20。，求证：”0C为“智慧三角形”；

（3）当A/16C为“智慧三角形、'时，求NWC的度数.

2.（2023上福建龙岩八年级校考期中）新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度

数的〃倍（〃为大于1的正整数），则称为“〃倍角三角形”.例如，在“8C中，若

N4=90。，ZB=60°,则NC=30。，因为//最大，/C最小，且ZJ=3/C,所以“8c为“3倍

角三角形

⑴在底尸中，若NE=40。，ZF=60°,则△£）£：少为“倍角三角形

⑵如图，在△/4c中，ZC=36°,NBAC、48C的角平分线相交于点。，若△/为“3倍角三角

形”，请求出的度数.

3.（2023上♦福建莆田•八年级校考期中）我们定义；

在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为

“和谐三角形如：三个内角分别为105。，40°,35。的三角形是“和谐三角形”

概念理解：

如图1,NMON=60。，在射线。必上找一点4,过点力作ABLOM交ON于点B,以/为端点作

射线力力，交线段于点C：点C不与O,3重合）

⑴乙18。的度数为,“OB（填“是”或“不是”）“和谐三角形”;

⑵若4C8=80。，求证："OC是"和谐三角形”.

⑶应用拓展；

在图2中画出：点。在小8C的边//上，连接。C,作//。。的平分线交力C于点E,在。。

上取点尸，使“EC+/8OC=I8D。，NDEF=NB,若△灰刀是“和谐三角形”，求的度数.

第7章平面图形的认识（二）（7类压轴题专练）

【题型一平行线中含一个拐点问题】

例题：如图，AB//CDf若4=40。，ZC=26°,则NE=

【答案】66。##66度

【详解】解：如图所示，过点E作£尸〃/18,

VEF//AB,AB//CD,

AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,NCEF=/C=26。,

：.ZAEC=Z.AEF+NCEF=66°,

故答案为：66。.

【变式训练】

1.如图，AB//EF,则N4ZC,NE满足的数量关系是

二EF

【答案】4+4+/£=360。

【详解】如下图所示，过点。作C。"/加，

•:CD//AB,

・,・4+/力。力=180。（两直线平行，同旁内角互补），

VAB//EF,CD//AB,

CD//EF,

AZ£+ZZ）C£=180°（两直线平行，同旁内角互补），

N4+NACD+ZE+/DCE=360°,

44+4CE+NE=360°.

・••在原图中N/I-NCI-，E=36。。,

故答案为：4+NC+NE=36C。.

—B

7)

2.已知：AB//EF,在平面内任意选取一点C利用平行线的性质，探究N3、NF、NC满

足的数量关系.

图形/B、/尸、/C满足的数量关系

图（1）

图(2)

图(3)

图(4)

图(5)

图(6)

⑴将探究NB、NC、乙F之间的数量关系填写下表:

⑵请选择其中一个图形进行说明理由.

【详解】（1）

解：/B、ZC>N/之间的数量关系如下表：

图形NB、NF、NC满足的数量关系

图(1)Z5+ZF=ZC

图(2)/F-/B=/C

图(3)/B・/F=NC

图(4)N3+NP+/C=360。

图(5)/B-/F=/C

图(6)/F-/B=/C

(2)

解：图(1)NC与NB、NQ之间的数量关系是：N8+NQNC.

图(1)

理由：过点。作CG〃力以

:・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

：.CG//EF,

:"GCF=/F,

：./BCG+/GCF=/B+/F,

:"B+/F=4BCF；

图(2)NC与NB、//之间的数量关系是：/F・/B=/C.

图(2)

理由：过点。作CG〃44,

:・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

:.CG〃EF,

:"GCF=/F,

・・・/GCF・/BCG=/F・/B,

:・/F-NB=/BCF；

图(3)NC与NB、N/之诃的数量关系是:4B-/F=/C.

理由：过点。作CG〃/8,

：・/BCG=/B,

■:AB〃EF,

:,CG〃EF,

:・/GCF=/F,

：.ZBCG-ZGCF=4B-4F,

:"B-/F=/BCF：

图(4)/C与NB、Nb之间的数量关系是:N8+N/?+NC=3600.

