北师大版高一数学（必修第一册）第一章 预备知识（单元测试·提升卷）原卷版+解析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1.（2025•山东烟台•三模）已知集合A={x|-3vxvl},8={小*3},则山人（）.

A.[-G1）B.[-6,6]C.（-oo,V3]D.（-3,6]

2.（24-25高二下•广东汕头•阶段练习）已知命题〃与l>0.丁>.\,则命题P的否定为（）

A.Bx>0,A:3<xB.>0,x3>x

C.Vx>0,x3<xD.Vx>0,x3>x

3.（24-25高一下•广东广州•期中）己知集合A={-2,0,2,3},B={x|-2<x<3},则Ac\8=（）

A.{0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,2,3}

4.（2025福建福州高一上期中）已知集合4={#/-41+320},8={#1<》<。+2},若xe'A是xeB的

充分不必要条件，则。的取值范围是（）

A.[1,3]B.（7,1]

C.（1,-Ko）D.口,+。）

5.（2025・河南周口•二模）已知相>0,〃>（）,且，〃+'=1,则当〃+2取得最小值时，㈣=（）

nmn

A.3x/2-4B.gC.2x/2-2D.1

6.（24-25高一上•安徽合肥・期中）已知关于x的方程/+（〃7-2）工+5-〃7=0有两个大于2的相异实数根，

则实数机的取值范围是（）

A.{〃？卜5<〃？W-4或/〃24}B.{/M|-5<m<-4}

C.{w|-5<m<-4}D.{fn\-5<m<-4^m>4}

7.（24-25高一上•山东临沂・期中）如图所示的“大方图”称为"赵爽弦图"，它是由中国数学家赵爽于公元3

世纪在给《周髀算经》“勾股网方封作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a、b,斜边为c（a、b、c均为正

数二则⑺+4二尔^+出-8六匕+方二十一3一方某同学读到此书中的“赵爽弦图”时,出于好奇，

想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为，+/>的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你

给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面枳为（）cm?

A.24B.30C.32D.36

8.（2025・陕西渭南•二模）若关于x的不等式2a——4xvar-2有且只有一个整数解，则实数〃的取值范围

是（）

A.（1,2]B.[1,2）C.（0,2）D.（0,2]

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.）

9.（24-25高二下•山西•阶段练习）若avbc。,则（）

A.a2<b2B.ab>h2

10.（23-24高一上・甘肃白银•期中）下列命题正确的是（）

A."a>1〃是";<1〃的充分不必要条件

B.命题是"x<0"的必要不充分条件

C.“。〉1,”>1〃是“而<1〃成立的充要条件

D.设a/eR,则“。工（）”是"仍。0”的必要不充分条件

11.（2025・湖南邵阳•模拟预测）给定实数集A,定义集合网相四网”,都有〃止〃},若M是非空集

合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（）

A.若数集A中有2025个元素，则supA一定存在

B.若数集A中没有最大值，则supA不存在

C.若数集人，2有上确界，则数集{，+〃as码-一定也有上确界，为supA+supA

D.若数集A,B有上确界,则数集{皿I一定也有上确界，为supAsupA

第二部分（非选择题共92分）

三'填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.（2025•江西•模拟预测）已知集合4={Rx=2",〃eZ}]={l,2,3,4},则AcA的真子集个数

为•

13.若关于1的不等式"疗-〃a-1<0的解集是R,则实数，〃的取值范围是—

14.（2025•广西南宁•模拟预测）DeepSeek由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司

是一家专注于人工智能（AI）的中国初创公司.其AI模型于2024年年底发布，此模型足以媲美

ChatGPT,一经推出便成为全球热门话题.利用AI进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是

目前市场各种AI模型运算参差不齐.技术人员对〃个A【模型进行测试，测试由机道题组成，每个AI模型

都对这，"道题逐一进行求解.若一道题至少有:〃个AI模型未解对，则称此题为难题；若一个AI模型至少

解出了道题，则该AI模型测试成绩合格.如果测试至少有3〃个AI模型成绩合格，且测试中至少有

33

彳2加道题为难题，那么加〃的最小值为.

