初二数学：二次根式综合复习 教案（学生版）

二次根式的综合复习

1、二次根式的概念、性质\

知识点

2、代数式■

3、二次根式的乘法、除法法则\

4、最简二次根式i

5、二次根式的加、减法则及混合运算\

熟练掌握二次根式的概念和性质以及二次根式的运算\

教学目标

教学重点二次根式的乘除运算|

二次根式的加减运算|

;教学难点二次根式的加减乘除混合运算J

1

1

1

1_____________________________

【知识导图】

积和商的算术平方

根的性质

二次根式d乘除P

法则

r一化二找三合并

加减

混合运算

教学过程

—、导

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状

态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象：

②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学

生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：

一、复习预习

二次根式的性质:

1、、储（a^O）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数。即而2

0（a>0）,我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

2、）2=a（a^O）,这个性质可以正用，也可以逆用，正常时常用于二次根式的化简

和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完全平方数的形式，常用于多项式的

因式分解。

3、J7=a（a20）,这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即

当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非

负数化为一个二次根式。

二、知识讲解

考点1代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起

来的式子，叫做代数式。注意：代数式是“和”式，带有单位时，代数式应加上括号“

考点2二次根式乘、除法则

1.一般地，对二次根式的乘法规定：木・木=mQ20,620）.即二次根式相乘，把

被开方数相乘，根指数不变。

注意：

（1）在进行二次根式的乘法运算中，一定不要忽略被开方数a、b均为非负数。

（2）此法则可以推广到多个二次根式相乘的运算。

（3）若含有系数的二次根式相乘，可类比单项式的乘法法则，将它分为系数和根式两部分

分别运算，然后相乘。

(4)二次根式相乘，先把被开方数相乘，根指数不变。如果积中有能开得尽的因数或因式，

一定要开尽方。在计算多个二次根式相乘时对被开方数要进行分解因数，以便能将开得尽方

的因数移到根号外，从而可以使运算简便。

2.般地，对二次根式的除法规定：出=

(aNO,Z»O).即两个二次根式相除，把被

开方数相除，根指数不变。

注意：

(1)二次根式除法运算的结果也要进行化简

(2)在运用公式时要注意条件a>O,b>0.

(3)若含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式两部分

分别运算，然后相乘。

考点3积和商的算术平方根的性质

积：y[iib=ylli,y[b（心0,。20）

商:（40,。>0）

考点4最简二次根式

最简二次根式必须满足以下两个条件:

1、被开方数不含分母

2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

理解：

1、被开方数不含分母，其实质就是说被开方数的因数是整数，因式是整式

2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是指被开方数的每一个因式的指数都小于根

指数2,因此每一个因式的指数都是1,•一个二次根式是最简二次根式，必须同时具备

以上两点。

考点5二次根式的加减

二次根式的加减可归结为“一化二找三合并”

即“化”：化成最简二次根式

“找”：找出被开方数相同的二次根式

“合并”：合并被开方数相同的一次根式。

三、例题精析

类型一二次根式的性质

例题1

若正在实数范围内有意义，则工的取值范围是___________.

x-\

例题2

若3V〃？V4,那么J（3_"?）2_J（"7-4）2的结果是（）

A.7+2B.2-7C.7-2D.

1-2

类型二二次根式的混和运算

例题1

⑴计算屉同4喂⑵解方程“—（21）

例题2

x—3x~—2.x—31

先化简，再求值:其中X=&+1.

x2-l"x2+2x+l7-F

类型三最简二次根式

例题1

下列二次根式中，是最简二次根式的为（）

2

A.Vl2B.ylahC.4abD.

例题2

把卜列各式化为最简二次根式

(x>0,)，-(),2-0)

类型四积和商的算术平方根的性质

例题1

斜边边长为6.5cm,一条直角边长为6cm的直角三角形的另一条直角边长是

例题2

若a=4+=8,c=4—G,则J/??-4c/c=

四、课堂运用

i.如果卜一6|+/7与=0,则v的值是.

2.下列运算正确的是()

A.a2+a4=a6

R.(〃》二〃5

C.瓜+叵=3应

【).(a-h)(-a-b)=-a2-lab-h2

3.已知4+'=Jid,则Q—L的值为()

aa

A.±2>/2B.8C.土迷D.6

观察下列各式：①1二2。，②j2+；=34

4.

请用含〃"21且〃为整数）的式子写出你猜想的规律:

巩固

1.计算：

(1)(275+372)(275-3V2)

(2)V48-V3-4v72+V24

2.在实数范围内分解因式：系一9二

1lx(V2-l)r-

T77m)(¥i)；

1:1x(6-⑸二百叵

g+vr(K+扬(石-扬-‘

1=lx(^-2)=^_2

V5+2(V5+2)(V5-2)

(1)试求厂1(-

的值:

V7+V6

11111

⑵计算：*方+百耳+后石十…十夜二府十的二同

拔高

1.一个等腰三角形的两边长分别是2百和3夜，则这个等腰三角形的周长为

2.已知，〃是正整数且J27O7〃是整数

(1)求〃的最小值；

(2)试写出满足J2707〃V2107的〃的所有可能值

3.若a二—二立,bJ+好,求下列各式的值

2222

(1)cr-ab+b1(2)a2+/?2(3)-+-

ab

五、课堂小结

1、二次根式的概念、性质

2、代数式

3、二次根式的乘法、除法法则

4、最简二次根式

5、二次根式的加、减法则及混合运算

六、拓展延伸

基础

1.下列计算中正确的是（）

A、石-^3=^2

B、强+A/2=4

C后=3忑＞

D（1+72X1-72）=1

2.下列二次根式中，能与加合并的二次根式的是（）

A.B.-C.D.

3.若%-I）?=1-2〃,则（）

B.aW-C.ci>—.D.心—

222

4.已知J不是整数，则正整数〃的最小值是（）

A.4B.5C.6D.2

巩固

1.已知|