第22章 图形的相似（暑假单元自测）解析版-九年级数学（华东师大版）

第22章图形的相似单元自测卷

【新教材，华东师大版】

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

考前须知：

1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。

2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。

第I卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.（3分）如图,四边形4BCD-四边形EFGH.若4B=5,EF=3,则它们的面积之比为（）

C.25:9D.无法确定

【答案】C

【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比,

再计算面积比即可.

【详解】解：•.•四边形/1BCD〜四边形EFGH,且48=5,FF=3,

・•.它们的相似比为各=3

Er3

2

・•.它们的面积之比为（I）=个，

即25:9.

2.（3分）在比例尺是1:2000000的地图上，力，B两地间的距离为4cm,则48两地间的实际距离是（）

A.8kmB.5kmC.80kmD.0.5km

【答案】C

【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺=图.上距离:实际距离.先根据

比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果.

【详解】解：设人B两地的实际距离为%cm,

•・•已知比例尺为1:2000000,图上距离为4cm,

14

=一,

2000000X

解得％=4x2000000=8000000；

1/22

8000000cm=80km,

故选：C.

3.（3分）如图，△ABC中，44=65。，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形

与原三角形不相似的是（）

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（65。的两个角是对应角，乙B是公共角），故

两三角形相似，故本选项不符合题意；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（65。的两个角是对应角，乙8是公共角），故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；

D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为土夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符

合题意.

4.（3分）《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号.如图，用

放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（）

【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义.

根据相似变换进行求解即可.

【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换，

故选：C.

5.（3分）如图，△ABC和△48C是以点。为位似中心的位似图形，点4在线段04上.若。444,=1:2,

则A/BC和△A夕C'的面积之比为（）

2/22

A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9

【答案】D

【分析】首先得到。AOA=1:3,然后得到△HOC〜△AOL,然后利用相似三角形的性质求解.

【详解】解：••,04:44=1:2,

・•・OA:OAr=1:3,

•・•△48。和4A'B£'是以点。为位似中心的位似图形，

•••ACIIA'C',△4BC〜△4®。，

CA-.CA'=0A\0A!=1:3,

2：2

:,SAABCIS^NB'C'=13=1:9.

6.(3分)如图，以点C(—1,0)为位似中心，作△ABC的位似图形△4夕C,若点B的横坐标是一3,点4的

对应点*的横坐标是3,则△ABC与△4B，C的周长之比为()

【答案】A

【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果.

【详解】解：•.•点C(-1,0)为位似中心，点B的横坐标是一3,点B的对应点B'的横坐标是3,

・・•点8到位似中心点C的水平距离为|-3-(-1)|=2,点8'到位似中心点C的水平距离为|3-(-1)|=4,

•••△A8C与△AB'C的位似比为2:4=1:2,

ABC^^A'8'C的周长之比为1:2.

7.(3分)从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁''如同一串珍珠项链将老贵阳城

环绕.若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为(-1,2),贝广文

昌阁”的坐标可以表示为()

3/22

%

文官阁

"边口•、一上

______________K厂门、

~O\x

A.(-5,1)B.(-1,6)C.(-3,2)D.(-3,6)

【答案】D

【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为(-1,2),进一步求解即

可.

【详解】解：•产文昌阁”在第二象限,且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为(-1,2),

.•，文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大，

••.A,B,C,不符合题意；D符合题意.

8.(3分)如图，△A'8'C'是由△ABC以点。为位似中心放大得到，△AB'C'还可以看作是△4BC经过怎

样的图形变化得到？下列结论:①1次平移和1次位似;②1次旋转和1次位似;③2次轴对称和1次位似；

01次轴对称、1次旋转和1次位似.其中所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】本题考查图形变换一平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对

①②③④逐一画图分析即可得解.

【详解】解：①如图，

4/22

A1

Of,

假设△ABC沿4B所在直线向下平移得到aA"B"C",

由图很明显可知△4'B〃C"与△{‘夕C'是位似图形，

所以△ABC经过一次平移和一次位似可以得到△AB'C',

故①正确；

②如图，

假设Zk/IBC绕点。旋转180。，得到△4'8〃C,

由图很明显可知是位似图形，

所以△ABC经过一次旋转和一次位似可以得到△ABC,

故②正确；

③两次轴对称之后，可以看作一次平移，

所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到△AB'C',

故③正确；

④如图，

5/22

假设△ABC先沿BC所在直线轴对称，得到△A〃BC,

再绕点。旋转180。得到

由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与△ABC'不是位似图形,

故④错误；

故选：A.