理由：过点。作。7〃4以

・・・N8CG+N3=180。，

■:AB//EF,

：.CG//EF,

.*.ZGCF+ZF=180o,

・・・/BCG+/B+ZGCF+ZF=180°+180°,

・•・/B+/F+/BCF=360。；

图(5)/C与NB、N厂之间的数量关系是:/B-/F=/C.

--G

B,

图(5)

理由：过点。作CG〃力以

：,/BCG=/B,

■:ABHEF,

：.CG//EF,

:・/GCF=/F,

：./BCG-ZGCF=/B-/F,

：・/B-/F=/BCF；

图(6)/C与/B、N/之间的数量关系是：ZF-ZB=ZC.

理由：过点。作CG〃力8,

:・/BCG=/B,

YAB//EF,

:・CG〃EF,

："GCF=4F,

工NGCF-NBCG=^F・RB，

・•・/F・/B=/BCF；

【题型二平行线中含两个拐点问题】

例题：如图所示，AB〃CD、BEFD是AB、C。之间的一条折线，则Nl+N2+N3+/4=

【答案】540。

【详解】解：连接80,如图,

":AB〃CD,

・・・N/5D+NCO8=180。，

•••N2+N3+NE8D+N必0=360。，

AZ24-Z3+NEBD+/FDB+ZABD+ZCDB=540°,

即Nl+/2+N3+N4=540°.

故答案为：540°.

【变式训练】

1.如图,直线l\〃h,若Nl=40。,Z2比N3大10°,则N4=

【答案】30。##30度

【详解】解：过4点作45〃直线/I,过。点作C。〃直线/2,

/.Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

•.•直线八〃/2,

：.AB//CD,

/.Z6=Z7,

。…嚓c；

VZ2比N3大10°,

.*.Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

/.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.•.40°-Z4=10°,

解得N4=300.

故答案为：30。.

2.（1）如图①，如果48〃CD,求证：/APC=.ZJ+ZC.

（2）如图②，AB〃CD,根据上面的推理方法,直接写出4+NP+NQ+/C=__________.

（3）如图③，AB//CD,若NABP=x,NBPQ=y,/产℃=z,NQCD=m,则〃I=__________（用

x、y、z表示）.

\----------BA----------BA---------十

----------D\DCL--------i

图①--------图②----------图③

【详解】（1）证明：过。作PM〃48,如图，

------------B

M…》

C2------------D

：.ZJ=,

•:PM〃AB、AB//CD（已知），

PM〃CD,

ZC=NCPM,

*.*NAPC=ZAPM+4CPM,

...ZL4PC=ZJ+ZC；

（2）如图，过点。作庄•〃48,过点。作。尸〃相，

AB//DC,PE//AB,QF/iAl5,

/.AB//PE//QF//CD,

・・・4+N4PE=180。，NEP。+/P»=180。,ZFQC+ZQCD=180°f

：.ZJ+NAP。+APQC+ZC=540°,

(3)过点P作PE〃4B,过点。作。尸〃48,

VAB//DCfPE//AB.QF/iAB,

.・.AB//PE//QF//CD,

：./B=/BPE,/QPE=/PQF,4FQC=/C,

.../B+NPQC=ZC+/BPQ,

即x+z=+y,

：.ni=x+z-y,

故答案为：x+z-y.

A---------7B

C，--------D

【题型三平行线中含多个拐点问题】

例题：如图，直线48〃CQ,贝IJN2+N3+N4—N1—N5的度数为1

【答案】360

【详解】过E作E/〃CD,过G作G"〃CQ,过M作MN〃CD,如图所示:

YCD〃AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

；・/l=NBEF,/GEF+/EGH=180。,N〃GM+NGA/N=180。，/NMC=/5,

•：N2=NBEF+/GEF,/3=/EGH+/HGM,/4=/GMN+/NMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=NBEF+NGEF+4EGH+ZHGM+乙GMN+4NMC-NBEF-4NMC

=Z.GEF+4EGH+NHGM+NGMN=360°.

故答案为：360.

【变式训练】

1.如图:

⑴如图1,l\〃L若NP=65。,计算并直接写出4+/8的大小.