三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）（24-25高一上•新疆昌吉•期末）设全集U=R,集合A={x|2KxW4},集合

B={x\-aa-2}

⑴当〃=5时，求Ac4和（QA）UA；

⑵若"x"〃是的充分不必要条件，求实数。的取值范围

16.（15分）（24-25高二下•浙江宁波•期中）已知函数/"）=（，力+1）Y-尔l（〃zwR）.

⑴当〃?>一2时，解关于x的不等式/（x）>m；

⑵若不等式对于任意工£卜2』恒成立，求，〃的取值范围.

17.（15分）（2025广东华南师大附中高一上期中，中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形

ABCD）为P，左右两边都留有宽为"m的空白，顶部和底部番留有宽为2acm的空白.

（1）若48=20cm,8c=30cm,且该宣传单的面积不超过lOOOcnf,则”的最大值是多少？

⑵若a=2cm,P=800cm?,则当A8长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？

18.（23-24高一上•湖北武汉•开学考试）已知二次函数），=f-6,丫+5.

⑴求二次函数的顶点坐标和对称轴；

（2）当时，函数的最大值和最小值分别是多少？

⑶当+3时，函数的最大值为相，最小值为〃，若〃一〃=3,求I的值.

19.117分）

（2025江西抚州临川一中高一上月考，难）已知含有限个元素的集合4是正整数集的子集，且4中至少

含有两个元素，若8是由4中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合8是集合4的衍生集.

⑴当A={2,5,7}时，写出集合4的衍生集8；

⑵若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值；

⑶判断是否存在5个正整数构成的集合4使其衍生集8={4,6,8/0,12』418},并说明理由.

第一部分（选择题共58分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1.（2025・山东烟台•三模）已知集合人={耳-3<1<1},B=H%3},则A|J八（）.

A.[-6」）B.[-73,75]C.（一应6]D.（-3,6]

【答案】D

【分析】先化简集合3,再利用并集的定义运算.

【解析】因8=卜上2K3}=卜卜eKXWG},4={X|-3<X<1};

贝…8=卜卜3VxM阎=（-3,可

故选：D

2.（24-25高二下•广东汕头•阶段练习）已知命题p:3x>0,TX,则命题〃的否定为（）

A.3.v>（）,x3<xB.3x>0,x3>x

C.Vx>0,A;3<xD.Vx>0,x3>x

【答案】C

【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解.

【解析】命题〃的否定为Vx>（）,M3,

故选：C

3.（24-25高一下•广东广州•期中）已知集合人={-2,0,2,3},B={x\-2<x<3}t则Ac\8=（）

A.{0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,2,3}

【答案】B

【分析】由集合的交集和补集运算可得结果.

【解析】由8={x|—2<x<3},可得第8={x|x«—2或xN3},则4\8={-2,3}.

故选:B.

4.(2025福建福州高一上期中)已知集合A={x|W-4x+320},B={x|1<x<〃+2},若xwQA是xeb的

充分不必要条件，则。的取值范围是()

A.[L3]B.(-ooj]

C.(l,+oo)D.口,+8)

【答案】C

【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.

【解析】由A={X，-4X+3N0}={MX_1)(X_3)N0}={4XM1或xN3},则QA={Hlvx<3卜

由犬c。/是的充分不必要条件，则aAqB,且QAH5

可得3va+2,解得a>l.

故选:C.

1O

5.(2025•河南周口•二模)已知〃00,〃>(),且小+—=1,则当〃+—取得最小值时，—=)

nmn

A.3x/2-4B.gC.2V2-2D.1

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1〃的巧用求最小值，即可得%的值.

n

【解析】已知机>0,〃>0,+-=1,

所以

97

当且仅当〃〃2==时，即〃=虚+1,〃?=2-立时，〃十二取得最小值,

inn

则%需30T

故选:A.

6.(24-25高一上•安徽合肥•期中)已知关于工的方程9+(〃-2卜+5-〃2=0有两个大于2的相异实数根,

则实数〃?的取值范围是()

A.{，"一5<ni<Y或机之4}B.{w|-5<m<-4}

C.{/??|-5<w<-4}D.{〃7卜5<〃?<-4或〃2>4}

【答案】B

【分析】设关于x的方程幺+（所2）]+5-〃?=0的两个根分别为冷马，根据与占满足的条件列不等式

组，解不等式组即可得实数阳的取值范围.