9.（3分）若△力BC和aOEF满足下列条件，其中能使△ABC〜尸的是（）

A.AB=3,BC=8,24c=9,DE=2,FE=—DF=6

3f

B.AB=3,BC=8,AC=9,DE=-,FE=2,DF=6

3

C.AB=1,BC=&,AC=1.5,DE=2,FE=2a,DF=4

D.AB=1,BC=a,AC=2,DE=3痘,FE=2,DF=6

【答案】A

【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那

么这两个三角形相似.对每个选项，先分别将△ABC的三条边和△DEF的三条边按从小到大的顺序排序，

确定对应边的匹配关系.分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三

角形相似.

AC_9_3

【详解】解：A、嘿=|,g=4=1=—=-9

3DF62

ABBCAC

•—~~,

DEEFDF

△ABCFDEF.故此选项符合题意；

AB3BC83AC()

EF2DE弛2DF6

3

AB_BC_AC

EF-DE~FD'

△ABCFFED.

•・•△ABC^j^DEF对应顶点不匹配,不满足△ABCFDEF,

故此选项不符合题意;

cAB1BBCCV\2[211AC1.53

C、——f—--=—-—--7==—-—f—=—

DE2EF2y[22DF48

AB受，故此选项不符合题意;

~DE~~EFDF

AB1BCV31AC21

D、———»——————>—

EF2DE363DFg-9

..喘工芸=黑，故此选项不符合题意.

,EFDEDF

故选：A.

10.（3分）如图的等边△4BC中，点。，E分别在边AB,BC上移动，且满足与外心。三点共线，将△BDE沿

直线OE折叠，与4C交十点F,G,连接。F,OG,则卜列为定值的是（）

6/22

A.。尸与OG的比值B.四边形OEFG的周长

C.四边形OGB'F的面积D.ZOFG与NOGF的角度和

【答案】D

【分析】多次利用三角形的外心的性质与轴对称图形的性质以及角度的等量代换，转化出。。-0户，OF-

OE,AF=B，F等数量关系，再对每一项逐步验证即可.

【详解】解：A、如图所示，连接OA,OC,0B,0），延长40交8C于点M,过点。分别作4C,EBLB'D的

垂线，垂足分别为H，N,K,

：/0MC=乙ONE=乙OHG=乙OKD=90°,

•・•点。是等边△ABC的外心，

"OMC=Z.OHC=90°,0M=0H,乙OCB=Z.OCA=/.OAC=Z.OAB=30°,0A=OB=OB'=0C,

vABDE沿直线DE折叠得到^B'DE,

:.乙BED=iB'ED,乙BDE=LB'DE,乙DB'E==6。。,BD=B'D,

在△OME和△ONE中，

乙BED=Z,B'ED

Z.OMC=乙ONE=90。，

OE=OE

■­.△OME三△ONE(AAS),

••.OM=ON,

：.ON=OH,

乂“ONE=乙OHG=90°,

：.OG^^^EGF,

.-.Z.OGF=-z.EGF：

2

在△AF。和△B'RG中，/.BAC=Z-DB/E=60°,乙AFD=々B'FG,

7/22

：,Z.ADF=乙B，GF,

"BDE=^BDF=1(180o-Z/1DF),乙OGF="EGF=1(180°-4B，GF),

：/BDE=乙OGF,

:.乙ODA=乙OGC,

在△0£U和△OGC中，

WAB=LOCA=30°

Z.ODA=Z-OGC,

OA=OC

.*.△ODA三△OGC(AAS),

••AD=CG,OD—OG,Z.AOD—乙COG,

:"DOG=^AOC=120°；

同理可证得NOFG=ZBEB',OF平分4DFG,△OFA三△OEC,

：.OF=OE,AF=CE；

•••在△夕DE中，乙DB'E=60°,

；/ODF+Z.OEG=120°,

又"DFG=乙BEB\乙EGF=乙BDB\。户平分，OFG,

："FG=乙OFD="FG=乙OEG,

2

，乙DOF=60°,

“DOG=120°,

:/GOF=60°,

・•・在△OD尸和△OGR中，

OD=OG

乙DOF=Z-GOF>

OF=OF

...△OOF三△OGF(SAS),

:.DF=GF,

・•・在△ADF和△B'GF中，

Z.BAC=乙DB'E=60°

^AFD=乙B'FG,

DF=GF

ADF三△B'GF(AAS),

'.AF=B'F；

过点A作8c的平行线交。。的延长线于点/,

8/22

-A]||BC,

:•乙]=(DEB,4/4O=NOME,乙DAJ=LDBE,

:AOAJFOME,AADJ〜ABDE,

•OD+DJ_0A_DJ_AJ_

"OE~OM'OD+OE-BE'

