广东省惠州市2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，时间120分钟.2026.7一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.若，，则（

）A. B. C. D.2.如图所示，是用斜二测画法所得的水平放置的直观图，其中，则的面积为（）A. B.C. D.3.已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量（

）A. B. C. D.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第70百分位数为（

）A.17 B.16.5 C.16 D.15.56.惠州西湖泗洲塔是西湖标志性建筑，其高度约为38米（不计塔基高度）.某同学在西湖边两点观测泗洲塔塔顶，已知两点在同一水平面上，且两点到塔底的距离相等，（为塔底，⊥平面），在两点测塔顶的仰角均为，则两点之间的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米7.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件至少有一颗骰子的点数为5；事件.则下列说法正确的是（

）A.事件与事件为互斥事件 B.C.事件与事件相互独立 D.8.依据国家气象学通用规范，入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于．立夏之后，测得惠州连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定惠州入夏的是（

）A.总体均值为，中位数为B.总体均值为，总体标准差大于C.总体中位数为，众数为D.总体均值为，总体标准差为二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（

）A.复数的虚部为B.C.复数在复平面内对应的点位于第二象限D.复数的共轭复数为10.已知平面向量，则下列说法错误的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.且，则或11.棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，BC的中点（如图1），则下列结论正确的是（）A.平面PMN截正方体所得截面的形状为六边形B.异面直线与所成角为C.若点Q为平面PMN上的动点，且直线与所成角为，则动点Q的轨迹长度为D.若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角所对的边分别为，若，，，则_______.13.某圆锥的母线长为，其侧面积与底面积之比为2，则该圆锥的体积为____.14.已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________．四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校的社团招聘面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过.否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.（1）求李明第二次答题通过面试的概率；（2）求李明最终通过面试的概率.16.为响应国家《新一代人工智能发展规划》中“广泛开展人工智能科普活动，提升全民智能素养”的号召，某中学举办了“智创未来·知识竞赛”，引导学生了解人工智能的发展历程、核心技术、伦理安全及其在国家现代化建设中的重要作用，培养学生科技报国的责任感和创新精神.为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，...，六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）学校计划给成绩排名前的学生颁发“未来之星”荣誉证书，以表彰他们在人工智能科普学习中的优异表现.试估计获得该证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，落在中的样本数据的平均数是66，求这两组数据的总体平均数.17.在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围.18.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.记为.（1）已知向量，，求的值.（2）设向量，，其中.记，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.（3）已知点，，动点的坐标为，其中.记的面积为.若对任意实数，不等式恒成立，求实数的最小值.

数学满分150分，时间120分钟.2026.7一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.若，，则（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的运算法则求解即可.解答过程：已知，，则.2.如图所示，是用斜二测画法所得的水平放置的直观图，其中，则的面积为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图形，确定原三角形的底边长和高，利用三角形面积公式求解.解答过程：∵在直观图中，，根据斜二测画法：水平长度不变，竖直高度减半，∴原图形中，，即底边，高为，所以的面积为.3.已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：借助投影向量定义计算即可得.解答过程：.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：C解析：思路：根据直线与平面、平面与平面的判定和性质可逐项判断.解答过程：对于A，直线可以平面的交线，故A错误；对于B，直线可以在平面内，故B错误；对于C，一直线同时垂直于两平面，则这两平面平行，即，，则，故C正确；对于D，直线可以在平面内，故D错误；故选：C.5.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第70百分位数为（

）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5答案：A解析：解答过程：已知数据的平均数为16，因此有

，解得，将该组数据从小到大排序为，共5个数据，因为，因此第70百分位数为排序后第4个数据17.6.惠州西湖泗洲塔是西湖标志性建筑，其高度约为38米（不计塔基高度）.某同学在西湖边两点观测泗洲塔塔顶，已知两点在同一水平面上，且两点到塔底的距离相等，（为塔底，⊥平面），在两点测塔顶的仰角均为，则两点之间的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：C解析：思路：利用线面垂直的性质及仰角定义求出的长，再在中利用余弦定理求解的长.解答过程：因为平面，且平面，所以，，在中，，，所以，同理，在中，，，在中，由余弦定理，，所以，故两点之间的距离为米.7.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件至少有一颗骰子的点数为5；事件.则下列说法正确的是（

）A.事件与事件为互斥事件 B.C.事件与事件相互独立 D.答案：C解析：思路：根据给定条件，用列举法求出事件，再利用互斥事件、相互独立事件及概率的基本性质求解判断.解答过程：依题意，抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子的试验有个基本事件，事件，共6个基本事件；，共11个基本事件；，共12个基本事件，对于A，由，得事件与事件不是互斥事件，A错误；对于B，由，得，B错误；对于C，由，得，而，因此，事件与事件相互独立，C正确；对于D，，，D错误.8.依据国家气象学通用规范，入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于．立夏之后，测得惠州连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定惠州入夏的是（

