2027年高考数学一轮复习（天津专用）数列（原卷版+解析版）

数列（综合训练）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知数列｛%｝是等差数列，*则m=（）

玉3d12

3111

A.—B.—C.-D.—

10389

2.已知正项数列｛%｝满足」一+」一+…+—'—+/-=；，且/=%，贝U%o=（）

A.27B.30C.33D.36

3.己知数列｛%｝中，q=Lq=3al+4（〃cN且〃22）,则数列｛/｝通项公式<为（）

A.3”“B.3川-8C.3"-2D.3"

b

4.定义:d=ad-hc,已知数列｛%｝为等比数列，且%=1，：：=0，则%=<）

A.3B.±3C.9D.±9

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且3S”=4%-1（〃£N）"=log2〃“+i，则/厂+二~+…+J—=（）

b2b34"bgbg

A.2R,1c竺D.A

10101122

6.已知数列｛%｝的前〃项和S.二一，则数列｛乩｝的前〃项和［=（）

14T2“-1

A.T-\B.J-一-C.-----D.2'i-l

V33

7.如图给出一个“直角三角形数陆”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，旦

每一行的公比相等，则第8行第3列的数为（）

II

r4

333

418116

A-|B.：C.7D.1

8.数列｛q｝中，4=2，%,“=%可，若1+%+…+-0=2,-25,则人（）

A.2B.3C.4D.5

9•'7新瓯在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一

半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚

痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（）

A.6B.18C.28D.42

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.记邑为等比数列｛%｝的前〃项和，若%+%=3,%+《=:，贝US6=.

11.己知数列｛〃“｝满足4=3.%=§凡,+N'）,则%=.

12.在“5C中,角4很。的对边a也c成公差为2的等差数列若7sitU=3sinC,则△48C的面积

为.

13.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，若茅=2"+1,则用餐=.

14.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传

给另外三个人中的任何一人.如果设〃次传球后球在甲手中的概率为匕，则A=：P『.

15.。善港］已知数列｛%｝满足叫=3,—-4=2,bn=（-lf'---,则.

11aa

---------nn^\j=l

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（14分）

已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,公差d为整数,S3=21,且q,%+1，3成等比数列.

⑴求｛〃”｝的通项公式：

(2)求数列「的前〃项和Tn.

17.(15分)

已知等差数列也｝的前〃项和为S,,且％=3,§5=25.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设求数列也｝的前〃项和Tn.

18.(15分)

已知｛%｝为等差数列,圾｝为等比数列，%=4=1,%=5®-%)，与=4(d-4).

⑴求｛/｝和也｝的通项公式；

(2)设%=a也，求数列匕,｝的前〃项和为S”；

(3)若｛%｝的前〃项和为求证：T—T3.

19.（15分）

已知数列｛4｝和｛"｝满足《生…。"=(收)若也｝为等比数列，且6=2也=6+仇

(1)求数列｛%｝与｛2｝的通项公式：

⑵设%=,一：GeN*).记数列｛g｝的前〃项和为S”.

3/1n

(i)求S.：

(ii)求正整数上使得对任意〃6NZ均有邑.

20-1f新考法|(16分)

在数列｛/｝中，曲是母和物的等差中项，且集合卜/一2/心+《+；川为单元素集合.

⑴求片.

⑵已知数列［占］为等比数列，%>为.

2〃一1

(i)求应｝的通项公式：

(iD若“=嚓/一勺，证明：4+&+…+“<2.

数列（综合训练）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知数列｛勺｝是等差数列，*则m=（）

A33|2

3111

A.—B.—C.-D.—

10389

【答案】A

【分析】根据等差数列前〃项和的性质求解即可.

【详解】由今=巳得$6=3",设S3",“为非零实数，则56=3〃?，

因为数列｛4｝是等差数列，

所以S3，S6-S3，S9-S6,无-§9,…，是以，”为首项，〃，为公差的等差数列,

所以$9-56=3加,S]2—Sg=4"?,解得S9=6〃?,S]2=10机，

Sh3m3

71■以---=----=---

SI210/M10

故选：A

2.已知正项数列｛4｝满足」一+」一+…+—■—+[-=；，且4=&，则％o=（

)

A.27B.30C.33D.36

【答案】A

【分析】当〃=1时，可得出=”外，当“22时，利用作差法订得到/川-%=3,即当〃22时，数列｛〃“｝

a\

是公差为3的等差数列，从而可得的=%+3,进而可得见=生2+3,由《=%，可求解卬，生的值，再

a\

利用等差数列的通项公式即可求解60.

