河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一年级下册7月期末数学试题（试卷+解析）

高一数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写

在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位

置贴好条形码及填涂准考证号.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上,写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量a=（6,x）,万=（2,—3）,：x二()

A.-9B.9C.-4D.4

2.在△ABC中，若1=3,b=5A=—,则3的大小为（

3

It_71C,4或奥D.四或幺

A.-B.一

366633

3.是fix>\”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.

4已知函数〃x）={U%小仔））=（）

A.7B.10C.13D.16

5.已知£是两个不同的平面，加，〃是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（

A.若机〃a,m〃B、则a〃”.B.若〃?〃a,〃〃a,贝

C.若aJL夕，ua,nu。，则m_L〃D.若加〃a,in1p,则aJ_£

6.在三棱柱ABC—A4G中，4A，平面A8cA/?=AC=2,/8AC=120,O是棱8c上的动点，直

线与平面ABC所成角的最大值是453点尸在底面ABC内，且血，则点尸的轨迹长是

()

7.已知。为坐标原点，若A（l,3）,^（m-5,1）,C（3,m+1）三点共线，则方在痂上的投影向量的坐标

为（）

A.（-1,-1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（—1,1）

8.若数据…，Xoo的方差为15,数据如为,…,”50的方差为1°，则数据不，々，…，Xoo，

%，）’2,…，）'l50的方差的最小值为（）

A.10B.12C.13D.15

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线a,b及平面a,°.下列命题中正确的是（）

A.若alia,bLa,则bLaB.若a1a>a!Ift,则aLft

C.若a!la,ac^P-b,则a!lbD.若aA.a,bLa,则a!lb

10.“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知

某旅游景区近一周的最低气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：℃）,则（）

A.这组数据的极差为7B.这组数据的众数等于中位数

C.这组数据的下四分位数为8D.这组数据的方差为与

11.如图，在棱长为4的正方体48。。一44。"1中，E，尸分别为43,BC的中点，则（）

A.EF1BD,

B.EF〃平面

C.直线产。马平面A3CO所成角的正切值为雪

D.三棱锥B.-EBF外接球的表面积为24兀

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.如图，用K，4，儿三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常工作且元件A，A?至少有一个正

常工作时，系统正常工作，已知KA，4正常工作的概率依次为。8,0.6,0.6,则系统正常工作的概率

为•

—4I—

—m——

------2I-------

13.如图，在正三楂柱ABC—AB］G中，各棱长均相等，点。为的中点，则异面直线AD与8G所

成角的余弦值为_________________

14.已知函数/（戈）满足对于任意的wR,当xwy时，（x-y）［/（x）-/（），）］＞（）恒成立，则不等式

y（iog3x）＜/（i-x）的解集为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=（2m-l）+（m+2）i,其中meR,i为虚数单位.

（1）若z是纯虚数，求实数，〃的值：

（2）若z的实部与虚部相等，求

3

16.已知函数/(x)=ln(e"+l)-耳工.

（1）判断/（x）的奇偶性并证明;

(2)若函数g(x)=(/+x)/⑺_cos2x,求g图-的值.

17.如图.在正二棱柱ABC-AMG中.。为A6的中点.AAt=AB=4,9=3丽.

（1）证明：CO_L4E；

（2）证明：BC"平面A,CD.

18.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另

增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为

2

R=5X-^X（0<X<5）,其中I是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

（1）把利润表示为年产量的函数.

（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？

（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

19.已知菱形A8CO的边长为2,NBA。=60°,平面A3CQ外一点尸在平面43co上的射影是AC与

8。的交点OqPDB是等边三角形.

（1）求证：47，平面相。；

（2）求直线PC与平面458所成角的大小;

（3）求点D到平面P3C的距离.

高一数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写

在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位

置贴好条形码及填涂准考证号.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上,写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量。=(6,x),万=(2,—3),若Q_L6，则1=()

A.-9B.9C.-4D.4

【答案】D

【解析】

【分析】依据7B=o,直接计算即可.

【详解】出题可知；a.Lb->ab=0>所以12—3x=0=>x=4.

故选：D

2.在△ABC中，若。=3,b=6,A=~,则B的大小为()

3

兀n兀-5兀兀一2兀

A.—B.-C.一或一D.一或—

366633

【答案】B

【解析】

【分析】先根据正弦定理求出sinB的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项.