）A.总体均值为，中位数为B.总体均值为，总体标准差大于C.总体中位数为，众数为D.总体均值为，总体标准差为答案：D解析：解答过程：选项A：举反例，气温（单位），均值、中位数，含，不满足入夏标准，A错误；选项B：标准差大于0仅说明数据不全相等，举反例：气温（单位），均值、标准差，含，不满足入夏标准，B错误；选项C：中位数、众数无法限制最小值，举反例：气温（单位），中位数、众数，含，不满足入夏标准，C错误；选项D：反证法，若存在某一天的日均气温低于，即该天温度（单位），因为均值，标准差，方差,所以，，则，与题目的方差为矛盾，所以假设不成立，即五天所有气温均不低于，符合入夏标准，D正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（

）A.复数的虚部为B.C.复数在复平面内对应的点位于第二象限D.复数的共轭复数为答案：ABD解析：思路：先利用复数的运算法则化简复数，再结合复数的虚部、模长、几何意义、共轭复数的定义逐一判断选项即可．解答过程：，对于选项A：复数的虚部为实数，所以A正确；对于选项B：，所以B正确；对于选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，所以C错误；对于选项D：复数的共轭复数为，故的共轭复数为，所以D正确．10.已知平面向量，则下列说法错误的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.且，则或答案：BC解析：思路：根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：若，则，得，故A正确；平面向量，则，解得或，故B错误；若，则，得，故C错误；由（对应点在轴），，可得或，故D正确.11.棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，BC的中点（如图1），则下列结论正确的是（）A.平面PMN截正方体所得截面的形状为六边形B.异面直线与所成角为C.若点Q为平面PMN上的动点，且直线与所成角为，则动点Q的轨迹长度为D.若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为答案：ACD解析：思路：A取的中点，说明截面为即可；B求直线与所成角即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解.解答过程：A选项，如图，取的中点，易得，，故平面PMN截正方体所得截面为，即为六边形，故A正确；B选项，因为，所以异面直线与所成角、直线与所成角相等，即为，故B错误；C选项，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，同理可得，，因为平面，所以平面，设平面，因为平面，所以，因为直线与所成角为，所以，则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确；D选项，连接，因为平面，所以三棱锥的高为，则，同理可得，，因为，且，所以，所以，，因为，所以，所以，因为，所以十面体的体积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角所对的边分别为，若，，，则_______.答案：解析：解答过程：因为，由正弦定理可得，因为，所以，由余弦定理可得，即.13.某圆锥的母线长为，其侧面积与底面积之比为2，则该圆锥的体积为____.答案：##解析：思路：先利用侧面积与底面积的比值求出底面半径，再结合母线长计算圆锥的高，最后代入圆锥体积公式求解即可得.解答过程：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由题意得，圆锥侧面积，解得，则

，故.14.已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________．答案：##解析：思路：采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案.解答过程：因为，所以，则，固定，又因为，依次类推画出图象，如图所示：,,,,.则，或1，，或2，.

的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值，

.故答案为：.四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校的社团招聘面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过.否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.（1）求李明第二次答题通过面试的概率；（2）求李明最终通过面试的概率.答案：（1）（2）解析：（1）设第次答对为事件，则，，记“李明第二次答题通过面试”为事件，则第一次答错，第二次答对，即，所以李明第二次答题通过面试的概率为.（2）记“李明最终通过面试”为事件，则，可得，所以李明最终通过面试的概率为.16.为响应国家《新一代人工智能发展规划》中“广泛开展人工智能科普活动，提升全民智能素养”的号召，某中学举办了“智创未来·知识竞赛”，引导学生了解人工智能的发展历程、核心技术、伦理安全及其在国家现代化建设中的重要作用，培养学生科技报国的责任感和创新精神.为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，...，六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）学校计划给成绩排名前的学生颁发“未来之星”荣誉证书，以表彰他们在人工智能科普学习中的优异表现.试估计获得该证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，落在中的样本数据的平均数是66，求这两组数据的总体平均数.答案：（1），平均数为（2）（3）解析：思路：（1）由概率之和为1即可求解，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解；（2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解；（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解.（1）由题可得，所以样本数据的平均数约为；（2）成绩较高的前的学生对应的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，设获得该荣誉证书的最低分数为，则，则；（3）由题可得成绩在和的频数分别为，，所以这两组数据的总平均数.17.在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过正弦定理实现边角互化，结合两角和的正弦公式化简即可求得角A；（2）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，结合锐角三角形的约束确定角的范围，再通过三角恒等变换求周长的值域.（1）已知，由正弦定理得，

由，得，因为，所以，得，故.（2）由正弦定理得，因此，，由得，因为为锐角三角形，所以，

解得，周长，由得，因此，代入得.18.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.答案：（1）证明：取的中点，连接，如图所示.则，.因为平面，平面，所以平面.因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，.因为平面，平面，所以平面.又因为平面，，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）（3