矩形的性质与判定-九年级数学预习（北师大版）学生版

第二讲矩形的性质与判定

【学习目标】

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；

【基础知识】

1、矩形的性质

矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质基

础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性

1).内角为90。

2).对角线相等

3).以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2、矩形的判定方法分为两种途径：

1).在四边形基础上证明三个角等于9。°,即三个角等于9。°的四边形是矩形；

在平行四边形基础上+矩形特性：

2).对角线相等的平行四边形是矩形；

3).有一个角是9°°的平行四边形是矩形；

【考点剖析】

考点一：应用矩形的性质进行计算、求解

如图，已知矩形43co中，E是AO上一点，〃是A3上的一点，EFLEC,且EF=EC.

(1)求证：/XAEF^^XDCE.

(2)若£>E=5cm,矩形A3CD的周长为38cm,求AE的长.

考点二：矩形的判定

例2.已如，如图，在zvlBC中，AB=AC,A。是边的中线，过点A作BC的平行线，过点E作的

平行线，两线交于点E,连接。E交AB于点。.

(1)求证：四边形AQ8E是矩形；

考点三：矩形折叠问题

例3.如图，将矩形ABCO沿对角线AC翻折，点8落在点产处，FC交AD于E.

(1)求证：LAFE^CDE；

(2)若人3=6,8C=8,求图中阴影部分的面积.

考点四：与矩形有关的面积问题

［关注数学文化］数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平

行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图1所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相

补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和

《古代世界数学泰斗刘徽》)

(1)请根据如图1完成这个推论的证明过程，

证明：S矩影NFGD=40c-4A7r+S5GC).

S亚彩EBMF=S,18c-(+).

易知»^AADC-S△八8c，=，=■

可得S电形NFGD=S咫形EBMF

(2)如图2,点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF〃BC分别交AB,CD于点E、F,连

接PA,PC.若PE=5,DF=4,求图中阴影部分的面积.

图1图2

考点五：直角三角形斜边上中线

如图，在四边形AC3O中，ZAC5=90%AB=AD，E是8。中点，过点E作EF//AD交A3于点尸,

连接。尸.请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：

①_________；

②.

【真题演练】

1.直角三角形的斜边长为10,则斜边上的中线长为（）.

A.2B.3C.4D.5

2.如图，矩形AACO绕点A逆时针旋转。（0。〈二＜90。）得到矩形45‘。'。'，此时点夕恰好在QC边上,

)

C.30°D.45°

3.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,点、E,尸分别是AO,4。的中点，连接£/，若

A/y=6cm,4c'=8cm.则EP的长是(

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

4.如图，矩形ABC。的两条对角线AC、8。相交于点O,=120°,BC=6.则矩形的面积为

()

A.66B.12gC.9D.18

5.如图，在矩形A5CO中，AQ=3,M是CO上的一点，将A4OM沿直线AA/对折得到ZiANM,若AN平

分/AM8,则折痕AM的长为

6.如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AE±BD于点E,若/£46=30,则ZBOC=

度.

7.如图所示，平行四边形A4CO中，ZB=30",现不改变平行四边形的边长，将平行四边形按如图

办法转化为矩形，则转化前后的图形面积之比=.

8.如图，矩形43CD的对角线4c和3。相交于点。，过点。的直线分别交AO和3C于点£、F,且

AB=2，BC=3,那么图中阴影部分的面积为

ED

RFC

9.如图所示，将矩形A8CO沿直线4E折叠（点E在边C。上：：，折叠后顶点。恰好落在边BC上的点产

处，若AO=5,AB=4,则KC的长足

10.如图，在A48C中，AB=AC,N3AC的平分线40交3C于点Q,E为A8的中点，若8c=12,

AO=8,则的长为.

11.已知：在矩形ABCO中，点石在3c边上，连接OE，且DE=BC,过点4作AF10E于点F.求

证：AB=AF；

12.如图，矩形ABCO中，E是BC上一点，且AE=4。,。尸，4E于点F.

(2)若44=6,AO=8,求尸后的长.

13.如图，矩形纸片A8C。中，AB=CD=4tAD=6C=8,ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°,将纸片沿Ef

折叠，使点C与点A重合，使点G与点。重合.

(1)求证：AE=AF；

(2)求GF的长.

14.如图，在菱形A8CD中，AC,8D相交于点。，过8,C两点分别作AC,8D的平行线，相交于点E.

(1)求证：四边形80CE是矩形；

(2)连接石。交于点尸，连接AF,若N48C=60。，A8=2,求A产的长.

【过关检测】

1.菱形具有而一般矩形不具有的性质是()

A.对边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,DEJ_AC于E,且NADE：ZEDC=3：2,则NC0D

的度数为()

A.54°B.60°C.65°D.72°

3.如图，点尸是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF//BC,分别交AB,CD于瓦/，连接PB,PD,

若AE=1,尸产=3,则图中阴影部分的面积为()

D

--------------------

A.3B.6

C.9D.12

4.如图，在cASC中，AB=AC=S,AD是角平分线，的是中线，则。石的长为（）

A.3B.4C.5D.6

5.在四边形/W3CO中，AD//BC,下列选项中，不能判定四边形A8C。为矩形的是（）

A.AQ=8C且AC=BOB.AO=8C且N4=N8

C.A8=C。且/A=/CD.AB=C。且NA=N8

6.如图，将矩形纸片ABC。的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若

EH=3,EF=4,则边8。的长是（）

A.4B.5C.8D.10

7.如图，在矩形ABCD中，E是直线BC上一点，且CE=CA,连接AE.若NBAC=60。，贝J/CAE的度

数为一

8.如图，在矩形A8CO中，点E在4。上，且EC平分N8E。，若A8=1,NEBC=45。，则8C的长为

AD

9.如图，平行四边形A3CO的对角线AC、4。相交于点O,则添加个适当的条件：可使其成为矩

形（只填一个即可）.

10.如图，点E是矩形A8C。内任一点，若A8=4,BC=1.则图中阴影部分的面积为

11.如图，四边形48co是矩形，对角线AC、B。相交于点。，延长8A至点E,使得AE=AZ）,连接。瓜

OE,OE交A。于F.请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立

的计算或证明的过程.①BE;DE；②EF=BD；③EF=6DF.你选择的条件是结论是.（填序

12.如图，将矩形A8C力绕点A顺时针旋转。（0°＜。＜90。）得矩形人耳’。，当点E落在片。上时，连接

DF.求证：DF=CD.

13.如图，矩形A