2026年人教版八年级数学上册 第十六章 整式的乘法（预习讲义）

第十六章整式的乘法

学习目标

1.理解同底数基的乘法、暴的乘方、积的乘方运算法则，并能正确进行事的混合运算：

2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能正确完成整式乘法运算；

3.掌握同底数塞的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，并能完成整式的除法运算；

4.理解平方差公式，抓住公式的特征，能正确的运用平方差公式进行计算：

5.理解完全平方公式的特征，并能熟练运用公式进行计算.

知识点一、同底数基的乘法

1.同底数嘉相乘，底数不变，指数相加，即=am+n(m,九都是正整数).

2.同底数哥的乘法法则可推广到三个或三个以上同底数哥相乘：am•an-aP=am+n+^(zn,n,p都是正整

数).

3.公式逆用:a"(m,n都是正整数).

4.当底数互为相反数时，可通过转化化为同底数辕再运算，当〃是奇数时，(-〃)"=-/；当〃是偶数时，

(―4)〃=。".如(一a)3-a?可将(_Q)3转化为一/后再计算

【例1】计算下列各题.

(1)(―a)2.(-a)3；(2)x2-(—X)3-x4;

(3)(m-n)3•(n—m)2；(4)a-a2-a34-a4-a2.

【例2】若a"，=3,an=5,则Q“+"的值为—

【变式1】计算下列各题，直接写得数.

(1)a4•a3=—；

(2)TH-m5-zn2=_______；

(3)(x-y)2-(x-y)4=_________;

(4)(—c)3•(—c)4•c=_______；

(5)b2-b3^bb4=________；

(6)103x10mx10n=.

【变式2】若乎+i=16,则#=

知识点二、塞的乘方与积的乘方

1.霖的乘方，底数不变，指数相乘.即(。小产="叽(根，〃都是正整数).

2.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的嘉相乘.即(讪尸=〃/(n是正整数)

3.推广：

(1)[(am)n]p=amnP(m,n,p都是正整数)；

(2)(abc)n=anbncn5是正整数).

4.公式的逆用：a,nn=(am].

5.易混辨析：

(1)-an=(同底数幕相乘，指数);

(2)(am)n=(塞的乘方，指数_______).

【例3】计算下列各题：

(1)(-Zx2y)4；(2)(a3)4-a6；(3)[(%+y)2]3；

(4)(-a2)3+(-a3)2；(5)(-2a2b)3+8(a2)3.b3.

【例4】已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.

【变式3】计算下列各题，直接写得数：

(1)(-x5)2=；

(2)(2aZ?2)3=；

(3)[(x-y)2]4=；

(4)(-3a/?2)3-(a2)3-b3=.

【变式4］计算(—0.25)2026X(—4)2026的结果是()

A.-1B.1C.-4D.4

知识点三、单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数累分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式.

【例5】计算下列各题.

(1)3x2y•(-2xy2)-4x；(2)(-3a26)2•2ab3；

(3)(一2%2y)3.(-3xy2)2；(4)2x3­(-3x2y)+4x42xy.

【例6】已知(一2出”")•(3a2b3)=—6a5b5,求m+九的值.

【变式5】计算下列各题，直接写得数.

(1)(-2x2)•5/=_________；

(2)(―a2b)•(-2ab2>)=_______；

(3)(2x2y')2•3xy2z=；

(4)(-3tz2/?)3-2a3b=.

【变式6】一个长方体的长、宽、高分别为2a厘米、3a厘米、4a厘米，求这个长方体的体积.

知识点四、单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加

【例7】计算下列各题.

(1)2a(3tz-2b)-3a(2a-b)：(2)(一27)(3%-4)+3x(2—-5x)；

(3)3a(2a2-4a+1)-2a2(3a-5)；(4)2x(x2-3x4-4)-3X2(X-2)

【例8】先化简，再求值:3a(2a2—4a+3)-2a2(3a—4)»其中a=—2.

【变式7】一个长方形的长为(3a+2h)米，宽为2a米，求这个长方形的面积.

【变式8］已知/-2x-3=0,求2x(/-3%4-1)-3x2(x-2)的值.

知识点五、多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例9】计算下列各题.

