浙教版九年级数学上册《圆》同步测试（含答案）

3.1圆

一、单选题

1.如图，在用二/WC和也八钻。中，NAO4=NAC2=90。，ZfiAC=30°,ZE4D=45°,

A3=4,连接。C,将&sABC绕点4顺时到旋转一周，则线段£>C长的取值范围

是（）

A.2<DC<4B.2>/2<DC<4

C.2x/2-2<DC<2V2D.272-2<DC<2x/2+2

2.如图，在G。中，/IB为直径，4x=8。，点D为弦AC的中点，点E为8c二任

意一点，则NC£D的大小可能是（）

A.10°B.20°C.30°D.40

3.下列命题：①若a<l,则（a-1）后=-g；②圆是中心对称图形又

是轴对称图形；③x/记的算术平方根是4；④如果方程ax'+2x+l=0有实数根，则

实数a〈L其中正确的命题个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在用A8C中，ZACB=90°MC=5,BC=8,点D是边8c的中点，点E是

边A8上的任意一点（点E不与点B重合），沿OE翻折二08石使点B落在点F处,

连接八下，则线段人厂长的最小值是（）

/一—L

E)二B

A.2B.向-4C.3D.3713-4

2

5.如图，已知二次函数y=g——8的图象与x轴交于4,4两点与V轴交于C,GC

的半径为26,尸为。。上一动点，连接心，若E为总的中点，连接。七，则。七

的最大值为（）

A,吐叵B.吐叵C.5+君D.5-旧

22

6.如图，S/C是等腰直角三角形，正方形四绕点A逆时针旋转。（。°＜。＜90°）,

再延长8。交b于G,以下结论中：①加）=6；②8O_LCF；③当钻=4,AD=42

时，8G=衅1正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.都不对

7.如图，已知抛物线与x轴交于A4两点，对称轴与抛物线交

Io

于点C,与X轴交于点。，OC的半径为2,G为©C上一动点，尸为AG的中点，

则DP的最大值为（）

8.如图，以点P为圆心，以2石为半径的圆弧与x轴交于A,B两点，点A的坐

标为(2,0),点B的坐标为(6,0),则圆心P的坐标为

A.(4,巧)B.(4,2)C.(4,4)D.(2,2")

二、填空题

9.如图，在平面直角坐标系中，点P(3,4),(DP半径为2,A(2.6,0),B(5.2,

0),点M是。P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为.

10.平面直角坐标系中，A(0,3),B(4,0),C(-1,-1),点P线段AB上

一动点，将线段AB绕原点0旋转一周，点P的对应点为P',则P'C的最

大值为，最小值为.

11.若点0是等腰△ABC的外心，且NB0C=60°,底边BC=4,则4ABC的面积

为

12.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=4,BO3,D是以点A为圆心2为乂径

的圆上一点，连接BD,M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为一

13.如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12,AD=5,点P为DC边上的动点(点P

不与点D,C重合，将数片沿AP折叠，则CD'的最小值为.

14.一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在

一起，经测量发现，AC=CE=3f取A8中点0,连接。尸.NFCE在ZAC8内部任

意转动（包括边界），则。尸在运动过程中扫过的面积为,在旋转过

程中，线段"的最小值为.

15.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别是BC,CD边上的动点，且CE+CF

=4,DE和AF相交于点P,在点E,F运动的过程中，CP的最小值为_____.

16.我们知道任意三角形都存在内切圆.同样的，一些凸四边形也存在内切圆.我

们规定：存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆.以下结论正

确的是：_____.

①凸四边形必存在伪内切圆；

②当平行四边形只存在1个伪内切圆时，它的对角线一定相等;

③矩形伪内切圆个数可能为1、2、4；

④当且仅当四边形对隹线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆

重合.

三、解答题

17.已知。。是以AB为直径的AABC的外接圆，OD〃BC交。0于点D,交AC于

点E,连接AD、BD,BD交AC于点F.

（1）求证：BD平分NABC；

（2）延长AC到点P,使PF二PB,求证：PB是。0的切线;

（3）如果AB=10,cosZABC=-,求AD.

18.已知二次函数图象的顶点在原点。，对称轴为V轴.一次函数丁="+1的图

象与二次函数的图象交于A，B两点（A在8的左侧），且A点坐标为（T,4）.平行

于x轴的直线/过（0，-1）点.

