北师大版九年级数学上册 菱形的性质与判定 每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

1.2菱形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.探索并证明菱形的性质定理；

2.能应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题；

3.经历探索菱形的性质的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理

的基本方法.

二、教学重点及难点

重点：掌握菱形的性质定理，会运用性质进行几何计算与证明.

难点：严谨推导证明菱形的性质，灵活结合性质解决综合性几何题型.

三、教学过程

【新知导入】

教师提出：菱形是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形

象.教师通过ppt展示.

♦000

你还能举出一些例子吗？

学生积极回答其他现实中存在菱形的情况.

设计意图：结合生活实物图片导入新课，联系日常事物噢醒已有认知，让学生感知菱形源于生

活，激发探究兴趣，自然过渡到菱形性质的学习.

【探究新知】

教师提出：回顾菱形的概念.

学生回答：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

教师提出：菱形是特殊的平行四边形，因此它具有一般平行四边形的所有性质.

即菱形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.除此之外，它是否具有一般平行四边形

不具有的一些特殊性质呢？

设计意图：从已学菱形定义与平行四边形旧知切入，依托“特殊图形具备一般图形全部性质+独

有特殊性质”的逻辑设问，在复习铺垫的基础上制造认知疑问，顺势引导学生聚焦菱形特有性

质，自然开启新知探究.

教师通过ppt展示动画.

学生观察动画过程及结果，进行讨论.学生小组河论1-2分钟，自由发言.教师梳理归纳学生的

回答.总结菱形的特殊性质.

1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直.

设计意图：借助动态动画直观演示菱形的边角、对角线变化特征，依托小组合作观察自主猜想

特殊性质，由具象图形变化提炼抽象定理，实现从直观感知到结论归纳，突破菱形独有性质的

认如难点.

教师引导学生对菱形的特殊性质进行证明.

证明1：菱形的四条边都相等.

已知：如图，在菱形A8CO中，AB=AD,

求证：AB=BC=CD=AD.H

证明：・・•四边形ABC。是菱形，

AC

：.AB=CD,（菱形的对边相等）

又lAB二AO,：.AB=BC=CD=AD.£>

证明2：菱形的两条对角线互相垂直.

己知：如图，在菱形ABCO中，对角线AC与相交于点0.

求证：AC.LBD；

解：・.・4%A。，是等腰三角形

又•・•四边形4BCD是菱形，

・・・。8二。八（菱形的对角线互相平分）AoC

在等腰三角形AB。中，,：OB=OD

fD

.••八OJLB。，即AC_LB。.

设计意图：依托菱形定义和平行四边形已有性质分步严谨推导证明，借助等腰三角形三线合一

完成对角线垂直的论证，让学生亲历定理的逻辑推导过程，明晰性质的由来，培养严谨的几何

推理与规范书写证明步骤的能力.

教师追问：根据等腰三角形的性质，还能推出菱形的什么性质？

教师引导学生进行推导、证明.

解：在等腰三角形A3。中，'・・05=0。

D

：.A01BD

・・・A0平分NBA。，^ZDAC=ZBAC.」、C

4O

同理可证NOCA二NBC4,ZADB=ZCDB,NABD=/CBD.

通过证明，发现结论，进行归纳总结.D

性质推论：菱形的每一条对角线平分一组对角.

设计意图：立足已证“对角线互相垂直'’的结论顺势追问，依托等腰三角形三线合一拓展推导对

角浅平分一组对角的推论，锻炼学生举一反三、逻辑延伸的几何推理能力.

通过以上证明，归纳总结菱形的性质及其符号语言，学生做笔记.

菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直

符号语言：•・,四边形A8CO是菱形，:.AB=BC=CD=AD,ACA.BD.

设计意图：整合前面探究与证明所得结论，统一梳理菱形文字性质与对应的几何符号语言，引

导学生整理笔,记固化知识点，帮助学生规范几何书写格式，搭建文字定理与几何符号的转化桥

梁，夯实新知记忆.

【例题练习】

如图，在菱形48C。中，对角线4c与8。相交于点。，NH4D=60。，BD=6.

（1）求48和4。的长；（2）求菱形ABCD的面积.

解：（I）：四边形ABCD是菱形,

：.AB=AD（菱形的四条边相等），ACLBD（菱形的对角线互相垂直），

。月二。庆_LBO=」X6=3.（菱形的对角线互相平分）.

22

在等腰三角形A3。中，・・・/BAO=6（）。，•••△A8O是等边三角形.

：.AB=BD=6.

在RtZXAOB中，由勾股定理，得042+032=432,

:.0A7AB2-OB?=V62-32=35/3.

・・・AC=2O4=6G（菱形的对角线互相平分）.