⑵如图2,在图1的基础上，将直线f8变成折线久?8,证明：++/尸+180

（3）如图3,在图2的基础上，继续将且线5。变成折现8M0.请你写出一条关于/1、

N2,23,Z4,N5的数量关系（无需证明直接写出）

【详解】（1）

解：过尸作PE〃/1

：.PE//ll//l\

・・・NZ=/1,/8=/2

・・・N/P8=N1+N2=N4+N8=65。

BPZ/1+ZW50；

(2)

证明：过点P、。分别作“和/2的平行线分别记为/3和/4

*.71/7/2

：.H//12//I3//I4

V/l/7/3（已知）

・•・//=/1（两直线平行，内错角相等）

•：13〃14（已知）

・・・N2=N3（两直线平行，内错角相等）

VZ2/7Z4（己知）

・・・/4+/8=180。（两直线平行,同旁内角互补）

・・・N4+N3+N4+N8=N1+N2+180。

又・.・N1+N2=NP,N3+N4=N。

・・・N/+N8+N0=NPH8O。.

（3）

解：如图，分别过尸，0,用作产。〃/1,QD//IA,ME//IX,

图3

・"〃心

PC//QD//ME//lJ/l2

：.Zl=ZAPC,/QPC=/PQD,/DQM=/EMQ,/EMB=/5,

；・N2=N1+NPQD,Z4=Z5+ZDQM,

.•・N2+N4=N1+N〃W>+N5+NO0M=N1+N3+N5,

.\Z11Z3+Z5=Z2»Z4.

2.猜想说理：

（1）如图，AB〃CD〃EF,分别就图1、图2、图3写出/力，ZC,/力尸。的关系，并任选

其中一个图形说明理由：

拓展应用:

(2)如图4,若AB//CD,贝j4+/C+4"=度;

（3）在图5中，若48〃“），请你用含〃的代数式表示4+N2+N3+/4+…+4的度数.

【详解】解：(1)如图1:ZJ+ZC=ZJFC,

如图2:NA-NC=4FC,

如图3:NC-NA=N4FC,

如图1说明理由如下：

VAB//CD//EF,

：.NA=/AFE,ZC=NEFC,

ZL4+ZC=ZAFE+AEFC,

BPZJ+ZC=ZJFC；

(2)如下图：

过厂作切〃力8,

ZJ+ZJF//=180°,

又•：AB〃CD,

：.CD//FHt

：.NC+NC777=180。,

4+N4E〃+NC+NCF〃=360。,

即N/+NC+N/产。一360。；

故答案为：360；

(3)如下图：AB〃CD,

过后作EG〃48,过户作;7/〃力8,

VAB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

・・・N4+N/1EG=180。，NGEF+/EFH=180。,ZHFC+ZC=180°,

N4+N/lEG+NG£7r+NE/7/+N〃rci+NC=180°x3,

即N/+N/£F+N£7%:+NC=540。；

综上所述：

由当平行线48与CD间没有点的时候，Z4+ZC=180°,

当4、C之间加一个折点/时，4+NUC+NC=2xl80。；

当力、C之间加二个折点E、/时，则乙1+4£尸+/£产C+NC=3xl80。；

以此类推，如图5,Afi//Aft,

当4、4之间加三个折点4、4、4时，

则幺+ZJ2+乙4壮乙幻~乙方4X180C；

当4、4之间加〃个折点4、4、…4』时，

则/4+N4+N4+…//=5-1)x180),

即Z1+N2+N3+N4+…+/〃的度数是()x18()。.

【题型四平行线中与平移的综合问题】

例题：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，线段48,8C被直线4c所截，。是线段4c

上的点，过点。作。E〃川?，连接力E,NB=NE.将线段/E*沿着直线4c平移得到线段尸0,

连接DQ.

E

ri

Q

BC\

⑴求证：AE//BC-

⑵若/E=75。，DE工DO,求/。的度数.

【答案】⑴见解析

(2)/。=15。

【详解】解：(1)证明：TOE〃48,「.NB仿+NE=180。.

,:乙B=4E,；.NB4E+NB=180°,/.AE//BC.

(2)如图，过点。作。尸〃NE交48于点R则DE+DM尸=180。.

