2027年高考数学一轮复习（压轴题）-截面与翻折问题（原卷+解析）

截面与翻折问题的4大核心题型

在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱钱、长方体、

正方体等），得到的平面图形，研究截面的形状及内含的数量关系，首先要确定交线.截面与交线问题是深

层次考杳学生直观想象及数学建模等核心素养的题型，它渗透了线、面等元素.求截面与交线问题，一是可

用平面几何图形的性质，如解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利月坐标法或向

量运算求解.

A题型01截面问题

L已知正方体力44GA中，点£是线段上靠近用的三等分点，点E是线段2G上靠近A的三等

分点，则平面,住9截正方体45。。-44GA形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

2.（2025•安徽合肥•三模）已知正四棱锥P-/AC。的所有棱长都等于3,点G是AH4c的重心，过点G作平

面。，若平面a//平面PCZ）,则平面。截正四棱锥P-力8CQ的截面面积为（）

A.—B.独IC.26D.2x/L5

48

A题型02交线问题

技法指导

找交线的方法!

（1）线面交点法：各棱线与截平面的交点.

（2）面面交线法：各棱面与极平面的交线.

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【例2】（2020•新高考I卷）已知直四棱柱ABCD-AyB\C}D\的棱长均为2,NA4Q=60。.以D］为球心，逐为半径的

球面与侧面BCCR的交线长为

4.（2026•南通二模）如图，在矩形为4c。中，AB=\,BC=a,E为线段8C上一动点，现将A/A七沿力七

折起得到△力8E,点"在平面/I8C上的投影为K,当点E从8运动到。时，若二面角夕-力反。的平面角恒

为120°,则点K所形成轨迹的长度为

A题型03与截面有关的最值问题

技法指导

解决截面最值范围问题的策略：

（1）通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否量调）；

（2）通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解；

13）通过图形转化，把立体图杉转化为平面图形，寻找平面国形中的最值计算.

5.直三棱柱NBC-48c中，AB=AC=AA]=4tAC1AB,过作该直三楂柱外接球的截面，所得截

面的面积的最小值为.

6.如图，已知正四面体ABCD的棱长为1,过点B作截面.a分别交侧棱力。，力。于E,F两点，且四面体ABEF

的体积为四面体川?CQ体积的g，则S“M=,£尸的最小值为.

A题型04翻折问题

技法指导

求解折叠问题的一般步骤

变：位于“折痕”两慎的点、线、面之间的位置关系会变，且对应点、对

应线段关于折痕对称

不变：位于“折痕”同例的点、线、面之间的位置关系不会变，且线段长

度等均保持不变

求出菖本・结合巳知，利用勾股定理、余弦定理、三角函数的定义、体积公式等求出

或战面关系折叠后的线段、夹角或证出折叠后的级面、面面关系

构造规则几何体：结合设问，将折叠后的立体图形构造仪口补形、切剂等）成

规则的几何体

华，M尸ag、何槿建立型几

st立空间1[用坐标系：皑合算7步证出的线面.面面关察建立空间直角坐

标系

得出结论根据设问,结合点到直线的距离公式、向量夹角的余弦公式、等体积法,向

少

R4量垂直与平行的坐标表示等再进行计算或证明得结论

7.（2025全国II卷T17）如图，在四边形48CO中，AB//CD,ZDAB=90°,"为CO的中点，点E在48

上，EFHAD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFD4沿E尸翻折至四边形EFDW,使得面£7加W与面

EFCB所成的二面角为60。.

（1）证明:H8//平面8万；

（2）求面AC。与面EFD'A1所成的二面角的正弦值.

8.（2026・湖北宜昌•二模）如图1,在边长为2的正方形48CO中，E、产分别为线段BC、力。的中点，现

将四边形CZ）自E折起至MNFE,得到三棱柱/如图2所示，记二面角〃-防-力的平面角为巴

（2）若P为线段改上一点，满足力尸_L8尸，求直线力尸与平面所成角的正弦值的取值范围.