解：（2）菱形ABCD的面积二△人△。的面积+ZXG?。的面枳=2xA4j?。的面积

=2xiBD0A=2x-x6x34=186

22

设计意图：紧扣菱形边、对角线相关性质搭配典型例题，结合等边三角形、勾股定理解题，在

实战演练中巩固菱形性质，提升学生运用定理列式计算、整合知识点解题的应用能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.菱形的性质；

2.应用菱形的性质解决相关计算或证明问题.

六、板书设计

菱形的性质

具有平行四边形的所有性质

菱

形

的

性

质

一①羡形的四条边相等；

②菱形的对角线互相垂直.

1.2菱形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握菱形的判定方法；

2.能熟练运用菱形的判定知识进行计算和证明；

3.经历菱形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握菱形的判定定理，能够准确运用判定方法证明一个平行四边形或四边形为菱形.

难点：辨析不同菱形判定定理的适用条件，灵活选取合适的判定方法解决综合性几何证明与计

算问题.

三、教学过程

【新知导入】

学生自主完成表格.

菱形的定义和性质

定义_______________的平行四边形是菱形.

边四条边_____对边平行.

角对角相等.

对角线对角线互相—__________•

教师提出：根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：有一组邻边相等的平行四边形是

菱形.除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗？

设计意图：借助填空表格回顾菱形旧知，由定义引出第一种判定定理，再通过设问设疑，勾起

学生探究新知的好奇心，顺势开启另外两条菱形判定定理的探究学习.

【探究新知】

教师提出：由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四

条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？

学生活动：用折纸的办法得到一个菱形.先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线

剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.

展开

I)

猜想：四条边相等的四边形是菱形.

教师引导学生进行证明，验证猜想.

已知：如图，在四边形48。中，AB=BC=CD=AD.

求证：四边形A8CO是菱形.

证明：t：AB=BC=CD=AD；:・AB=CD,BC=AD.

・•・四边形ABCD是平行四边形.

又'；AB=BC,

・・・四边形ABC。是菱形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形.

符号语言：在四边形A8CQ中，・・・A8=8C=C£)=A。，，四边形43co是菱形.

AB-BC*CD^AD

菱形”CO

设计意图：从菱形性质逆向设问引出猜想，结合折纸实操让学生直观感知图形特征，再通过严

谨几何证明验证猜想，由动手操作到逻辑推导生成判定定理，规范符号语言并整理笔记，实现

从具象体验到抽象定理的转化，培养逆向推理与严谨证明的能力.

教师提出：我们知道，如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.你能说出这个性

质d勺逆命题吗？

学生回答：逆命题为如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.

教师追问：这个逆命题成立吗？

学生猜测：成立.

教学活动:用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,

四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？

教师通过ppt展示动画.

教师提出：通过动画展示，你有什么猜想？

学生回答：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

设计意图：利用性质逆向思考引出逆命题，借助木条教具实操搭配动画演示，在动态变化中引

导学生观察图形转变条件、自主形成猜想，遵循“猜想一直观脸证一后续证明”的探究逻辑，落

实几何逆向探究的思维训练.

教师引导学生进行证明，验证猜想.

己知：如图，四边形ABC。是平行四边形，对角线AC与3。相交于点0,且AC_LBD

求证：ZZZ4BCD是菱形.

B

D

证明：・・•四边形A8CO是平行四边形.

：.0A=0C.

・・・8。是线段AC的垂直平分线.

：.BA=BC.

・•・LJABCD是菱形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

符号语言：在D4BC。中，ACA.BD,J是菱形.

/ACLBDB<：-----卜

B/<------7c

°ABCD夔点8(7)

设计意图：依托平行四边形性质与线段垂直平分线定理完成严谨推证，脸证猜想成立并提炼判

定定理，同步规范几何符号表达式，帮助学生理清判定逻辑，区分“四边形”与“平行四边形”两

种判定前提，完善菱形三类判定方法的知识体系.

教师提出：如图，已知线段AC,请用尺规作菱形ABC7),使AC为菱形的一条对角线.

A-------------------------------------C

学生在草稿纸上进行尝试，作图完毕后，教师通过ppt公布正确作法.

如图，分别以A,c为圆心，以大于LAC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点氏D,依次

2

连接A,B,C,D,四边形ABCQ是菱形.

教师提出：满足上述条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使

作出的菱形是唯一的？

学生小组讨论1・2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.

不唯一.

问题1中的菱形的另一条对角线的长度可以任意选取，因此满足问题1条件的菱形有无数个.

菱形由两条对角线的长度唯一确定(对角线互相垂直平分)，因此只要补充条件确定另一条对

角线的长度，即可使菱形唯一.

设计意图：借助尺规作图实操落地菱形判定定理；再通迂唯一性设问组织小组合作探究，启发

学生发现一条对角线固定、另一条对角线可变则菱形不唯