VZf=75°,/.Z£：DF=180°-ZE=105°.

由平移的性质，得尸。〃力E,

DF//PQ,Z.FDP=^DPQ,

•;DE上DQ,:.ZEDQ=90°,

:.乙FDQ=360°-105°-90°=165c.

•••/FDQ=4FDP+ZQDP,

:"DPQ+NQDP=AFDQ=165°,

/./（?=180o-165°=15°.

【变式训练】

1.（2023下•陕西咸阳•八年级统考期中）如图，将“8c沿8C的方向平移得到

⑴若4=74。，求ND"*的度数；

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求毛5c平移的距离.

【答案】（1）74。

（2）lew

【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；

（2）根据=求出8E的长，即为平移的距离

【详解】（1）解：将“8C沿8c的方向平移得到

:.NDEF=NB=74°；

（2）解：•:BC=3uii,EC=2u;n,

:.BE=BC-EC=lcm,即：/BC平移的距离为lc〃7.

【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键.

2.（2023下•江西南昌•七年级统考期末）将三角形/8C沿射线4"方向平移到三隹形。跖的

⑴如图1,当点。与点8重合时.

判断：NBFEZCBF；（用“>"、"="、“V”填空）

（2）如图2,当点。与点4不重合时，连接8尸，CF.试探究2CBF,NBFD三个角之

间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】⑴二

（2）NACB=ZCBF+NBFD或NACB=Z.CBF-NBFD,见解析

【分析】（1）根据平移的性质得出结论；

（2）根据点。的位置可分为点。在点6左边和点。在点8右边两种情形，利用平行线的性质

得出结果.

【详解】（1）解：=,理由如下：

•.•三角形。Eb是由三角形平移得到，

BC//EF,

：.NBFE=NCBF；

（2）解：根据点。的位置可分为两种情形，

①若点。在点8左边，如图.

由平移的性质可得：AC//DF,BC//EF,4cB=NDFE,

*/BC//EFt

：.NBFE=/CBF,

：.ZACB=ACBF+/BFD.

由平移的性质可得：AC//DFtBC//EF,ZACB=ZDFE,

*/BC//EFf

：./BFE=NCBF,

：.ZACB=ACBF-ZBFD.

【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.

3.(2023下•河北邢台•七年级校考期末)如图1,AB,8。被直线4C所截，4=72。，过点/

作/E〃叱，。是线段4c上的点，过点D作DE〃/8交4E于点、E.

⑴求NE的度数；

(2)将线段AE沿线段4C方向平移得到线段PQ,连接DQ.

①如图2,当“。。=45。时,求/。的度数；

②如图3,当皿。=90。时,求/。的度数；

③在整个平移过程中，是否存在NE。。=3/。？若存在，直谈写出此时皿?的度数，若不存

在，请说明理由.

【答窠】⑴"=72。

(2X5/0=27。；②/。=18。；③存在，/石。。=54。或/E。。=108。

【分析】(1)利用平行线的性质得N&IKIN〃=180。，Z£iZ^£=180°,根据同角的补角相等

可得答案；

(2)①如图1中，过点。作。/〃/八则/EO尸=NE=72。，再证明。歹〃夕。，根据平行线的

性质可得答案；

②如图3中，过点。作。「〃."，MlJ^EDF=Z£=72°,再证明力尸〃也，根据平行线的性质可

得答案即可求解；

③分两种情形：图2,图3分别求解即可.

【详解】(1)VAE//BC,

：.ZA4£+N5=180°.

•：DE〃AB,

：./£+/8/£=180。，

N£=N8=72。；

(2)①如图2,过点、D作DF〃AE,

：.4EDF=^E=T^,

...ZFDQ=4EDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

,:PQ〃AE,DF//AE,

・・.DF//PQ,

：.Z.Q=Z.FDQ=27°.

②如图3,过点D作DF//4E,

Z£DF=Z£=72°,

.・.ZFDQ=ZEDQ-ZEDF=90°-72°=18°.

PQ//AEt

：.DF//PQ,

.・./2=/P。。=18。；

③存在，/a。=54。或/切。=108。.