(1)(x+3)(%—5)—(x+2)(%—4)；(2)(2a+b)(a-2b)—(a—b)(2a+b)；

(3)(x4-2)(x2—2x+4)；(4)(2x-l)(x2+3x-2)；

【变式9】先化简，再求值：(2a-3b)(a+2b)-(a-b)(2a+b),其中Q=1,b=-1.

【变式10]已知(无+Q)(x+力)=/+5x+6,求Q+b和ab的值.

知识点六、整式的除法

1.同底数暮相除，底数不变，指数相减.即出川+^^二口山-.工。，血、"为正整数，且m>Q.

2.任何不等于0的数的0次籍都等于1.即a0=1(a工0).

3.单项式相除，把系数与同底数募分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指

数作为商的一个因式.

4.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

【例10】计算下列各题.

(1)a7^a4-a2；(2)(-2a3fc2)34-(-2a2b)2；

(3)(6a3b2-9a2b3+3ab2)3ab2；(4)[5x(x2-3x-11-2x2(x-3)]x.

【例11］已知3m-6,3n-2.

(1)求3时兀的值；(2)求32时3n的值

【变式H】一个长方形的面积为6a3/一9。2b3+3a2b2,已知它的宽为3a2b.

(1)求这个长方形的长(用含a、b的式子表示)：

(2)若Q=2,匕=1,求此时长方形的周长.

知识点七、平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(Q-b)=a2-b2.

注意：

1.公式中的a和匕既可以表示一个数或一个字母，也可以表示一个多项式.

2.运用平方差公式计算的关键是：正确识别公式中的a(“相同项”)和b(“相反项”)，结果是“相同

项”的平方减去“相反项”的平方，即a?-炉.

【例12】计算下列各题.

(1)(-2m+5n)(-2m-5n)；⑵("+1)('-1)；

(3)(0.3a+0.2b)(0.3a-0.2b)；(4)(-x2-y2)(-x2+y2).

【例13】用平方差公式简便计算.

2I

(1)102X98；(2)99-xlOO-；(3)20262-2025X2027.

33

【变式12】先化简，再求值:(2x+3y)(2x-3y)-(%+2y)(x-2y),其中x=l,y=-2.

知识点八、完全平方公式

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

即(Q+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.

【例14】利用完全平方公式计算.

(l)(4x+3y)2；(2)(-3x+2y)2；

⑶(-2Q—5b产；(4)(a+>+c)2.

【例15】已知(x+y)2=16,(x-y)2=4,求为y和/+y2的值.

【变式Bl计算下列各式.

(1)(%+5>；(2)(-2x+3)2；

⑶()+4)2；(4)(-a-2b)2.

【变式14］若％2+6x+k是一个完全平方式，贝妆的值为（)

A.3B.6C.9D.36

综合测评

1.下列各式中，计算结果为-2的是（)

A.%6•yB.（%6）6C.(x4)8I),(x3)9

2.下列计算正确的是（）

A.2a-3a=6aB.(-a2)-a3=a5

C.3Q（2Q-b）=6Q2-3abD.(x-l)(x+2)=X2+X-2

3.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A.(%+y)(x+y)B.(-x+y)(x-y)

C.(%+y)(-x-y)D.(-x+y)(-x-y)

4.若(％+Q)(X-2)=/+加:一6,则a、b的值分别为()

A.a=3,b=1B.a=—3,b=—5

C.a=3,h=-1D.a=—3,b=5

5.计算(x+l)(x-1)(/+1)的结果是()

A.x4-1B.x4+1

C.x4-2x2+1D.x44-2x24-1

6.若〃?是大于0的整数，则(〃[+l)2-(〃?-1)2一定是()

A.4的倍数B.8的倍数C.12的倍数D.16的倍数

7.计算20272-20262的结果是()

A.1B.2027C.2026D.4053

8.若小=(心)哈。”,则()

A.机=8,n=4B.6=8,/!=12C.m=2,〃=12D.m=2,〃=4

9.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:

①(2a+b)(〃?+〃)；@2a(〃?+〃)+b(〃?+〃)；@m(2a+〃)+n(2a+b)；@2am+2an+2brn+bn.

你认为其中正确的有（

ba

m

n

A.®@B.③④C.①②③D.①②③④

10.已知2a=3,2。=5,2。=15,则a、b、c的关系正确的是（）

A.a+b=cB.axb=cC.a—b=cD.ab=c

11.计算：（0.2）2026x52027=

12.一个正方体的棱长为2x102亳米，用科学记数法表示它的体积是立方毫米.

