25.3　实际问题与一元二次方程（第1课时）学习任务单2026-2027学年人教版九年级上册数学

25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）班级_________姓名_________学习目标学习目标1．能结合勾股定理、矩形周长面积公式，根据几何图形中的等量关系列一元二次方程；掌握矩形一题多设未知数的方法，能对比不同设元思路的优劣；会根据几何长度、边长为正的实际意义，检验方程的根并舍去不合理解．2．经历“审图形→设未知数→列方程→解方程→检验取舍”完整建模过程，提升从几何图形中提取等量关系的能力．3．感受一元二次方程作为几何计算模型的实用性，养成解题后检验结果是否符合现实长度的严谨习惯．课前学习任务课前学习任务1．默写基础公式：（1）直角三角形三边关系（勾股定理）：___________________；（2）矩形周长公式：___________________，矩形面积公式：___________________；（3）正方形面积公式：___________________．2．简答：列一元二次方程解应用题完整六步骤为__________________________________．3．预习思考：已知矩形周长40m，若设一边长为x

m，邻边长用含x的代数式表示为_____________．课堂学习任务课堂学习任务【学习任务一】新课讲解【问题】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为________，________，________，其中x为正整数．由勾股定理，得，解方程，得x1＝________，x2＝________（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为________，________，________．【问题】用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96

m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为96m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解．解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为________m；再由矩形的面积为96m²，得________________．解方程，得x1＝________，x2＝________．因此，用一根长为40m的细绳可以围成一个面积为96

m²的矩形区域，这样的矩形________，其两邻边长分别为________，________．设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：（1）可设一边长为xm，那么其邻边长为________m；等量关系：邻边和为_______；方程：______________（2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为________m．等量关系：面积为_______；方程：______________小组讨论：三种设元哪种计算最简单、哪种容易出错？【学习任务二】课堂练习【问题】现有一根长30cm铁丝，围成矩形面积50

cm2，求矩形两边长．解：设矩形的一边长为xm，由铁丝长30cm，可得此边的邻边长为________cm；再由矩形的面积为50cm²，得________________．解方程，得x1＝________，x2＝________．因此，矩形两边长分别为________，________．【学习任务三】典例精讲例1某农场有一块长为40m、宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140m2，求小路的宽．例2如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为80m2？例3小林准备进行如下操作试验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说