（1）求一次函数与二次函数的解析式;

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线/的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t>0）,二

次函数的图象与x轴交于M,N两点，一次函数图象交y轴于F点.当t为

何值时，过F,M,N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

19.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（七,y）,点N的坐标为（孙力），且西二々,

><=>2,我们规定：如果存在点P,使AMN?是以线段MN为直角边的等腰直角三

（1）已知点A的坐标为（L3）,

①若点B的坐标为（3,3],在直线AB的上方，存在点A,B的“和谐点”C,直接

写出点C的坐标；

②点C在直线x=5上，且点C为点A,B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

(2)。。的半径为r,点。64)为点E(l,2)、尸(〃?,〃)的“和谐点”，且DE=2,若

使得AD瓦'与。。有交点，画出示意图直接写出半径r的取值范围.

20.如图，在正方形A3CD中，E是BC上一点(不与点B,C重合)，连接DE,点

C关于直线DE的对称总为C',AC'并延长交直线DE于点P,过点D,B分别作

DF_LAP于F,BK±APrK.

(1)求/FDP的度数

(2)连接BP,试证明BP=&AF.

(3)连接BC,若正方形ABCD的边长是上，请直接写出aBCP面积的最大值

21.在平面直角坐标系中，以点网26，-3)为圆心的圆与x轴相交于A、B两点,

与y轴相切于点C,抛物线法+C经过点A、B、C,顶点为。.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M为y轴上一点，连接DW,MP,是否存在点M使得二DWP的周长最小？

若存在，求出点M的坐标及▲/)射的周长最小值；若不存在，请说明理由.

22.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,26),点0(0,0).△

AOB绕着0顺时针旋转，得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A',B',记旋转

角为a.

(I)如图1,A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角Q的度数，并求出点B'的坐

标;

(II)如图2,若0°<a<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证：AA*

1BB1；

(Ill)若0°<a<360°,求(H)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果

即可).

23.如图，PB为OO的切线，B为切点，过B作0P的垂线BA,垂足为C,交

于点A,连接PA,A0.并延长A0交于点E,与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是。的切线；

(2)若登二,，且004,求PA的长和tanD的值.

AC3

24.已知AABC中CB=AC=6,NACB=120°.

(1)如图1,D为AB的中点，NMDN=60°交CA,CB于M,N,求CM+CN的值.

(2)如图2,如D在AB的下方，且NADB=120°,求证：CD二CB.

图1

25.回答下列问题.

(1)问题提出：如图①，正方形A8CO的对角线交于点0,△(?£)£是边长为6的

等边三角形，则。、F之间的距离为.

(2)问题探究：如图②，在边长为6的正方形ABC。中，以C。为直径作半圆0,

点P为弧C。上一动点，求4尸之间的最大距离.

(3)问题解决：窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风

景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然

优点.家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家

的窑洞（如图③所示）的门窗是由矩形ABCD及弓形AMD组成，A3=2m,BC=3.2m,

弓高用N=1.2m（N为AD的中点，MTV_L4））.小宝说，门角B到门窗弓形瓠AO的

最大距离是8、M之间的距离.小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？

请通过计算说明.

26.如图，.ABC内接干。0,ZBAC=45°,AD±BC,垂足为D,BD=6,DC=4.

(1)求。0的半径；

(2)求AD的长.

答案

一、单选题

D.C.C.B.C.B.C.C.

二、填空题

9.1.5

10.4+V22.4-72

11.8-46或8+4后.

13.8.

9lL

14.二冗、3>j2—yj3

4

15.2x/5-2.

16.①

三、解答题

17.(1)VODZ/BC,.\ZD=ZCBD,V0B=0D,AZD=ZOBD,/.ZCBD=ZOBD,?.

BD平分NABC；

(2)・.・20是以AB为直径的AABC的外接圆，・・・NACB=90°,・・・NCFB+N

CBF=90°.VPF=PB,.\ZPBF=ZCFB,由(1)知NOBD=NCBF,「・NPBF+N0BD=9D0,

二•NOBP=90°,，PB是。0的切线；

BCme；

(3)连结AD・•・•在Rt△ABC中，NACB=90°,AB=10,「.cosNABC=一=—=",

-IB105

?.BC=6,AC=7AB2-BC?=8.VODZ/BC,AAAOE^AABC,NAED=NOEO180’-

ZACB=90°,.・・41=*=4?，华=华=2，.,.AEM,0E=3,.二DE=OD-0E=5

ACBCAB8610

-3=2,AD=yjAE2+DE2=y/42+22=275.