13.已知m、几满足（m+7i）（m—几）=5,且m+?i=5,则m—九=.

14.规定新运算：□*□=口2+□口一口，则（一2匚）*（3□-1）=____.

15.若4—mx+g是一个完全平方式，则口=.

16.已知3m=3,3n=5,则33时2n的值为

17.若x+m与1・x的乘积中不含x的一次项，则实数阳的值为（）

A.1B.-2C.0D.2

18.现有力、□、。三种型号的卡片，口型是边长为口的正方形，□型是长为门、宽为□的长方形，□型是边长

为的正方形.要拼成一个面积为（2口+口）（口+2口）的大长方形，则需要匚型卡片张.

Cb

19.计算：

（1）小。+（-/）3+。4；（2）（-a）7・（-。2）+（3。4）3+3。3：

22

(3)(-x+2y)(~2y-x)-2y(x-2y)+2xy；(4)(D-□4-1)(D+□+1).

20.先化简，再求值：

(1)(3a3b2—6a2b3+9a2b2)-r3a2b2,其中a=-1,b=2.

(2)(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=\.

21.小马虎同学在计算8+4时，误将8+4看成了8+口，结果得2匚2—口+l.已知力=3口，求:

(1)多项式口；

(2)□+□的正确结果.

22.云南普洱茶厂要将一批茶叶装箱，每个箱子的底面是边长为a的正方形.现改进设计，将底面一边增加b,

另一边减少匕，得到一个新的长方形底面.

(1)新底面的面积是多少？(用含a、b的式子表示)

(2)新底面与原来的正方形底面相比，面积变化了多少？

(3)当a=60cm,b=5cm时，面积变化了多少？

23.解决下列问题：

(1)已知2x+3y-4=0,求夕・27V的值;

(2)已知3。=2,於=4,求33ag的值.

24.阅读理解题：

材料一:比较344、433、522的大小.

解：•.•344=(34)“=81”,433=(43)11=64u,522=(52)11=25",且81>64>25,

...344>433>522.

材料二：比较展和82的大小.

W：V82=(23)2=26»且8>6,工28>26,即2*>82.

请根据以上方法解决下列问题：

(1)比较8例、274961的大小;

(2)比较/x5i°与3隈5口的大小.

25.阅读材料：若m?—2mn+2层-8n+16=0,求m、n的值.

解：:m2—2mn+2n2—8n+16=0

:.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n—4/=0

•••(m-n)2>0,(n-4)2>0

m—n=0,n-4=0

n=4,m=4

请参照上述方法，解决下列问题：

(1)已知/+2y2—2xy+4y+4=0,求％、y的值.

⑵己知△ABC的三边长a、b、c满足a?+八2+c?=Q/J+/^+CQ,试判断△ABC的形状.

26.【知识生成】

(1)利用图①・1,图①・2中图形整体与部分面枳之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公

式：,;

【直接应用】

(2)已知：a+b=5,ab=3,求/+及和(〃-/))2的值；

【问题解决】

(3)如图②所示，四边形ABCD是长方形，分别以AD,0c为边向外作正方形ADEr和正方形。CG”，

若A”=9,两止方形的面枳和为57,求长方形ABCO的面枳.

答案与解析

知识点一同底数累的乘法

【例1】计算下列各题

(1)(-a)2-(-a)3

35

解析：(-a)?•(-a)=(-a)2+3=(-a)s=-a

(2)x2-(-x)3-x4

234234

解析：X•(-X).X=X•(-x)-X=—*2+3+4__x9

(3)(m-n)3­(n-m)2

解析：(71—771)2=[—(6一几)]2=(7n一8)2,所以原式二(m—几)3.(m一九)2=一")5

⑷Q•M.Q2

解析：Q♦M=出+2+3=。6,。4.小=04+2=。6,原式=口6+=2a6

【例2】若a7n=3,an=5,则d+n的值为_________.

解析：am+n=Q?n,Qn=3x5=15

【变式1】计算下列各题，直接写得数.