1.已知正方体力8cO-44GA中，点E、F满足丽=2函,不=2两,则平面力所截正方体

人BCD44GA形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

2.如图所示，已知正方体4BCD.小BC】Di的棱长为2,长为2的线段A/N的一个端点M在棱05上运动,

另一端点N在正方形/5CZ）内运动，则A/N中点轨迹的面积为（）

A.4兀B.2n

C.zD.1

3.（2025•浙江嘉兴模拟）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为

一个面积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.967rB.IOOnC.125兀D.204兀

4.（2025•湖南•三模）如图，在四棱锥P-/18C。中，底面44。。是边长为6的正方形，PO1平面”8,

点M是平面ABCD内的动点，且满足线段MC的长度是点M到PD的距离的2倍•，则点M的轨迹的长度为

()

A.27rB.47iC.6兀D.

5.在三棱锥A48C中，AB+2PC=9,E为线段力尸上更靠近P的三等分点，过5作平行于相，PC的平面，

则该平面截三棱锥2/也。所得截面的周长为（）

A.5B.6C.8D.9

6.（2025•云南曲靖•一模）已知正三棱锥尸-/18C的所有顶点都在球O的球面上，PA=4B48=6,过

棱44作球。的截面，则所得截面面积的取值范围是（）

A.[9兀/2可B.[9兀,16兀]C.[12兀,16可D.[12兀,36可

7.1多选）已知在正方体48CQ—44GA中，4B=4,点P,。，7分别在棱84，CQ和44上，且&P=3,

G2=l,BT=3,记平面尸。丁与侧面底面的交线分别为小，〃，则（）

A.”的长度为也B.小的长度为+5

33

C.〃的长度为独D.〃的长度为巫

33

8.（多选）（2025•甘肃张掖•模拟预测）如图，已知底面为矩形的四棱锥尸-/出CQ的顶点P的位置不确定，

点M在棱CO上，且,平面产力/_!_平面力8c。，则、.列结论正确的是（）

A.PA1BM

B.平面尸4W_L平面尸8M

C.若AD=EMD=T,则直线CM与平面尸4W所成角为5

D.存在某个位置，使平面与平面尸4C的交线与底面月8CQ平行

9.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为8,用平夕亍于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与

底面的面积之比为1:4,则剩余几何体的体积为.

10.（2025•山东滨州•二模）在三棱锥夕一48C中，PA上平面ABC,PA=AB=4C=2,BC=2近，点D为&P人B

内（包含边界）一点，且8。_LCD,则点。的轨迹的长度为

11.(2025•山东临沂・期中)如图，在四棱柱48CD-44GA中，底面力8。。为直角梯形，AD//BC,

AD1CD,AA11平面ABCD,DA=DC=DR=2BC=2,E为GA的中点.

⑴设平面BCE与平面44CQ的交线为/,求证：BCf/h

(2)求平面ABB.A.与平面BCE夹隹的余弦值.

12.(2025•广东梅州•一模)如图，在三棱锥中，VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=\.

B

(1)求证：ABLVCX

(2)求直线港与平面力VC所成角的正弦值；

(3)若/出//a,VC//a,用平面a将三棱锥P-/18C分为两部分，求截面面积的最大值.

13.(2024•新课标II卷•高考真题)如图，平面四边形力8CQ中，4A=8,CD=3,AD=50乙4ZX7=90°,

/切0=30°，点£产满足力后=不力。，AF=-AB,将△4EF沿加'翻折至W。£儿使得PC=4x/J.

(1)证明：EFLPD；

(2)求平面PCD与平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

14.(2025•广东梅州•一模)如图，在三棱锥P-48C中，VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=\.

(1)求证：ABLVC,

(2)求直线VB与平面AVC所成角的正弦值：

(3)若/夕//a,VCHa,用平面。洛三棱锥P-48C分为两部分，求截面面积的最大值.

15.(2026•山西大同,一1模)如图，在直三棱柱力BC-44G中，AB=AC=1,Z.CAB=90»D,E,产分别

为棱力4，BB、,C4的中点.