如图2,当/£。。=3/0时，

由①知，3/。+/。=72。，4=18。，

.・・皿0=54。；

如图3,当/£。。=3/。时，

由②知，3/。=/。+72。，/0=36。，

/.ZED(?=108°

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题.

4.（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，将线段月6平移得到C。，使A与。对应，。与

C对应，连接力。，BC.

（1）求证：NB=NADC；

⑵点G在6c的延长线上，点。与C关于直线OG对称，直线OU交的延长线于点E.点/

在线段CE上，且/DFE=/EDF.

①设4=求N9G的度数（用含。的代数式表示）；

②证明：岩=若.

GEDE

【答案】（1）证明见解析

（2）①/户OG=；a；②证明见解析

【分析】（1）根据平移的性质可知力O〃BC,AB//CD,再利用平行线的性质可知4。。=/8；

（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知4OC=2/FQG,进而可知/尸OG=；a；②根据

对称的性质可知ACOG的面积与△QGU的面积相等，再利用等面积法可知要=等.

GEDE

【详解】（1）证明：将线段相平移得到C。，使A与。对应，8与C对应，

・•・由平移性质知力。〃3。，AB//CD,

：.ZADC=NDCF,N8=ZDCF,

4。。=4；

（2）①解：・・•由（1）知

NADF=NDFE,

•//DFE=/EDF,

ADF=AEDF,

,：4EDF=4FDG+4EDG,ZADF="DC+NCDF,

：.ZADC+/CDF=/FDG+AEDG,

由对称性质知，NCDG=NEDG,

：.ZEDG=NCDF+ZFDG,

/./ADC+NCDF=ZFDG+NCDF+ZFDG,

zLADC=2zLFDG,

•.*NB=a,ZADC=2B=a,

：.ZFDG=-a-

2

AD

②证明：过G作于M,GN1.DE于N,并连接GC',

・•・由对称性质知，ACOG的面积与△3GU的面积相等，CD二Cb,

•：SM0G=；CDGM，S：=g'D-GN，

：.GM=GN,

s-CD，GM

•.△<7)G_2_I”

,△EDG-DEGNDE

2

过D点作DH1CE于点H,

s-CGDHrr

m||2ACDG.=2-------,

S&EDGLGEDHGE

2

.CGCD

9,~GE~~DE"

【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称

的性质是解题的关键.

【题型五三角形中与角平分线有关的综合问题】

例题：(2023上•山东临沂•八年级校考期中)如图，己知：点?是小8。内一点，BP,CP分别

平分/ABC,ZACB,

图②

⑴如图①若4=70。，求/外。的度数；

⑵如图①求证：/BPC大于/A；

(3)如图②，作“8c外角/MBC,NNC8的平分线,相交于点。.试探索。与之间的数

量关系，并说明理由.

【答案】(1)125。

⑵见解析

(3)次一0。一；4,理由见解析

【分析】(1)根据三角形的内角定理得出N"C+4C8=110。，再根据角平分线的定义，即可

求解;

(2)延长8P交彳。于。，如图所示，根据三角形的外角定理可得/8PC>/1,Zl>Z/1,即可

求证;

(3)根据角平分线的定义可得/。8。+/。圆=90。+:力，再根据三角形的内角和，即可解答.

【详解】(1)解：・・・4=70。.

ZABC+ZACB=110°f

•・•点〃是N4蛇与NZC8的平分线的交点,

/.N6-C=180°—g(//16C+N力C*)=180°—gx110°=125°；

(2)解：延长8P交力C于。，如图所示：

,：NBPC是△CO夕的一个外角,Z1是AABD的一个外角,

:・NBPC>/\,Zl>ZJ,

ZBPC>ZA；

(3)解：/80C=9OO-g//,理由如下：

・・•外角4MBe,ZNCB的角平分线交于点0,

/QBC+/QCB=；(Z.W5C+NNC@

=:(36O0-N/18C-N4C8)

=:(180。+//)

=90°+-ZJ,

2

.・.Z.Q=180。-卜0。+1//)=90。-g4；

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定义，三角形的外角定理，角平分线，解题的关键

是掌握三角形的内角和为180。，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

【变式训练】

I.(2023上•天津津南•八年级校联考期中)在A8C中，

⑴如下图所示，如果4=60。，。和//C8的平分线用交于点P,那么N8PC=；

⑵如下图所示，/48C和N/CO的平分线相交于点P,式说明/8PC=；N4：

BCD

⑶如下图所示，NC8力和的平分线相交于点P,猜想““产。与-4的关系，直接写出答

案，不用证明.

