2026-2027学年人教A版高中数学必修第一册课时练习：第2章 一元二次函数、方程和不等式

第2章一元二次函数、方程和不等式

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2026云南昆明期中）若两个正实数占），满足L+±二1,则实数个的最小值是（）

xy

A.4B.8

C.16D.24

2.已知。=-1-2^力二-2¥2-2,。=遍-1,则（）

A..h<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

3.（2026安徽合肥期末）已知关于x的不等式加+公-2>0的解集为31<r<2},则不等式

一<0的解集是（）

C.{x|-3<x<l}D.{x|-l<x<3}

4.不等式兽？<2的解集为（）

xz+x+l

A.{X|J#-2}B.R

C.0D.{加<-2或x>2]

5.（2026浙江杭州期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品,操作方法如下:先将

10g的祛码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使得天平平衡;再将10g的

破码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡.你认为两次实际

称得的药品总重量（）

A.等于20gB.大于20g

C.小于2（）gD.以上都有可能

6.已知函数）=（F+4h5）f+4（l-垃r+3的图象都在x釉的上方,则实数k的取值范围为

（）

A.{粗<&<19}B.网1WZW19}

C.{>|ldW19}D.{川1WA<19}

7.已知〃>（）力>0,且2々+/?=1,若不等式三+92〃2恒成立,则m的最大值等于（）

aD

A.10B.9

C.8D.7

8.己知实数x,y满足-4W/->W-1,-1W4_r-yW5,则9x-y的取值范围是（）

A.{|-7W26}

B.{9x-y|-l〈9x-yW20}

C.{9x-y|4W9x-）Wl5}

D.{9*y|lW9x-yW15}

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中、有多项符合题

目要求.全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若三<：<0,则下列不等式正确的是（）

ab

A.|«|>|/?|B.V^a<\Tb

C.a+b>abr）.a2-a<b2-b

10.已知Q>06>0,若〃+2b=l,则下列选项正确的有（）

A力的取值范围是{砸〈〃苫}

B.ab的最大值为:

C.a]的最大值为1-2加

D.2+：的最小值为8

ab

11.已知关于x的不等式aF+"+cW（）的解集为{川1<-1或xN2},则下列说法正确的是

（）

A.a>0

B.ar+oO的解集为{加<2}

C.cx2+Z?x+t/<0的解集为{x|-lC<[}

Dz/+/?+c<（）

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.设。力为实数,比较两式的值的大小:层+尻2〃-2>2（用符号

或“二"填空）.

13.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润

M单位:十万元）与营运年数Mx£N*）为二次函数关系（二次函数的图象如图所示），则每辆

客车营运年时，年平均利润最大.

14.若关于x的不等式A2-w,r4-/??+2>0,X'j-2^x^4恒成立，则m的取值范围

是

四、解答题:本题共5小龈共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（13分）（2026陕西西安期中）求下列不等式的解集：

⑴■式公。；

（2合2

⑶|4x+2|<3.

16.（15分）（2026福建福州期中）已知关于；v的不等式ajr-x+1-a於0.

（1）当3WxW4时，不等式五-x+1-aWO恒成立，求实数。的取值范围；

（2）当心0时，解关于x的不等式.

17.（15分）已知函数）=（〃!+1）x2-mx+m-1（tnR）.

⑴当机=0时，求不等式）>0的解集；

（2）若不等式）〉0的解集为。，求实数〃?的取值范围；

⑶对任意的.re不等式后-x恒成立，求实数m的取值范围.

18.（17分）某服装厂拟在今年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的

年产量）皿单位:万件）与年促销费用x（0Wx<10）（单位:万元）满足团二已知今年生产

该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品

的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资

金,不包括促销费用）.

（1）将今年该产品的利润y元表示为年促销费用1万元的函数；

（2）该服装厂今年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

19.（17分）已知xj都是正数.

⑴若2x+3）=3,求孙的最大值；

（2）若2r+y=l,求2）的最小值;

（3）若工+2=2,且求x+y的最小值.

x-y2y

附加题：

勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》某章有云:“今有勾五步,

股十二步，问勾中容方几何?”这个问题（图1）己知直角三角形两条直角边长，要求一个与

直角三角形A8C有公共直角的正方形GFE8的边长（即“勾股容方”）.记|8C|二a,|胡|二>

图2

⑴若。=5,正方形GFE8的边长不小于4求b的取值范围；

(2)图1中直角三角形48c斜边上的中线记为BM,比较线段与3尸长度的大小，并

证明你的结论；

⑶事实上，直角三角形ABC还有另一个内接正方形少GF?(图2),该正方形的一边与

直角三角形A3C斜边AC部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢?请求出正方

形GFEB与正方形。6户公的面积，并比较它们的大小.