18.

a

（1）把A（Y,4）代入），=心+1得Z=

・•・一次函数的解析式为），=-亍/+1

4

・•・二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴,

二二次函数的解析式为y=”,将4（＜4）代入解析式得〃=[

二次函数的解析式为尸干

3,

y=——x+1x=l

/解得，尸;或,.♦.山；｝取A3的中点P,I，1）,

⑵由1

I.)'=4

V=—X"

-4

过户作直线/的垂线，垂足为N,则

17?5

•.•9=胃+1=三，而直径

oO

：.PN=^AB,即01心到直线/的距离等于半径，以AB为直径的圆与直线/相切.

（3）平移后二次函数的解析式为），=：（工-2）27,

令y=0,得：（x-2）2T=0,芭=2-2〃々=2+〃

•••过EM,N三点的阈的圆心C一定在平移后抛物线的对称轴.上，要使圜面积最

小，圆半径应等于点/到直线X=22的距离，点C坐标为（2,1）.

此时，半径为2,面积为4不

设圆心为CMN的中点为£,连接CE,CM,则CE=1,

在三角形CEM中，=g

3

:.MN=2&,ffpMN=\x2-xi\=44t,.'.t=-

二当t=:时，过EM，N三点的|B面积最小，最小面积为4万.

4

19.

(1)①如图1.

图1

观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或C'(3.5)；

②如图2.

由图可知,B(5,3).

VA(1,3),AAB=4.

:△ABC为等腰直角三角形，，BC=4,・・・G(5,7)或C2,_1).

k+b=3.ik=\

设直线的表达式为当时,

ACy=kx+b(krO),C(5,7)5k+b=7'^[b=2

k+b=3k=-\

当时,，y

/.y=x+2,C2(5,-1)5k+b=-\"…b=4=~x+4.

综上所述：直线AC的表达式是y=x+2或y=-x+4.

(2)分两种情况讨论：

①当点F在点E左侧时:

连接0D.则0D二"7不=如，/.2<r<Vi7.

②当点F在点E右侧时：

连接OE,0D.

VE(1,2),D(1,4),.,.0E=#727=5/5，0D=Vi7+47=V17»AV5<r<V17.

综上所述：23rs后或后SrS后.

20.

解：⑴由对称得：CD=C*D,ZCDE=ZC'DE,

在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=90°,

.•.AD=CrD,

•・・F是AC'的中点,

.-.DFIAC1,ZADF=ZCfDF,

AZFDP=ZFDC+ZEDCr=^-ZADC=45°；

(2)如图，作AP'_LAP交PD的延长线于P',

•••NPAP-90。,

在正方形ABCD中,DA=BA,ZBAD=90°,

，NDAP'=NBAP,

由(1)可知：ZFDP=45°,

VZDFP=90",

.*.ZAPD=45°,

AZP'=45°,

/.AP=APr,DP二七PF,

在aBAP和aDAP'中,

[BA=DA

\^BAP=Z.DAP',

[AP=AP'

.".△BAP^ADAP*(SAS),

二•BP=DP',

，DP+BP=PP'=72AP,

，DP+BP=&PF+BP=0AP,

，BP=&(AP-PF)=V2AF；

（3）作正方形的外接圆，圆心为0,

由（2）得：NAPD=45°,又/八0口=90°,

•••点P在圆0上，

在aBPC中，BO0,

••・当点P距离BC最大时，APBC的面积最大，

连接0P,与BC交于点Q,

则当点P位于弧BC的中点时，点P到BC的距离PQ最大,

,・・0C=gAC=gxJ(⑸+阀=1,

，OP=OC=1,

而OQ=J，"?=孝»

.\PQ=OP-OQ=1--,

2

此时4BPC的面积为《xBCxP。=无—_L.

222

21.

(1)如图①，连接厚，PB,PC,设抛物线对称轴交x轴于点G,

田①

由题意得PA==PC=，PG=3.

AG=BG=-3?=G.

・・・A（GO）,8（3石,0）,C（0,-3）.