【解析】设关于x的方程幺+（加-2）1+5-〃?=0的两个根分别为与々，

则由根与系数的关系，知X[+々=一。〃一2）,%％=5-m

A>0

所以由题意知X,-2+X2-2>0,

（X）-2）（x,-2）>0

（机一2>-4（5一m）>0

即.-（/n-2）-4>0,

5-/??-2（/n-2）+4>0

解得-5<m<-4.

故选:B

7.（24-25高一上•山东临沂・期中）如图所示的"大方图"称为"赵爽弦图"，它是由中国数学家赵爽于公元3

世纪在给《周髀算经》"勾股网方组”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽"负薪余日，聊观《周》〃

一弓之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为。、b,斜边为c（。、b、c均为正

数）.则3+加2=4"+（4-»2,s+切2=2/_（/,一/2.某同学读到此书中的"赵爽弦图"时，出于好奇,

想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为〃的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你

给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）cn?

A.24B.30C.32D.36

【答案】C

【分析】根据题意。+人=8,a>0力>0,利用基本不等式求</+〃的最小值.

【解析】由题可知，〃+b=8,a>0力>0,

贝lJa+bN2j^,BP8＞2\[ab»所以出?416,当且仅当a=〃=4时，等号成立，

又“赵爽弦图”的面积为/=/+。2=（4+。『一2M=64-2必之64-2*16=32,

所以当a=b=4时，“赵爽弦图〃的最小面积为32.

故透:C

8.（2025•陕西渭南•二模）若关于工的不等式2"2-4X＜办-2有且只有一个整数解，则实数〃的取值范围

是（）

A.（1,2]B.（1,2）C.（0,2）D.（0,2]

【答案】B

【解析】当。=0时，解得：x＞A,不满足条件；

故〃H0,关于x的不等式2ap一4工＜or—2可得2依2-（4+。）工+2＜（）,

所以（2工_]）（心_2）＜0,g|Ja（2x-l）^x-1＜0,

方程（21）卜一讣0的两根为内总.三，

当avO时，不等式可化为（2工_1）（%_：）＞0,王=3，N2=1＜0,

解集为：,叫不满足条件：

当4＞0时，不等式可化为（2入=1）（入』[）＜0,

当片＞超时，则4＞2,即《＞4,不等式的解集为：

2a\a2）

要使不等式有且只有一个整数解，则-1K；2＜（），乂因为。＞0,不满足条件；

当西=超时，则==二，即。=4,不等式的解集为空集，

当今＜W时，则＜＜工，即0＜。＜4,不等式的解集为

2a12a）

2

要使不等式有且只有一个整数解，则1＜*二2,解得：

a

故实数。的取值范围是：[1,2）.

故选:B.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.（24-25高二下•山西•阶段练习）若av〃vO,则（）

A.a2<b2B.ub>tr

【答案】BC

【分析】由作差法和基本不等式即可逐一判断各个选项.

【解析】对J：A,若av…,贝故A错误；

对于B,由题意必-〃=匕（。-匕）>0,故B正确；

对于C,因为"匕<0,所以2,3>0,所以％屋2/2=2,又因为"〃，所以%/>2,故C正

abab\abab

确；

a+1b+\111111b-a_a+lb+\.....

对于D,——<-<=>-<-,---=---=-->0,所以——>—,故D错.误a.

abababababah

故选：BC.

10.（23-24高一上•甘肃白银•期中）下列命题正确的是（）

A."a>l〃是〃<1，，的充分不必要条件

a

B.命题"x<l"是"xv（）〃的必要不充分条件

C.力>1"是"出?<1"成立的充要条件

D.设。力wR,则“。工0〃是“"工0”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断：B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项

利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断.

