2026高一数学专项提升讲义：数与式（学生版）

第1讲：数与式

【考点梳理】

/考点一：乘法公式的应用

,考点二：根式的求值化简

/考点三：指数与指数第的运算

/考点四：数的比较大小和估算

/考点五：数与式的应用问题

【知识梳理】

知识点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

【公式2】完全平方公式：伍±6）2=/±2帅+从

【公式3】完全立方公式：（。±6）3=。3±3。26+3。62±/?

【公式4】（a+b+c）2=a~+b~+c2+lab+2bc-\-2ca（完全平方公式）

【公式5】（6/4-h）（a2-"+/）=/+/（立方和公式）

【公式6］（"6）（1+"+〃）="一/（立方差公式）

知识点二、指数式

（1）当〃£N时，a"=aa...a.当〃£0时，⑴零指数=1（〃/0）,

"个。

⑵负指数，"二，；（。。0）.

⑶分数指数=0/（々〉0,加,〃为正整数）.

am

哥运算法则：(l)am-a"=,⑵⑷)”=*,(3)(")"=anbn(a,b>0,/n,neZ).(4)—=am-n

知识点三、根式：式子Gm20）叫做二次根式，其性质如下:

(1)(\[a)2=a(a>0)(2)y/ar=\a\

(3)\fab=4a•4b(a>0,6>0)(4)>0,/)>0)

如果有x"=。，那么x叫做。的〃次方根，其中〃为大于1的整数.

当n为奇数时，-7=4,当n为偶数时，^17=\a\=

Iv<,C<\J

1

AA

知识点四、分式：当分式公的分子、分母中至少有一个是分式时，C就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种

BB

方法：

（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

【题型归纳】

题型一：乘法公式的应用

1.（2025高一•全国・专题练习）式子（“-与（/+〃）可恒等变形为（）

A./-〃B.cr-lab+b1

y2y322y

C.a+air-ah-hD.a-ab+ab-b

2.（2025高一•全国・专题练习）式子_©+4+x-2可恒等变形为（）

A.2x-4B.4-2x

C.|x—2|+x—2D.|x+2|+x—2

3.（25-26高一上•全国•课前预习）已知用是方程f+x-1=0的一个根，求代数式（〃?+1）2+（〃?+1）（加-1）的值.

4.（25-26高一・上海•假期作业）已知X?+K-1=0，求证：U+l）3-（x-1）3=8-6x.

题型二：根式的求值化简

5.（25-26高一上•湖北武汉•阶段练习）再+'（兀二4），-OS:（）

A.16-7CB.兀C.一九D.一兀-8

6.（25-26高一上•宁夏银川•阶段练习）若J（3a—l1=y（l—3a）3，则实数。的取值范围为

7.（25-26高一上•全国•课后作业）计算1（1+J2>+#（1-J2），的值为.

8.（2526高一上•全国•课前预习）化简下列各式：

⑴后；

（2）“兀-4f+J（兀-4）-、:

（3）^（3«-3）4

（4而+《（j）4.

2

题型三：指数与指数塞的运算

9.（25.26高一上•全国）设。>0,下列运算中，正确的是（）

A.八/=〃6B.*3=（_*2

C.（-«*）=-a6D./+/=凉

10.（25-26高一上•江西赣州•开学考试）下列运算正确的是（）

A.a2.ay=a6B.（-2tz2）5=-6a6

C.（3a+1）（3〃-1）=9/-ID.（2ay-a2）^2a=2a-\

11.（25-26高一上•河北张家口•阶段练习）回答下面两个题：

54/^1IA

⑴化简：6人/尸+一二a3b3.

[5>

⑵若x+/=9,求下列各式的值:

①Y+/；②）T

12.（25-26高一•上海•课堂例题）（1）已知[+/；=石，求”―-的值;

/、、-1%1146+64x-y[y

（2）已知工=—、y--,求—f=~~r—7=的值.

23x7y>/x+Jy

题型四：数的比较大小和估算

13.（25-26高一上•全国•课前预习）匕较2,石，正的大小，正确的是（）

A.V7<2<V5B.2<V7<V5

C.2<逐<近D.6<近<2

14.（25-26高一上•全国•课前预习）7国,2石而，45三个数的大小关系是（）

A.7>/44<2>/506<45B.2>/506<45<7>/44

C.7>/44<45<2>/506D.45<2>7506<7VS

15.（25-26高一上•重庆,开学考试）估计x石的值应在（）

3

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.1和12之间

16.（25-26高一上•重庆・开学考试）估计G（屈+6）的值在（）

A.9和10之间B.10和11之间

C.11和12之间D.12和13之间

题型五：数与式的应用问题

17.（25-26高一上•四川成都）计算：

（l）x/32-2>/i24->/27-x/8

（2）2x/12x-

4

（3）（73+272）（73-272）

（4）百x（#—

18.（25-26高一上•贵州遵义・阶段练习）（1）已知x>l,/+!=]],求X-'的值；

xx

（2）已知/+//+<?=14，a-vb+c-6,求+力c+ac的值.

（3）已知。一〃=6+1乃一。=\/5—1,^.a2+b2+c2-ab-ac-be

19.（25-26高一上,福建泉州•开学考试）配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过

恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的

意义来辞决一些问题.我们定义：一人整数能表示成/+/（〃、力是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，

5是“完美数”，理由：因为5=22+/，所以5是“完美数”.

解决问题

（1）已知29是“完美数”，请将它写成片+尸（4、b是正整数）的形式：

（2）若--6x+13可配方成（x-加f+〃Im、〃为正整数），则”?〃=:

探究问题

（3）已知S=x2+4/+4x-12y+左（/、y是整数，々是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个〃值，并

说明理由.