【详解】在△A3C中，由正弦定理得，—=-^-,

sinAsinB

所以sin8=2smA=且sin四二,，

a332

由于。>人，所以又3E(O,兀)，所以3=已.

3.是”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义it行求解即可.

【详解】由于指数函数y=5*是宜调递增的，所以5°」>5。=1，

所以当x>5°」时,x>\,即x〉5°」”是“x>l”的充分条件；

当上>1时，x>5°」不一定成立，即不是“x>l”的必要条件：

综上所述，是“x>l”的充分不必要条件，故A正确.

4已知函数/3=k；；产°'则/何削=()

A.7B.10C.13D.16

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可得：/(g)=lng=-3,所以/(/(*))=/(-3)=(-3)2—(-3)+l=13.

5.已知。，万是两个不同的平面，，小〃是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(：

A.若加〃a,〃z〃夕，则a〃产.B.若〃?〃a,〃〃a,则〃〃.

C.若a_L夕，〃zua,nu。,则相_L〃D.若〃z〃a,m工。,则a_L/

【答案】D

【解析】

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断.

【详解】对于A,若加〃a,6〃尸，则。与〃可以平行或相交，故A项错误；

对于B,若能〃a,〃〃a,则的与"可以平行，异面，相交，故B项错误；

对于C,若,mua,nu0,则〃?与"可以平行，异面，相交，故C项错误;

对于D,关mJIa,由线面平行的定义，存在/ua,使得机/〃，

由用上0得而/ua，得&上尸,故D项正确.

6.在三棱柱ABC-4与G中，9_L平面48。,48=A。=2,/84。=120,。是棱8。上的动点，直

线4。与平面ABC所成角的最大值是453点P在底面ABC内，且AP=3,则点尸的轨迹长是

()

71271-4兀.

A.-B.--C.--D.2兀

333

【答案】B

【解析】

【分析】连接4。，则NAOA为直线A。与平面A3C所成角，从而得到tan/ADA二徐，所以当

A。取最小值时NAQA取得最大值，求出A力的最小值，即可求出A4,连接AP，由勾股定理求出

AP,即可得到点尸在以A为圆心，1为半径的圆(圆弧)上，且圆心角为=即可求出轨迹

长.

【详解】连接A。，因为平面ABC,所以NA。4为直线4。与平面A8C所成角，

所以tanNADA=44，又直线A。与平面ABC所成角的最大值是45、

AD

所以(tanNADA)^=1,当且仅当AO取最小值时N^DA取得最大值，

因为A8=4C=2,/84C=12(T,所以当AO_L3C时八。取最小值，此时AO=2sin300=1,

所以例=1,

又点P在底面A8C内，且4P=0,连接AP,

因为AA_L平面A3C,APu平面ABC,所以AA—AP,

所以Ap=JAP2-AA2=J(可_产=i，

所以点尸在以A为圆心，1为半径的圆(圆弧)上，且圆心角为N84C=120=」，

3

所以点尸的物迹长为?27rX1=927.r

33

故选：B

关键点点睛：本题关键是由线面角求出AA的长度，再由勾股定理求出AP=1，即可确定PII勺轨迹.

7.已知。为坐标原点，若A(l,3),B(/77-5,l),C(3,m+1)三点共线，则次在痂上的投影向量的坐标

为()

A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(—1,1)

【答案】D

【解析】

【分析】根据A8,C三点共线，则福与尼共线，列出方程求出机，再利用投影向量的公式可得答案.

【洋解】=6,—2),而二(2,m—2),

若4(1,3),C(3,m+1)三点共线，

则4月与衣共线，("7—6)x(m—2)=—2x2.

解得机=4,04=(1,3),砺=(-1,1),

则画在加上的投影向量的坐标为(04。孙腕『方­1T1)=(T1).

故选:D.

8.若数据%,工2,…，Moo的方差为15,数据为为，…，％50的方差为则数据％，不，…，Xoo,

%)’2,…，以0的方差的最小值为()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式，并结合已知表示出新数据的平均数以及方差，再求新数据方差的最小值.

【详解】设内,电，…，芭no的平均数为了，)[,%，…，坨0的平均数为儿总体的平均数为)，总体的方差为

l(X)x+150y2x+3y

则彳=

100+1505

、2「二3「WJ15+怖(元一田2]+^]0+2(亍一刃2

=-15++-lO+fy-z)-

5L5LDZDD。

当且仅当工=9时，等号成立.