(1)a4-a3=cz4+3=a7

(2)m-m5-m2=m1+5+2=m8

(3)(xy)2•(xy)，=(xy)2+4=(xy)6

(4)(—c)3­(—c)4•c=(-c)3­(-c)4-c=(-c)3+4­c=(-c)7-c=-c7-c=—c8

(5)b2-b3+b-b4=b5+b5=2b5

(6)103x10mx10n=103+zn+n

【变式2】若2"+】=16,则x=__________.

解析：16=23所以2>i=23即x+1=4,解得x=3

答案:3

知识点二器的乘方与积的乘方

易混辨析:

(1)•an=am+n(同底数哥相乘，指数相加)

(2)(a，)n=amn(暴的乘方,指数相乘)

[例3]计算下列各题

⑴(一2%2y尸

解析：(一2%2y)4=(-2)4.(/)4,y4=16%8y4

⑵(a3)4.a6

解析：(a3)4-a6=a12-a6=a18

(3)[(x+y)2]3

解析：[(X+y)2]3=Q+y)2x3=Q+y)6

(4)(-a2)3+(-a3)2

解析:(-a2)3=—a6,(—a3)2=a6,原式=-Q6+d=。

(5)(-2a2b)3+8(a2)3­b3

解析：(一2a2b)3=(—2)3.(。2)3.匕3=_8。6b3,8(a2)3-b3=8a6/?3,

原式=_8a6b3+8a6/)3-Q

【例4】己知2m=3,2n=5,求23m+2n的值

3m+2nn232

解析：2=23m.22n=(2,3.(2)=3x5=27x25=675

【变式3】计算下列各题，直接写得数

(1)(-Xs)2=X10

(2)(2ab2)3=8a3b6

(3)(-3a2/?)3=-27a6b3

(4)[(x-y)2]4=(x-y)8

(5)(~3ab2)3-(a2)3-b3=-27a3bG-a6b3(注：两项不是同类项，不能合并)

【变式4】计算(一0.25)2。26X(-4)2026的结果是()

A.-1B.1C.-4D.4

202620262026

解析；(0.25产26x(4)=[(0.25)x(4)]=(I)=1

答案：B

知识点三单项式乘以单项式

【例3】计算下列各题

(1)3x2y-(-2xy2)-4x

解析：3x(-2)x4，2+i+i.yl+2=一24%4y3

(2)(—3a2/))2•2ab3

解析：(一3屐/?)/=9a"J原式=9a4bz.2a/?5=18a5bs

(3)(-2%2y)3♦(_3到2)2

解析：(一2/y)3=-8%6y3,(一3%y2)2=9%2y4,原式=(一8*严).(9%2y4)=一72%8y7

(4)2x3•(-3/y)+4x4•2xy

解析：2x3­(-3x2y)=-6x5y,4x4-2xy=8x5y,原式=-6必、+8%5y=2%5y

【例4】己知(一2//).(3。283)二一6a5b5,求m+几的值

解析：左边=(-2x3')am+2bn+2=-6am+2bn+3,右边=-6G5/?5,所以m+2=5,n4-3=5,解得

m=3,n=2,则m+n=5

答案：5

【变式5】计算下列各题，直接写得数

(1)(-2x2)-5x3=-10x5

(2)(—a2b)•(—2a/?2)=2a3b3

254

(3)(2%2y)2.3Xy2z_4%4y2.2xyz=12xyz

(4)(一3a2b3厂.2a3b=-27a6/)9-2a3b=-54a9/)10

【变式6】一个长方体的长、宽、高分别为2a厘米、3a厘米、4a厘米，求这个长方体的体积

解析：体积V=2ax3ax4a=24Q3(立方厘米)

答案：24a3立方厘米

知识点四单项式乘以多项式

【例7】计算下列各题

(1)2Q(3Q-28)-3Q(2Q-b)

解析：2a(3a-2b)-3a(2a-b)=6a2-4ab-6a2+3ab=-ab

答案：-ab

(2)(一27)(3%-4)+3x(2x2-5x)

解析：(一2")(3%-4)+3x(2/-5x)=-6x3+8x2+6x3-15/=-7x2

答案：-7x2

(3)3a(2a2-4a4-1)-2a2(3a-5)

解析；3a(2a24aI1)2a2(3a5)=6a312a2I3a6a3I10a2=2a2I3a

答案：—24+3a

(4)2x(x2-3x+4)-3x2(x-2)

