浙江省宁波市鄞州某中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（加试）含答案解析

2023・2024学年浙江省宁波市勤州第二实验中学八年级（上）期末

数学试卷（加试）

一、选择题（每小题4分，共28分）

1.（4分）正五角星的对称轴有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

2.（4分）我国国内平信邮资标准是：每封信的质量不超过20g,付邮资1.20元；质量超过20g后，每增

加20g（不足20g按照20g计算）增加1.20元，如图表示的是质量“（g）与邮资〃（元）的关系，下列表

述正确的是（）

P(元)

3.(50(o♦

2.40(o---------•

120(>•

F204060—q(g)

A.当q=40g时，p=3.60JLB.当〃=2.40元时，q=30g

C.q是〃的函数D.〃是〃的函数

3.(4分)下列命题是真命题的是()

A.三角形的三条高线相交于三角形内一点

B.三边长为⑺、在、逐的三角形为直角三角形

C.对于任意两个非负实数a、b,有&+巫=向7

D.若等腰三角形一边长为2,周长为8,则腰长为3

4（4分）若关于x的不等式组；二；：；的整数解共有6个’则’的取值范围是（）

A.—5<。<-4B.—5<4,—4C.-5,,a<-4D.—5蛋山—4

5.（4分）如图，AO是AABC的中线，E,尸分别在AB,AC上，且DELDF,贝IJ8E+B与即的

大小关系判断正确的是（）

E,

BDC

A.HE+CF<EFB.BE+CF=EFC.BE+CF>EFD.无法确定

6.（4分）已知。是方程V+2x-1=0的一个实数根，则直线），=3+〃-1不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（4分）如图，△ABC与△"）£：中，AB=AC，DA=DE,ZBAC=ZADE=90°,BE与CA交于点、F,

CD工DF,△3C”的面积为32,则A/的长为（）

二、填空题（每小题4分，共28分）

8.14分）方程2024^+2023=0的解为.

9.（4分）函数），=叵更的自变量x的取值范围是_.

\-\lx

10.（4分）如图，在△ABC中，4/=AC,点。，石是△ABC内两点，AD平分N84C,ZEBC=ZE=60°,

若BE=7,DE=3,则4C=.

11.（4分）在平面直角坐标系中，直线x=or+2与1y2=云-2交于点（1,-1）,则不等式，（av+2『vJ（bt-2>

的解集为—.

12.（4分）在平面直角坐标系上0中，8（0,4）,A是x轴上的•个动点，将线段84绕点“逆时针旋转120。

得到线段8尸，点A的对应点为点则OP的最小值为.

13.（4分）已知x,y）两足彳2，且外工一，则一=____.

7）尸+2024y+6=02V

14.（4分）如图，Q是△ABC外一点,ZABC=2ZBAD=90°,BCcAB,AB=2,若AD+BC=2五,

则4C+尔）取最小值时，AD-BC=.

A

\

BC

三、解答题（本大题共6小题，共64分）

6（8分）解方程：yJl+^+Vx^i=x/2x+l.

16.（10分）（1）已知。、〃是方程4x+l=0的两个根，求巴+2的值.

ba

（2）已知a、b、c均为实数，且a+h+c=2,ab+c=c2,求正数c的最大值.

17.（10分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行.为弘扬体育运动精神，某校对

八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛（测试满分为100分，得分工均为不小于80的整数），并从其

中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析的信息如表所示：（成绩得分用.X表示.共分

成四组：A.80”工<85；B.85,,x<90；C.90„x<95；D.95熟•100）

信息1八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、

中位数、众数如表：

年级平均数中位数众数

八年级9090m

九年级90n100

信息2八年级20名学生的成绩是：80,82,83,

83,85,85,86,87,89,90,90,91,94,

95,95,95,95,96,99,100.

信息3九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如

图：

信息4九年级20名学生的成绩在C组中的数据

是：90,90,91,92,92,93,93,94.

根据以上信息，解答下列问题：

（I）机的值为，〃的值为；

（2）求九年级抽取的学生竞赛成绩在。组的人数；

（3）若该校九年级共600人参加了此次知识竞赛活动，请估计九年级竞蹇成绩不低于90分的人数.

18.（12分）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有10c,〃高的水，容器乙放了一个长方

体，且容器底面积是长方体底面积的4倍.从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），

当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平.设容器甲中的液面高为乂（单位：an）,容器乙中的液面

高为治（单位：5?）.小科绘制了,、力关于时间工（单位：s）的函数图象如图2所示.回答下列问题：

（I）〃的值为—；容器甲的液面下降速度是—cm/s-.

