河南省郑州市第八共同体2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部是（）A.1 B. C. D.2.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.3.已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（）A.11 B.12 C.13 D.144.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（）A. B. C. D.5.已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（）A.， B.，C.， D.，，6.圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.向量，，的模长均为2，且满足，则的值为（）A.6 B.8 C.10 D.128.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则c的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，下列选项正确的是（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.与向量方向相同的单位向量是10.一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得四边形为菱形B.对于任意点，都有直线平面C.对于任意点，都有平面平面D.三棱锥的体积为定值第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______.13.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的体积与球的体积也相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比______.14.如图，设，，线段与交于点，且，则的最小值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知m为实数，设复数．（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围．16.中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，，，，，，共六组，并制作如下频率分布直方图.（1）求续航能力在区间内的实验次数；（2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，再从这5次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验的概率.17.在中，内角的对边分别为，.（1）求角A；（2）若，，求的平分线的长.18.矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面.在新构造的四棱锥中，求解以下问题：（1）求四棱锥的体积.（2）求点到平面的距离.（3）求二面角的余弦值.19.如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为、中点，求的最大值.

数学考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部是（）A.1 B. C. D.答案：B解析：解答过程：，则，则的虚部是2.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：斜二测画法的直观图为等腰梯形，，，,则，还原后直观图中，故四边形的面积为．3.已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（）A.11 B.12 C.13 D.14答案：D解析：解答过程：该组数据共个，则.已知分位数为，因此，解得.4.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：第二次取到红球，可分为两种情况：第一次取到红球、第二次再取到红球；或第一次取到绿球、第二次取到红球.利用分步概率相加即可.解答过程：设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则.因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，.故.方法提示：求“不放回抽取”中的某一步事件概率时，可按前一步分类讨论，也可利用对称性：第二次取到红球的概率等于总体中红球所占比例.5.已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（）A.， B.，C.， D.，，答案：C解析：解答过程：对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意；对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意；对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意；对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意.6.圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆锥体积公式计算即可.解答过程：由题意得，扇形半径，圆心角，弧长公式，所以.底面周长，所以.圆锥母线长等于扇形半径，则圆锥的高.所以圆锥体积为.7.向量，，的模长均为2，且满足，则的值为（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：A解析：思路：由题设结合向量数量积运算律可得，然后将两边平方并化简后可得，据此可得答案.解答过程：.，则.则.8.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则c的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正弦定理得到，，求出，得到c的取值范围.解答过程：，由正弦定理得，即，，因为为锐角三角形，所以，故，因为在上单调递增，所以，故，故，，由正弦定理得，即，故，由，和可得，故，，故.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，下列选项正确的是（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.与向量方向相同的单位向量是答案：AC解析：思路：根据向量的坐标运算公式结合条件逐项求解即得.解答过程：因为，，所以，，即，故A正确；向量在向量上的投影向量是，故B错误；因为，，所以，，故C正确；与向量方向相同的单位向量是，故D错误.10.一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：不妨设，再根据数据平均数、方差、极差和中位数的定义可求出.解答过程：因为数据的平均数为5，方差为2，极差为7，不妨设，则，的平均数为，故A错误；方差为，故B正确；极差为，故C错误；若为偶数，则的中位数为，即，的中位数为；若为奇数，则的中位数为，的中位数为；故D正确.11.如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得四边形为菱形B.对于任意点，都有直线平面C.对于任意点，都有平面平面D.三棱锥的体积为定值答案：ACD解析：思路：利用正方体中线面、面面的平行和垂直即可.解答过程：对于选项A，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.同理，所以四边形为平行四边形，设正方体棱长为1，设，则，，令，即，解得，即当为中点时，四边形为菱形，故A正确；对于选项B，连接交于，平行四边形对角线互相平分，是中点；矩形中，对角线中点重合，即也是中点.与平面交于点，直线与平面有公共点，故不平行该平面，故B错误；对于选项C，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又平面，所以.同理可得，又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面，故C正确；对于选项D，设正方体棱长为，.所以三棱锥的体积为定值，故D正确.方法提示：本题以正方体棱上动点为情境，核心突破口是先利用面面平行确定恒为平行四边形，再结合正方体固有的线面、面面垂直模型、中点特征、等体积变换，分别分析特殊存在性与任意不变性，是立体几何多选经典综合题。第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______.答案：解析：思路：利用平行四边形对角线互相平分，可得，从而.解答过程：由题意，，，.因为四边形为平行四边形，所以，即.代入得，故点D对应的复数为.方法提示：本题考查复数与平面向量的对应关系，解决平行四边形中的复数问题，可把复数看成点的坐标，利用进行计算.13.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的体积与球的体积也相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比______.答案：解析：解答过程：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为，则圆柱的体积，球的体积为，因为圆柱的体积与球的体积相等，所以，得，则.14.如图，设，，线段与交于点，且，则的最小值为_____.答案：解析：思路：由题设利用两种方式表示出，然后由平面向量基本定理可得，最后利用基本不等式可得答案.解答过程：由题可得：；又因三点共线，可得.由平面向量基本定理可得：.则，当且仅当时取等号.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知m为实数，设复数．（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用纯虚数的性质，构造关于的方程，解方程求；（2）利用复平面对应点坐标的性质，结合已知条件构造关于的不等式，解不等式求m的取值范围．（1）由题意得，解得．（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，因为复数z在复平面内对应的点为时，满足，所以，即，解得或，所以的取值范围为．16.中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，，，，，，共六组，并制作如下频率分布直方图.（1）求续航能力在区间内的实验次数；（2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，再从这5次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验的概率.答案：（1）120（2）百公里（3）解析：思路：（1）通过频率分布直方图面积为1，求得，进而可求解；（2）根据平均数计算公式即可求解；（3）通过分层抽样和列举法确定样本空间，再由古典概率模型概率计算公式即可求解.（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得，即续航能力在区间内的频率为，所以续航能力在区间内的实验次数为次.（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：，所以估计这类汽车的续航能力的平均数为5.38百公里.（3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为，所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，则在中的有2次实验，在中的有3次实验，设在中的有2次实验为，在中的有3次实验分别为，可得.所以从这5次实验中随机抽取2次实验，共有10种不同的取法，设事件“2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验”可得，共有7个基本事件，所以事件的概率为可得这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验概率为.17.在中，内角的对边分别为，.（1）求角A；（2）若，，求的平分线的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；（2）由余弦定理求得，再结合三角形面积公式，通过即可求解.（1），即有，由正弦定理可得，则，又，故；（2）由余弦定理得，又，所以，由得，所以，解得.18.矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面.在新构造的四棱锥中，求解以下问题：（1）求四棱锥的体积.（2）求点到平面的距离.（3）求二面角的余弦值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得；（2）根据等体积法求解即可.（3）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值；（1）取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故.因为是等腰三角形，所以.翻折后，因为平面平面，且平面平面，根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高，又因为，所以，又因为，所以四棱锥的体积.（2）由（1）可知，.由题意可知，，，，在中，.设点到平面的距离为，又即，解得.（3）在矩形中，，，∴，∴.又平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，，，，在中，，∴.又，