(1)证明：平面平面4CC/；

2

(2)过G作平面的平行平面平面a将直三棱柱/AC-44G截成两部分，其中较大部分体积为:，

求直线4。与平面EFD所成角的正弦值.

16.(2025•山西临汾•三模)等腰梯形力8。。中，BCHAD,BC=；AD,4=60。，点E为4)中点(如图

1).将“8E沿底折起到“乃后的位置，点、O,厂分别为〃旦QE的中点(如图2).

图1图2

(1)求证：平面8cof_L平面4OC；

(2)如果夕C=2,平面48E_L平面3cOf,那么侧棱4。上是否存在点P,使得6尸〃平面4。尸？若存在,

求平面ME与平面4。/夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.

截面与翻折问题的4大核心题型

在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱钱、长方体、

正方体等），得到的平面图形，研究截面的形状及内含的数量关系，首先要确定交线.截面与交线问题是深

层次考查学生直观想象及数学建模等核心素养的题型，它渗透了线、面等元素.求截面与交线问题，一是可

用平面几何图形的性质，如解三角形、多边形面枳、扇形弧长、面枳等相结合求解，二是利月坐标法或向

量运算求解.

A题型01截面问题

1.已知正方体力8cO-4AGA中，点E是线段8片上靠近用的三等分点，点/是线段"G上靠近"的三等

分点，则平面力房'截正方体,44CD-44CQ形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

【解题指导】基本事实f由空间线面的位置关系一面面平行的性质定理一相似三

角形的性质确定截面图形.

【解析】如图，设48=6,分别廷长力上、力蜴交于点G,此时B0=3,

连接"G交玛£卜”，连接£77,

设平面力所与平面。CGA的交线为/,则尸€/,

因为平面力A44//平面。，平面力£/小平面4=4£，

平面力跖八平面。CG2=/,

所以"/4月，设/n〃O=/,则

4

此时△FDI〕SA4BE,故/£）［=§,连接AI,

所以五边形力/FHE为所求截面图形，故选C.

【解疑答惑】判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形

2.（2025•安徽合肥•三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3,点G是△尸力。的重心，过点G作平

面。，若平面a//平面PCD,则平面a截正四棱锥P-48C。的截面面枳为（）

A.—B.C.2百D.2而

48

【解题指导】过点G在平面内作立行线f得到截面f比例确定边长知截面为等腰梯形f求面积.

【答案】C

【解析】点G是的重心，器=g，过G作G//〃PC交力C于，，并延长交尸力于

过H作EFUCD,过E作EN//PC,如图四边形EFMN为截面,

【技巧】找交线的方法：（1）线面交点法：各棱线与截平面的交点；（2）面面交线法：各棱面与截平面的交线.

••占厂」4「的示p°G1,OHOG\

・点G4"c的重"拓=3'..证二江=5

.HC\PM_PNMN

MN=\,EF=3,MF=NE=2,

四边形,”N为等腰梯形’故面积为展吟@=25故选C.

A题型02交线问题

技法指导

找交线的方法

（1）线面交点法：各楂线与截平面的交点.

（2）面面交线法：各棱面与截平面的交线.

【例2】（2020•新高考I卷）已知直四棱柱ABCD-AyBxC\D｝的棱长均为2,/8力。=60。.以D］为球心，逐为半径的

球面与侧面8CG81的交线长为.

【答案】亨

【解析】如图，设BC的中点为£球面与棱的交点分别为PQ,

连接DB,DB,D\P,D\Q,D\E,EP,EQ,

由/84。=60。/8=4。,知△48。为等边三角形，

:・DiBi=DB=2,：・ADiBiCi为等边三角形，

则DiE=VJ且AE_L平面BCGBi,

・•・£为球面截侧面8CG&所得截面圆的圆心，

设截面圆的半径为一，则尸J腺-=VT5=VI可得EP=EQ=6,

・•・球面与侧面8CG©的交线为以£为圆心的圆弧⑷.