4

20.（25・26高一上•江西南昌•开学考试）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式

以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3+/=（x+y）（x2-xy^-y2）；

立方差公式：.--尸=（丫-切卜2+k+），2）.

根据材料和己学知识解决卜.列问题

⑴因式分解：a3-8:

’3Yv24-2v4-42

（2）先化简，再求值：其中x=3.

（x--2xx-8）x--4

⑶利用材料因式分解：X3+3X2-4

【专题突破】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课前预习）下列结论正确的是（）

A♦=-6B.(-V3)2=9

C.J(-16)2=±16

2.（25-26高一上•全国•课前预习）一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）

A.a+\B.«2+1C.J/+1D.Ja+\

3.（25-26高一上•全国•课前预习）下列运算：其中结果正确的个数为（）

①/./=ab②）=a（＞

③（口6）‘一a%*@a5-4-=a

A.1B.2C.3D.4

4.（25-26高一上•全国•课前预习）如图所示，数轴上表示2,x/5的对应点分别为C，B,点、C是4B的中点，则点

A表示口勺数是（）

ACB

-0~~

A.-V5B.2-V5C.4-x/5D.>/5-2

5

5.（25.26高一上•全国•课前预习）若晒+1的值在两个整数a与。+1之间，则〃=（）

A.4B.5C.6D.7

6.(25-26高一•上海•假期作业)若x2+y2+z2=4,x+jv+z=272,则xy+xz+yz=().

A.1B.2C.3D.4

⑵高一•全国・专题练习）计算£+&+短+••,+1

7.25的值为（)

98x100

A史c147n294

B.-----C------D・-----

.200100200200

8.（2025高一•全国•专题练习）式子卜：+可恒等变形为（）

111,

A.-7-x2B.-r+x"C.X2----7D.-r-1

厂kX-厂

9.（25-26高一上•安徽芜湖咱主招生）设同表示不超过a的最大整数,如[可=3,[-1.2]=-2,则

).

C.7D.8

二、多选题

9.（23.24高•上•湖南岳阳•开学考试）在数轴上和有理数4，b,C对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的

是()

abc

----->—«----------1—•——•―।----->

-101x

A.a2-2t/-3>0B.|a-6|+|/?-c|=|tz-c|

C.(«+Z?)(/?+c)(«+c)>0D.a2>|/>c-1|

11、（23・24高一上•河南溪河•阶段练习）已知，石+0行=3,下列各式中正确的是（）

A.+产=7B.M+L8

0.4木+不/=2后

12.(22-23高一上•江苏宿迁・开学考试)下列运算中，正确的有()

A.0.2-'xf-i^=lB.24+24=25

(1\2021

C.-(-3)2=9D.一一xlO2022=-10

Iioj

6

13.（23・24高一上•湖北孝感•开学考试）下列选项正确的有（）

A.已知Y一2x+l=（），则代数式（.”if+x（x-4）+（x-2）（x+2）=0.

B.已知x?—3x+1=0,则/H—y—3=15.

C.a=—x+20,/>=—x+19,c=—x+21,a2+b2+c2—ab—he-ac=3.

D.已知一个直角二角形的两条直角边的K恰是方程2--8x+7=0的两个根•则这个有角二角形的斜边长是

9.

14.（23-24高一上•江苏泰州•开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为〃冲=/一仍根据这个法

则，下列结论中正确的是（）.

A.V2*3=2-3x/2

B.若。2+2〃『+/=0，贝1］。*:=6*。

C.方程（》+2尸（工+1）=0的根是％=-2,超=0

D.若/〃，〃是实数，则川*〃+

三、填空题

15.（25-26高一上•全国•课前预习）计算^^.（7^+7^卜_____•

16.（25・26高一上•全国•课前预习）满足血一<括的整数x是.

17.（25-26高一上•全国•课前预习）计算：.（3及+3）+嘘畸），-

18.（2025裔一•全国•专题练习）化简：小=^=_____.

yjn+，〃-1

19.（2D25高一•全国•专题练习）已知。+%+£*=4,〃2+62+°2=8，则ab+bc+ca的值为,

20.（25-26高一•上海•假期作业）观察下列各式的规律：

(a-b)(a+b)=a2-b'

(a-b)(ci2+"+

(a-b)(tj3+a2b+ab2

可得到m-份(，+an~'b+-+ab"7+y)=.(其中〃为正整数).

7

四、解答题

21.(25-26高一上•全国•课前预习)(1)已知"-6//=0(〃/0力工0),求色+：的值.

ab

(2)已知q~+96?—2〃+6/?+2=0,3Z)的值.

22.(25-26高一上•全国•课前预习)计算:

(1)(72-I)2+2拉(6-收)(6+V2)：

⑵国嘿-泊卜(-2®

23.（25-26高一•上海•假期作业）已知a+A+c=O,"+bc+ca=-L求下列各式的值:

2

⑴/+b2+c2;

⑵。

24.(25.26高一・上海,假期作业)已知。也。为非零实数，(/+〃+02)卜2+/+22)=3+仞，+以)2,求证：7=六；

25.(25-26高一上•四川成都・开学考试)何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解

答过程的例题.

例：若刑2+2初〃+2〃？-6〃+9=0,求冽和〃的值.

解：nr+2mn+2，/-6〃+9=0，

•••nr++n2+-6〃+9=0，

:.(ni+n)2+(〃-3>=0

.,./«+/2=0,/?-3=0,所以ni=-3,n=3.

为什么要对2,尸进行了拆项呢？

聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请

写出你的解题过程..

解决问题：

(1x2-4xy+5y2+2_y+1=0,求的值；

8

(2)已知a、仄c是A/AC的三边长，满足/+从=]0。+]26一61，c是A