贵州省贵阳市、黔南州2025~2026学年高一下册末学科素养练习数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数（i为虚数单位），则（）A. B. C.7 D.52.在平行四边形ABCD中，是线段CD上的一点，且，则（）A. B. C. D.3.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知，，那么的面积为（）A. B. C.4 D.84.已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若，且，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差6.如图1是透明塑料制成的长方体容器，其中，将容器灌进一些水，水深为，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜成图2，此时的值为（）A. B. C. D.7.柜子里有3双不同的手套，分别用表示6只手套，从中随机地取出2只，记事件“取出的手套都是一只手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，则事件或事件发生的概率为（）A. B. C. D.8.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.4 B.1或4 C.1 D.1或2二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A. B.复数在复平面上对应的点位于第三象限C.复数的虚部为 D.10.已知向量，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则与的夹角为 D.若，则在方向上的投影向量为11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现．如图是一个“圆柱容球”，分别为圆柱下、上底面的圆心，为球心，EF为圆的一条直径．若圆柱的母线，则下列说法正确的是（）A.球的体积为B.圆柱的表面积为C.四面体CDEF的体积的取值范围为D.平面DEF截得球的截面面积的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则实数的值为__________．13.已知三棱锥的4个顶点均在球的球面上．若平面，，则球的表面积为__________．14.记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则的最大值为__________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某校为了解初三学生的体能达标情况，体育组教师从全年级学生中随机抽取100名学生进行一分钟跳绳测试，并根据测试结果绘制了如下频率分布直方图．（1）求直方图中的值，并估计该校初三学生跳绳个数的平均数；（2）学校决定给该年级跳绳成绩排名前的同学颁发“优秀证书”，试估计获得“优秀证书”需要达到的跳绳个数．16.如图，在三棱锥中，平面为等边三角形，且为AB的中点，为PA的中点．（1）求证：平面CDE；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17.2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，其主题是“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．对于高中生而言，国家安全应融入日常，落在行动．某中学为了夯实校园安全教育，组织了一次安全知识竞赛，甲、乙两队（每队2人）参加了此次竞赛，规定每队的每名队员各回答一题，答对得1分，答错得0分．甲队2人答对的概率分别为，，乙队2人答对的概率都是，且所有答题结果相互独立．（1）设甲队得1分的概率为，乙队得2分的概率为，求和的值；（2）比赛结束后，求乙队得分比甲队得分多的概率．18.记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，为钝角．（1）求；（2）若，求的面积；（3）若是BC上的点，且，求AM的取值范围．19.如图，在平面四边形ABCD中，且．（1）若，将沿AC翻折至，使．①证明：平面平面ABC；②求二面角的余弦值．（2）若，将沿AC翻折至，使得平面平面ABC．在四面体KABC中任选2条棱，记它们互相垂直的概率为；任选2个面，记它们互相垂直的概率为；任选1个面和不在此面上的1条棱，记它们互相垂直的概率为．试比较的大小．

数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数（i为虚数单位），则（）A. B. C.7 D.5答案：D解析：解答过程：.2.在平行四边形ABCD中，是线段CD上的一点，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为四边形是平行四边形，所以因为，所以，所以，故选B.3.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知，，那么的面积为（）A. B. C.4 D.8答案：A解析：解答过程：由直观图及题意，得为等腰直角三角形，所以，所以，则，则，，，.4.已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若，且，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：解答过程：对于A选项：若，且，则或与斜交或或，故A错误；对于B选项：假设．因为，所以，，所以，但不成立，故B错误；对于C选项：因为，则，又因为，所以，C正确；对于D选项：若，则或与异面或相交，故D错误．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差答案：A解析：思路：可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．解答过程：设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．方法提示：本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.如图1是透明塑料制成的长方体容器，其中，将容器灌进一些水，水深为，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜成图2，此时的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，所以.7.柜子里有3双不同的手套，分别用表示6只手套，从中随机地取出2只，记事件“取出的手套都是一只手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，则事件或事件发生的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：样本空间，，样本空间中样本点的总数为15个．