【解析】对于A选项，当时，!<1成立；反之，当,<1时，若。=-1,则不能推出〃>1,

aa

所以"a>1”是“L<I〃的充分不必要条件，故A正确；

a

对「B选项，当x<l时，若工==，则不能推出xvO；反之，当xvO时，文<1成正，

所以“x<l〃是“xvO〃的必要不充分条件，故B正确；

对于C选项，当力>1时，ab>\,所以由力>1不能推出他vl：

反之当a〃<l时，若。=2,匕=；：则不能推出1,

所以“4〉1力>1〃是“他<1〃的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D选项，当。工（），。=（）时，必=0,所以山。工。不能推出岫工0;

反之，时，a^OW.b^O,所以由能推出

所以""0”是“""0”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

11.（2025•湖南邵阳•模拟预测）给定实数集A,定义集合“卜〃£叫以64都有〃?会},若M是非空集

合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（）

A.若数集A中有2025个元素，贝Ijsup/A•定存在

B.若数集A中没有最大值，则supA不存在

C.若数集A,B有上.确界,则数集{a+HowA人€母一定也有上确界，为supA+sup3

D.若数集A,B有上确界，则数集{〃“4£4〃£邛一定也有.上确界，为supAsupB

【答案】AC

【分析】根据集合的上确界的概念判断A,结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B,结合

不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C,举反例判断D.

【解析】对于A,若数集A中有2025个元素，则数集A中的元素一定有最大值，

二•数集A一定有上确界，故A正确；

对于B,若4=«xx=-,〃>1,,当〃>1时，x=—<1,

nn

则数集A中的元素没有最大值，

Va€A,都有m>a,r.m>1,

.•.supA=l,即数集A中有上确界，故B错误；

对于C,若数集A,B有上确界，设supA=m,sup8=〃，

由k确界的定义可知，对于VawA,bwB,都有。<〃?，bGn,:.a+b<,fn+n,

即sup{a+/?|aE.AJJE.B}=in+n=supA+supB,故C正确；

对干D,若A={-2,-l},B={1,2},则数集A,8有上确界，且supA=-l,supB=2,

此时{ab\aeA,bEB}={-4,-2,-1},

则sup{必IawA,Z?w8}=T¥-2=supAsupZ?,故D错误.

故选：AC

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.（2025•江西•模拟预测）已知集合4=伊“2”,〃£2},4={123,4},则AcB的真子集个数

为.

【答案】7

【分析】由交集的运算可得AQ3={L2,4},即可得到结果.

【解析】对于集合A={xlx=2",”cZ},当〃=0是，x=l,当”=1时，x=2,

当〃=2时，x=4,所以48={1,2,4},

则其真子集的个数为T-1=7.

13.若关于1的不等式〃〉一心-IvO的解集是R,则实数机的取值范围是一

【答案】-4<m<0

【解析】当机=0时，原不等式为-1Y。，符合题意：当mw（）时，要使关于丫的不等式yIvO的解

rn<0,

集为R,只需{A°/八解得-4v〃7Vo.综上，-4</?2<0.

A=nr+4m<0,

14.（2025•广西南宁•模拟预测）DeepSeek由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司

是一家专注于人工智能（AI）的中国初创公司.其AI模型于2024年年底发布，此模型足以媲美

ChatGPT,一经推出便成为全球热门话题.利用AI进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是

目前市场各种AI模型运算参差不齐.技术人员对〃个AI模型进行测试，测试由，〃道题组成，每个AI模型

都对这，"道题逐一进行求解.若一道题至少有♦〃个AI模型未解对，则称此题为难题；若一个AI模型至少

解出了]〃?道题，则该AI模型测试成绩合格.如果测试至少有金〃个AI模型成绩合格，且测试中至少有

33

2

，加道题为难题，那么nrn的最小值为.

【答案】9

【解析】设有4个AI模型合格，y道题为难题，则XN,），之：〃?，

22

依题意有x•—m+y—n<mn,

3,3

2222

所以x•—in<mn-y--n<mn——m--n

3'333

25

所以《

36

2222

同理Mnm-x—m4w/i--zi

25

3.6

要使两式有整数解，则〃?之3,“23,所以〃〃槎9.

当〃?=3,〃=3时，若3个AI模型生答题情况如下表:

题目1题目2题目3

AIiVVX

AI2VXV

XX

AI3V

则有2个AI模型合格，2个难题，符合题意，所以，〃〃的最小值为9.