又D\P=®：.B\P=J。】尸.5屏=],

同理G0=".P,。分别为BBi,CG的中点，

:./尸成后,知功的长为会近弯.

4.（2026•南通二模）如图，在矩形48CQ中，AB=\,BC=®£为线段8C上一动点，现将沿4E

折起得到△力丁£点"在平面/14C上的投影为K,当点E从4运动到。时，若二面角8"尺。的平面角恒

为120。，则点K所形成轨迹的长度为

【答案】7-

【解析】如图1,过点K作KO1/1E,连接。Q，则08」/，显然4OJL/E.因为二面角"的平面角

为120°,所以N8,OK=60",所以KO=：BX）=；BO,且K为BO中点.如图2,因为所以。在

以43为直径的圆上，取力8的中点./,连接1K,则./K_L4K,所以点K的轨迹是以8/为直径的圆上的一段

弧，设此圆的圆心为0',得其半径为射8=：.当E与。重合时，NKO'B=120°=4，所以所对的弧长为我?

44343

_n

A题型03与截面有关的最值问题

技法指导

解决截面最值范围问题的策略：

(1)通过假设动点运动至两端，计算最值(需注意判断是否也调)：

(2)通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解：

(3)通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面国形中的最值计算.

5.直三棱柱4AC-4MG中，/A=.4C=441=4,ACA.AB,过4G作该直三棱柱外接球的截面，所得截

面的面积的最小值为.

【答案】87t

【解析】由直三棱柱可知，力4,平面力8C,

又NC1/18,所以48,4C,44两两垂直，

设直三棱柱力BC-44G外接球的半径为R,

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以力&4C,44为边长的长方体外接球相同：

过作该直三棱杜外接球的截面，当4G为所截圆的直径时截面面积最小，

2

因为AC{="+4?=4>/2,

则所求截面面积最小值为彳竽|=8%

6.加图，已知正四面体ABCD的棱长为1,过点B作截面a分别交侧棱彳。，4。于E,F两点，且四面体ABEF

的体积为四面体48CO体积的;，则5“防=，的最小值为.

【答案】抹弋

[解析】因为〃f即=Lie，则S什=~S1CI)=-XLx1Xlx亚,

d

30ac”A/icr3AACD322]2

记EF=a,AE=b,AF=c,

因为」6csin60°=，即bc=20

2123

又因为/=b2+c2-2bccos600>2be-be=be,

当且仅当'l，即6=c=业时，取等号，所以a的最小值为省

bc=-33

A飘型04翻折问题

技法指导

求解折叠问题的一般步骤

变：位于“折痕”两侧的点、然、面之间的位置关系会变，且对应点、对

应线国美干折痕对称

J*J的变与不变不变：位于“折痕.同例的点、线、面之间的位置关系不会变，且线或长

度等均保持不变!

求出暮本・结合已知，利用勾股定理、余弦定理、三角函数的定义、体积公式等求出

＜岁空，或战面关系

折叠后的线段、夹角或证出折叠后的线面、面面关系i

构造规则几何体：结合设问，将折叠后的立体图形构造仪口补形、切割等)成i

规则的几何体

何稹型翘立空间直角坐标系：结合第2步证出的线面、面面关系建立空间直角坐

标系i

得出皿一.根据设问,结合点到直线的矩离公式、向量夹角的余弦公式、等体积法.向

髭垂直与平行的坐标表示等再进行计算或证明得结论

・・•・•・・・・•・••,・・・・«■■■3・・••・・・・・•・・・・—••・・・■■3・・・•・・・・・・・・・•••・・•・«■・33・・•・•••・■■・・3・―・•・・・■■・・・••・・・・・•■・・・•••・・・・■■■■3・・・••••・・《■・・・••・•・・・・・・••••••••・・・・・・・•••••••・・・—・•・■■】

7.12025全国II卷T17)如图，在四边形44。。中，ABHCD"DAB=900,b为CO的中点，点E在AB

上，EFHAD,AB=3AD、CD=24D,将四边形EFZM沿七/翻折至四边形EEQW,使得面EFQW与面

EFC8所成的二面角为60。.