答案：

LCVx>0,y>0,/.1=-+-^2口,

Xyyjxy

，6^24,1.xy216,当且仅当工=-=工时，等号成立，，孙的最小值是16.故选C.

xy2

2.A46=-/-2¥-(・2¥2-2)=『-2什2=。-1)2+1>0,故a>b,c-a=4S-1-(-X2-2A)=X2+2X+V5-

1=(x+l)2+遍-2>0,故c>a,

综上/2<〃<C.故选A.

3.D由题意〃<(),且1+2=--,1x2=-,・・.〃=-1力=3,不等式随<(),Fp—<(),：.-\<x<3.故选

aax-bx-3

4.A因为x2+x+l=(x+1)2+40,

所以原不等式等价于x2-2『2<2x2+2x+2,

即x2+4x+4>0,即(K+2)2>0,所以#-2.故选A.

5.B设天平左臂长为〃7,右臂长为n,rn,n>0且〃#〃，左盘放的药品为xig,右盘放的药

品为X2g,

m/l07n=n“2,初加10n10mlOn10mllOn10m。八业R业

则m丫-lOn解何"笛"年用二丁/二川十型二二+丁22二・二一二2(),当且仅当m=n

\TTLX^—LUTl,77inmriXmri

时，等号成立，而〃存〃，所以x>20.故选B.

6.D因为y=(Zr+4Z:-5)x:+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方，

①当一+42-5=0时，解得k=-5或2=1,

当k=-5时，函数)，=24r+3为一次函数,不满足条件；

当k=\时，函数)=3满足条件;故k=l.

②当F+4h5/)时，函数y=(F+4h5)f+4(l/)x+3为二次函数，

『2+4k5>0,[<k<\9.

(A=16(1-/C)2-12(/C2+4匕5)<0,

综上,实数上的取值范围为｛川故选D.

7.B由已知得乙+工=^^+2=4+劲+也+1=5+2(2+2)25+2x2”=9,

ababababyjab

当且仅当4=/?/时，等号成立.

3

又2+工恒成工,

ab

・・・〃zW9,即，〃的最大值等于9.故选B.

n-m

3，

8.B令〃?=x-y,〃=4%暝则<n-4m

y=3，

Q$

贝Iz=9x-y=-n-m,

33

‘333'

又-1〈〃W5,・・・-2W与WN

333

-1忘2=94->=2〃金，"《20.故选B.

33

9.BDV-<i<(),AZ?<^<0,A-b>-a>(\：.\b\>\a\,\Tb>故A错误,B正确；

ab

•••。+/?<0,4力>0,；・。+力<4仇故C错误；

Va2-a-b2+b=(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-\),又a-b>O,a+b-l<0,a2-a-b2+b<0,

即W-a<R-b、故D正确.故选BD.

10.ABD由题设。=1-28>0,则/X/又。>0,故。的取值范围是｛砸</?<，故A壬确;

由ab=h(1-2/?)=-2(b--)2+工,且0d，故ab的最大值为工,故B正确;

4828

由cR=l・(2b+》Wl-2®^=1・2正当且仅当方=当时，等号成立，

而0<〃<3所以。=取不到1-2或,故C错误；

2b

当且仅当力/时，等号成立，故三+：的最小值为8,故D正确.故选ABD.

24ab

11.BC因为不等式加+〃x+cW0的解集为{加W-1或工22},

■1+2=1=(卜=-a

所以〃<(),f可得£

-lx2=-2=-,匕=-2见

a

贝Iax+c>0,即or-2a>0,得X-2<0K<2.

又|+饭+。<0化为-2/-0¥+。<0,

可得2_^+心1<0,解得-1令q

因为a+b+c=a-a-2a=-2a>0,

故A错误,B正确,C正确,D错误.故选BC.

12.2因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-})2+(b+1)2^0,«=1,/?=-1时，等号成立，

所以a2+b2^2a-2b-2.

13.5二次函数图象的顶点为(6,11).

设)与x的关系式为)=〃(x-6)2+11(〃彳0),

代入点(4,7),解得.所以y=-f+12r-25,年平均利润为?=忙乎交=-(工+§)+12(

2唇+32,

当且仅当X咚即x=5时，等号成立.

14.{m|2-2百<〃?<2+2b}［殳y=X2-/ALV+m+2=U--)2--+/??+2.

24

①当/W-2,即时，此时y在X--?.处取最小值，最小值为4+2〃7+6+2=3m+6>0,解

得m>-2,

又mW-4,，无解；

②当-2<£<4,即-4<〃?v8时，此时y在户三处取最小值，最小值为-9+〃z+2>(),

解得2-2A/3<W<2+2V3.