三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）（24-25高一上•新疆昌吉•期末）设全集U=R,集合A={x|2WxW4},集合

ii={x\-aa-2}

⑴当〃=5时，求AcA和（Q8）UA；

⑵若“xeA〃是“xeB〃的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当。=5时，B=（x|-5<x<3）,/8={x[x<-5或x>3},

.-.AnB={x|2<x<3},卜4={x[x<-5或壮2}.（5分）

（2）•.•"xeA"是“》e8”的充分不必要条件,

:.A隆B,（7分）

・•.仁U（等号不同时成立），解得。之6,

[”224

•••实数。的取值范围为{。1。26}.（13分）

16.（15分）（24-25高二下•浙江宁波•期中）已知函数/（x）=（m+l）f-"a+加—

⑴当加>-2时,解关于X的不等式/（A）>m；

⑵若不等式/"）之。对于任意工4-2』恒成立，求加的取值范围.

【解析】（1）由,（析之（,]i!!!（m4-l）A：2-/nr-l=[（m+l）x+l]（x-l）>0,（2分）

当加+1=0,即加=一1时，解集为{刈％-1}；（4分）

I

当〃7+l>0.即5>一1时,解集为“1x4-或xNl}：（6分）

m+\

当加+1V0,即一2<〃?<一1时，解集为｛x|lKxK——匚｝.（8分）

"7+1

（2）由题设，x4-2,1］时（m+1）/-如+加一1之0恒成立，

13

所以，〃(x~—X+1)21—x~,乂r一X+1=(%—)2H—>0,

24

所以犬4-2,1]l./n>-一^:——1恒成立,

X--x+l

令，=2—xe[l,4],则l=2—X,(11分)

当且仅当，=6，即x=2—JJ时取等号，所以m2手.（15分）

17.（15分）（2025广东华南师大附中高一上期中，中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形

A8CD）为P,左右两边都留有宽为4cm的空白，顶部和底部都留有宽为2acm的空白.

“竺

\D

AB

（1）若A8=20cm,AC=30cm,且该宣传单的面积不超过lOOOcnf,则。的最大值是多少？

（2）若a=2cm,P=800cm2»则当AB长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？

【解析】⑴由宣传单的面积不超过lOOOcm?,可得（20+2a）（30+4a）Wl（XX）,（3分）

化简得2片+35〃―1004。=（2〃-5）（〃+20）弓0,（5分）

解得一204。1,（7分）

又”0,所以故。的最大值为二（8分）

22

（2）设AB=xcm,则BC=幽cm,设宣传单的面积为S,（10分）

x

贝i」S=（x+4）（陋+8）=8工+^^+8322832+2^1^^=1152,（13分）

当且仅当8x=—(x>0),即x=20时取等号.（14分）

X

所以当A3长为20cm,宣传单的面积最小,最小的面积是1152cm2.（15分）

18.（23-24高一上•湖北武汉•开学考试）已知二次函数f-6X+5.

⑴求二次函数的顶点坐标和对称轴；

（2）当1WXW6时，函数的最大值和最小值分别是多少？

（3）当fWxWf+3时,函数的最大值为加，最小值为〃，若加-〃=3,求Z的值.

【解析】（1）

vy=x2-6x+5=（x-3）2-4,

.•.对称轴为x=3,顶点坐标为（3,T）.（4分）

（2）•.•顶点坐标为（3,-4）,

当x=3时，）'破小值=Y：

•.•当1KXK3时，y随着x的增大而减小，

*'•当x=1时’最大值=°，

•.♦当3<x46时，）'随着x的增大而增大，

当％=6时,y锻大值=5；

综上所述，当时，函数的最大值为5,最小值为-4.（9分）

（3）当时，对/进行分类讨论：

①当/+3v3时，即fvO,V随着x的增大而减小，

当工=r+3时，n=（/+3）2-6（r+3）+5=/2-4,

当时,m=t2-6t+5»

2

...m-n=r-6r+5-（r-4）=-6r+9,-6/+9=3,

解得：r=l（不合题意，舍去）；112分）

②当（）士<3时，顶点的横坐标在取值范围内，."=7,

当（）4,工：时，在工=，时，6=/一6/+5,

m-n=r-6r+5+4=r-6r+9，即/-61+9=3,

解得：Zj=3—\/3,4=3+6（不合题意，舍去）；

当不