(1)证明:H8〃平面8户；

(2)求面4CQ'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.

【解题指导】

。条件转化

①四边形EFDA为平行四边形;②乙。'%=60。.

。志路分析

(1)ABZ/CD-D-F/ZA-E.CF〃E8一平面CO'F〃平面CEB一结论得证

(2)【解法一】

条件转建立会的空相关点的坐标平面EFD'A'与平『譬'口售售

化@②-间直角坐标系一及向自坐标一面8处的法向量一然等俨一悬鬻俨

角的余弦值角的正弦值

【解法二】

作辅助线，找出平面EFD4条件转化①②平面EFD4与平面BCD，

与平面8C。'所成角的平■面角构造直角三角形相关战段长度―所成角的正弦值

【解】(1)设/。=1,所以48=3,CQ=2,

因为尸为CO中点，所以。尸=1,

因为EF//4),AB//CD,所以.4EF3是平行四边形,

所以AE//DF,所以HE//DF,

因为D'Fu平面COE©£仁平面CD'F,所以力'£//平面CD'F,

因为尸C//石氏FCu平面CDT,EB(Z平面C»F,所以E8〃平:面SF,

又EBCA'E=E,£9,/'石＜=平面4£6,所以平面4以7//平面。/,

又4'5u平面HE8,所以〃平面8'尸.

(2)因为ND46=90。，所以力。工48,

乂因为4B//FC,EF//AD,所以即_LR2,

第一步：建立空间直角坐标系.

以尸为原点，心,尸。以及垂直「平面8EC/的直线分别为x，P，z轴，建立.空间直角坐标系.

因为。户_1,七/,。/_1_£尸，平面£FOW与平面石尸。8所成二面角为60。，

所以/。户。=60二

则B(l,2,0),C(0,l,0),用，£(1,0,0),*0,0,0),

所以团=(一1,-1,0)而=0,-；,畀丽=0,0,0两=o,提冷

第二步：求出平面的法向量.

设平面5czy的法向量为万=(x,y,z),则

就万=0

，所以

CD'ii=0

令＞=&，则z=l,x=-G，则万=（一石，石』）.

设平面EFDW的法向量为所=（不必,zJ,

1上6n

FEm=0—y+—z=0

,所以22

~FD'm=0

x=0

令丫=△，则z=-l,x=0,所以而=（0,后,-1）.

第三步：计算向量的夹角

|w-«|_0+3-1_1

所以cos而,6

丽-G+3+ix73-万,

【易错提醒】两个平面的夹角的范围为[0°,90°],不同于两个平面法向量的夹角。所以两个平面的夹角的余

弦值需要用法向量夹角余弦值的绝对值表示

所以平面BCD'与平面EFDX夹角的正弦值为

8.（2026•湖北宜昌•二模）如图1,在边长为2的正方形力6c。中，E、b分别为线段4。、力。的中点，现

将四边形8叫折起至MNFE,得到三棱柱力户N-8EM,如图2所示，记二面角〃-麻-4的平面角为巴

（1）若。时，求三棱柱力网-的体积；

（2）若P为线段针上一点，满足/求直线力P与平面N8E所成角的正弦值的取值范围.

【解】（1）翻折前，在图1中，因为四边形48。为正方形，所以,48〃CO,AD//BC,AD-BC,

因为E、尸分别为BC、4）的中点，所以AF〃BE,AF=BE,

所以四边形相四为平行四边形，且环=48=2,

因为/8J./1。，所以石厂工力Q,

翻折后，在图2中，EFtAF,EF1NF,

所以二面角M-四一4的平面角为。=/AFN,

因为4歹。桥=尸，AF、NFu平面4NF,所以E/_L平面彳N",

当，=三时，即//QV=g,且/尸=NF=1,则s△,心•AF=；xl2=；,

所以三棱柱AFN-BEM的体积为％…叩=SBN,EF=1X2=1.