解析：2x(x2-3x+4)-3X2(X-2)=2x3-6x2+8x-3x3+6x2=-x3+8x

答案：—+8x

【例8】先化简，再求值：3a(24一4a+3)-2a2(3。一4),其中a=-2

解析：化简：3a(2a2—4a+3)-2a2(3a-4)=6a3-12a2+9a—6a3+8a2=-4a2+9a

代入a=-2：-4x(-2)2+9x(-2)=-4x4-18=-16-18=-34

答案：-34

【变式7】一个长方形的长为(3a+2b)米，宽为2a米，求这个长方形的面积

解析：面积S=(3a+2b)x2a=6a2+4ab(平方米)

答案：6a24-4ab平方米

【变式8】已知/一2%-3=0,求2%(/-3%+1)-3/。-2)的值

解析：由x2-2x-3=0得X2-2%=3«

化简：2x(/-3x4-1)-3x2(x-2)=2x3-6%2+2x-3x3+6x2=—x3+2x

[t]x2-2x=3无法直接求出x,但一/+2%=-％(X2-2)二—2),结合x2=2x+3,代入得:

-x(x2-2)=-x(2x4-3-2)=-x(2x4-1)=-2x2-x

又x2=2x+3,所以-2(2x+3)-x=-4x-6-x=-5x-6

注意：由于条件仅给出x2-2x-3=0,即(x—3)(x+1)=0,%=3或%=—1。

3

当％=3时，-X+2X=-27+6=-21；当x=-1时，-(-1)+2x(-1)=1-2=-lc

结果不唯一，原题条件不足以确定唯一值，但可化简后代入求解。

更简便的做法：2x(x2-3x+1)-3X2(X-2)=-x3+2x=-r(x2-2)

由x2=2x+3得—x(2x+3-2)=-x(2x4-1)=-2x2—x=-2(2x+3)—x=-5x—6

由x2—2x-3=0得(x-3)(x+1)=0,%=3或%=-1。

X=3时，原式=-5x3—6=-21

x=-1时，原式=—5x(―1)-6=-1

答案：一21或一1

知识点五多项式乘以多项式

【例9】计算下列各题

(1)(x+3)(x-5)-(x+2)(x-4)

解析：(x+3)(%—5)=%2—5x4-3%—15=%2—2%—15

(x+2)(%-4)=x2-4x+2x-8=x2-2%-8

原式=(x2-2x-15)-(x2-2r-8)=-7

答案：一7

(2)(2cz+b)(a-2b)—(a-2?)(2a+b')

解析：(2Q+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2

(a—b)(2a+b)=2a2+ab-2ab-bz=2a2—ab—b2

原式=(2Q2—3ab—2b2)—(2a2—ab—b2)=-2ab—b2

答案：-2ab-b2

(3)a+2)(x2-2x+4)

解析：(3+2)(x2-2%+4)=%3-2x24-4x+2x2-4x+8=r3+8

答案:/+8

(4)(2x-l)(x2+3x-2)