【答案】⑴120。

(2)证明见解析

(3)/4尸。=90。一；/月

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义，

(1)根据角平分线的定义可得〃4CB《4CB,根据三角形内角和定理有

ZABC+ACB=180°-Z/1=120°,问题随之得解；

(2)根据角平分线的定义可得/心。=：44。，/PCD=；NACD,根据三角形外角的定义与

性质有：N4CD=N4+NABC,NPCD=NBPC+/PBC,问题随之得解；

(3)结合三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义，按照(1)、(2)

方法即可作答.

【详解】(1)••・】是48C的角平分线,

ZPBC=＞乙ABC.

2

又•“才是N/C8的平分线，

APCB=-ZACB,

2

•/ZJ+Z/15C+JC5=180°,NZ=60°,

/ABC+4C8=180。-4=120°,

:"PBC+ZPCB=1(Z.ABC+4C8)=60°；

:"BPC=180°-(NPBC+/PC8)=120。；

(2)尸是/48C的角平分线，

ZPBC=、4ABC.

2

又•••b是//。的平分线，

ZPCD=-^ACD

2t

^ACD=ZA+AABC,NPCD=/BPC+NPBC,

/.4BPC=NPCD-4PBC=^(ZJCD-ZABC)=1zj；

(3)〈BP是/D?c的角平分线，

...4PBC=L/DBC.

2

又:CP是ZLECB的平分线，

:.4PCB='/ECB,

2

•.•2DBC=/4+4CB,NECB=Z.A+NABC,

.../PBC+/PCB=；(/DBC+/ECB)=；(』力+4CB+ZJ+/ABC),

:"PBC+4PCB=；(NACB+ZABC)+N/i,

vZJ+ZJ5C+JCJ?=180°,

:"PBC+/PCB=；(NAC6+Z/1BC)+ZJ=1(180°-ZJ)+ZJ=90°+-Z/l,

•.•乙BPC+4PBC+4PCB=180°,

/BPC=1800-(APBC+ZPC^=180°90。J=90°—Z/.

2)2

2.(2023上•山东日照•八年级校考阶段练习)如图①，在"8C中，N49C与N4CB的平分线

相交于点尸.

(1)如果4=80。,求N8PC的度数;

(2)如图①，猜想/”和N8PC的关系，并证明；

(3)如图②，作外角/MHC,NNC8的角平分线交于点。，试探索N。、N/1之间的数量关

系.

(4)如图③，延长线段8P、QC交于点E,△8。£中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求

/力的度数.

【答案】(1)130。；

⑵N4PC=9(T+g4,理由见详解；

(3)/0+4=90。；

(4)60。或90。或120。；

【分析】(1)根据4=80。得到48C+4c8,结合角平分线得到/尸8C+/PC8,即可得到答案;