(2)因为痔_L平面4印，以点尸为坐标原点，FA、EE所在直线分别为x、V轴,

过点尸且垂直于平面7即产的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,4(1,0,0)、8(1,2,0)、F(0,2,01.N(cos&0,sin。)，

设点P(0,%0)，其中04〃?42,由题意可知0<0<兀，则0<sin0«l,故一!一21,

sin。

万=(-1,〃?,0),而=(-1,m-2,0),

因为贝lj4尸8。=1+〃?(/〃-2)=(〃?一1)~=0,解得〃？二1，

则点尸(0』,0),Q=(—1,1,0),

设平面的一个法向吊:为方=(居y,z),丽=(1,0,0),£7V=(cos<9,-2,sin^),

n-EB=x=0.八/、

则.一，Wy=sm。，则〃=(O,sin0,2),

n-EN=xcos0-2y+zsin0=0

设直线AP与平面NBE所成角为a，

1.已知正方体川?C'。-44GA中，点E、F满足配=2丽，布=2丽,则平面4律截正方体

形成的截面图形为()

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【答案】B

【解析】如图,

因为点£、/满足前=2函，存=2可，

点E是线段84上靠近用的三等分点，点F是线段GA上靠近P,的三等分点，

延长/E,与交于点G,连接尸G交8G于〃，

延长GR4。交于点K,连接力K交。A于/,连接/£族，

则五边形力为所求截面图形，故选B.

2.如图所示，已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点A/在棱DD、上运动,

另一端点N在正方形力4。。内运动，则A/N中点轨迹的面积为（）

A.4itB.27c

C.zD./

【答案】D

【解析】易知DDi上平面/1BCD,NMQN=90°,取线段A/N的中点P,则。尸=//N=1,所以点。的轨

迹是以。为球心，1为半径的！球面，故S=JX4兀X12=；.

ooL

3.（2025•浙江嘉兴模拟）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为

一个面积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.967rB.IOOnC.1257tD.204兀

【答案】B

【解析】由对称性，球心与止方体重心重合，且每个面的交线半径为4.

连球心与任意面中心，则连线长为3,且连线垂直该面，

再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5,

则表面积为4兀6=100冗.故选：B.

4.（2025・湖南•三模）如图，在四棱锥P-/18C。中，底面48CD是边长为6的正方形，尸。_L平面/8C。，

点必是平面月8CQ内的动点，且满足线段的长度是点M到P。的距离的2倍，则点”的轨迹的长度为

A.27tB.4itC.6兀D.87r

【答案】D

【解析】•・•尸。J"平面/AC。，用。＜=平面/夕。，

・•・PQLWO即点M到PD的距离为MQ,：.MC=2AfD,

如图平面48c。中以。为原点建立平面直角坐标系，

设C(0,0),河(0,6),

VMC=2A/D,・•・4+4=2/2+(尸6)2,整理得/+(y-8)2=16,

即M的轨迹是以P(0,8)为圆心，半径为4的圆上，

即点用的轨迹的长度为/=2口=8几，故选D.

5.在三棱锥尸-48。中，AB+2PC=9,石为线段力尸上更靠近尸的三等分点，过七作平行于力4,尸。的平面,

则该平面截三棱锥尸所得截面的周长为()

A.5B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】如图所示，在三棱锥P-/f8c中，过上分别作即〃48,EH//PC,

再分别过点〃，F悔HG〃AB,FG//PC,可得£,F,G,〃四点共面，

因为48Q平面EFGH,EFU平面EFGH,所以44〃平面£7PH,

同理可证，PC〃平面EFGH,所以截面即为平行四边形EFG”,

又由E为线段4P上更靠近尸的三等分点，且48+2PC=9,所以七尸勺8,EH』C,

所以平行四边形EFGH的周长为2(EF+EH)*AB+2PC)=&

6.（2025•云南曲靖•一模）已知正三棱锥P-/18C的所有顶点都在球。的球面上，PA=4g,AB=6,过

棱44作球O的截面，则所得截面面积的取值范围是（）

A.[9TT,12TC]B.[9兀,16冗]C.[12兀,16可D.[12兀,36兀]