解析：(2x-l)(x2+3x-2)=2x34-6x2-4x-x2-3x+2=2x3+5x2-7x+2

答案：2二+5%2-7%+2

【变式9】先化简，再求值：(2a-36)(a+2d)-(a-b)(2a+6),其中a=1,b=-1

解析：化简：

(2a-3b)(a+2b)=2a2+4ab-3ab-6b2=2a2+ab-6b2

(a—b)(2a+b)=2a2+ab-2ab-b2=2a2-ab-b2

原式=(2a2+ab-6/72)—(2a2-ab—b2)=2ab—5b2

代入a=1,b=-1：2x1x(-1)-5x(-1)2=-2-5=-7

答案：一7

【变式10］已知(x+a)(x+b)=/+5%+6,求Q+b和ab的值

解析：(x+a)(x+b)=/+(a++ab,所以a+b=5,ab=6

答案：a+b=5,ab=6

知识点六整式的除法

【例10】计算下列各题

⑴a7-ra4-a2

解析：。7+Q4.小=07-4+2=

答案:a5

(2)(一2a3b2>+(_2a2b)2

32342

解析：(-2a/?)=-8Q9b6,(-2a2b)2=4ab

s4

原式=(—8a9b6)+(4a4b2)=-?ab

答案:-2a5b4

(3)(6a3b2—9Q2b3+3ab2)♦3ab2

解析；(6a3b2)：3ab2=2a2,(9a2b3).3ab2_2ab,(3ab2)：3ab2=1

原式=2a2—3ab+1

答案：2a2—3ab+1

(4)［2x(x2-3x+4)-3X2(X-2)］4-X

解析：由例7(4)得2%。2一3%+4)—3%2(%-2)=—3+8%

原式=(-x3+8%)+%=—X2+B

答案:一为2+8

［例II］已知3m=6,3n=2

(1)求3m-n的值

解析：yn-n=3?n+3n=6+2=3

答案：3

⑵求32时3〃的值

解析：32m-3n=32m+33n=©㊁2+©n)3=62-23=368=

答案：I

【变式11】一个长方形的面积为6a3b2-9a2b3+3a2b2,己知它的宽为3a2b

(1)求这个长方形的长(用含a、b的式子表示)

解析：长=(6。3匕2一9a2b3+3°2炉)+3a2b

=6a3b2+3a2b_9a2坟+3a2b+3a2b2+3612b

=2ab-3b2+b

答案：2ab-34+b

(2)若a=2,b=l,求此时长方形的周长

解析：长=2x2x1-3xM+1=4-3+1=2

宽=3x22x1=12

周长=2x(2+12)=28

答案：28

知识点七平方差公式

【例12】计算下列各题

(1)(-2m+5n)(-2m-5n)

解析：(-2m+5n)(-2m—5n)=(-2m)2—(5n)2=4m2—25n2

答案:4m2-25n2

⑵(1%+]®一])

解析：(|x+|y)(|x-=(|x)2-(1y)2=^x2-\y2

答案：步一"

(3)(0.3a+0.2b)(0.3a-0.2b)

解析：(0.3a+0.2匕)(0.3a-0.2b)=(0.3a)2-(0.2b)2=0.09a2-0.04b2

答案:0.09a2-0.04b2

(4)(-x2-y2)(-x2+y2)

解析：(一/一y2)(-x2+y2)=(-X2)2-(y2)2=x4-y4

答案：x4-y4

【例13】用平方差公式简便计算

(1)102x98

解析：102X98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996

答案：9996

(2)2025x2027-20262

解析：2025X2027=(2026-1)(2026+1)=20262-1

原式=(20262-1)-20262=-1

答案：-1

(3)20262-2025x2027

解析：2025X2027=(2026-1)(2026+1)=20262-1

原式=20262-(20262-1)=1

答案：1

【变式12】先化简,再求值:(2x+3y)(2x-3y)-(x+2y)(x-2y),其中x=1,y=-2

解析：化简:

(2x+3y)(2x-3y)=(2%)2-(3y)2=4x2-9y2

(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2

原式=(4x2-9y2)-(%2-4y2)=3/_5y2

代入x=1,y=-2：3xl2-5x(-2)2=3-20=-17

答案：一17

知识点八完全平方公式

【例14】利用完全平方公式计算

(1)(4%+3y)2

解析：(4x+3y尸=(4x)2+2♦4x•3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2

答案：16x2+24xy+9y2

(2)(-3x+2y)2

解析：(-3x+2y)2=(2y-3x)2=(2y)2-2-2y-3x+(3x)2=4y2-12xy+9x2

答奥：9x2-12xy+4y2

(3)(-2a-5b)2

解析：(-2a—5b)2=[—(2a+5h)]2=(2a+5b)2=4a2+20ab+25b2

答案：4a2+20ab+25b2

(4)(Q+b+C)2

解析：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

答案：Q2+/++2ab4-2ac+2bc

【例15]已知(x+y)?=16,(A—y)?=4,求xy和一十必的值

解析：(%+y)2=x2+2xy+y?=》①

(x-y)2=x2-2xy+y2=4②

①-②得：4xy=12,所以xy=3

①+②得：2(x2+y2)=20,所以x2+y2=10

答案：xy=3,x24-y2=10

【变式13】计算下列各式

(1)(%+5/=%2+10x+25

(2)(-2x+3)2=4x2-12x+9

(3)()+4)2=#+4乃+16

(4)(-a-2b)2=a2+4ab+4b2

【变式14]若/+6%+k是一个完全平方式，则k的值为()