又-4<〃?<8,2-2yj3<m<2+2y/3;

③当124,即加28时，此时)，在x=4处取最小值，最小值为16-4/7?4-/?74-2=18-3w>0,

m<6.

又〃z28,・••无解.

综上，用的取值范围为{m\2-2y/3<tn<2+2V3).

15.解(1)V2?-x-6>0,A(2x+3)(x-2)>0,

・，・x<-|或x>2,

，原不等式的解集为{Mrv?或x>2}.

2

(2)・・・922,・・・瞪-220,・・.要20,・・・署〈0,

，代2紧7)40,,2<U

(x-2H0,3

・•・原不等式的解集为｛x\2<x^].

(3)•・•|4x+2|<3,J-3<4x+2<3,・•・--<x<-

44y

，原不等式的解集为｛M三令<2｝.

44

16.解⑴不等式加-x+l-aWO可化为当31xW4时不应P1W15,2Wx・

1W3,

所以不等式化为又

X+14<x+l<5,

所以去之点所以实数。的取值范围是｛而4｝.

(2)不等式Q.F-X+1可化为(x-1)(a*1+〃)W0,

因为〃>0,所以方程(x-l)(or-l+〃)=0的根为1和5-1,当'-1=1时,。=*所以当〃二之时，不等

式为(x-l)2W(),解得x=l;当0<〃<工时工1>1,解不等式得1<工<工-1;当〃>工时二1<1,解不等

2aa2a

式得L1VX<1.

a

综上，当。带时，原不等式的解集为｛“；

当0<〃<；时，原不等式的解集为31d-l｝；

2Q

当〃>二时，原不等式的解集为｛"-1VX<1｝.

2a

17.解⑴当m=0时j=xM,

由y>0得Pl>0,解集为｛小V-1或『>1｝.

⑵当m=-\时，由)>0,得到心2>0,所以x>2,不合题意，

当〃#-1B寸，不等式)>()的解集为Q

得+1-,1…解得〃w-W，

(/=mz-4(m+l)(m-l)<0,3

所以实数m的取值范围为｛司机W-卓).

(3)由不等式y2-x,得〃7(*-工+1)2-f-x+1,

因为.r-x+1=(%-1)2+[>()恒成立，

-x2-x+l_.2(l-x)

所以加t

2X2-X+l-X2-X4-l'

设1-广群可2，3则，£耳，|]/=1",

所以=—J——=丁」=-i-.

x2-x+l(l-t)z-(l-t)+lt2-t+lt+1-l

因为什工22仁=2,当且仅当U1,即户0时，等号成立,所以当x=0时，(学上)=1,

t7t〈mx+i/max

所以〃?21.故实数m的取值范围为(〃巾“21).

18.解(1)由题意知每件产品的销售价格为2X"N

y=m-2x----(8+16m+x)=8+16m-x=56--^-x,Rl7v=56-^--^(0WxW10).

⑵由广56.言・户57.瑞+(x+1)]W57-2息G+l)=49,

当且仅当今=x+l,即x=3时取等号.

故该服装厂今年的促销费用投入3万元时，利泗最大为49万元.

19.解⑴因为对都是正数,

则2x+3yN2j2k3y=2j6xy,即2,6xyW3,

解得x)W，,当且仅当2x=3y,即时，等号成立，所以xy的最大值为三.

84”28

(2)0为A>0J>0,JL2X+)=1,所以经12也=f+2=1+%上包=2+

1+AT

-=l+(-+2)(2x+y)=13+"+—^13+2但卫二25,

yXy/vxyyjxy

当且仅当y=2r,即)=点产：时，等号成立，

因此，炉的最小值是25.

(3)由x,y都是正数，且x>y,由卷+^=2可得x+y=x-y+2y=[(x-y+2y)(+

步9+竟+,)若x(2+2j竟.第二2.

当且仅当鼻=等，即时，等号成立,

X-y£y4Z

所以x+y的最小值为2.

附加题

解⑴设正方形GFEB的边长为x,则x，d,

由题意可知,ZVIG厂与AFEC相似，

所以有空=二，解得”二2.

xa-xa+b

因为〃=552",显然0<"<5,

所以生已&得62卫.

故实数b的取值范围为g族2芸.0vd<5}.

5-d

（2）3MN3E证明如下：

由题可知5M二Uc二唬里，

22

由（1）可知、BF=EBE=^、

Q+b

由基本不等式可知,BM=匹箸>浮,

L\[2ab'/2abd2ab

BnF-------<—p==-------

a+b2\[ab2

故8M二处空>—>空二BF,当且仅当a=