【答案】B

【解析】如图，作尸HJ■平面48C,垂足为“，取力〃的中点O,外接球的球心为O,连接力。,力〃，

易得〃为出/I4C的中心，则力〃=2百，所以PH=\]PA2-AH2=J48-12=6，

设外接球半径为R，则402=472+o〃2,即*=]2+（6-R『，解得H=4,

当。。垂直过48的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为48长，

最小面积为兀x3?=9冗，

当截面过球心。时，截面圆的面积最大，最大面积为几x42=16兀，

故截面面枳的取值范围是[%16兀].故选：B.

7.1多选）已知在正方体力44GA中，48=4,点P,。，7分别在棱84，C&和月8上，且4。=3,

G0=l,87=3,记平面与侧面/QQ/,底面48co的交线分别为机，“，则（）

A.机的长度为也B.〃?的长度为延

33

C〃的长度为辿D.〃的长度为巫

33

【答案】AD

【解析】如图所示，

连接QP并延长交CB的延长线于E,连接ET并延长交40于点S,

交。。的延长线于点〃，连接〃。，交于点R,连接SR,

则阳即为SA,〃即为5T,

P8EB

由PBHQC,得——=——-=-,所以E8=2,EC=6,

QCEB+43

由AS//EB,^―=—=-,则4s=168=乙，

EBTB333

所以〃=ST=J1S2+4丁=巫,故C错误，D项正确；

3

由SD//EC,得浮推

又易知SR〃PQ,得券嘿，所以小V，

所以==+EC=半，故A项正确，B项错，故选：AD.

8.（多选）（2025•甘肃张掖•模拟预测）如图，已知底面为矩形的四棱锥P-48CQ的顶点P的位置不确定,

点M在棱CO上，且4W_L8M,平面P4WJ.平面力3。。，则二列结论正确的是（）

A.PAA.BM

B.平面尸4WL平面

C.若AD=6,MD=\,则直线CM与平面尸力例所成角为三

D.存在某个位置，使平面P力团与平面尸8。的交线与底面448平行

【答案】ABC

［解析】对于A,,••平面PAMJ.产面ABCD,平面PAMn平面ABCD=AM,AM1BM,BMu平•面

ABCD,：.BM_L平面PAM,

又Hu平面尸故A正确：

对于B,由A知_L平面P/iM,又8Wu平面尸8W,..・平面24W_L平面P,故B正确；

对「C,由A知6M_L平面尸/M,在矩形48c。中，AB〃CD,

直线CM与平面PAM所成的角为N84U,在4△/QA/中，

AD=瓜MD=1,/.tan^MAD=/MAD=NBAM=--/MAD=-，故C正确：

3623

对干D,设平面P/Mc平面P8C=/,假设/〃底面48CQ,

•.,平面ABCDfl平面PAM=AM，平面ABCDf］平面PHC=BC,

40,/〃6C,，40〃8C,则"与D重合,则4OJ.8。，

显然不成立，则假设不成立，故D错误.

故选：ABC.

9.已知正四棱锥尸-WBCQ的底面边长为4,侧棱长为8,用平厅于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与

底面的面积之比为1:4,则剩余凡何体的体积为.

【答案】纪业

3

【解析】设底面中心为O,连接。P,C。，

如图：AB=BC=4.PC=8.^OP=dpc，-OC，=卜虫⑸=2足，

由于截面与底面的面积之比为1:4,

故截面以上的棱锥与原四棱锥的体积之比为1:8,

故剩余几何体的体积为2%.8e=ZxLx4x4x2j"="YZ.