A.3B.6C.9D.36

解析：X2+6X+/C=X2+2-X-3+32,所以=32=9

答案：C

综合测评答案与解析

1.下列各式中，计算结果为X12的是()

A.%6-x6B.(x6)6C.(x4)8D.(无3)9

解析：A:%6•%6=%12,B:(x6)6=x36,C:(x4)8=x32,D:(x3)9=x27

答案：A

2.下列计算正确的是()

A.2a-3a=6aB.(—a2)-a3=a5

C.3a(2a-b)=6a2-3abD.(x-l)(x+2)=x24-x-2

解析：A:2a♦3a=6a2,B:(—a2)-a3=-a5,C正确，D:(x—l)(x+2)=/+2%—%—2=/+”一

2,也正确。但单选题中C和I)都正确，题目可能有误，按常规选D。

修正分析：C:3a(2a-b)=6a2-3ab正确。D:(x-1)(%+2)=/+2x-x-2=/+x-2正确。

两个都正确时，选C或D均可，建议选择C。

答案：C

3.下列各式中，能用平方差公式计算的是()

A.(x+y)(x+y)B.(-x4-y)(x—y)

C.(x+y)(-x-y)D.(-%4-y)(-x-y)

解析：平方差公式(a+bXa-b)=a2-b2,需要两项符号相同、两项符号相反。

A:两项完全相同，是和平方；B:(-无+y)(x-y)=-。-y)Q-y),是完全相同的项；C:(x+

y)(-x-y)=-(x+y)(x+y),是完全相同的项；D:(-%4-y)(-x-y)=[(-x)4-y][(-x)-y]=

(T)2-y2=42-y2,符合平方差公式。

答案：D

4.若(x+a)(x—2)=M+匕x-6,则a、b的值分别为()

A.a=3,b=1B.a=-3,b=—5

C.a=3,b=-11).a=-3,b=5

解析：(x+a)(x-2)=x2-2x+ax-2a=x2+(a-2)x-2a

所以a—2=b,-2a=-6,解得a=3,b=1

答案：A

5.计算(x+l)(x-1)(/+1)的结果是()

A.x4-lB.x4+1C.x4-2/+1D.x4+2x2+1

22

解析：(X+l)(x-1)=X-1,(X-1)(/+1)=(无2)2_j2_x4_J

答案：A

6.若m是大于。的整数，则(771+1产一(m-1产一定是()

A.4的倍数B.8的倍数C.12的倍数D.16的倍数

解析：(m+l)2-(m-I)2=[(m+1)+(m-1)][(m+1)-(m-1)]=(2m)(2)=4m

因为m是大于0的整数，所以4m一定是4的倍数。

答案:A

7.计算20272—20262的结果是()

A.1B.2027C.2026D.4053

解析：20272_20262=(2027-2026)(2027+2026)=1x4053=4053

答案：D

8.若=(Q8)m=则()

A.m=8,n=4B.m=8,n=12C.m=2,n=12D.m=2,n=4

8m8m16

解析：(a)=a=a,所以87n=16,m=2O

a4•an=a4+n=a16,所以44-n=16,n=12。

答案：C

9.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：

①(2aI6)(mIn)；®2a(mIn)Ib(mIn)；@m(2aIb)In(2aIb)；@2amI2anI2bmIbn。

你认为其中正确的有()

A.®@B.③®C.①®③D.①②③④

解析：长方形长=2a+b,宽=m+n,面积=(2Q+b)(m+九)，①正确。

展开①：(2a+b)(m+n)=2a(m+n)4-b(m+n),②正确。

也等于m(2a4-Z?)4-n(2a4-Z?),③正确。

展开③：m(2a4-b)+n(2a4-ft)=2am+bin+2an+hn=2am+2an+bm4-bn,④中2bm应为bm,

所以④错误。

答案：C

10.已知2a=3,2b=5,2c=15,则a、b、c的关系正确的是()

A.a+b=cB.axb=cC.a—b=cI).ab=c

解析：2a•2b=3x5=15=2*所以2。+匕=2。，即a+b=c

答案：A

11.计算：(O.2)2026x52027=

解析：(0.2)2026x52027=(Q.2)2026x52026x5=(0.2x5)2026X5=I2026x5=5

答案：5

12.一个正方体的棱长为2X102亳米，用科学记数法表示它的体积是立方亳米

解析：体积=(2x102)3=8x106(立方亳米)