111,6+2a.

【详解】当〃=1时,4-——=1可得生=丁

3a,

1111

因一十一+3%一二①，

的2a2a3।6

111

可知”22时・，---+----+…+-------+TT=工②,

3”比6

用①-②得：+---白=°，

牝4+13。向3ali

等式两边同乘3。“。”+],得至113+4-。”+]=0,即a0+i-（=3,

即当〃22时，数列｛为｝是公差为3的等差数列,

6+2a.一6+54

所以为=。2+3,又生=-----所以。3二--------L

又因为q=4，则%=搭+5

整理得/_5q_6=0,即(4—6)14+1)=0,

因为数列｛4｝是正项数列，所以4=6,

所以%=6,所以％0=%+7d=6+7x3=27.

故选：A

3.已知数列｛%｝中，％=1,%=3凡_|+4（〃61＜且〃之2）,则数列｛4,｝通项公式。”为（）

A.B.3向一8C.3"—2D.3"

【答案】C

【分析】先构造新数列｛%+2｝,可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列｛为｝通项公式即

可.

【详解】由于a“=3a,i+4,两边同时加上2,得到见+2=3见7+6=33,1+2）.

因为4=1,所以q+2=3,可知数列｛/+2｝是等比数列，首项为3,且公比为3.

等比数列0+2｝的通项%=3”-2.

故选：C.

、9

b（。6

4.定义d=ad-bc,已知数列｛%｝为等比数列，且%=1，=0,则%=()

9

A.3B.±3C.9D.i9

【答案】C

【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出生的值.

49

【详解】根据行列式的定义，对于1=0,可得《4-9x9=0,即。必=81.

94

因为数列｛%｝是等比数列，根据等比数列的性质:所以

由a6a§=81,可得=81,则%=±9.

又因为%=1>0,等比数列奇数项符号相同，所以%=9.

故选：C.

5.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且3S”=4%-l(〃cN)b„=log2a,1+1,则白+=+…+J=()

7

'b2b3b3b&b9biQ

9>110>5

A.—B.—C.—D.——

10101122

【答案】B

S,,/7=1,、

【分析】根据?=S1s心2,作差得到"”=也1，即可求出｛*｝的通项公式，从而得到乙=2〃，再利

用裂项相消法计算可得.

【详解】因为3S”=4qt-l(〃eN・)，

则当〃N2时,3s

于是得3%=4an-4an_t,即an=4aw.,,

而%=3S[=4q-1,即q=100,

因此，数列｛〃”｝是首项为1,公比为4的等比数列，所以%=4”，

2n

因为a=log2%,所以bn=log,4"=log22=2n,

故选：B.

6.已知数列｛%｝的前〃项和3二一，则数列｛疯｝的前〃项和1=()

14T2"-1

A.2n-lB.J-一-C.--D.2'i-l

V33

【答案】A

【分析】先求出数列｛/｝的通项公式；再判断出｛向｝是等比数列；最后利用等比数列的求和公式即可求解.

【详解】当〃=1时，q=B=?=l：

当"22时，。=S“-S=£二-£上」=41=26f,又q=1符合上式，

Wfl/r-I33

所以4=22g),所以疯=2"，

所以数列｛疯｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以北=_:2，=2"-1.

故选:A.

7.如图给出一个“直角三角形数陇”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且

每一行的公比相等，则第8行第3列的数为()

I

4

II

r4

333

418,16

••••••

A.~B.--C.；D.1

842

【答案】C

【分析】由第1列是首项为J，公差为;的等差数列，得到第8行第1列的数，再由第8行是以公比为;的

442

等比数列求解.

【详解】解：因为第1列是首项为:，公差为)的等差数列，

44

所以第8行第1列的数为%=1+7X：=2,

44

又第8行是首项为2,公比为g的等比数列，

所以第8行第3列的数为〃=j=\，

故选：C

8.数列｛〃"｝中，/=2，4+“=%勺，若%i+%2+…+4+10=2厅一25，则*=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先根据己知得出勺=2",再应用等比数列求和公式计算求参即可.