•・•点。是△ABC的外心，

'-AMiR，.平分BC，8//垂IL分4aS^AOB=S^AOC=^ABOC

:，SMOM~QS4BOC=5s△4oc，

•.丝•一—乙2，

OM

噜与可均非定值,

DC

・••芸不是定值;

UG

B、♦.•四边形。EFG的周长=DE+EG+FG+D9=。。+。£+EG+2FG=0G+09+EG+2FG,所有线

段无法转化到某一固定的线段上，

・•・其周长不为定值；

C、•・•点0是等边△4BC的外心，△BDE沿直线DE折叠,

.初=OB'=0C,

可证△力OFw/kB'OF,^B'OGsACOG,

此时四边形OGB'F的面积=SWOF+SWOG=^^AOC-S^GOF，

','S^GOF非定值，

・•・四边形OGB'F的面积非定值；

D、-.zDrc=Z.BEB',cEGF=cBDB',OF平分乙DFG,

"OFG=Z,OFD=-Z.DFG=乙OEG,

2

“OFG+乙OGF=2OFD+乙ODF=180°-乙DOF=120°,

•・zOFG与NOGF的角度和为定值.

二、填空题（共18分）

11.（3分）要确定在你家周围北偏东60。的某地点，还需要知道

【答案】那一地点到“你''家的距离

9/22

【详解】解：根据平面内确定位置的三要素：观测点、方位角、距离可知，还需要知道：那一地点到“你”

家的距凄.

12.（3分）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为.

【答案】16

【分析】根据相似的性质进行解答即可.

【详解】解：•••如图是两个形状相同的红绿灯图案,

两个红绿灯图案相似，

1520

=7,

:x=16,

经检验，％=16是该方程的解.

即x的值为16.

13.（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同

的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，贝的“=.

【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幕等知识，根据题意得到关于x,»的方程组

+—求出fyH,根据零指数幕即可得到答案・

【详解】解：由题意可得，上j二7之二当二?〜

解得,｛二°3，

,y%=（-3）°=1.

14.（3分）已知/^=空3="上="匕"，则女的值为

p〃

【答案】1或一2

10/22

【分析】先由题意得〃?，〃，p都不为0,贝Up/c=6+九一m—九+p,m/c=几+p—血，故/c(p+/+

m)=?n+?i+p,再进行分类讨论，即可作答.

【详解】解：•.•〃=吧口=丝也=丝匕巴

Pnm

:〃，p都不为0,

-pk=m+n—p,nk=m—n+p,mk=n+p—m,

三个式子相力口得pk+nk+mk=m+n—p+m—n+p+n-^-p—

则k(p+n+m)=m+n+p,

当m+n+pH0时,

解得k=L

当m+几+口=0时＞则p=—(m+n。

，k=^1^=以=3=一2,

vvv

综上所述，〃的值为1或—2.

15.(3分)如图，在△ABC中，4D是BC边上的高，点E是AD上一点，且AE=2EO,连接BE并延长交AC于

点F,已知4。=6,CD=3BD=12,贝=

【分析】过点。作OG||BF,交AC于点G,连接CE,根据平行线分线段成比例可知芸=芸=2,整=要=白=：

EDFGDCGC123

即力尸=2尸G,GC=3FG,进而可知4F:FC=1:2,根据同高三角形面积比等于底之比i一算即可.

【详解】解：•.乂。=6,AE=2ED.CD=3BD=12,

"E=4,ED=2,BD=4

:.BC=124-4=16,

过点。作DGII8F,交AC于点G,连接CE,

根据平行线分线段成比例可畸嗯=2,BDFG41

DCGC123’

-.AF=2FG,GC=3FG,

­.AC=AF+FG+GC=2FG+FG+3FG=6FG,

11/22

•-AF=-AC,BP4F:FC=1:2,

3

,••^△4DC=j-CD­/ID=|x12x6=36,E在40上，△ACE与△CDE面积比等于/E:ED=2:1，

22

•'♦S"CE-T77xS^AOC=-x36=24,

/rJLO

•・・F在AC上,与ACEF同高,面积比等于底之比4F:FC=1:2,

XS^ACE=3X24=8.

16.（3分）如图，在Rt2\4OC中，乙4OC=90。，AO=8,OC=6,点P从点。出发以1个单位长度/秒

的速度向终点/运动，同时点。从点力出发以3个长度单位/秒的速度向终点。运动，运动时间为f秒，当心OPQ

的平分线恰好经过0C的中点时，，的值为

【答案】5

【分析】如图，过点。作CQI40交PQ的延长线于点E记。。的中点为M,过点M作ME_LPF于点E,连接

可证明〜△P4Q,ACFM〜A0MP,利用对应边成比例即可求解.