（2）求人的值以及力关于x的式数表达式；

（3）当容器甲中的液面高弘与容器乙中的液面高为相差25?时，求此时x的值.

19.（12分）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识.整理如下：对于正数。、h,

有（石-扬了20,所以a+b-2几..0,即a+A.2，石（当且仅当时取到等号；特别地，

a-->2.L--=2（当且仅当a=l时取到等号），因此，当a>0时，.+■!■有最小值2,此时a=l.

a\aa

【笥单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他.

（I）函数），=2-x-2（x>0）的最大值为.

x

（2）求函数y=4x+—!—（x>1）的最小值，并写出取最小值时工的值.

x-1

【猜想提升】小明由上述的。+弧24后提出猜想：a+b+c.3硒（当且仅当。=0=c•时取到等号）.通

过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题.

（3）设。，〃，c是非负实数，求£+，一+&的最小值.

ab+cc

20.（12分）如图，在△43C中，AB=AC=4日N劭C=9（）。，AD1.BC,后在AC边上运动（不与

点4重合），AE<CE,将沿上折叠至A/T应，四分别与AD,交于G,H两点.

图1图2

(I)求证：ZBDF=2ZADE；

(2)如图1,若"=3AG,求AAGE的周长:

(3)如图2,设。尸与交于点M,在整个运动过程中，记与△AEG的周长之和为），，则），的

值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y.

2023・2024学年浙江省宁波市勤州第二实验中学八年级（上）期末

数学试卷（加试）

参考答案与试题解析

题号1234567

答案CDDCCBB

一、选择题（每小题4分，共28分）

I.（4分）正五角星的对称轴有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

【解答】解：正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对称轴.

故选：C.

2.（4分）我国国内平信邮资标准是：每封信的质量不超过20g,付邮资1.20元；质量超过20g后，每增

加20g（不足20g按照20g计算）增加1.20元,如图表示的是质量4（g）与邮资〃（元）的关系,下列表

述正确的是（）

AP(元)

3.60<o

2.40(o-----•

1.20<1----->

204060q(g)

A.当q=40g时，〃=3.60元B.当〃=2.40元时，g=30g

C.9是〃的函数D.〃是9的函数

【解答】解：由图象，则

1.20(020)

y=i2.40(20<工40).

3.60(40<k，60)

故选：D.

3.（4分）下列命题是真命题的是（)

A.三角形的三条高线相交于三角形内一点

B.三边长为G、4、6的三角形为直角三角形

C.对于任意两个非负实数4、〃，有6+后="^

D.若等腰三角形一边长为2,周长为8,则腰长为3

【辞答】解：直角三角形三条高线相交于直角顶点，故A错误;

・.・（6尸+（4）2=7H（右）2,故三边长为G、"、石的三角形不是直角三角形，故8错误;

对于任意两个非负实数”、力，有石+北工而故C错误：

若等腰三角形一边长为2,周长为8,此时三边长可能为2,2,4或3,3,2,根据三角形边长关系，2,2,

4无法组成三角形，故等腰三角形的腰长为3,故。正确，

故选：。.

4.（4分）若关于x的不等式组八的整数解共有6个，则〃的取值范围是（）

3-2x>0

A.—5<tz<_4B.—5<a,—4C.—5„ci<—4D.-5如-4

x-a>0①

【解答】解:

3-2x>0②

解①得：x>a，

解②得：x<-,

2

•.•不等式组的整数解由6个，

.•.不等式组的整数解为1,（）,-1,-2,-3,T,

-5„ci<—4，

故选：C.

5.（4分）如图，AD是△A8C的中线，E,户分别在AB,AC上，且OE_LOF,则8E+C尸与EF的

大小关系判断正确的是（）

A.BE+CF<EFB.BE+CF=EFC.BE+CF>EFD.无法确定

【辞答】解：延长田至尸，使。尸=OE,连接产P,CP,

•.•A。是△人AC的中线，

BD=CD，

在△比陀和△CDP中，

DP=DE

,NEDB=NCDP,

BD=CD

△BDE=△CDP（SAS）,

；.BE=CF,

YDELDF,DE=DP,

：.EF=FP,

在△CTP中，CP+CF=BE+CF>FP=EF.

故选：C.

6.（4分）已知。是方程丁+2x7=0的一个实数根，则直线产如+a—l不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【释答】解：由4是方程V+2x-1=0的一个实数根，则有。3+2々-1=0,显然

通过变形得〃（/+2）=1,

因为4+2>2,

所以0<a<L

2

二・一1<4-1<9

2

故），=〃+〃-1随着工的增大而增大，旦交），轴于负半轴，故不经过第二象限，

故选：B.