(2)根据角平分线及三角形内角和定理得到ZABC+ZACB、NPBC+ZPCB与/力的关系即可的

得到答案；

(3)根据三角形内角和定理得到48C+4C8与/力的关系，再根据三角形内外角角平分线、

邻补角及三角形内角和得到48C+乙4C4与N。的关系即可得到答案；

(4)根据角平分线得到NPC。=90。，/QBE=90°,得至)NE=4PC-9(F,结合(2)(3)结论

分类讨论2倍角结合三角形内角和关系列式求解即可得到答案；

【详解】⑴解：•••4=80°,

ZABC+ZACB=\80°-80°=100°,

与/4C8的平分线相交于点P,

NPBC+/PCB=-(ZABC+ZACB)=50°,

2

...Z.BPC=180°-(NPQC+NPCB)=130°；

(2)解：ZBPC=90°,理由如下，

ZJ2?C+ZJC2?=18O°-ZJ,/48C与/4C8的平分线相交于点尸，

4PBe+ZPCB=；(N4BC+ZACB)=90°-1z^,

/BPC=180°-(ZP5C+4PCB[=90°+-ZJ,

2

/.Z5PC=90°+1zj；

(3)解：・・•”8c外角/W8C,的角平分线交于点°,

:・/MBC+/NCB=2Z4+//18C+N/C8=180P+Z/1,

4QBC+乙QCB=g(NMBC+2NCB)=90°+1zj,

•.*Z0=180°-(Zg^C+NQC8)=90°-；4,

.../=90。；

(4)解：♦:CP,。。分别是ZNCB,的角平分线，BP,4。分别是248C,4MBC,

的角平分线，

/.ZPCQ=90。，/QBE=90°,

ZPC£=90°,

NE=NBPC-卵,

由(2)(3)得，

Zb=^ZJ,NQ=900-g/4，

•••△80E中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，/。8E=90。，

.・・①当4=2/0时，

i/J=2x(90°--ZJ),

22

解得：4=120。，

②当N0=2"时，

2x-!-ZJ=90o--Z/l,

22

解得：ZJ=60°,

③当NQ8E=2NE时，

2x,4=90。，

2

解得：4=9()。，

综上所述乙4的度数为：60。或90。或120。；

【点睛】本题考查三角形内角和180。，角平分线的相关计算，解题的关键是根据内外角角平

分线关系得到90。角.

3.(2023上•陕西西安・八年级高新一中校考阶段练习)【初步认识】

(1)如图①，在。中，BP平分N/BC,CP平分/4C8.若乙4=80。，则〃=；如

图②，8M平分/川?C,CM平分外角/力。，则与的数量关系是;

【继续探索】

(2)如图③，BN平分外角NEBC,CN平分外角/产C8.请探索/力与/N之间的数量关系；

【拓展应用】

(3)如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是d48C两外角平分线的交点，延长

BP、NC交于点、M.在ABMN中,存在一个内角等于另一个内角的2倍，求//的度数.

①②③④

【答案】(1)130°,ZJ=2ZA/；(2)Z,V=9O°-1ZJ；(3)60。或90°或120°

【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质.明确角度之间的数

量关系是解题的关键.

(1)如图①，由角平分线可得==ZACP=ZBCP=^ZACBf由三角形内

角和可求48C+N4c8=180。一/4,根据NP=180。一(/(78。+/8。。)=180。-3。48。+/彳。8),计

算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得2NOCW=//+2/C5W=2(/M+NC8M),整理即

可；

(2)由角平分线可得/CBN=NEBN=；NCBE，NBCN=NFCN=，BCF,由

/ABC+4C'8=180。-ZJ,可得NCBE+NBCF=180。+,则根据NN=180。-1/CBN+/BCN),

计算求解即可；

(3)由题意知，NNBM=NCBN+NCBP=；NCBE+，BC=98,Z/V=90°-1zJ,ZJ=2Z^,

乙乙乙

当在"MV中，存在一个内隹等于另一个内角的2倍，分①NM5A/=2NM,②NN8W=2/N,

③乙W=2/N,④〃V=24W,四种情况求解即可.

【详解】(1)解：如图①，•：8P平分N/BC,CP平分乙化8,

.・.ZABP=ZCBP=-ZABC,ZACP=ZBCP=-ZACB,

22

•/Z.ABC+AACB=\W-^A=\C(F,

/.ZP=180o-(/C/?P+//?CP)=l80°-^(/ARC+/ACR)=130°；

如图②，:刚/平分/"C,CM平分外角/力CO,

...NCBM=/ABM=-ZABC,NDCM=ZACM=^ACD,

22

,/ZACD=ZA+AABC,ZDGW=Z.W+NCBM,

...2ZDCM=Z/1+2NCBM=2(ZM+NCBM),

整理得.4=2NM.

故答案为；130。；4=2NM.

(2)解：・・・8N平分外角NEBC,CN平分夕卜角NFCB,

/CBN=4EBN=-ACBE，NBCN=4FCN=」BCF,

22

ZABC+4cB=180°-ZJ,

NCBE+/BCF=180。一//8C+180°-24C8=360°—(N/8C+//C8)=180。+4,

/.ZAf=180°-(ZCBN+ABCN)=180°-^CB