【详解】解：如图，过点。作CF114。交PQ的延长线于点尸，记。。的中点为M,过点M作MEJ.P广于点瓦连

接PM,MF,

・•・0M=MC=-0C=3,

2

在RtAAOC中，LA0C=90°,

'.AC=y/OA2+OC2=V82+62=10,

•・•CF||AO,

・•・dCQ=乙PAQ,乙CFQ=z/PQ,

FCQs^PAQ,

,FC_££

PA~AQJ

vPA=S-t,AQ=lt,CQ=AC-AQ=10-|t,

FC_10一/

‘E=

4

12/22

(8-t)2

t

平分NOPQ,M。1PO.ME1PF,

・•・EM=CfM/EPM=WO=^Z.FPO,

••・CM=OM,

••.CM=EM,

-CFIIAO,

・"FCM+^COA=180°,

・・/FCM=90°=乙FEM,

；.FM平分上CFP,

・•・乙CFM=NMFP=-zCFP,

2

“MPF+乙PFM=-x180°=90°,

2

；/FMP=180°-QMPF+乙PFM)=90°,

.-.zFMC="IPO=90°-4MP,

又=NO=90°,

:△CFM~40MP,

CMCF

-9

OPOM

.3士

••—

t3

(8-t)2=9

Vt<8,

•••t=5,

.•.当49PQ的平分线恰好经过。C的中点时，£=5.

三、解答题（共72分）

17.（8分）己知?=5=°，求学军的值.

2752y-z

【答案】

【分析】本题考查比例的性质.

由比例关系设参数，代入代数式计算即可求解.

【详解】解：设;=1=（=底攵=0）,则％=2k,y=7k,z=5k,

.K+y-3z_2"+7k-15〃_-6k__2

"2y-z-14/c-S/c-9k-3，

故答案为：一今

18.（8分）如图,四边形ABC。〜四边形AB'C'O',求48的长及△。的度数.

13/22

D

【答案】AB=9,20=43°

【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质.

根据相似四边形的性质可得矣7=%，=NA=107。，代入48'=6,C'D'=12,CD=18求48的值,

ABCD

然后根据四边形内角和定理得出乙0度数.

【详解】解：•.•四边形4BCD〜四边形ABC。,

ABCD

1・，----,=^A=107°.

'A'B'C'D'

•••4?=6,CD'=12,CD=18,

AB183

----=—=—,

6------122

解得/g=9.

：/D=360°-107°-90°-120°=43°.

19.（8分）已知，如图，在△4BC中，ZC=60°,。是线段BC上一点（不与端点3、C重合），连结/D,

以AD为边,在4。的右侧作等边线段DE与线段4c交于点R求证：4AEFMDCF.

【答案】证明见解析

【分析】先根据等边三角形的性质得到4E=60。，与己知的NC=60。相等；再利用对顶角相等得到=

乙DFC；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得AAEF〜△DCF.

【详解】证明：•「△ADE是等边三角形，

・•4=60°.

•・•"=60°,

•••Z.E=Z.C.

14/22

X-.z/lFE=^DFC（对顶角相等），

.*.△AEFDCF（两角分别相等的两个三角形相似）.

20.（8分）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与△AB。关于坐标原点。位似，且其

边长是△AB。的边长的两倍.

>2--

I**

IIIIIII

:•,・j—♦—1:干3**

---十十十-也

图1

【答案】见解析

【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似

比为上那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-k.根据关了以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把

点4、8的横纵坐标都乘以2（或-2）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可.

【详解】解：如图1,如图2所示,△DEO即为所求作.

21.（10分）如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.小芳和妈妈在

游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述:

一桃泊原

版百通匚

竹海浙风.

小芳：’“竹海听风’的坐标为（一1,-2）”.

15/22

妈妈：’“桃花源’位于原点的东北方向”.

实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的.

(1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标；

(2)若“松韵亭”的坐标为M(0,-4),“碧波潭”的坐标为N(3,-3),请在平面直角坐标系中用点M,N表示这两

个景区的位置；

(3)如果1个单位长度代表35m氏，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置.

桃证源..