7.（4分）如图，△ABC与△A£）E中，AB=AC,DA=DE,"AC=NADE=90。，BE与CA交于点、F,

CD工DF,的面积为32,则A/的长为（）

E

D.12

;./DCF=45。,

•:CDIDF,

/.ZDFC=45O,

:.DC=DF,

/CDF-占DF=/EDA-&DF,

即/CDE=/FDA,

在△CQE和△/7M中，

DC=DF

>ZCDE=ZFDA,

DE=DA

/.△CDE^△FDA(SAS),

;.CE=AF,NDCE=NDFA=135。,

:.AECA=135O-ZACB=90°=Z.FAB,

在△£C4和△E48中，

CA=AB

<ZECA=NFAB,

CE=AF

/.△ECA=△FAB(SAS),

•C—c

,・0^ECA-a^FAR，

1

.rABACACc

•^sABC~2_2-\&ABE，

77〜ssC^AC2ACCEAC2CFCE

-

..ZfiCV一'低：十D〃tC£%—27~90—DN，

故可得任必一丝0=32.

22

/.C£(AC-CF)=64,

\-CE=AF,

:.AF2=64,

vAF>0,

.•.AF=8,

故选：B.

二、填空题(每小题4分，共28分)

8.(4分)方程2024“+2023=0的解为_否=2023或巧=1一

【解答】解：x2-2024x4-2023=0,

Cv-2O23)(x-l)=O,

可得不一2023=0或x—l=0,

解得％=2023或占=1,

故答案为：玉=2023或巧=1.

9.(4分)函数)，=巫翼的自变量x的取值范围是_慌*6且xxl_.

1-\/X

12-2.r>0

【解答】解：根据二次根式有意义的条件和分母不能为0,可得x>()

xwl

解得。细6且XH1,

故答案为：破出6且大#1.

10.（4分）如图，在44无?中，A8=AC,点D,E是△ABC内两点,4。平分N8AC,NEBC=NE=&）。,

若BE=7,DE=3,则AC=10.

【解答】解：延长ED交8c于M,延长兑＞交8c于N,

\-AB=AC,A£>平分N8AC,

/.AN±BC,BN=CN=、BC,

2

•/ZEBC=ZF=60°,

：.4BEM为等边三角形,^BE=EM,

・.・BE=7,DE=3,

.•.DM=7-3=4,

•.•△峋/为等边三角形，

,-.ZEA7B=60°,BM=BE=7,

ANIBC,

/.ZDW=90°,

.•./MW=30°,

NM=>DM=2,

2

;.BN=BM-NM=5,

；.BC=2BN=TU.

故答案为：10.

11.(45?)在平面直角坐标系中，直线y=ar+2与必=瓜-2交于点(1,-1),则不等式^(ax+2)2<yj(bx-2)2

的解集为_0。<1一

【解答】解：把(1,-1)代入直线％=以+2与％=法-2,

可得一l=a+2,-1=力-2,

解得a=—3，b=\>

.,•直线解析式为y\=-3x)+2与丛=%一2,

对J(—3X+2)2VJ(X—2)2两边同时平方可得(-3X+2)2<。一2)2,

整理后得到8/-8x<0,

即8x(x-l)<0,

8x<08x>0

①或②:

x-l>0A-1<0

解①可得无解；

解②可得Ovxvl,

故答案为：Ovxvl.

12.(4分)在平面直角坐标系xQy中，B(0,4),A是x轴上的一个动点，将线段84绕点8逆时针旋转120。

得到线段加，点A的对应点为点P,则8的最小值为6.

【释答】解：当将线段曲绕点△逆时针旋转120。得到线段初，点P在x轴上的点C时，如图，

8(0,4),

；.03=4,

由旋转可得，AB=BC，ZABC=12()°,

/BAO=NNBCO=30°，

•.•O8_LAC,

:.AB=BC=2OB=8,

由勾股定理，得QA=OC=4XQ,

当将线段BA绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，点P在y轴上的点。时,

由旋转可得，AB=BD,4430=120°,

.•.//WO=60°,

/.ZE4O=30°,

,.AB=2OB=S,

BD=AB=8>

：.OD=OB+BD=\2,

过点C、。作直线CD,

将线段84绕点3逆时针旋转120°得到线段第，点A的对应点为点P,则点P在直线直线CD上,

.•.当OP_LCO时，OP最小，

在心△”£>中，由勾股定理，得8=doC?+OD2=J（4G）2+12?=8&,

:.CD=2OC,

.•./ODC=30。，

.•.ZOCD=60U,

VOP1CD,

PC=-OC=2y/3,

2

：.OP=y/oc2-PC2=7（4^）2-（2>/3）2=6,

二.QP的最小值为6.