【详解】令〃?=1，则由瞥+“=凡化,得见+1=〃4,即竽=q=2,

所以数列｛4｝是首项为2、公比为2的等比数列，所以〃.=2”,

2x(1-210)

所以4+1+4+2+…+%讨0=%(q+/+…+须)=2"X———

=2A+,X（2'°-l）=2,5-25=25X（2,0-1）,解得左=4.

故选:C.

9.#新情境|在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一

半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚

痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为()

A.6B.18C.28D.42

【答案】D

【分析】设第，天走/里，其中14〃46,由题意可知，数列｛凡｝是公比为g的等比数列，利用等

比数列的求和公式求出外的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.

【详解】设第，天走仆里，其中14〃46,由题意可知，数列｛/｝是公比为g的等比数列，

2

63

192x1(1—』］

所以，此人后三天所走的里程数为4+%+&=——以2)=42.

1-2

故选：D.

第n卷(非选择题)

二'填空题：本题共6小题，每小题5分，共3()分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.记S”为等比数列｛《,｝的前〃项和，若出+4=3,%+%=；，则§6=.

【答案】^/15.75

4

【分析】利用等比数列性质求出炉，进而可得6+%，可得$6.

【详解】设等比数列｛6｝的公比为％则/=彩；=；,

所以《+%==12,所以§6=4+42+。3+〃4+牝+。6=*

故答案为：苧

4

11.己知数列W满足q=3,4“=5%+1(〃N2,〃GN'),则%=.

【答案】3

【分析】由递推关系代入计算可得.

2

【详解】因为4=3M“=4%T+1，〃N2,

J

222

所以《=§x3+l=3,ay=yx3+1=3,同理4=§x3+1=3.

故答案为：3.

12.在“叱中，角48,C的对边a/,c成公差为2的等差数列.若7siM=3sinC,则△力8c的面积

为.

【答案】应1/日向

44

【分析】首先根据等差数列的概念结合正弦定理可得a=3,b=5,c=7,通过余弦定理求出。，最后由面

积公式即可得结果.

【详解】因为〃,6,c•成公差为2的等差数列，所以c=a+4；

因为7siM=3sinC,由正弦定理可得%=3c；

解得z/=3,/)=5,c=7,

由余弦定理可得c°sC=\C=9+25-49_1

2x3x52

因为。«0,兀），所以C=T，

所以△ABC的面积为LqbsinC=-x3x5xsin—=,

2234

故答案为：地.

4

13.已知等比数列｛q｝的前〃项和为工，若余=2"+1,则可内=.

21

【答案】了

【分析】根据等比数列前〃项和公式即可求解.

【详解】设等比数列｛凡｝的公比为1，由题意得1工1,

所以*"=胃=1+夕"，所以1=2，

"q

力I'=1-2621

所以S「S「（i一叫一（1一22]4-

故答案为：

4

14.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传

给另外三个人中的任何一人.如果设〃次传球后球在甲手中的概率为匕，则4=；4=,

211(丫

【答案】

94413)

【分析】记〃次传球后球在甲手中的事件为4,对应的概率为P”，利用全概率公式列式，再借助数列递推

公式求通项判断作答.

【详解】记〃次传球后球在甲手中的事件为4,对应的概率为P”，〃€N.,PI=O,

4+1=441+44+1则

———111

p（，编）=尸（4/.）+&44+]）=尸（4,）44川14）+尸（4）尸（4八14,）二（1一〃）§+夕晨0=7.“，

于是得P“+I=；-；p“，即p”+「；=_；（plt-5），

而P1_；=一；，

44

所以数歹心外-%是首项为-：，公比为的等比数列，

因此，2一;=一;（一3小，即P，，=;_:（一;）",

443443

所以〃次传球后球在甲手中的概率是P”=!-.

443

生」」（一）」.

34439

故答案为：①3；②

944I3J

,、/r+|11I12n+l

15.已知数列｛%｝满足%=3,an+l-an=2,-----,则Z〃二

Qnan^\i=l

【答案】?[

16〃+20

【分析】先求出数列｛〃“｝的通项，代入4=（-1）”“筌后将其拆成（-l）”“x：x（七+七），再求和,

通过裂项相消法即可求得数列的和.