所以数据％00,X，%，…，》150的方差的最小值为12.

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线67,b及平面a,£.下列命题中正确的是（）

A.若a/la,，则〃J_aB.若a_La，a///7,则a_L/?

C.若alia,ac/7=〃，则“〃/?D.若a_La,bJLa,则allb

【答案】BD

【解析】

【分析】由题设结合空间线，面关系可判断选项正误.

【详解】对于A,当a//a,〃JL。时，〃可能与夕平行，相交（包含垂直），故A错误；

对干B,因〃_10,al1/3.则在夕内存在直线方，使得6JL&,从而a_L/,故B正确；

对于C,若alia,ac（3=b,则。可能与人平行或异面，故C错误；

对干D,当。_1a，/?_La时，结合线面垂直性质可得。///?,故D正确.

10.“沾衣欲湿杏花雨，吹而不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知

某旅游景区近一周的最低气温如下：9,11,14,II,10,7,8（单位：℃）,则（）

A.这组数据的极差为7B.这组数据的众数等于中位数

C.这组数据的下四分位数为8D.这组数据的方差为与

【答案】AC

【解析】

【详解】将原始数据按从小到大排序：7,8,9,10,11,11,14,

所以这组数据的极差为14-7=7,故A正确；

这组数据的众数为11，这组数据的中位数为10,故B不正确;

由于7x25%=1.75,所以这组数据的下四分位数为8,故C正确:

这组数据的平均数为元=7+8+"+"""+"+N=10,所以方差

7

(7_10『+(8_101+(9—10)2+(10—10『+(11-10;+(11—10『+(14—10)[=，,故D不正

确

11.如图，在棱长为4的正方体4BCO-44CA中，E，尸分别为AB,3C的中点，则()

A.

B.E/〃平面4。内

C.直线口。与平面ABCO所成角的正切值为境

5

D.三棱锥乌-EBF外接球的表面积为24兀

【答案】ACD

【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面,结合£77平面

A"C8=/判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积

判断D.

【详解】由题设石F//AC,BDA.AC，则EFO

由DR_L平面A8CO,Ebu平面A3CD,贝ij0〃D,

8。小。。=。都在平面3。。|内，则所平面

8。匚平面8。乌，则A对；

由平面4。/,即为平面AAC8,又8Cu平面AQCB,EFcBC=F,

所以Ebi平面%。。8=尸，即石尸与平面相交，B错;

由。。_L平面ABC。，则直线户口与平面ABC力所成角为NDU>1,

又FD=dDC2+CF2=[42+2?=2石

所以tanZDB]=吗=当=巫,C对；

FD2石5

由△班厂为等腰直角三角形，且酩=斯=2,则Eb=20，故其外接圆半径r二J5,

由BB11平面BEF，8片=4,则三棱锥片一EBF外接球半径R=》+(竽/=遥,

所以外接球的表面积4;求2=24兀，D对.

三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.如图，用K，A，4三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常工作且元件4,4至少有一个正

常工作时，系统正常工作，已知K，4,4正常工作的概率依次为0.8,0.6,0.6,则系统正常工作的概率

为.

—IA\*|—

-HX]——

------1-21~~

【答案】0.672

【解析】

【分析】先计算元件A、至少有一-个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率.

【详解】因为元件4、儿至少有一个正常工作的概率为1一(1-0.6)2=1-().16=0.84,

所以系统正常工作的概率为0.8x0.84=0.672.

故答案为：0.672

13.如图，在正三棱柱ABC-A&G中，各棱长均相等，点。为A3的中点，则异面直线4。与8C所

成角的余弦值为_________________

【解析】

【详解】连接AG，AC,两者交于点。，连接。。,

在正三棱柱A8C—A4G中，可得AO=OC1,因点。为A8的中点，则。0//8G，

故异面直线BG与4。所成角即为直线0。与4。所成角，即NA"）。或其补角.

不妨设43=2,易得4。=，22+12=石,DO=1BC,=^A/22+22=72,40=〈小二夜，

ZLZ

\Dr+QD1-A.O25+2-2^Vlo

在八。04中，由余弦定理，cosZ4,DO=

"DOD-2xx/5x>/2-4

故异面直线A。与BQ所成角的余弦值为巫.

14.已知函数〃”满足对于任意的x,）*R,当xwy时，（工一），）［/（“一/（），）］＞0恒成立，则不等式

/(log3x)</(l-x)的解集为

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解.