故答案为：6.

13.（4分）已知x,y酒足彳2，且孙工一，则一=_—_.

79+2024），+6=0212

【解答】解：将7y2+2024y+6=0两边同时除以2y2,

可得—H2024-----F12,———0»

22y4/

结合12丁+2024工+工=0,xv/,，

2・2

17

可得乂一是1+2024X+—=0的两个解，

2），2

7

.„1_2

..X---------9

2y12

x7

・・一=--9

y12

故答案为：

12

14.(4分)如图，。是△A/3C外一点，ZA4C=2NR4Q=90。，BCvAB,AB=2,若AD+BC=2yfl,

则AC+9取最小值时，AD-BC=_4-2y/2_.

BC

../BAE=45。，

/.Z4£S=45°,

：.AB=BE=2,

根据勾股定理可得4石=+BE?=2及,

AD+BC=2立,

：.AE-AD=2y/2-AD=DE=BC,

过点E作EGJ_AE的垂线段，且使EG=AB,

Y^ABC=NGED,AB=EG，

r.△ABC^△GED(SAS),

：.AC=GD,

:.AC+BD=GD+BD,

4C+M取最小值时，GO+AO我最小值，即A,D,G三点共线时，取得最小值，

以点8为原点，8A为)，轴，M为)，轴，建立平面直角坐标系，过点。，G作x轴的垂线段，交x轴于点

H,F,

.*..4(0,2),仇2,0),

设直线AE的解析式为y=k、x+b、,

把A(0,2),E(2,0)代入可得L2二”

0=+a

解得[丁：

I仇=2

直线AE■的解析式为y=-x+2.

•.•ZAt«=45u,ZAhG=9Uu,

."GEF=45。,

设G/=x,则M=x,

根据勾股定理可得防2+GU=EG?,可得V+f=22,

解得x=夜，

G(2+&,夜)，

设BG的解析式为y=k2x,

把G(2+&,&)代入可得42=(2+忘附,

解得e=&-1,

BG的解析式为y=(V2-l)x,

y=-x+2

联立方程组

y=(\[2-1)x

x=\/2

解得

y=2-五

：.D(V2,2-x/2),

DH=HE=2—0,

根据勾股定理可得DE=ylDH2+EH2=52(2-叵?=2右一2,

AD-BC=AD-DE=AE-DE-DE=4-2y/2,

故答案为：4-2V2.

三、解答题(本大题共6小题，共64分)

15.(8分)解方程：以+1.

【解答】解：口1+777=而7?，

两边平方得1+2+工-1+2](1+!)(l-1)=2*+1,

xVx

整理可得2.(1+，)(/—1)=x+1—',

Vxx

两边平方得4(1+-)(x-l)=(x+l--)2,

XX

整理得4(xJ=(x+]」)2，

XX

令/=X-L,

X

可得4/=0+1)2,

解得/=1,

整理得/一工-1=0

根据二次根式有意义的条件可得"1,

1+V5

••X=•

2

16.（10分）（1）已知。、〃是方程f-4x+l=0的两个根，求q+2的值.

ba

（2）已知a、b、c,均为实数，且a+Z?+c=2,ab+c=c2,求正数c的最大值.

【擀答】解：（1）由%是方程/-44+1=0的两个根，

可得a+Z?=4,ab=\,

aba2+b2（a+b）2-lab16-2x1

—H--=------=------------=--------=14：

baababI

(2)进行变形可得a+力=2—c,ab=c2-c,

a,〃是/一(2—c)x+c?—c=0的解,

根据根的判别式可得△=（2-c）2-4（c2-c）..o,

整理得

3

初俎2石-2G

解得―--„c<—~

33

.•・正数c的最大值为2且.

3

17.（10分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行.为弘扬体育运动精神，某校对

八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛（测试满分为100分，得分工均为不小于80的整数），并从其

中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析的信息如表所示：（成绩得分用人表示.共分

成四组：A.80,,xv85：13.85,,x<90；C.90„x<95；D.95软k100）

信息1八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、

中位数、众数如表：

年级平均数中位数众数

八年级9090m

九年级90n100

信息2八年级20名学生的成绩是：80,82,83,

83,85,85,86,87,89,90,90,91,94,

95,95,95,95,96,99,1(X).

信息3九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如

图：

尸

信息4九年级20名学生的成绩在C组中的数据

是：90,90,91,92,92,93,93,94.