答案：8x106

13.已知771、n满足(m+n)(m—几)=5,且m+?i=5,则m—？1=

解析：(?n+n)(m-n)=5,代入m4-n=5,得5(m-n)=5,所以m-n=1

答案：1

14.规定新运算：Q*b=Q2+Q/?-b,则(—2%)*(3无一1)=

解析：(-2%)*(3x-1)=(-2x)2+(-2x)(3x-1)-(3x-1)

=4x2+(-6x2+2x)-3K+1

=4x2-6%2+2x-3x4-1

=-2x2-x4-1

答案：-2—-%+1

15.若4/-mx+9是一个完全平方式，则m=

解析：4/-+9=(2x)2-mx+32,完全平方式的形式为(2%±3产=4/±12%+9,所以一m二

±12»即m=±12

答案：士12

16.已知2m=3,2n=5,则23m+2n的值为

3m+2nn232

解析:2=23m.22n=«m)3.(2)=3x5=27X25=675

答案：675

17.若x+m与1一%的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为()

A.1B.-2C.01).2

解析：(%+m)(l—x)=x—x24-m—mx=-x2+(1—m)x+m

不含x的一*次项，即1-zn=0,m=1

答案：A

18.现有/、B、C三种型号的卡片，要拼成一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形，则需要C型卡

片______张

解析：(2Q+b)(a+2b)=2Q2+4ab+ab+2h2=2a2+Sab+2h2

其中C型卡片是边长为b的正方形，对应b2项，系数为2,所以需要2张C型卡片。

答案：2

19.计算:

(1)/•。+(-a2)3+a4

解析：a3­a=a4,(—a2)3+a，=—a6+a，=—a2

原式=a4—a2

答案：a4-a2

(2)(-a)7•(-a2)+(3a4)3+3a3

解析：(-a)7•(—a2)=(—a7)•(-a2)=a9

(3Q4)3+3a3_27al2+3a3=9a9

原式=a9+9a9=10a9

答案：10Q9

(3)(—x+2y)(-2y—x)—2y(x-2y)4-2xy

解析：(一%+2y)(-2y-x)=(-r+2y)[-(x+2y)]=-(x-2y)(x+2y)="(x2-4y2)=-x2+4y2

-2y(%-2y)=-2xy+4y2

原式=(—x2+4y2)+(-2xy+4y2)+2xy=-x2+8y2

答案:-x2+8y2

(4)(x2-x+l)(x2+x+l)

解析：(/-%+l)(x2+x+1)=[(x24-1)-x][(x2+1)+x]=(x2+I)2-x2=x4+2x2+1-x2=

x4+x2+1

答案:X4+X2+1

20.先化简，再求值：

(1)(3a3b2-6a2b3+%2b2)+3。2匕2,其中a=-i,b=2

解析：化简：(3a3b2)+2b2=0,(—6a2b3)-e-3a2b2=—2b,(9a2b2)-e-3a2b2=3

原式=a-2b4-3

代入a=-1,b=2：—1—4+3=—2

答案：一2

(2)(a-2b)(a+2b)-(a-2h)2+8b2,其中Q=-2,b=\

解析：(a-2b){a4-Zb)=a2-4b2

(a-26)2=a2_4ab+4b2

原式=(a2—4b2)—(。2_4ab+4b2)+8b2=a2-4b2—a24-4ab-4b2+Qb2=4ab

代入：

Q=—2,b=-24x(—2)x-2=-4

答案：—4

21.小马虎同学在计算B+A时，误将B+A看成了8・4结果得2/—%+1。已知A=3x,求:

(1)多项式B

解析：8+力=2/-%+1,即S3x=2x2-%+1

所以B=3x-(2x2-x+l)=6x3-3x2+3x

答案：B=6x3-3x2+3x

(2)B+A的正确结果

解析：B+A=(6x3-3x2+3%)+3%=6%3-3/+6无

答案：6x3—3x2+6x

22.云南普洱茶厂要将一批茶叶装箱，每个箱子的底面是边长为Q的正方形。现改进设计，洛底面一边

增加b,另一边减少b,得到一个新的长方形底面。

(1)新底面的面积是多少？(用含的式子表示)

解析：新底面长=a+b,宽=a