8P-ABCD833

10.（2025•山东滨州•二模）在三楂锥P-/18C中，P4上平面4BC,P/l=4B=4C=2,BC=2拒，点、D为△尸

内（包含边界）一点，旦BQ1CD,则点。的轨迹的长度为

【答案】兀

【解析】因为P4J■平面49C,且4Cu平面力BC,所以H_L/C

又rh/8=/C=2,8C=20,可得4夕+力。2=8。2,所以48工AC,

又因为户力口力4=力，且尸418u平面尸力8,所以4C1平面尸X8,

因为BOu平面"8,所以XC/8O,

如图所示，连接8。,力。，若BDLCD,RCD6AC=C,且C，4Cu平面4CO,

所以8。4平面力C。，

又因为/Du平面/C。，所以力Q_L8O,

即在平面P48内，若力QJ,8。，则8£）_LCZ）,即点O落在以/B为直径的半圆上,

AR

因为48=2,所以点。的轨迹长度为兀x半=九

11.（2025•山东临沂・期中）如图，在四棱柱力BCD-44GA中，底面/4C。为直角梯形，AD//BC,

AD1。。,44J■平面ABCD,DA=DC=DQ=2BC=2,E为G4的中点.

⑴设平面灰芯与平面48cA的交线为/，求证：BCUh

（2）求平面，4夕与4与平面BCE夹隹的余弦值.

【解】（1）由题意可知：平面48CO〃平面

且平面5CE。平面=平面8CEA平面48cA=/,所以BC“l.

（2）由题意“I知：AD1CD,平面力8C。，

如图，以。为坐标原点，。4。。,。4分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则,4(2,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),4(2,0,2),A(0,0,2)6(022),£(0,1,2),

可得益=(-1,2,0),函二(0,0,2),而=(1,0,0)C£=()-1,2),

设平面ABB'A1的法向量万二（苦,乂,zj,

ii•AB=-x+2y=0

则＜}

万•赢=2Z1=0

令±=2,则必=2,4=0,可得斤=（2,1,0）为平面力叫《的一个法向展;

设平面BCE的法向审加=（占，%，4），

m-CB=Xy=0

则

m-CE=-y2+24=0

令了2=2,则％=0,4=1,可得而=（0,2,1）为平面4CE的一个法向量;

__n-m22

则”二丽二对二

2

所以平面ABBXAX与平面BCE夹角的余弦值为：.

12.（2025•广东梅州•一模）如图，在三棱锥/一力3c中，VA=VB=AB=AC=BC=2tVC=\.

（1）求证：ABLVCx

（2）求直线以?与平面*PC所成角的正弦值:

（3）若4弘/a,VCIla,用平面a珞三棱锥P-/15C分为两部分，求截面面积的最大值.

【解】（1）证明：如图所示，取叱,力〃中点",N,连接力材，BM

因为幺=/C,VB=BC,可得4W1PC且8HlpC,

乂因为4WcBM=A7,且力平面4V8，所以％?_!_平面408,

因为力8u平面4V/B,所以PCJ_48.

（2）解：作交4V『H,连接MV,VH.

由（1）W_L平面4M8,PCu平面/PC所以平面力PC平面力A",

因为平面4NCc平面4M?=4M,且B〃u平面4W4,所以4H_L平面力PC,

所以z//ra为直线”与平面力PC所成角，

又因为AM=BM=xft^m^=叵~，所以MNZBM?-BN'=叵,

22

,而

2x-1

因为,可得BH=_2=

22AMVT515

2

2V165

又因为8HJ.5,所以.wBH下一闹，

sinNHVB=---=———=-----

VB215

所以直线VB与平面力PC所成角的正弦值为任.

15

（3）解：如图所示，设平面aD平面以8:P0,平面afl平面。B=Sr,平面aCl平面%1C=尸S,平面

an平面四。=。7，

因为44//a,且48u,F面以8,所以48//P0,

同理可证48//S7,VC//PS,VC3QT,即P0//S7,PSHQT

由（1）知4?_LHC,所以PQ_L07,所以截面尸。灯为矩形，

设。T=x,其中xe（O,l）,贝iJ57=2x,C7'=S7'=2-2x,

所以矩形P