根据以上信息，解答下列问题:

（I）的值为5,〃的值为；

（2）求九年级抽取的学生竞赛成绩在。组的人数；

（3）若该校九年级共60（）人参加了此次知识竞赛活动，请估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数.

【解答】解：（1）由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95,故〃?=5；

九年级A组人数为20xl0%=2（人），8组数据为20x30%二6〔人），故中位数在C组，为把史=90.5,

故〃=90.5>

故答案为：5；90.5；

（2）根据表格中可知九年级20名学生的成绩在。组有8人，

故九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数为20-2-6-8=4（人）；

（3）根据表格和扇形统计图，可得九年级抽取数据中竞赛成绩不低于9（0分〕的占比为

100%-（10%+30%）=60%,

故几年级竞赛成绩不低于9（0分）的人数为600x60%=360（人）.

18.（12分）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有10c,〃高的水，容器乙放了一个长方

体，且容器底面积是长方体底面积的4倍.从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），

当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平.设容器甲中的液面高为x（单位：cm},容器乙中的液面

高为力（单位：切?）.小科绘制了凹、力关于时间工（单位：s）的函数图象如图2所示.回答下列问题：

（I）〃的值为为：容器甲的液面下降速度是cm/s'.

（2）求人的值以及为关于x的函数表达式；

（3）当容器甲中的液面高,与容器乙中的液面高乃相差2a〃时，求此时x的值.

【解答】解：（1）根据题意可得容器甲有10cm高的水，

故4=10，

根据图象可得容器甲的水10s放完，故容器甲的液面下降速度是W=\（cm/s）,

故答案为：10;1：

（2）根据图像可得〃为容器甲放完水时，容器乙中水面高度,

设长方体底面积为/cm2,则容器底面积为4fcm2,

二•水的体积为4,JO=40，（加，

容器乙实际可装水的底面积为4-f=3，C//?2,

.•・容器乙中水面高度为"二竺劭，即/「"，

3/33

40

设％=依，把（1。,可）代入，得：

40

—二104，

3

解得k=J

3

4

%=铲；

（3）设）［=区+加把（0/0）,（10,0）代入函数解析式得：

1()=力

10=10太+力

k=-l

解得

b=10

%=一八+10,

①当,一切=2时，可得一x+10-gx=2,

解得x=上；

7

4

②当必—y=2时，可得§x—（―K+10）=2,

解得工=叱

7

当容器甲中的液面高y与容器乙中的液面高力相差时，此时x的值为今或写.

19.（12分）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识.整理如下：对于正数〃、b,

有（右-扬）220,所以〃+力-2而一。，即〃+b.2而（当且仅当a=〃时取到等号：特别地,

=2（当且仅当a=l时取到等号），因此，当〃>0时,〃+一有最小值2,此时4=1.

【笥单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他.

Q

（I）函数y=2-x——（x>0）的最大值为_-4_.

x

（2）求函数），=4x+—!—。>1）的最小值，并写出取最小值时I的值.

x-1

【猜想提升】小明由上述的。+从2而提出猜想：a+b+c.3砸（当且仅当a=8=c时取到等号）.通

过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题.

(3)设a,h,c是非负实数，求2的最小值.

ab+cc

go

【解答】解：(I)vy=2-x——=2-(x+—)>

XX

+—>2x2=6,

xVx

二.y有最大值=2—6=7；

1

(2)•/y-4x+——=4+4(x-li+

'x-lx-l

又4(x—l)+—!-22/4(“一1)・一!-=4,

x-\Vx-\

当4(x—1)=—^时，即工=；或;时，y有最小值=4+4=8：

cabcab+c,

(3)v—+------+-=—+-------+---------1,

ab+ccab+cc

e.,a>b,c是非负实数，

cab+ccab+c.

-+------+------->33/-------------------=3,

ab+ccvah+cc

cab+c,、-

...-+------4----------1>2,

ab+cc

—1的最小值为2,

ab+cc

.•.£+，一+2的最小值为2.

ab+cc

20.（12分）如图，在△ABC中，4B=AC=4&,N84c=90。，ADA.BC,石在AC边上运动（不与

点A重件），AE<CE,将△CD2沿£>£折盖至△/",K"分别与At）,/W交于G,〃两点.

图2

(I)求证：ZBDF=2ZADE；

(2)如图1,若/X；=34G,求Z\AG石的周长；

(3)如图2,设。厂与交于点M,在整个运动过程中，记与△AEG的周长之和为)，，则)，的

值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y.

【解答】(I)证明：•.•AOJL8C,

：.^BDF+ZADF=ZADB=90。，

:.ZADF=900-ZBDF,

•.