/瀛百恒「「二

Ox

竹:撕

【答案】(1)建立平面直角坐标系如图:“荷塘月色”的坐标为(-5,1)

(2)点M,N如图

桃%源

荷琳力也

O

饰喇刈../

(3)“碧波潭”在“桃花源”的正南方向，距离桃花源210m处

【分析】(1)根据“竹海听风”的坐标(-1,-2)建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标即可；

(2)在坐标系中描点即可；

(3)根据桃花源坐标(3,3),碧波潭N(3,—3),即可解答；

【详解】(1)略

(2)略

(3)解：由坐标系可得桃花源坐标为(3,3),碧波潭N(3,-3),

两点横坐标相等，因此碧波潭在桃花源的正南方向；

纵向距离为I3-(-3)|=6个单位长度，实际距离为6x35=210m,

故碧波潭在桃花源的正南方向，距离桃花源210m处.

22.(10分)为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图

16/22

2,线段PQ为驾驶员，PQ与地面垂直，车头近似看成矩形4BCD,驾驶员视线’被车头遮挡形成视野盲区，发

现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域.（梯形CDMN）.

图1图2测量数据：驾驶员眼睛P

距地面的高度为1.5m,车头4D的高度为0.9m,宽度AB为1.8m,车头到点P的水平距离为0.8m.

问题解决：

（1）根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲

区长度（视野盲区的前沿MN到车头的水平距离为盲区长度）；

（3）①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛P距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会

（填“减小”、“不变”或"增大”）；

②若设干时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会（填“减小”、“不

变”或“增大”）

【答案】（1）如图所系:

（2）如图所示

17/22

H

.!

G卜T

N

3.78m2；

（3）①减小；②增大

【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明△4OH〜△PQH,根据相似三角形的性

质列式计算即可求解;

（2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明根据相似三角形的性质列式计

算即可求解;

（3）结合（1）（2）求解即可.

【详解】（1）解：图略

v/ADH=/PQH=90°,/H=/H,

••△ADHFPQH,

AD=__需即冷品，解得DH=l.2m,

PQ

・•・盲区长度为1.2m；

（2）解：图略

作PGJLMNFG,交4B于7,

"BIIMN,

APBFMPN,

AB__PT_DQp..1.8_0.8

"MN-PG-HQ''MN-2

解得MN=4.5,

,'S梯形ABNM=2（18+4,5）x1.2=3.78（m2）1T力米）；

⑶解：①湍=翁脸DH

DH-^DQ'

：.DH=3,

PQ-AD

当PQ增大时，DH减小,则前视野盲区的面积会减小;

②啜=容增加整车宽度即4B增大，则MN也增大，其余条件不变,

••・视野盲区面积会增大.

23.（10分）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.

【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1,点G为△ABC的重心，连接CG,/G并延长分别

18/22

交AB,BC于点E,F,连接EF,通过观察他发现著=g请你帮他证明一下.这'个发现非常重要，由以上的证

GA2

明你得到的结论是：.

【应用】如图2,在△48C中，已知4。是8C边的中线，G是△48C的重心，过点G的直线分别交4B,4c于点

E.F.如图2,当“IIBC时，求证：胃+芸=1;

EAFA

【提升】如图3,/D是边BC的中线，G是△4BC的重心，当EF和BC不平行，且点E,尸分别在线段AB,4C上

时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

图1

【答案】证明：见解析;证明见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例：

证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论；

应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明；

提升：过点A作4N||8C交EF的延长线于点N,FE与C8的延长线相交于点M,则△8MEFANE4CMF

CMDMDG1

ANF,得到洒黑样进而推喷+%瑞==—,即可证明.

ANANAG2

【详解】证明：••,点G为△48C的重心,

・•・点F,E分别为线段BC,94的中点，

・•・EF是△ABC的中位线，

EF||AC,EF=^AC.

.*.△EFG〜ACAG,

EFEGFG1

—=—=—=

CACCAG2

GF1

"6A~2f

二得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；

应用：证明：,•,点G是的重心，

AGr

—GD=2,

XvEF||BC,

.BE_GD_CF_1

"EA-AG~AF_2f

BE.CF1

•,­—+—=1；

提升：应用中结论成立.证明:

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如图，过点A作AN||BC交EF的延长线于点N,FE与的延长线相交于点M,

则4BMEANEACMFANF,

BE_BMCF__CM

AE~ANrAF~AN

BE,CFBM,CMBM+CM

・•・——|——=-------1-------=-------------

AEAFANANAN

又•・•BM+CM=BM+CD+DM,

而。是BC的中点，即BO=CD,

・•.BM+CM=BM+BD+DM=DM+OM=2OM,

BE,CF2DM

------1------=------,

AEAPAN

-r-7DMDG1

ANAG2

BE,CFc1y

EAFA2

故结论成立.

24.(10分)在△ABC中，LACB=90°,将△绕点C旋转得到△OEC,点力的对应点。落在边AB上,

连接BE.

图2

(1)如图1,求证：4BCE〜AACD；

(2)如图2,过点E作4B的平行线