，样本点的总数为6个；，样本点的总数为6个，且与互斥，所以.8.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.4 B.1或4 C.1 D.1或2答案：B解析：思路：先由题意得两两的夹角或，再由向量模长公式结合数量积定义直接计算即可得解．解答过程：设向量两两的夹角为，因为两两的夹角相等，则或.因为，，所以．当两两的夹角为0时，，所以；当两两的夹角为时，，所以．综上所述，或4.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A. B.复数在复平面上对应的点位于第三象限C.复数的虚部为 D.答案：BCD解析：解答过程：对于A选项：由，则，故A错误；对于B选项：复数在复平面上对应的点为，故B正确；对于C选项：复数的虚部为，故C正确；对于D选项：，故D正确．10.已知向量，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则与的夹角为 D.若，则在方向上的投影向量为答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，选项A正确；，所以，所以，选项B正确；因为，所以，所以，选项C错误；因为，所以，所以，所以在方向上的投影向量为，选项D正确．11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现．如图是一个“圆柱容球”，分别为圆柱下、上底面的圆心，为球心，EF为圆的一条直径．若圆柱的母线，则下列说法正确的是（）A.球的体积为B.圆柱的表面积为C.四面体CDEF的体积的取值范围为D.平面DEF截得球的截面面积的最小值为答案：ACD解析：思路：根据球与圆柱的高相等，得到球半径，即可计算球体积，根据内切可得球半径与圆柱底面半径的关系，继而可计算圆柱的表面积；通过将四面体CDEF拆分为两个已知底与高的三棱锥计算体积的取值范围；根据截面圆半径与球半径，球心到截面的距离构成直角三角形，求解截面半径，计算截面面积．解答过程：对于A选项：由题意，得球的半径为1，故球的体积为，故A正确；对于B选项：记圆柱的表面积为．因为球与圆柱相切，故圆柱底面直径与球直径相等，得圆的半径为1，则，故B错误；对于C选项：由为EF的中点，记到平面的距离为，则，则，，则，故C正确；对于D选项：过点作，垂足为，由，；，所以点到平面DEF的距离；记截面圆半径为，则，当平面DEF时取等号，所以截面圆的面积，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则实数的值为__________．答案：3解析：思路：根据平行向量坐标满足计算参数．解答过程：由题意，得，因为，所以，所以．13.已知三棱锥的4个顶点均在球的球面上．若平面，，则球的表面积为__________．答案：解析：解答过程：在中，，则.又垂直于平面，则两两垂直，故三棱锥的外接球即以为三条棱的长方体的外接球，则外接球的半径.故球的表面积为.14.记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则的最大值为__________．答案：##解析：思路：由余弦定理和正弦定理变形得到，由基本不等式求出，进而得到的最大值解答过程：因为，所以．又因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某校为了解初三学生的体能达标情况，体育组教师从全年级学生中随机抽取100名学生进行一分钟跳绳测试，并根据测试结果绘制了如下频率分布直方图．（1）求直方图中的值，并估计该校初三学生跳绳个数的平均数；（2）学校决定给该年级跳绳成绩排名前的同学颁发“优秀证书”，试估计获得“优秀证书”需要达到的跳绳个数．答案：（1），185个（2）203个．解析：思路：（1）根据频率分布直方图矩形面积和等于1可得，经计算可得平均数为185，（2）结合（1）和百分位数的计算方法可求解.（1）由频率分布直方图可知，，解得．该校初三学生跳绳个数的平均数约为（个）．（2）由频率分布直方图可知，［205，215］组的频率为0.08，［195，205）组的频率为0.1，所以第90百分位数位于内．由，所以估计获得“优秀证书”需要达到的跳绳个数约为203个．16.如图，在三棱锥中，平面为等边三角形，且为AB的中点，为PA的中点．（1）求证：平面CDE；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．答案：（1）因为D，E分别为AB，PA的中点，所以DE为的中位线，故．又平面平面CDE，所以平面CDE．（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）先证得平面PAB，根据线面角的定义计算得到结果；（1）略（2）因为为等边三角形，为AB的中点，所以．又平面平面ABC，所以．因为平面PAB，所以平面PAB，连接PD，则为直线PC与平面PAB所成的角，设为．因为，所以，所以，即直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．17.2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，其主题是“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．对于高中生而言，国家安全应融入日常，落在行动．某中学为了夯实校园安全教育，组织了一次安全知识竞赛，甲、乙两队（每队2人）参加了此次竞赛，规定每队的每名队员各回答一题，答对得1分，答错得0分．甲队2人答对的概率分别为，，乙队2人答对的概率都是，且所有答题结果相互独立．（1）设甲队得1分的概率为，乙队得2分的概率为，求和的值；（2）比赛结束后，求乙队得分比甲队得分多的概率．答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件概率加法公式求解即可；（2）分别计算出乙队得1分甲队得0分，乙队得2分甲队得0分，乙队得2分甲队得1分的概率，再相加即可.（1）由题意，得甲队得1分的概率，乙队得2分的概率．（2）设“乙队得分比甲队得分多”为事件，事件包括三种情况：乙队得1分甲队得0分；乙队得2分甲队得0分；乙队得2分甲队得1分．乙队得1分甲队得0分的概率，乙队得2分甲队得0分的概率，乙队得2分甲队得1分的概率，因此，所以乙队得分比甲队得分多的概率为．18.记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，为钝角．（1）求；（2）若，求的面积；（3）若是BC上的点，且，求AM的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用二倍角公式及正弦定理求解即可；（2）利用二倍角公式求出，再利用正弦定理和余弦定理求出，进而求出三角形的面积；（3）设，则．由正弦定理，得出，进而求出，再利用正切函数的性质求出其取值范围．（1）由题意，得，整理，得．由正弦定理，得．因为，所以，所以．又且为钝角，所以．（2）由题意，得，所以．因为，所以，所以．由正弦定理，得．由余弦定理，得，所以，所以．（3）设，则．由正弦定理