【详解】由〃用％―2知数列｛%｝为等差数列，且々=3,公差,,=2,

贝lja“=3+(〃-1)x2=2〃+1,

于是4=（-］尸必=（-式〃+1

(2+1)(加+3)

=(一]『x]x(」+」

），

2〃+12〃+3

2n+i

则2%=■+&+,••+&&

=-[(-+

43

11

+(—）：

4〃一14〃+5

4355779911

(1■)=i7+^F

4r4n+5

1I

故答案为:12+16//+20

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（14分）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，公差d为整数，邑=21,且％,%+1,生成等比数歹IJ.

（1）求｛q｝的通项公式:

（2）求数列］二一］的前〃项和T„.

［"J

5〃

【答案】(1)勺=5〃-3(2)

10n+4

【详解】(1)因为S3=3q+3d=21,所以q+d=7,.....................2分

又因为%,%+1，%成等比数列，所以(七+1『=%的，

2

即（«）+d+\y=ct}+6aW,所以a：+6qd=64,

a,+d=7%=2

联立,解得I

%'+6a“=64d=5

所以4=6+5（〃-1）二5〃-3......................6分

5511

（2）由“）可褥勺。用=（5〃_3）（5〃+2）=5〃-3-5〃+2，

（_1_______=5〃

15”二3-5〃+2广5-5〃+2-10〃+4.....................14分

17.(15分)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且外=3,怎=25.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设〃=4+2-,求数列也｝的前〃项和C.

【答案】(1)2"1(2)/+2，-1

【详解】(1)解：设等差数列｛。/公差为d,首项为4/,

a.+(/=3.

a.=1

由题意，有5x4,解得L＞，

5%+—^—4=25(4=2

所以4=l+(〃-l)x2=2〃-1：......................7分

(2)解：。=4+2小=2〃-1+21,所以「=〃(1+2〃-1+==〃2+2”_I...................15分

"21-2

18.(15分)已知｛q｝为等差数列，也｝为等比数列，%="=1,%=5(%-4)，々=40一%).

⑴求｛4｝和也｝的通项公式;

⑵设％=anbn,求数列｛c,｝的前〃项和为S”；

(3)若｛凡｝的前〃项和为(，求证：。晨2＜刀"

【答案】⑴%=〃，2=2鹏(2)£=5-1)2"+1(3)证明见解析

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为"，

因为%=5(%-。3)，可得q+4d=5",

又因为%=1,解得4=1,

所以4=q+(〃-l)d=〃，.......................4分

设等比数列｛4｝的公比为g(夕＞0),

因为4=4e4-々)，可得刖4=4(如'-如)

解得4=2,所以"=A/T=2"T...........................................6分

(2)因为c“=anbn=/?x2"T,

所以S.=lx20+2x2i+3x22+・T(〃-l)x2"-2+〃x2"T,

则2s“=1X2I+2X22+3X23+・・・+(〃-1)X2R+〃X2",

两式作差得：-S“=l+2i+22+2"・・+2”T—〃x2",

则-S'=U_〃x2",整理S'=(〃-l)2"+l............................................10分

1—2

(3)因为｛%｝的前〃项和北=叫+竺宇1乂1二9誓，

则4工+2=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3),片1=；(〃+1『(〃+2『,

又刀工+2—%1=；(〃+1)(〃+2)[〃5+3)—(〃+1)(〃+2)]=—；(〃+1)(〃+2)＜。,

所以1北+2〈%1............................................15分

19.(15分)已知数列｛q｝和也,｝满足外生…”“=(后产(〃eN)若｛2｝为等比数列,且q=2也=6+4

(1)求数列｛叫与｛〃｝的通项公式:

⑵设如=，-:(〃eN').记数列｛qj的前〃项和为5“.

(i)求S“；

(ii)求正整数3使得对任意〃WK,均有，之S”.

【答案】⑴…"：r="〃+l)(2)⑴S“=£T(ii)9=4

【详解】(1)设数列｛〃“｝的公比为4,

因为的2…%=(应声,可知4>0,9>0,

当心2时,的2•••%=(②如,

所以4=(&产&,乂因为4-"=6,所以%=(及)*4分

乂因为％=2,所以12=色.=曰=4=夕=2或g=_2(舍去),

%2

所以*=2x2"“=2",由0生•(=(/)'有:

=2x2?x2°x…x2”=2"2+3++”=

所以〃=〃(〃+1)6分

1111I11

⑵⑴由⑴知，▼丁厂宁痔

nn+1

1-

所以s”=zlFJill11111

=1--