把点A（G,O）,B（3>/3,0）.C（0,-3）代入y=ax2+版+c中,

3a+6b+<?=（）,

得］27。+3舟+c=0,

c=-3

4>/3

解得〃

・•・抛物线的解析式为y=-；x2+怨x-3;

(2)存在.如图②，作点p关于y轴的对称点P,连接产。与5轴交于点M,连

接PM,此时DMP的周长为PM+MD+DP=PM+MD+DP=产D+DP,即当点。，

M,〃三点共线时，ADMQ的周长取得最小值，最小值为户D+OP的长，

,•点P（2g,-3）与点尸关于y轴对称，

・••点P的坐标为卜26,-3）,PPS

易得。（2g1），

：.DP=4.

：.P'D=y/PP，2+DP2=8,

PD+DP=12.

.•.△DWQ的周长最小值为12;

设直线0P的解析式为5=心+”,

将尸（-2/,-3）、。（231）代入，

,口-2向+4=-3,

得〈

2限+仄=\.

解得行，

A=T

・・・直线D尸的解析式为y=#x-l,

令x=o,则y=T,

22.

解：（I）如图1,过B'作B'C_Lx轴于C,

国1

V0A=2,0B=2>/3,ZA0B=90°,

AZAB0=30°,ZBA0=60°,

由旋转得:0A=0A',ZA'=ZBA0=60o,

••.△OAA'是等边三角形，

Aa=ZA0Ar=60°,

•・・OB=OB'=2G,NCOB'=90。-60°=30。,

.*.B'C=|OB,=百，

，0C=3,

AB1(3,73),

(II)证明：^P|S2,VZBOB^ZAOA^a,OB=OB',OA=OA',

••・NOBB'=NOA'A=；(180°-a),

VZBOAf=90°+a,四边形OBPA'的内角和为360°,

・•・NBPA'=360°-(180°-a)-(90°+a)=90°,

即AA'±BB*；

(III)点P纵坐标的最小值为6-2.理由是:

如图，作AB的中点M(1,6),连接MP,

•//APR=90°,

・••点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=^AB=2为半径的圆，除去点（2,26），

・•・当PM_Lx轴时，点P纵坐标的最小值为6-2.

23.

解：⑴连接0B,则0A=0B,

V0P1AB,

•••AOBC,

「•0P是AB的垂直平分线,

APA=PB,

在aPAO和△PBO中，

PA=PB

•/)PO=POI

OA=OB

AAPAO^APBO(SSS)

.\ZPBO=ZPAO,PB=PA,

・.・PB为。。的切线,B为切点,

AZPB0=90°,

AZPA0=90°,即PA_OA,

，PA是。0的切线;

(2)连接BE,

图2

,.0C_2

且004,

・7C-3

AAC=6,AAB=12,

在RtZXACO中，由勾股定理得：A0=y]AC2+OC2=2713,

••・AE=2OA=4V13,OB=OA二2而，

在RtAAPO中，

VAC10P,

.\AC2=0CPC,

解得：PC=9,

.•.0P=PC+0C=13,

在RtZ\APO中，由勾股定理得：\P=^OP2-OA2=3713.

易证SEBsDop,

叱皿BEDEDE

所以---=----=----------

PODODE+OE

解得。£=3普

则人。=26M+DE=36F,

PA

在中，5

RtzMDPtanD=-~\i

24.

⑴连结CD,取BC中点E,连结DE,

••・CB=AO6,ZACB=120°,

ACD1AB,CD平分NACB,NA=NB=30&,

AZACD=ZDCB=605,

VE为BC中点，ZCDB=905,

ACE=BE=DE,

•••△CDE为等边三角形，

.•.CD=ED,ZCDE=60?=ZCED=ZMCD,

VZMDN=60°,

/.ZMDC=ZMDN-ZCDN=ZCDE-ZCDN=ZNDE,

AACMD^AEND(ASA),

，MC=NE,

CM+CN=NE+CN=CE=；BC=3,

(2)作三角形ADB的外接圆，设圆心为0,连结0A,0B,

由已知CA=CB,NACB=1209,

过C作直线CHLAB于H,

AAH=BH,

圆心0在CH上，

VZADB=120°,

，APB的度数为2409,

，片B的度数为：3602-2402=1209,

.,.ZAOB=120?,

VZACB=120?,

AO与C重合，

.\CA=CD=CB,

25.

（1）如图所示：连接OE