【详解】由题可知，〃力是R上的增函数，则不等式〃噢3力＜/（1一力等价于1股途＜17,即

log3x+x-1<0,

函数g（x）=Iog3x+X-1在（0,+00）上单调递增，且g⑴=0,

所以不等式log-/+x-l〈0的解集为（0,1）,

从而不等式/（log./）<"1-力的解集为（0,1）.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=（2"7—l）+（m+2）i,其中〃?£R,i为虚数单位.

（1）若z是纯虚数，求实数机的值：

（2）若z的实部与虚部相等，求三.

1

【答案】（1）m=-

2

（2）5-5i

【解析】

【小问1详解】

因为复数z为纯虚数，

2m-1=0

所以｛CC，

6+2工0

解得m=!.

2

【小问2详解】

根据题意得，2〃?-1=〃?+2,

解得："7=3，

将〃?=3代入复数z的表达式中，得：

z=（2x3-l）+（3+2）i=5+5i,

j5+5i（5i5i）（i）-5i-5i2<4.

故:二^—=./=-—=5-5i.

I1I.DT

16.已知函数/（x）=ln（e"+l）-3x.

（1）判断了（x）的奇偶性并证明;

⑵若函数g(x)=(—十x)/(x)-8s2%,求g/+g卜.的值•

【答案】(1)/(力是偶函数，

证明如下：由03'+1>0,可得/ER,

则f(x)的定义域为R，关于原点对称.

/(-x)=ln(e-3x+l)+|x=ln+y=In(e^+l)-y=/(x),

所以〃x)是偶函数.

(2)2

【解析】

【分析】(1)由奇偶函数的定义证明即可.

(2)令函数〃(#=(丁+犬)/(刈，先求出〃")是奇函数，则〃(T)+〃(X)=O,即可求出

g0+g目的值♦

【小问1详解】

略

【小问2详解】

令函数力(1)=(丁+x)/(x),贝！g(x)=Z?(x)-cos2x,

由(1)可知/(X)是偶函数，

因为h(-x)=(-X)3+(-川/(-X)=(-X3-X)/(X)=-(X3+x)/(x)=_〃(x)

所以力(x)是奇函数，从而力(一x)+〃(x)=O,

=11—+力———C0S7T—cos（一兀）=2.

17.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，。为A3的中点，A\=AB=4,庭=3丽.

(1)证明：COJ>4£；

(2)证明：BC"平面A,CD.

【答案】(1)在正三棱柱中，AA_L平面ABC,COu平面ABC,

所以CO_L4A，

因为ziABC为等边三角形，。为AB的中点，所以CO_LA8,

因为441cAB=A,A4、A3u平面AAg8,所以SJ_平面44田3,

因为4,Eu平面A4,g8,故CD_LAE.

(2)连接AG交4c于点尸，连接。歹，

在三棱柱43C-ASG中，AA.f/CQ,A4,=CG，故四边形44,。夕为平行四边形，

因为A£CAC=F,则/为AQ的中点，

又因为。为A8的中点，所以。尸〃8G，

因为OFu平面4。。，8Gz平面A。。，所以8G〃平面ACO.

【解析】

【分析】（1）证明出CO_L平面再利用线面垂走的性质可证得结论成立；

（2）连接AG交AC于点尸，连接。尸，由中位线的性质可得。尸〃BG，再利用线面平行的判定定理可

证得结论成立.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

18.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另

增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为

R=5X-^X2（0<X<5）,其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

（1）把利润表示为年产量的函数.

（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？

（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

—x"+4.75.V-0.5（0WxW5）

【答案】（1）y=<2

12-0.25x（x>5）

（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.

【解析】

【分析】（1）根据利润函数=销售收入函数-成本函数，由此即可求出结果；

（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的日变量x的值；

（3）要使企业不亏本，则利润》之0,根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果.

【小问1详解】

设利润为y万元，

12

5x--X2-0.5-0.25X（0<X<5）

得）'=2，

5X5-1X52-0.5-0.25X-T>5）

--X2+4.75X-0.5（0<X<5）

即2.

12-0.25x（x>5）

【小问2详解】

显然当04xS5时，企业会获得最大利润，

此时，），=一；（工一4.75y+10.78125,

「.X=4.75,即年产量为475台时，企业所得利润最大.

【小问3详解】

要使企业不亏本，则》之0.

[0<A<5.